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[GAB]5pcn2015-1 Universidade Federal do Maranhão CCET - DEINF Prof. Carlos Gonçalves (Sl.214, Bl.6) Nome: GABARITO Matrícula: N/A Data: 02 de junho, 2015 – Duração: 1h40min NOTA Cálculo Numérico – Turmas: CP e EE. 5ª Prova: Todo conteúdo. Instruções: Identifique sua folha de respostas com seu nome e devolva-a junto com esta folha. Escreva as respostas das questões legivelmente com caneta azul ou preta. Devolva a sua “Folha de Respostas” junto com esta folha de Questões. Boa sorte. QUESTÕES 1) (2,5) Quantos inteiros positivos diferentes podem ser expressos em k dígitos usando-se números de base r? SOLUÇÃO: É um mero princípio básico de contagem, assim, teremos: 𝑟𝑘 inteiros distintos. 2) (2,5) Considere o sistema F(2, 8, 4, 4) e os números: x1 = 0,10110011 · 22 e x2 = 0,10110010 · 22. Qual dos dois números representa melhor 2,810? SOLUÇÃO: Pode-se responder esta questão de duas formas: uma é convertendo o número dado da base 10 para binário e depois normalizando-o pelo padrão IEEE 754, visto em sala de aula, e a outra seria converter os números em binários para decimal e ver qual se aproxima mais em valor do número decimal dado. A conversão de 2,810 para binário resulta em 10,11001100̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅2 ∙ 2 0, o qual normalizado ficará (note que a mantissa é igual a 8): 0,101100112 ∙ 2 2. Portanto, x1 representa melhor o número decimal dado. 3) (2,5) Considere o sistema de equações lineares abaixo e determine o valor aproximado do seu vetor solução usando o método de Gauss-Seidel com 4 iterações. Considere nos cálculos 2 casas decimais e o arredondamento simétrico. { 5𝑥1 + 2𝑥2 − 2,5𝑥3 = 11,5 8𝑥1 − 10𝑥2 + 𝑥3 = 4,5 4𝑥1 + 2𝑥2 − 9𝑥3 = 12,5 SOLUÇÃO: Antes de resolvermos um SEL pelo método de Gauss-Seidel devemos verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito, já que este nos dá garantia de convergência para este método. Logo, devemos calcular os coeficientes beta de Sassenfeld, a saber: 𝛽𝑖 = ∑|ℎ𝑖𝑗|𝛽𝑗 + ∑ |ℎ𝑖𝑗| 𝑛 𝑗=𝑖+1 , ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑖 , 𝑖 = 1,⋯ , 𝑛 𝑖−1 𝑗=1 Donde vem, 𝛽1 = | 1 𝑎11 | ∙ (|𝑎12| + |𝑎13|) = | 1 5 | ∙ (|2| + |−2,5|) = 4,5 5 ≅ 0,90 𝛽2 = |ℎ21|𝛽1+|ℎ23| = | 1 −10 | ∙ (8 ∙ | 4,5 5 | + |1|) = ( 1 10 ) ∙ ( 410 50 ) ≅ 0,82 𝛽3 = |ℎ31|𝛽1+|ℎ32|𝛽2 = | −4 −9 | ∙ | 45 50 | + | 2 −9 | ∙ | 410 500 | ≅ 0,58 Ora, devemos ter, 𝛽 = max 1≤𝑖≤𝑛 𝛽𝑖 = max 1≤𝑖≤3 {0,90 0,82 0,58} < 1 Percebe-se que a relação acima é satisfeita, logo, a convergência é garantida (de fato este resultado já era esperado visto que o SEL é EDD). Portanto, definimos as equações iterativas através da seguinte ma- triz equivalente: [GAB]5pcn2015-1 𝐸 = { 𝑥1 (𝑘+1) = −0,40𝑥2 (𝑘) + 0,50𝑥3 (𝑘) + 2,30 𝑥2 (𝑘+1) = 0,80𝑥1 (𝑘+1) + 0,10𝑥3 (𝑘) − 0,45 𝑥3 (𝑘+1) = 0,44𝑥1 (𝑘+1) + 0,22𝑥2 (𝑘+1) − 1,39 Logo, podemos calcular uma sequência iterativa, iniciando com 𝑥(0) = (0 0 0)𝑡, e construindo a ta- bela abaixo: k 0 1 2 3 x1 0,000 2,300 1,715 1,722 x2 0,000 1,390 0,916 0,885 x3 0,000 -0,058 -0,423 -0,427 Como se pode ver na tabela, na 4ª iteração já temos os valores procurados. Então o vetor coluna solução do SEL dado é: 𝑥(3) ≈ (1,72 0,89 −0,43)𝑡 4) (2,5) Aplicando o método de Newton-Raphson determine o valor da raiz real positiva da função f(x) abaixo que encontra-se no intervalo (1,0;2,0). 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥) + cos(3𝑥) Use (a,b) tal que |b - a| ≤ 0,02, e faça 3 iterações. Considere nos cálculos 2 casas decimais e o arredon- damento simétrico. SOLUÇÃO: Para aplicar o método de Newton-Raphson (MNR) precisamos localizar o intervalo onde se acha a raiz, em geral isto é feito graficamente, todavia o enunciado já situa esse intervalo de pesquisa. Assim, só temos que aplicar o método começando com um ponto desse intervalo, i.e., 𝑥0 = 1,5, ou qual- quer outro valor inicial dentro do intervalo onde a derivada está definida, pois a convergência do MNR independe do valor inicial (faça o teste e comprove). Assim teremos, 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘) , onde: 𝑓′(𝑥) = 1 𝑥 − 3 ∙ sen(3𝑥) Substituindo tudo teremos a seguinte expressão iterativa: 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − ln(2𝑥𝑘)+cos(3𝑥𝑘) 1 𝑥𝑘 −3∙sen(3𝑥𝑘) Para o caso, é melhor construir-se uma tabela a fim de calcular os valores intervenientes e evitar-se erros. Temos, k x f(x) f'(x) x* Erro 0 1,500 0,888 3,599 1,253 - 1 1,253 0,104 2,537 1,212 0,041 2 1,212 0,006 2,251 1,210 0,003 3 1,210 0,000 2,232 1,210 0,000 Vê-se na tabela que na 3ª iteração o valor da raiz é encontrado com as condições pedidas (v. linha 3 na tabela), i.e., |1,210 − 1,212| = 0,002 < 0,02, logo, 𝑥 ≅ 1,210,observe ainda o valor de f(x) tendendo a zero.
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