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1ª Lista de Exercícios Cálculo Numérico

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Ca´lculo Nume´rico: Lista de Exerc´ıcios 1
Polinoˆmio de Taylor, Aritme´tica de Ponto Flutuante e Noc¸o˜es Ba´sicas sobre Erros
I. Polinoˆmio de Taylor: Nos exerc´ıcios abaixo, considere x0 = a o ponto para expansa˜o do polinoˆmio
de Taylor.
1. Encontre o polinoˆmio de Taylor linear e quadra´tico em torno do ponto a para as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
√
x, a = 1 (c) f(x) = ecos(x), a = 0
(b) f(x) = sen(x), a = pi/4 (d) f(x) = log(1 + ex), a = 0
2. Produza uma fo´rmula geral para o polinoˆmio de Taylor expandido em torno de a = 0 de grau n
para as seguintes func¸o˜es:
(a) 1/(1− x) (c) (1 + x)1/3 (e) cos(x)
(b)
√
1 + x (d) sen(x)
3. Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da func¸a˜o f(x) = sen(x) expandido em torno de
a = 0. Desenhe o gra´fico da func¸a˜o f(x) e dos polinoˆmios de Taylor e compare os resultados.
4. (a) Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a func¸a˜o f(x) = e−x, expandido em
torno de a = 0.
(b) Usando o polinoˆmio de Taylor para et, substitua t = −x para obter uma aproximac¸a˜o para
e−x. Compare o resultado com (a).
5. (a) Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a func¸a˜o f(x) = ex
2
, expandido em
torno de a = 0.
(b) Usando o polinoˆmio de Taylor para et, substitua t = x2 para obter uma aproximac¸a˜o para ex
2
.
Compare o resultado com (a).
6. Aplique a fo´rmula de Taylor para expressar o polinoˆmio p(x) = x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 como um
polinoˆmio em poteˆncias de (x− 1).
7. Use o polinoˆmio de Taylor para mostrar que
(1 + t)n =
n∑
j=0
(
n
j
)
tj ,
para n inteiro e onde
(
n
j
)
= n!(n−j)!j! e´ o coeficiente binomial.
8. Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar f(x) = ex, para x ∈ [−1, 1], pelo polinoˆmio
de Taylor de grau 3 expandido em torno de a = 0.
9. Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 2 para a func¸a˜o f(x) = exsen(x) em torno do ponto a = 0.
Determine um limitante superior do erro para essa aproximac¸a˜o quando x ∈ [−pi/4, pi/4].
10. Determine um valor de n suficiente para que |ex − pn(x)| ≤ 10−5, para −1 ≤ x ≤ 1, onde pn(x) e´ o
polinoˆmio de Taylor expandido em torno de a = 0.
11. (opcional) Para f(x) = ex, encontre a aproximac¸a˜o por polinoˆmio de Taylor que garante um erro
menor do que 10−7 para todo x ∈ [−1, 1]. Usando esta aproximac¸a˜o, escreva um programa que
calcule ex. Compare o resultado de sua func¸a˜o com o resultado da func¸a˜o exp() da linguagem de
programac¸a˜o que voceˆ utiliza.
12. (opcional) Responda as questo˜es abaixo:
1
(a) Obtenha uma expansa˜o usando polinoˆmios de Taylor para f(t) = 1/(1 + t2), em torno do
ponto a = 0. (Dica: Use a expansa˜o em polinoˆmio de Taylor para 1/(1 − x) desenvolvida no
exerc´ıcio acima aplicada no ponto x = −t2.)
(b) Obtenha uma aproximac¸a˜o para g(x) = tan−1(x). Fac¸a isso integrando o resultado do item
(a), ja´ que:
tan−1(x) =
∫ x
0
f(t)dt =
∫ x
0
1
1 + t2
dt
(c) Sabendo que tan−1(1) = pi/4, use a aproximac¸a˜o acima para estabelecer que
pi ≈ 4
n∑
k=1
(−1)k+1
2k − 1 ,
para n “grande”.
(d) Determine quantos termos da fo´rmula do item (c) seria suficiente para obter uma aproximac¸a˜o
de pi com erro inferior a 10−10. Esta e´ uma boa forma de determinar o nu´mero pi?
II. Aritme´tica de Ponto Flutuante e Noc¸o˜es Ba´sicas sobre Erros
13. Converta os nu´meros em representac¸a˜o bina´ria para sua representac¸a˜o decimal, e os nu´meros em
representac¸a˜o decimal para bina´ria.
(a) (110011)2 (c) (101.11011)2 (e) (4.25)10
(b) (0.1000001)2 (d) (366)10 (f) (29/6)10
14. Seja um sistema de aritme´tica de ponto flutuante de quatro d´ıgitos na mantissa, base decimal e que
usa o arredondamento. Dados os nu´meros:
x = 0.9370× 104 y = 0.1272× 102
efetue as operac¸o˜es: x + y e x × y. Obtenha o erro relativo no resultado supondo que x e y esta˜o
exatamente representados.
15. Sejam os seguintes nu´meros: x = 0.5289, y = 0.8012 e z = 0.6024, e considere um sistema de ponto
flutuante com mantissa de 4 d´ıgitos e base decimal. Mostre que:
(a) x(y + z) 6= x× y + x× z
(b) (x+ y) + z 6= x+ (y + z)
neste sistema.
16. Determine os erros relativos das quatro expresso˜es do exec´ıcio anterior, considerando como valor
exato o determinado pela calculadora com todas as casas decimais.
17. Seja uma ma´quina fict´ıcia que opera em um sistema de ponto flutuante de base bina´ria e que
representa os nu´meros usando 32 bits. Seja o seguinte nu´mero representado nesta ma´quina:
0
20 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1613 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 2926 30 31
0 0 0 00 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0
Se o primeiro bit indica o sinal do nu´mero, o segundo e´ o sinal do expoente, os pro´ximos seis sa˜o o
expoente, e os vinte e quatro u´ltimos sa˜o a mantissa, responda a`s seguintes perguntas:
(a) O nu´mero esta´ normalizado? Se na˜o, normalize-o.
(b) O nu´mero e´ positivo ou negativo?
(c) Em mo´dulo, o nu´mero e´ menor do que 1 ou maior do que 1?
(d) Como ficaria a representac¸a˜o deste nu´mero no sistema F(10,6,-10,10) (i.e., base decimal, 6
d´ıgitos na mantissa, e expoente variando de {−10, · · · , 10})?
18. Considere uma ma´quina cujo sistema de representac¸a˜o de nu´meros e´ definido por F (10, 4,−5, 5)
(i.e., base decimal, 4 d´ıgitos na mantissa, e expoente no intervalo {−5, · · · , 5}.). Pede-se:
(a) Qual o menor e maior nu´mero em mo´dulo representados neste sistema?
(b) Como sera´ representado o nu´mero 73.758 nesta ma´quina, se for usado o arredondamento? E
se for usado o truncamento?
(c) Se a = 42450 e b = 3 qual o resultado de a+b?
(d) Qual o resultado da soma:
S = 42450 + 3 + 3 + · · ·+ 3︸ ︷︷ ︸
10 vezes
= 42450 +
10∑
k=1
3
(supondo que o computador efetua as operac¸o˜es da esquerda para a direita).
(e) Qual o resultado da soma:
S =
10∑
k=1
3 + 42450.
19. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante F (2, 4,−4, 5). Qual o menor e maior nu´mero em
mo´dulo representados neste sistema?
20. Deseja-se calcular:
S =
10∑
k=1
2
k2
no sistema F (10, 3,−5, 4), usando arredondamento em todas as operac¸o˜es. Assim, efetue a soma:
(a) da direita para a esquerda;
(b) da esquerda para a direita.
Os valores obtidos em (a) e (b) sa˜o iguais?
21. Considere o sistema F (2, 8,−10, 10). Represente no sistema os nu´meros: x1 =
√
8, x2 = e
2, e
x3 = 3.57. Existe algum com representac¸a˜o exata neste sistema?
22. Quantos nu´meros podem ser representados no sistema F (2, 3,−1, 2)? Represente os nu´meros x1 =
(0.38)10, x2 = (5.3)10, e x3 = (0.15)10.
23. Tente evitar perda de d´ıgitos significantes no ca´lculo das seguintes func¸o˜es:
(a) 1−cos(x)x2 , para x pro´ximo de zero;
(b) sen(a+ x)− sen(a), para x pro´ximo de zero;
(c) log(1 + x)− log(x), para x grande.
Isto e´, tente reescrever as func¸o˜es acima de forma que na˜o haja subtrac¸a˜o de dois nu´meros quase
iguais. Use identidades trigonome´tricas nos itens (a) e (b).
24. Use a aproximac¸a˜o por polinoˆmio de Taylor para evitar perda de d´ıgitos significantes nas seguintes
fo´rmulas quando x esta´ pro´ximo de zero:
(a) e
x
−1
x
(b) e
x
−e−x
2x
Refereˆncias
[1] Franco, N. B., Ca´lculo Nume´rico, Prentice Hall, 2006.
[2] Atkinson, K., Elementary Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley & Sons, 1993.
[3] Ruggiero, M., e Lopes, V., Ca´lculo Nume´rico: Aspectos Teo´ricos e Computacionais, Segunda Edic¸a˜o,
Makron, Books, 1998.

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