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Ca´lculo Nume´rico: Lista de Exerc´ıcios 1 Polinoˆmio de Taylor, Aritme´tica de Ponto Flutuante e Noc¸o˜es Ba´sicas sobre Erros I. Polinoˆmio de Taylor: Nos exerc´ıcios abaixo, considere x0 = a o ponto para expansa˜o do polinoˆmio de Taylor. 1. Encontre o polinoˆmio de Taylor linear e quadra´tico em torno do ponto a para as seguintes func¸o˜es: (a) f(x) = √ x, a = 1 (c) f(x) = ecos(x), a = 0 (b) f(x) = sen(x), a = pi/4 (d) f(x) = log(1 + ex), a = 0 2. Produza uma fo´rmula geral para o polinoˆmio de Taylor expandido em torno de a = 0 de grau n para as seguintes func¸o˜es: (a) 1/(1− x) (c) (1 + x)1/3 (e) cos(x) (b) √ 1 + x (d) sen(x) 3. Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da func¸a˜o f(x) = sen(x) expandido em torno de a = 0. Desenhe o gra´fico da func¸a˜o f(x) e dos polinoˆmios de Taylor e compare os resultados. 4. (a) Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a func¸a˜o f(x) = e−x, expandido em torno de a = 0. (b) Usando o polinoˆmio de Taylor para et, substitua t = −x para obter uma aproximac¸a˜o para e−x. Compare o resultado com (a). 5. (a) Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a func¸a˜o f(x) = ex 2 , expandido em torno de a = 0. (b) Usando o polinoˆmio de Taylor para et, substitua t = x2 para obter uma aproximac¸a˜o para ex 2 . Compare o resultado com (a). 6. Aplique a fo´rmula de Taylor para expressar o polinoˆmio p(x) = x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 como um polinoˆmio em poteˆncias de (x− 1). 7. Use o polinoˆmio de Taylor para mostrar que (1 + t)n = n∑ j=0 ( n j ) tj , para n inteiro e onde ( n j ) = n!(n−j)!j! e´ o coeficiente binomial. 8. Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar f(x) = ex, para x ∈ [−1, 1], pelo polinoˆmio de Taylor de grau 3 expandido em torno de a = 0. 9. Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 2 para a func¸a˜o f(x) = exsen(x) em torno do ponto a = 0. Determine um limitante superior do erro para essa aproximac¸a˜o quando x ∈ [−pi/4, pi/4]. 10. Determine um valor de n suficiente para que |ex − pn(x)| ≤ 10−5, para −1 ≤ x ≤ 1, onde pn(x) e´ o polinoˆmio de Taylor expandido em torno de a = 0. 11. (opcional) Para f(x) = ex, encontre a aproximac¸a˜o por polinoˆmio de Taylor que garante um erro menor do que 10−7 para todo x ∈ [−1, 1]. Usando esta aproximac¸a˜o, escreva um programa que calcule ex. Compare o resultado de sua func¸a˜o com o resultado da func¸a˜o exp() da linguagem de programac¸a˜o que voceˆ utiliza. 12. (opcional) Responda as questo˜es abaixo: 1 (a) Obtenha uma expansa˜o usando polinoˆmios de Taylor para f(t) = 1/(1 + t2), em torno do ponto a = 0. (Dica: Use a expansa˜o em polinoˆmio de Taylor para 1/(1 − x) desenvolvida no exerc´ıcio acima aplicada no ponto x = −t2.) (b) Obtenha uma aproximac¸a˜o para g(x) = tan−1(x). Fac¸a isso integrando o resultado do item (a), ja´ que: tan−1(x) = ∫ x 0 f(t)dt = ∫ x 0 1 1 + t2 dt (c) Sabendo que tan−1(1) = pi/4, use a aproximac¸a˜o acima para estabelecer que pi ≈ 4 n∑ k=1 (−1)k+1 2k − 1 , para n “grande”. (d) Determine quantos termos da fo´rmula do item (c) seria suficiente para obter uma aproximac¸a˜o de pi com erro inferior a 10−10. Esta e´ uma boa forma de determinar o nu´mero pi? II. Aritme´tica de Ponto Flutuante e Noc¸o˜es Ba´sicas sobre Erros 13. Converta os nu´meros em representac¸a˜o bina´ria para sua representac¸a˜o decimal, e os nu´meros em representac¸a˜o decimal para bina´ria. (a) (110011)2 (c) (101.11011)2 (e) (4.25)10 (b) (0.1000001)2 (d) (366)10 (f) (29/6)10 14. Seja um sistema de aritme´tica de ponto flutuante de quatro d´ıgitos na mantissa, base decimal e que usa o arredondamento. Dados os nu´meros: x = 0.9370× 104 y = 0.1272× 102 efetue as operac¸o˜es: x + y e x × y. Obtenha o erro relativo no resultado supondo que x e y esta˜o exatamente representados. 15. Sejam os seguintes nu´meros: x = 0.5289, y = 0.8012 e z = 0.6024, e considere um sistema de ponto flutuante com mantissa de 4 d´ıgitos e base decimal. Mostre que: (a) x(y + z) 6= x× y + x× z (b) (x+ y) + z 6= x+ (y + z) neste sistema. 16. Determine os erros relativos das quatro expresso˜es do exec´ıcio anterior, considerando como valor exato o determinado pela calculadora com todas as casas decimais. 17. Seja uma ma´quina fict´ıcia que opera em um sistema de ponto flutuante de base bina´ria e que representa os nu´meros usando 32 bits. Seja o seguinte nu´mero representado nesta ma´quina: 0 20 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1613 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 2926 30 31 0 0 0 00 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 Se o primeiro bit indica o sinal do nu´mero, o segundo e´ o sinal do expoente, os pro´ximos seis sa˜o o expoente, e os vinte e quatro u´ltimos sa˜o a mantissa, responda a`s seguintes perguntas: (a) O nu´mero esta´ normalizado? Se na˜o, normalize-o. (b) O nu´mero e´ positivo ou negativo? (c) Em mo´dulo, o nu´mero e´ menor do que 1 ou maior do que 1? (d) Como ficaria a representac¸a˜o deste nu´mero no sistema F(10,6,-10,10) (i.e., base decimal, 6 d´ıgitos na mantissa, e expoente variando de {−10, · · · , 10})? 18. Considere uma ma´quina cujo sistema de representac¸a˜o de nu´meros e´ definido por F (10, 4,−5, 5) (i.e., base decimal, 4 d´ıgitos na mantissa, e expoente no intervalo {−5, · · · , 5}.). Pede-se: (a) Qual o menor e maior nu´mero em mo´dulo representados neste sistema? (b) Como sera´ representado o nu´mero 73.758 nesta ma´quina, se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento? (c) Se a = 42450 e b = 3 qual o resultado de a+b? (d) Qual o resultado da soma: S = 42450 + 3 + 3 + · · ·+ 3︸ ︷︷ ︸ 10 vezes = 42450 + 10∑ k=1 3 (supondo que o computador efetua as operac¸o˜es da esquerda para a direita). (e) Qual o resultado da soma: S = 10∑ k=1 3 + 42450. 19. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante F (2, 4,−4, 5). Qual o menor e maior nu´mero em mo´dulo representados neste sistema? 20. Deseja-se calcular: S = 10∑ k=1 2 k2 no sistema F (10, 3,−5, 4), usando arredondamento em todas as operac¸o˜es. Assim, efetue a soma: (a) da direita para a esquerda; (b) da esquerda para a direita. Os valores obtidos em (a) e (b) sa˜o iguais? 21. Considere o sistema F (2, 8,−10, 10). Represente no sistema os nu´meros: x1 = √ 8, x2 = e 2, e x3 = 3.57. Existe algum com representac¸a˜o exata neste sistema? 22. Quantos nu´meros podem ser representados no sistema F (2, 3,−1, 2)? Represente os nu´meros x1 = (0.38)10, x2 = (5.3)10, e x3 = (0.15)10. 23. Tente evitar perda de d´ıgitos significantes no ca´lculo das seguintes func¸o˜es: (a) 1−cos(x)x2 , para x pro´ximo de zero; (b) sen(a+ x)− sen(a), para x pro´ximo de zero; (c) log(1 + x)− log(x), para x grande. Isto e´, tente reescrever as func¸o˜es acima de forma que na˜o haja subtrac¸a˜o de dois nu´meros quase iguais. Use identidades trigonome´tricas nos itens (a) e (b). 24. Use a aproximac¸a˜o por polinoˆmio de Taylor para evitar perda de d´ıgitos significantes nas seguintes fo´rmulas quando x esta´ pro´ximo de zero: (a) e x −1 x (b) e x −e−x 2x Refereˆncias [1] Franco, N. B., Ca´lculo Nume´rico, Prentice Hall, 2006. [2] Atkinson, K., Elementary Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley & Sons, 1993. [3] Ruggiero, M., e Lopes, V., Ca´lculo Nume´rico: Aspectos Teo´ricos e Computacionais, Segunda Edic¸a˜o, Makron, Books, 1998.
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