Gabarito 2ª Lista de Exercícios Cálculo Numérico

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Ca´lculo Nume´rico: Lista de Exerc´ıcios 2
Me´todos para Encontrar Ra´ızes Reais de Func¸o˜es Reais
1. (a) x6 = 0.6485
(b) x6 = 0.5704
2. (a) x6 = 2.04375
(b) x6 = 1.46406
3. Bissec¸a˜o: x7 = 2.649; Falsa Posic¸a˜o: x3 = 2.646
4. (a) Em x ∈ [0.0, 1.0] : x6 = 0.60938
(b) Em x ∈ [−1.0, 1.0] : x5 = −0.8125
−0.4
−0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x
) =
 ex
 
−
 
3x
x
Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 4A
f(x)
−0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
−1 −0.5 0 0.5 1
f(x
) =
 x3
 
+
 c
o
s(x
)
x
Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 4B
f(x)
5. (a) O me´todo divergira´ se ϕ(x) = − ln(x).
(b) O me´todo convergira´ se ϕ(x) = e−x.
6. (a) O me´todo convergira´ para a raiz α ∈ [0.0, 0.5].
(b) O me´todo divergira´.
(c) O me´todo na˜o pode ser usado pois ϕ(x) e ϕ′(x) na˜o esta˜o definidas ∀x ∈ [0.0, 0.5].
7. Newton-Raphson (x0 = 2.0): x3 = 2.8298; Secante (x0 = 2.0 e x1 = 3.0): x6 = 2.8353
8. (a) Newton-Raphson (x0 = 1.0): x3 = 0.865474; Secante (x0 = 0.0 e x1 = 1.0): x6 = 0.865466
(b) Newton-Raphson (x0 = 2.0): x4 = 1.33084; Secante (x0 = 1.0 e x1 = 2.0): x6 = 1.33084
9. (a) xk+1 = xk − tan(xk)
(b) xk+1 = xk +
cos(xk) + 1
sin(xk)
O me´todo de Newton-Raphson tem dificuldade em convergir quando f ′(ξ) = 0, que e´ o que acontece em (b).
1
10. (a) xk+1 = 2xk − ax2k
(b) Demonstrac¸a˜o.
(c) Para utilizar este me´todo, deve-se escolher x0 ∈ (1/2a, 3/2a) e calcular uma aproximac¸a˜o para 1/9 com
o resultado do item (a). Multiplica-se enta˜o a aproximac¸a˜o obtida para 1/9 por 10 para obter 10/9 nesse
computador.
11. (a) xk+1 =
x2k + b
2xk
(b) Newton-Raphson (x0 = 1.0): x3 = 1.4142
12. xk+1 = xk − 1
3
(xk − 2); Newton-Raphson (x0 = 2.5): x10 = 2.0087
A convergeˆncia demora por f(x) = (x− 2)3 ter 2.0 como raiz mu´ltipla.
13. (a) Demonstrac¸a˜o.
(b) A sequeˆncia na˜o converge.
(c) Sim, pois qualquer que seja f(x), |ϕ′(x)| deve ser menor que 1 para que o me´todo possa convergir.
14. (a) Em x ∈ [−0.5, 0.5], Newton-Raphson (x0 = 0.5): x4 = 0.0
(b) Em x ∈ [0.0, 2.0], Newton-Raphson (x0 = 2.0): x5 = 0.90479
(c) Em x ∈ [0.0, 2.0], Newton-Raphson (x0 = 2.0): x4 = 1.431002
−1.5
−1
−0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
−1 −0.5 0 0.5 1
f(x
) =
 x/
2 −
 ta
n(x
)
x
Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 14A
f(x)
−0.4
−0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 1.4
 1.6
−1 −0.5 0 0.5 1
f(x
) =
 2c
os
(x)
 − 
ex
/2
x
Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 14B
f(x)
−10
−5
 0
 5
 10
 15
 20
 25
 30
 0 0.5 1 1.5 2
f(x
) =
 x5
 
−
 
6
x
Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 14C
f(x)
2
15. Deduc¸a˜o.
16. (a) x8 = 0.71475
(b) x4 = 0.71480
17. Pode-se utilizar o me´todo de Newton-Raphson para deduzir que xk+1 =
xk(1− ln(xk))
xk + 1
.
Estabelecendo, por exemplo, que a raiz α ∈ [0.4, 0.9], x0 = 0.9, � = 10−4 tem-se que x4 = 0.567143.
3