Cálculo II Lista de Exercícios Gradiente e derivada direcional

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Cálculo Diferencial e Integral III – Prof. Robson Rodrigues da Silva 
http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br 
 
 8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional 
 
Questão 01. Calcule o gradiente das seguintes funções nos pontos indicados 
 
a) f(x,y,z) = x – 2y + 3z no ponto P(1,1,2) 
b) f(x,y) = ln(
22 yx 
) no ponto P(3,4) 
c) g(x,y) = e
y
.senx no ponto P(0,0) 
d) z = 
1y
1x


 no ponto P(1,2) 
e) f(x,y,z) = ln(x
2
 + y
2
 +z
2
) e P(1,1,-1) 
f) 222 zyxe.zw  e P(0,0,0) 
Questão 02. Represente geometricamente o gradiente da função f(x,y) = x
2
y – 3xy no ponto P(1,2). 
 
Questão 03. Calcule o ângulo  formado pelos gradientes das funções f(x,y) = (x+y)e
x+y
 e g(x,y) = y.e
x
 
no ponto P(0,0). 
Questão 04. Calcule o ângulo  formado pelos gradientes da função f(x,y) = ln(
x
y
) nos pontos 
A
)
4
1
,
2
1
(
 e B(1,1). 
 
Questão 05. Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x,y) = 3x
2
y + xy no ponto P(1,2) e na 
direção do vetor 
v
 = ( 3,-4). 
 
Questão 06. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = 3x
2
y + y no ponto P(-1,2) na direção do 
vetor 
v
 = ( 2, 0). 
 
Questão 07. Sendo f(x,y) = x
2
 + y
2
 , calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,2), nas seguintes 
direções: 
a) na direção do vetor 
v
 =(- 3, 4); 
b) na direção  = 30
o
 e sentido crescente do eixo y; 
c) na direção da reta y = 2x e sentido crescente do eixo y. 
 
Questão 08. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = e
x
 . cosy, no ponto P(0,0) e na direção do 
vetor 
)3,1(v 
. 
 
Questão 09. Determine a derivada direcional da função z = 2x
2
 + y
2
 – 3z
2
, no ponto P(1,2,3) na 
direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3) e Q(3,5,1) no sentido de P para Q. 
 
Questão 10. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = y.e
x
 no ponto P(0,3) e na direção da reta 
tangente à parábola de equação y = x
2
 + 3. 
 
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Gabarito da 8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional 
 
Questão 01. 
a) 
f
= ( 1,-2,3) b) 
f
= (
25
4
,
25
3
) c) 
g
=(1,0) d) 
z
= (1,0) 
e) 
f
= (
3
2
,
3
2
,
3
2

) f) 
w
= (0,0,1) 
 
Questão 02. 
f
= (-2,-2) 2 
 
 
 
 
 
 
 -1 1 
 
Questão 03.  = 45° 
Questão 04.  = arc cos 
10
103
 
Questão 05. 
 
5||v|| 
  
)
5
4
,
5
3
(u


 
 
yxy6
x
f



  
14)2,1(
x
f



 e 
xx3
y
f 2 


  
4)2,1(
y
f



 
 
)4,14()2,1(f 
 
 
)2,1(fD
u
u).2,1(f
 = 
5
26
5
16
5
42

. 
 
Questão 06. 
 
2||v|| 
  
i)0,1(u 
  
fD
i x
f


 
 
x
f


 = 6xy  
x
f


(-1,2) = -12  
12)2,1(fD
i

. 
 
Questão 07. 
a) 
5||v|| 
  
)
5
4
,
5
3
(u


 e 
)4,2()2,1(f 
 
)2,1(fD
u
u).2,1(f
= 
2
5
16
5
6


. 
b) 
)
2
1
,
2
3
()30sen,30(cosu 
 e 
)4,2()2,1(f 
  
)2,1(fD
u
23 
 
 
 
c) Como y = 2x, temos x = 0  y = 0 e x = 1  y = 2. Assim temos dois pontos da reta A(0,0) e B(1,2). 
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Agora, fazendo 
ABv 
= (1,2) temos assim um versor diretor da reta. 
5||v|| 
  
)
5
2
,
5
1
(u 
 e 
)4,2()2,1(f 
  
)2,1(fD
u
 
52
5
510
5
10
5
8
5
2

. 
 
Questão 08. 
 
2||v|| 
  
)
2
3
,
2
1
(u 
 
 
x
f


= e
x
.cosy  
x
f


(0,0) = 1 e 
y
f


= -e
x
seny  
x
f


(0,0) = 0 
 
)0,1()0,0(f 
 
 
2
1
)0,0(fD
u

 
 
Questão 09. 
 
)2,3,2(PQv 
  
17||v|| 
  
)
17
2
,
17
3
,
17
2
(u


 
 
)18,4,4()3,2,1(f 
 
 
 
17
1756
17
56
17
36
17
12
17
8
)3,2,1(fD
u

. 
 
Questão 10. 
 
 
 Observe que a direção pedida, é a 
 direção do eixo x, ou seja, do vetor 
i
. 
 Assim, 
x
f
fDfD
iu 


 e como 
x
f


= ye
x
 
 temos 
3)3,0(
x
f
)3,0(fD
i



