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115 
7. Vibrações Cristalinas 
 
7.1 - Falhas do Modelo de Íons Estáticos 
 
Nos últimos capítulos, vimos que a ideia de estrutura cristalina como um conjunto 
de íons ocupando posições regulares e estáticas no espaço (modelo de íons estáticos) foi 
capaz de explicar diversas observações experimentais, desde a difração de ondas por 
cristais até as propriedades dinâmicas de elétrons nos mesmos. 
No entanto, há muitas outras observações experimentais que o modelo de íons 
estáticos não pode explicar. Entre elas: 
- O calor específico dos metais a baixas temperaturas, como vimos 
anteriormente, tem uma dependência característica 
3BTATc 
. O termo 
linear em T é devido aos elétrons livres, porém o termo cúbico ainda não foi 
justificado. Para materiais isolantes, o calor específico a baixas temperaturas é 
da forma 
3)2exp( BTTkEAc Bg 
, onde primeiro termo, devido aos 
elétrons, é bastante diferente do caso do metálico
1
, mas a dependência cúbica 
também está presente. Conclui-se portanto que esta dependência deve estar 
associada a alguma outra forma de excitação térmica, não eletrônica. 
- Ao serem aquecidos, os materiais se expandem (expansão térmica) e 
eventualmente fundem. Estes fenômenos obviamente não podem ser 
explicados pelo modelo de íons estáticos. 
- Estudamos no capítulo anterior o modelo de condutividade térmica de Drude 
que supunha os elétrons livres como transportadores da energia térmica. Esta 
suposição tem fundamento experimental, já que se verifica que os metais 
conduzem calor de maneira muito mais eficiente que os isolantes. No entanto, 
apesar de usualmente menor que a dos metais, a condutividade térmica dos 
isolantes não é nula, devendo portanto haver um outro mecanismo de 
transporte de energia além do eletrônico. 
Esta lista poderia se estender muito mais
2
, incluindo fenômenos como o 
espalhamento inelástico de luz e de nêutrons por cristais, o fenômeno da 
supercondutividade, a propagação do som em cristais, etc. Mas já está claro que devemos 
ir além do modelo de íons estáticos, o que faremos neste Capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
1
 A forma deste termo se justifica pois em um isolante os elétrons precisam ser excitados termicamente com 
energias acima da energia do gap (Eg) para contribuírem para o calor específico. 
2
 Veja o Capítulo 21 do Ashcroft. 
 116 
7.2 - Aproximação Harmônica 
 
Iniciaremos nosso estudo das vibrações cristalinas por uma aproximação simples, 
mas que explica uma enorme variedade de fenômenos associados a vibrações, a 
aproximação harmônica. Suponha um cristal contendo N átomos com condições de 
contorno periódicas. Estes N átomos estão distribuídos por Ncel células unitárias e há p 
átomos na base, de modo que 
celpNN 
. Designamos cada célula unitária por um vetor 
da Rede de Bravais R e cada vetor da base por τ. Assim, em nosso cristal existem Ncel 
vetores R e p vetores τ. Tais vetores são fixos (independentes do tempo) e descrevem a 
geometria de equilíbrio do cristal estático. 
Para descrevermos a dinâmica destes N átomos, precisamos determinar as 
posições r de cada um deles como função do tempo, ou seja, 
)(, tRr
. A energia potencial
3
 
U do cristal é uma função do conjunto dos N vetores posição, que denotaremos por 
 r
. 
Sendo assim, é uma função de 3N variáveis, já que cada um dos vetores r tem 3 
coordenadas cartesianas. Assim: 
 
  rUU 
 . 
 
Quando os átomos estão em suas posições de equilíbrio, ou seja, 
0
,,   RR rRr 
, U 
tem seu valor mínimo U0, ou seja, 
   00 UU r
. Suponha agora que cada átomo sofra um 
pequeno deslocamento 
,Ru
 a partir do equilíbrio, de modo que 
 
 ,
0
,, RRR urr 
 . 
 
O deslocamento é pequeno o suficiente para que átomo não perca sua "identidade", ou 
seja, cada átomo permanece mais próximo de suas própria posição de equilíbrio original 
do que de qualquer outra. Assim, estamos considerando portanto pequenas vibrações em 
torno das posições de equilíbrio, e não deslocamentos arbitrariamente grandes. Esta 
situação está ilustrada na Fig. 7.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 Iremos supor conhecida a energia potencial, sem entrarmos em considerações sobre como ela é calculada. 
Na verdade, este pode ser um problema bem complicado computacionalmente. 
(7.1) 
(7.2) 
Figura 7.1 - Os círculos brancos representam as posições de equilíbrio R + τ e os círculos pretos são as 
posições atômicas instantâneas r. 
R+τ 
r 
u 
 117 
 
 
Vamos agora calcular a energia potencial neste caso. Antes, vamos simplificar por 
um momento a notação, definindo r, 0r e u como vetores de 3N coordenadas: 
 































































NNN
u
u
u
u
r
r
r
r
r
r
r
r
3
2
1
0
3
0
0
2
0
1
3
2
1
 ; ;







urr 0
 
 
 
Nesta notação, a Equação (7.1) torna-se simplesmente 
urr 0 
. Repare ainda que o 
índice μ, que vai de 1 a 3N, serve para designar simultaneamente o vetor da célula 
unitária R (que vai de 1 a Ncel), o vetor de base τ (que vai de 1 a p) e a coordenada 
cartesiana que vamos indicar por α (α = x, y, z). 
 Se o deslocamento u é pequeno, podemos utilizar a expansão de Taylor em 3N 
coordenadas: 
 

0
2
2
1
0
)()()()()( UUUUU  uururr 00
 
 
 O primeiro termo da expansão é a energia de equilíbrio,
0)( UU 
0r
. O segundo 
termo é 
 
0)(
03
3
1
10












N
N
u
U
u
u
U
uU u
 , 
 
ou seja, o segundo termo é nulo pela própria definição de equilíbrio, que é a configuração 
na qual as derivadas primeiras se anulam. O terceiro termo será 
 




 u
uu
U
u
U
u
u
u
u
u
u
u
uU
N
N
N
N
N
N
0
2
3,1
3,1
03
3
1
1
3
3
1
10
2
2
1
2
1
 
2
1
)(





































u
 
 
(7.3) 
(7.4) 
(7.5) 
(7.6) 
 118 
Em notação matricial, este termo se escreve 
uu 
2
1
, onde Φ é uma matriz (3N  3N)4: 
 

























033
2
013
2
031
2
011
2
NNN
N
uu
U
uu
U
uu
U
uu
U



 
 
A matriz Φ é conhecida como matriz de constantes de força (MCF)5, por analogia com 
o oscilador harmônico simples, em uma dimensão, onde a derivada segunda da energia 
potencial é a constante de força ou constante de mola. No nosso caso tridimensional, é 
como se cada par de átomos e direções estivesse ligado por uma mola de constante 
 uuU 
2
, como ilustra a Fig. 7.2. Obviamente, espera-se que Φ decaia com 
a distância entre os átomos (quanto maior a distância, menor a magnitude da interação). 
Lembre-se, mais uma vez, que os índices μ e ν indicam conjuntos combinados de 
posições e direções cartesianas: 
),,(  R
e 
),,(   R
. 
Assim, até 2
a
 ordem na expansão de Taylor, a energia potencial assume a forma 
compacta e elegante: 
uu 
2
1
0UU
 . 
Esta é a aproximaçãoharmônica. 
 
A constante de força Φ pode ser expressa de uma outra maneira, também 
bastante intuitiva, pela razão entre a componente da força exercida sobre um átomo 
quando um outro átomo sofre um deslocamento infinitesimal em uma dada direção. As 
forças nos átomos, expressas na nossa notação definida acima, são também componentes 
de um vetor de 3N coordenadas, 





















NF
F
F
F
3
2
1
 



F
, 
onde cada componente F é dada por 
 uUF 
. Em notação matricial
6
: 
 
u
u
F 



U
 . 
 
4
 No produto matricial u.Φ.u, o vetor deslocamento do lado direito é um vetor coluna (N1) e o vetor do 
lado direito é seu transposto (N1), de modo que o resultado da operação u.Φ.u é um escalar. 
5
 Ou matriz de derivadas segundas, ou ainda matriz Hessiana. 
6
 Tente mostrar o resultado da segunda igualdade. Para isso, use o fato que a matriz Φ é simétrica, ou seja, 
Φ = Φ, que mostraremos a seguir. 
(7.7) 
(7.9) 
(7.10) 
(7.8) 
 119 
 
A constante de força Φ é, portanto, 




 

u
F
u
F




0
 . 
As Equações (7.10) e (7.11) mais uma vez têm uma analogia clara com o oscilador 
harmônico simples (F = - kx). Mais uma vez, a Fig. 7.2 pode ser usada para interpretar 
este resultado: realizamos um deslocamento infinitesimal δuν em um certo átomo-direção 
ν e medimos a variação na força δFμ causada por esse deslocamento em outro átomo-
direção μ. A razão entre esses duas quantidades é o elemento Φ da MCF. Usaremos esta 
definição como um método prático para o cálculo da MCF nos exemplos que virão a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A matriz de constantes de força desempenha um papel fundamental na teoria de 
vibrações cristalinas. É portanto interessante analisar em detalhe algumas de suas 
propriedades. Estas propriedades consistem em simetrias: 
 (1) Φ é uma matriz simétrica, ou seja, 
 
. Isto decorre do fato de que a 
ordem das derivadas não importa: 
 


 






0
2
0
2
uu
U
uu
U . 
 
Note que, pela definição (7.11), isto implica que a força sentida pelo átomo-direção  
quando se realiza um deslocamento infinitesimal do átomo-direção , é a mesma força 
sentida átomo-direção  quando se realiza um deslocamento infinitesimal no átomo-
direção . 
 
 (2) A soma dos elementos de uma linha (ou coluna) de Φ é igual a zero. Isto pode 
ser demonstrado da seguinte maneira. Façamos um deslocamento 
du 
 idêntico para 
todos os átomos e direções. A força resultante deve ser nula, pois a posição relativa dos 
átomos não se alterou. Assim, temos 
 
(7.11) 
Figura 7.2 – Interpretação física da constante de força Φ. Note que os índices  e  se referem não 
apenas a átomos do cristal, mas também a direções de deslocamentos atômicos. 
(7.12) 
δF 
δu 
Φ 
 120 















 
















0
0
1211
dd
d
uF
, 
 
como queríamos demonstrar. Este resultado pode ser visto também como uma 
conseqüência da 3
a
 Lei de Newton: vamos supor que o átomo-direção 1 é deslocado em 
por uma distância d. O vetor força resultante será: 
 


































2
1
21
11
0 F
F
d
d
uF
 
 
Como não existem forças externas, a força sentida pelo átomo-direção 1 deve cancelar 
exatamente a soma das forças sentidas pelos demais átomos: 
0

F
, o que implica 
em 
01 


, ou seja a soma dos elementos da primeira coluna é zero. O mesmo 
argumento pode ser usado para qualquer uma das colunas. 
 
 
7.3 - Modos Normais 
 
 Agora sabemos, em princípio, calcular as forças atuantes sobre os íons quando 
neles se fazem deslocamentos u, através da Eq. (7.10). Podemos então descrever a 
dinâmica dos mesmos. Vamos retornar à nossa notação original, na qual escrevemos os 
vetores deslocamento como: 
 
ztuytuxtut zyx ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ,,,,,,,  RRRRuu 
 , 
 
ou seja, ao invés de um vetor de 3N coordenadas, temos novamente um vetor de 3 
coordenadas para cada um dos N íons da rede e reintroduzimos explicitamente a 
dependência temporal. 
A equação de movimento para a componente α (x, y ou z) da posição do átomo 
localizado em R + τ é 
 
  

   ,, ,,,,,,,,, R RRRRRR
u uFuM 
 . 
 
Note que 
M
é a massa do átomo da base τ. 
Fazemos agora o seguinte ansatz para o vetor deslocamento: 
 
(7.15a) 
(7.17) 
(7.15b) 
(7.16) 
 121 
 tie
M
t )(, )(ˆ
1
)( kRk
k
R kεu





 . 
 
Trata-se simplesmente de uma expansão de Fourier para os vetores deslocamento. Cada 
um dos termos da expansão de Fourier (7.18) corresponde a uma solução onde todos os 
íons associados à mesma posição de base τ vibram na mesma direção, dada pelo vetor de 
polarização 
)(ˆ kε
. Íons distantes um do outro por um vetor R vibram com uma 
diferença de fator de fase 
Rkie
. A semelhança da Eq. (7.17) com a do oscilador 
harmônico simples sugere que a dependência temporal de cada um dos termos seja 
oscilatória, da forma 
tie 
. Buscamos portanto as soluções com vetor de onda k e 
frequência (k) bem definidos, correspondendo a cada um dos termos da expansão 
(7.18). Estas soluções são conhecidas como modos normais
7
: 
 
 tie
M
t )()(ˆ
1
)( kRkk kεq




 . 
 
 Agora, introduzimos novamente a idéia de condições de contorno periódicas, 
que vimos na teoria do gás de elétrons livres (veja a Seção 5.1). Naquela ocasião, as 
condições foram impostas sobre as funções de onda eletrônicas. Agora, fazemos o mesmo 
com os deslocamentos: 
 
 ,, iiN aRR uu 
 , 
 
onde ai são os vetores primitivos da rede e Ni é o número de células unitárias do cristal na 
direção correspondente. De maneira idêntica ao que foi feito na Seção 5.1 (veja a Eq. 
(5.38)), chegamos à expressão para os vetores k permitidos: 
 
3
3
3
2
2
2
1
1
1 bbbk
N
n
N
n
N
n

 , 
 
onde bi são os vetores primitivos da rede recíproca e ni são inteiros. Estes são exatamente 
os mesmos k's permitidos para os estados eletrônicos, e estão também restritos à 1
a
 ZB. 
 
 Nosso objetivo agora é encontrar as frequências dos modos normais e os vetores 
de polarização. Substituindo a expressão (7.19) na equação de movimento (7.17), 
obtemos: 
 

 


 

 





,,
,,2
)()(
R
Rk
RR
Rk kk
M
e
M
e
M
ii 
 
 
7
 Soluções mais gerais podem sempre ser escritas como uma combinação linear de modos normais. 
(7.18) 
(7.20) 
(7.21) 
(7.22) 
(7.19) 
 122 
 
 


 









 





 
,
,
,
2 )()( kk
R
RRk
RR
MM
e i. 
 
 
Agora, de maneira semelhante ao que fizemos na Eq. (7.3) para os índices generalizados 
),,(  R
, vamos definir novos índices generalizados 
),( i
 e 
),(  j
. Esses 
novos índices combinam as coordenadas cartesianas e os átomos da base em um único 
índice. Assim, i e j percorrem valoresde 1 até 3m (em três dimensões, é claro). Desta 
forma, a Eq. (7.23) se simplifica: 
 
  
 







 




j
j
ji
i
ji
i
MM
e
)()(
,2 kk
R
RRk
RR 
 (7.23a) 
Em notação matricial, esta equação se escreve 
 
)(ˆ)()(ˆ2 kεkDkε 
, 
 
onde 
 




R
RRk
RRk
)(
,
1
)( iji
ji
ij e
MM
D
 
 
são os elementos da matriz dinâmica D(k)
8
. Seus autovalores 2 são as frequências dos 
modos normais ao quadrado e seus autovetores são os vetores de polarização. A obtenção 
destas quantidades é feita portanto através da diagonalização da matriz dinâmica. Trata-se 
de uma matriz (3p3p), ao contrário da matriz de constantes de força que tem dimensões 
(3N3N). O uso de condições de contorno periódicas, e a consequente formulação do 
problema no espaço recíproco, mais uma vez reduz nosso trabalho consideravelmente
9
. 
 
 Vamos explorar as potencialidades do formalismo desenvolvido até agora através 
de alguns exemplos. 
 
(A) Cristal unidimensional com base monoatômica 
Este é o caso mais simples possível. Suponha um cristal monoatômico 
unidimensional de parâmetro de rede a onde cada íon interage de forma harmônica 
(constante de mola igual a K) apenas com seus primeiros vizinhos. Esta situação está 
ilustrada na Fig. 7.4. 
 
 
 
8
 Note que D(k) não depende de R, já que, devido à simetria de translação, os elementos da matriz de 
constantes de força dependem apenas da posição relativa entre os átomos. 
9
 Ao invés de diagonalizar uma matriz (3N3N), precisamos apenas diagonalizar uma matrix (3p3p) para 
cada um dos Ncel k's na 1
a 
ZB. 
(7.23) 
(7.24) 
(7.25) 
 123 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular a matriz de constantes de força. Em 1 dimensão, a matriz terá 
NN elementos: 
 



 

u
F
uu
U




0
2 , 
 
ou seja, como já vimos, para um deslocamento infinitesimal 
u
 no átomo , o elemento 
de matriz 

 será igual à razão entre a força 
F
no átomo  resultante deste 
deslocamento e o próprio deslocamento, com sinal negativo. Como está ilustrado na Fig. 
7.5, podemos calcular facilmente a força resultante pela Lei de Hooke, e o resultado 
obtido é 
 











 


 outroqualquer ,0
1 se ,
 se ,2
uK
uK
F
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz Φ tem portanto a forma 
 






























KKK
KK
K
KK
KKK
KKK
KKK
20000
200000
0
00200
0020
0002
0002





 . 
 
Figura 7.4 – Cristal unidimensional de parâmetro de rede a com condições de contorno periódicas e 
interação harmônica entre 1
os
 vizinhos. 
1 3 2 N 
… 
1 a 
K K K K K K K 
(7.26) 
(7.27) 
 
K K 
 -1  +1 
u 
Figura 7.5 – Um deslocamento infinitesimal no átomo  produz forças apenas nos seus vizinhos mais 
próximos e nele mesmo. 
(7.28) 
 124 
 Vamos agora calcular a matriz dinâmica. Neste exemplo unidimensional com 
apenas 1 átomo na base, a matriz dinâmica tem dimensões (11), ou seja, é apenas um 
número. Sendo assim, podemos ignorar os índices i e j da expressão (7.25), e supondo 
que todos os átomos têm a mesma massa M, obtemos: 
 
)cos1(
2
)2(
11
)(
)(
ka
M
K
KeKeK
M
eD
M
kD ikaika
XXik
 

 

 . 
 
Neste caso, a matriz dinâmica é igual ao seu próprio autovalor 
2
. Podemos então 
facilmente encontrar as frequências dos modos normais: 
 
)cos1(
2
ka
M
K

 . 
 
Este resultado está mostrado no gráfico da Fig. 7.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em 1 dimensão, o vetor de polarização (autovetor da matriz dinâmica) é 
simplesmente a direção x. Os deslocamentos dos modos normais são, portanto, 
 
)(1
)(
tkXi
k e
M
tq
 
, 
 
onde 
aX  
 são as posições atômicas. Vamos analisar alguns destes deslocamentos 
(em t = 0). 
Para k = 0, os deslocamentos de todos os átomos são idênticos, como mostra a 
Fig. 7.7(a). Ou seja, este modo normal corresponde a uma translação do cristal como um 
todo, não representando portanto um movimento de vibração. Assim pode-se entender 
porque a frequência deste modo é nula, (0)=0: como não há deslocamentos relativos 
entre os átomos, o modo de translação tem energia potencial nula. 
 
 
 
(7.29) 
(7.30) 
k 
(k) 
/a -/a 
M
K4
 
Figura 7.6 – Frequências dos modos normais de um cristal monoatômico unidimensional para k na 1a 
Zona de Brillouin. 
(7.31) 
 125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
ak 
, uma análise da Equação (7.31) revela que deslocamentos em 
átomos vizinhos são opostos, como mostra a Fig. 7.7(b), ou seja, 
),)1((),( tautau aa    
, qualquer que seja t. Este padrão de deslocamentos 
representa uma onda estacionária, ou seja, não transporta energia. 
Para um k qualquer, o padrão de deslocamentos é como o mostrado na Fig. 7.7(c) 
e representa uma onda elástica propagante. A velocidade de grupo da onda propagante é: 
 
2
cos
ka
M
K
a
dk
d
vg 
 
 
e está mostrada na Fig. 7.8. Note que vg vai a zero para k = /a, como se espera de uma 
onda estacionária. Note também que vg se aproxima de uma constante no limite 0k , 
indicando que a relação de dispersão é aproximadamente linear na origem, ou seja, 
ck
, com 
MKac 
. A constante c é a velocidade da onda elástica no limite 
0k
. Isto nada mais é do que a velocidade do som no cristal, já que ondas sonoras são 
ondas elásticas longitudinais com comprimento de onda muito grande comparado com as 
distâncias interatômicas. A teoria de vibrações harmônicas é portanto capaz de prever, a 
partir de quantidades microscópicas como a massa, constante de mola e parâmetro de 
rede, uma grandeza macroscópica mensurável como a velocidade do som. 
 
 
(a) k = 0 
(b) k = /a 
(c) k qualquer 
 = 2/k 
Figura 7.7 – Alguns modos normais. (a) Para k = 0, modo de translação. (b) Para k = /a, onda 
estacionária com átomos se movendo em oposição de fase com seus vizinhos. (c) Modo com vetor de 
onda k qualquer. 
(7.32) 
 126 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(B) Cristal unidimensional com base diatômica 
Vamos supor agora um cristal unidimensional com dois átomos na base, um com 
massa M1 e outro com massa M2, como mostra a Fig. 7.9. Vamos escolher a origem da 
célula unitária localizada na posição do átomo 1. 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, para determinar a MCF, será mais conveniente usar a notação menos concisa 
em que deixamos explícito que os índices da MCF indicam a posição da célula unitária e 
do átomo da base: 
  ,,R
. Especificamente, para este sistema unidimensional, 
podemos ignorar o índice α que indica as coordenadas cartesianas. Desta forma, os 
elementos da MCF são: 
 
0
2
,







XX
XX
uu
U
, 
 
Mais uma vez consideramos interações harmônicas entre 1
os
 vizinhos com uma constante 
de mola K. Desta forma, os únicos elementos não-nulos da matriz de constantes de força 
são 
 
K
Kv


 1,2)1(2)1(,11,22,1
2,21,1 2

 
 
onde o índice indica a célula unitária X e o segundo índice (1 ou 2) indica o átomo da 
base τ. 
 Neste caso, a matrix dinâmica será 
 




 


 )(
,,
1
)(
XXik
e
MM
kD ττττ

 
 
Esta matriz dinâmica terá (22) dimensões e terá os seguintes elementos: 
Figura 7.9 – Cristal 1D com dois átomos de massas diferentes por célula unitária. 
K K K K K 
M1 M1 M2 M2 
a 
(7.33) 
(7.36) 
(7.34) 
(7.35) 
k 
/a 
c 
Figura 7.8 – Velocidade de grupo em função do vetor de onda. 
vg 
 127 
 



























21
)(
1,2
21
21
21
)(
2,1
21
12
2
)(
2,2
22
22
1
)(
1,1
11
11
1
)(
1
)(
21
)(
21
)(
MM
KKe
e
MM
kD
MM
KeK
e
MM
kD
M
K
e
MM
kD
M
K
e
MM
kD
ika
XXik
ika
XXik
XXik
XXik
 . 
 
Impondo a condição 
0))(det( 2  ID k
, chega-se à seguinte equação de autovalores 
para 
2
 (verifique!): 
 
0)cos1(
2)(2
21
2
2
21
214 

 ka
MM
K
MM
MMK 
 , 
 
cujas soluções são 
 













2
21
2
2
2
1
21
212
)(
)cos1(2
11
)(
MM
MMka
MM
MMK 
 
Vemos portanto que, para cada k, há duas soluções 
)(k
, desenhadas na Fig. 7.10. As 
diferentes soluções são conhecidas como ramos (analógos às bandas eletrônicas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k 
(k) 
/a -/a 
0 
12 MK
 
22 MK
 
gap 
 = ck 
ramo 
acústico 
ramo 
ótico 
Figura 7.10 – Ramos de fônons para um cristal unidimensional com dois átomos distintos por célula 
unitária. 
(7.37) 
(7.38) 
(7.39) 
 128 
Vamos analisar alguns casos limites. Para valores de k pequenos (
1ka
), 
obtemos os seguintes soluções 
 
acústico) (ramo 
)(2
ótico) (ramo 
)(2
21
21
21
0
ckk
MM
K
a
MM
MMK















. 
 
Vemos novamente a presença de uma solução com relação de dispersão linear (
ck
) 
na vizinhança de k=0, associada à propagação de ondas sonoras e portanto denominada 
ramo acústico. Além destas, há soluções cuja frequência não vai a zero na origem e sim 
a uma constante 0. Estas soluções fazem parte do ramo ótico. Esta denominação pode 
ser melhor entendida se analisarmos os vetores de polarização. O ramo acústico 
corresponde a autovalores tais que 
21  
 em k = 0 (verifique!), ou seja, para pequenos 
comprimentos de onda (na vizinhança da origem) os deslocamentos de átomos 
pertencentes à mesma célula unitária estão no mesmo sentido, como mostra a Fig. 
7.11(a). Já o ramo ótico corresponde a autovalores 
21  
 em k = 0, ou seja, 
deslocamentos contrários de átomos na mesma célula, como mostram as Fig. 7.11(b). Na 
borda da Zona de Brillouin (k = /a), um dos átomos vibra, enquanto o outro permanece 
parado, como mostraremos na lista de exercícios, de modo que as freqüências são 
  2/112 MK
 (átomo M1 vibrando) ou 
  2/122 MK
 (átomo M2 vibrando) como mostram 
as Fig. 7.11(c) e 7.11(d). Em cristais iônicos, onde além de terem massas distintas os 
átomos (íons) têm cargas opostas, estes deslocamentos em sentido contrário podem ser 
excitados por um campo elétrico da luz, por exemplo. Por isso a denominação “ramo 
ótico”. As frequências de vibração típicas estão na faixa do infra-vermelho. Isto faz com 
que a espectroscopia de absorção no infra-vermelho seja uma das técnicas mais poderosas 
para o estudo das vibrações cristalinas em sólidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.40) 
M1 M1 M2 M2 M1 M1 M2 M2 
M1 M1 M2 M2 M1 M1 M2 M2 
M1 M1 M2 M2 M1 M1 M2 M2 
M1 M1 M2 M2 M1 M1 M2 M2 
Acústico, k = 0 
Ótico, k = 0 
Ótico, k = /a 
Acústico, k = /a 
Figura 7.11 – Alguns modos normais de um cristal unidimensional diatômico. 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
 129 
 (C) Cristais tridimensionais 
 Vamos agora generalizar de forma qualitativa os resultados anteriores para o caso 
mais relevante sob o ponto de vista experimental: um cristal tridimensional. Vamos supor 
inicialmente um cristal 3D com um base de 1 átomo. Neste caso, teremos 3 ramos 
acústicos, como mostra a Fig. 7.12. Destes três ramos, um deles é denominado 
longitudinal acoustical (LA), pois o vetor de polarização é paralelo ao vetor de onda k, 
ou seja, representa uma onda elástica longitudinal. Os outros dois ramos são 
denominados transverse acoustic (TA) e apresentam o vetor de polarização perpendicular 
ao vetor de onda. Estes 3 modos normais estão representados esquematicamente na Fig. 
7.13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Generalizando agora para um cristal com uma base de p átomos, teremos 3p 
ramos, dos quais 3 são ramos acústicos e (3p - 3) são óticos. Os ramos óticos também 
podem ser classificados como LO (longitudinal optical) ou TO (transversal optical), 
dependendo se o vetor de polarização é paralelo ou perpendicular ao vetor de onda. A 
Fig. 7.14 abaixo mostra o caso particular de um cristal tridimensional com 2 átomos na 
base, onde há portanto 3 ramos acústicos e 3 ramos óticos. 
 
 
 
 
Figura 7.12 – Os 3 ramos acústicos de um cristal tridimensional com 1 átomo por célula unitária. 
k 
LA: u // k TA: u  k TA: u  k 
Figura 7.13 – Deslocamentos associados aos modos LA e TA. 
k 
 
LA 
TA 
TA 
 130 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4 – A Lei de Dulong e Petit 
 
Como mencionamos anteriormente, as vibrações cristalinas contribuem de forma 
significativa para o calor específico dos sólidos. Utilizaremos a aproximação harmônica, 
desenvolvida na última Seção, para calcular esta contribuição. Iniciaremos este estudo 
descrevendo a teoria clássica do calor específico devido a vibrações cristalinas: a Lei de 
Dulong e Petit. Veremos que esta lei falha de forma gritante na descrição dos resultados 
experimentais, e isto nos servirá como motivação para desenvolver a teoria quântica das 
vibrações, o que faremos a partir da próxima Seção. 
Considere um cristal com Ncel células unitárias e p átomos na base, contendo 
portanto um total de 
pNN cel
 átomos. Por simplicidade, consideremos todos os átomos 
com a mesma massa M. Retornando à notação desenvolvida no início da Seção 7.2 (veja 
a Eq. (7.3)), o vetor deslocamento u tem 3N coordenadas, e a MCF tem dimensões (3N × 
3N). Podemos escrever, dentro da aproximação harmônica, a energia total (cinética + 
potencial) deste sistema como: 
 
uuuu 
2
1
02
1 UMUTE 
 
 Esta é a energia de um sistema de 3N osciladores harmônicos acoplados. Para 
resolvermos o problema, precisamos desacoplar esta expressão. Isto é feito através de 
uma mudança de coordenadas para as coordenadas dos modos normais, que são 
exatamente aquelas que obtivemos na Seção anterior! Para ilustrarmos o problema, 
vamos tomar o exemplo (consideravelmente mais simples) do oscilador harmônico duplo, 
mostrado na Fig. 7.15. 
 
 
 
 
 
k 
 
Ramos óticos 
Ramos acústicos 
Figura 7.14 – Ramos de fônons para um cristal em 3D com 2 átomos na base. 
(7.41) 
K K K 
M M 
1 2 
Figura 7.15 – Oscilador harmônico duplo. 
 131 
 
 
 Neste caso, a energia (hamiltoniana) do sistema se escreve como: 
 
 22221212122212121)( uuuuKuMuME  
, 
 
onde u1 e u2 são os deslocamentos das massa 1 e 2 com relação às suas posições de 
equilíbrio. Note que o termo (u1 – u2)
2
 dá origem aos termos cruzados que acoplam os 
dois osciladores e tornam difícil a solução do problema. Usa-se então a transformação 
para coordenadas normais: 
 
2
;
2
21
2
21
1
uu
q
uu
q




, 
 
que faz com que a hamiltoniana possa ser reescrita como: 
 
   22222122212121212121 qMqMqMqME    , 
 
que é a hamiltoniana de dois osciladores harmônicos desacoplados com freqüências 
MK1
 e 
MK32 
 (freqüências dos modos normais). 
 O mesmo procedimento funciona para o sistema de 3N osciladores que 
precisamos resolver. Neste caso, um modo normal é caracterizado por uma coordenada 
qks, indexado por um vetor de onda k na 1
a
 Zona de Brillouin e um ramo de fônon s, e 
tendo uma freqüência s(k). Temos então 3Ncel×p modos normais, correspondendo aos 
Ncel k’s permitidos da 1
a
 Zona de Brillouin e aos 3p ramos. Desta forma, a energia do 
sistema se escreve na forma: 
 
 
 

celN p
s
sss qMqMUE
1
3
1
22
2
12
2
1
0 )(
k
kk k
. 
 
Esta é a expressão para a energia de 3N osciladores harmônico desacoplados, como 
queríamos. 
 Vamos agora investigar as propriedades térmicas deste cristal clássico. O 
Teorema da Equipartição nos permite calcular a energia interna 
 E
 no equilíbrio 
térmico à temperatura T. Segundo este teorema, cada grau de liberdade quadrático na 
expressão da energia contribui com 
TkB2
1
 para a energia interna. No nosso caso 
específico, temos 6N graus de liberdade quadráticos, de modo que a energia interna é 
dada por 
 
TNkE B3
. 
 
O calor específico é, portanto, 
 
(7.42) 
(7.43) 
(7.44) 
(7.45) 
(7.46) 
 132 
Bnk
T
E
V
c 3
1




, 
 
onde n é a densidade. O calor específico é uma constante independente da temperatura. 
Esta é a Lei de Dulong e Petit. 
 No entanto, ao serem feitas medições do calor específico de isolantes, notam-se 
discrepâncias marcantes com relação a este resultado. Estas discrepâncias estão 
mostradas esquematicamente na Fig. 7.16. O calor específico parece tender para um valor 
constante apenas a temperaturas muito altas. Ainda assim, este valor é um pouco 
diferente do resultado de Dulong e Petit (linha tracejada). Esta discrepância pode ainda 
ser explicada dentro do contexto de uma teoria clássica: trata-se de uma limitação da 
aproximação harmônica. Esta aproximação, que temos usado amplamente, parte do 
pressuposto de que os deslocamentos com relação ao equilíbrio são pequenos, o que 
deixa de ser verdade a temperaturas muito altas. A outra discrepância com relação à 
previsão clássica é a dependência forte com a temperatura do calor específico, sendo 
proporcional a T
3
 a temperaturas baixas, como já dissemos. Esta discrepância só será 
explicada ao considerarmos efeitos quânticos, o que faremos na próxima Seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.5 – Fônons 
 
Iniciaremos agora a descrição quântica das vibrações cristalinas. Nos cursos 
básicos de Mecânica Quântica, aprendemos a resolver o oscilador harmônico simples e 
encontramos seus autovalores e autoestados da energia. Em particular, vimos que um 
oscilador harmônico de frequência  tem estados quantizados com espaçamento 
constante em energia: 
 
  
2
1 nEn
, 
 
como está esquematizado na Fig. 7.17. 
 
 
(7.47) 
T 
c 
3nkB 
c ~ T
3 
discrepância 
clássica 
discrepância 
quântica 
Figura 7.16 – Calor específico em função da temperatura para um sólido isolante. 
(7.48) 
 133 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como foi visto na última Seção, nosso cristal pode ser considerado, dentro da 
aproximação harmônica, como um sistema de 3N osciladores harmônicos desacoplados, 
com freqüências s(k). Assim, para cada modo normal (k,s), as energias permitidas são: 
 
  )(
2
1 kkk ssn nE s 
 
 
Desta forma, podemos facilmente quantizar a hamiltoniana (7.45), e obtemos a energia 
total do sistema: 
 
  
s
ss
s
n nUEUE s
,
2
1
0
,
0 )(
k
k
k
k
k

 
O número quântico nks indica em que estado excitado está o modo normal com vetor de 
onda k do ramo s. As energias de cada modo normal são quantizadas, ou seja, passa-se de 
um nível para outro apenas através da absorção ou emissão de uma excitação elementar 
de vetor de onda k e energia 
)(ks
, sugerindo portanto uma natureza “corpuscular”. 
Um fônon é então um quantum de energia elástica, da mesma forma que um fóton é um 
quantum de energia eletromagnética. Desta forma, em vez de dizer “o modo normal do 
ramo s com vetor de onda k está no estado excitado nks”, diz-se que “há nks fônons do 
ramo s com vetor de onda k no cristal”. De modo idêntico ao oscilador harmônico 
simples, o número de fônons está relacionado à “amplitude” de vibração do modo 
normal. 
 Para investigarmos agora as propriedades térmicas do cristal quântico, temos que 
o número médio de fônons em um certo modo normal, <nks>, em função da temperatura. 
Por um momento, vamos simplificar nossa notação abolindo os índices k e s que indicam 
os modos normais. Assim, chamamos simplesmente de n e ω as grandezas nks e ωs(k). A 
probabilidade de que um dado modo esteja no estado n é dada pelo fator de Boltzmann: 
 
 


n
E
E
n
n
e
e
np


)(
, 
 
onde 
TkB1
. Desta forma, o número médio de fônons é 
 
E 
x 
n = 0 
n = 2 
n = 1 
Figura 7.17 – Níveis quânticos do oscilador harmônico simples. 
(7.50) 
(7.51) 
(7.49) 
 134 
 
  









n
n
n
n
n
n
n
n
e
ne
E
En
n 





exp
exp
’ 
 
que pode ser reescrito como 
 








  
n
nen 


ln
1
. 
 
 Usando o resultado da soma de uma progressão geométrica: 
x
x
n
n



 1
1
0
 se x<1, 
onde 
 ex
, obtemos finalmente (e retornando com os índices k e s): 
 
1
1
)( 

kk se
n s 
. 
 
Esta é a famosa distribuição de Planck, a mesma que surge na discussão da radiação de 
corpo negro, a analogia entre fótons e fônons aparece aqui mais uma vez
10
. 
 Voltando à expressão (7.50), podemos agora escrever a densidade de energia 
VEu 
 em equilíbrio termodinâmico a temperatura T como 
 



s
s
s
s
seVV
uu
k
k
k
k
k
1
)(1
)(
1
)(2
1
0 




. 
 
O termo u0 é a densidade de energia potencial na situação de equilíbrio, sendo portanto 
constante e não tendo relevância para o calor específico. O segundo termo é também 
constante (independente da temperatura), mas tem um significado mais interessante. Note 
que é um termo que surge apenas quando introduzimos a descrição quântica das 
vibrações e está presente mesmo à temperatura zero, ou seja, quando classicamente não 
se esperaria que houvesse vibrações. É portanto conhecido como energia de ponto zero 
e fisicamente está associado à impossibilidade, a partir do Princípio de Incerteza, de se 
definir perfeitamente a posição dos íons. Há sempre uma incerteza na posição, que está 
associada à um movimento “vibratório” não-térmico, ou seja, presente mesmo a T = 0. 
Ou seja, mesmo no zero absoluto os íons “vibram”. 
 O terceiro termo é o único relevante para o calor específico, que podemos 
escreverentão como: 
 




s
s
seTV
c
k
k
k
1
)(1
)(



. 
 
 
10
 Para os que já viram este tópico em Física Estatística, ambos são bósons com potencial químico nulo, ou 
seja, sem restrição no número de partículas. 
(7.52) 
(7.53) 
(7.54) 
(7.55) 
(7.56) 
 135 
Como se nota, um cálculo exato do calor específico não é nada simples, pois envolve um 
somatório (que eventualmente transformaremos em uma integral) sobre todos os k’s 
permitidos na 1
a
 Zona de Brillouin de uma função complicada. Note que uma expressão 
analítica para s(k) só existe em situações extremamente idealizadas, como as que vimos 
na Seção 7.2. Ainda assim, utilizando argumentos gerais e algumas aproximações, 
podemos extrair muitos resultados físicos da expressão (7.56), como veremos a seguir. 
 
(A) Limite de temperaturas altas 
Mostramos a seguir que o resultado clássico de Dulong e Petit é obtido no limite 
de altas temperaturas, qualquer que seja a forma de s(k). Para temperaturas altas temos 
0
, de modo que podemos usar 
 
xe xx
1
1
1
lim
0


 
 
e o calor específico torna-se 
 
 



s
BBB
s s
s nkk
V
N
Tk
VTV
c
kk k
k
3
31
)(
)(1




, 
 
que é o resultado de Dulong e Petit. O limite clássico é então recuperado conforme 
esperávamos. 
 
 (B) Modelo de Einstein 
 Vamos agora obter expressões aproximadas para o calor específico em função da 
temperatura. Para tanto, precisamos utilizar expressões aproximadas para s(k) que nos 
permitam efetuar o somatório da Eq. (7.56). A aproximação mais simples possível é o 
chamado modelo de Einstein. Einstein foi o primeiro a aplicar a mecânica quântica ao 
problema do calor específico de sólidos. Sua suposição foi que todos os modos normais 
teriam a mesma freqüência, 
Es  )(k
 (frequência de Einstein), uma aproximação que 
pode ser considerada um pouco drástica, como mostra a Fig. 7.18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.57) 
(7.58) 
k 
(k) 
/a -/a 
E 
Figura 7.18 – Modelo de Einstein para um cristal unidimensional diatômico. A relação de dispersão 
s(k) é substituída por uma frequência “média” E. 
 136 
 
 
 
Ao substituirmos este resultado na expressão para o calor específico, obtemos 
  
 
 
 2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
1















 
Tk
BE
Tk
B
Tk
BE
Tk
E
s
Tk
EE
BE
BE
BE
BE
BEE
e
Tke
nk
e
Tken
eT
n
eTV
c














k
 
 
Analisando o limite de baixas temperaturas, vemos que 
 
ras) temperatu(baixas 
TkBEec

, 
ou seja, o calor específico vai realmente a zero a baixas temperaturas, mas não com 
forma ~ T
3
 que é medida experimentalmente. Esta discrepância é consequência da 
aproximação 
Es  )(k
, como veremos a seguir. 
 
 (C) Modelo de Debye 
 A aproximação 
Es  )(k
 é até razoável para fônons óticos, pois estes têm 
ramos quase sem dispersão. O modelo de Einstein é ainda usado hoje em dia neste 
contexto. No entanto, para descrever as propriedades térmicas (devido às vibrações 
cristalinas) de um cristal a baixas temperaturas, os fônons acústicos são muito mais 
importantes, como mostra a Fig. 7.19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para fônons acústicos, uma aproximação mais conveniente seria utilizar uma 
relação de dispersão linear, ou seja, 
cks )(k
. Iremos supor, por simplicidade, que a 
(7.59) 
(7.58) 
k 
(k) 
/a -/a 
kBT / ħ 
Figura 7.19 – Os modos normais significativamente populados com fônons são apenas aqueles com 
energia menor ou da ordem de kBT. Para baixas temperaturas, estes são os modos acústicos. 
 137 
velocidade do som c é a mesma para os três ramos acústicos. Desta forma, a expressão 
(7.56) para o calor específico torna-se 
 
 





Dk
ck
s
ck
dk
e
ck
k
V
TVe
ck
TV
c
0
2
3 1
4
)2(
3
1
1


 k
, 
 
onde efetuamos a soma apenas sobre os 3 ramos acústicos (deixamos de lado os modos 
óticos). Definimos o limite superior da integral como um certo vetor de onda kD. Como 
obtê-lo? Idealmente, teríamos que efetuar a integral dentro da 1
a
 Zona de Brillouin, que 
pode ter uma forma geométrica complicada. Por simplicidade, e aproveitando a simetria 
esférica do integrando, faremos a integral em uma esfera de raio kD. Como veremos a 
seguir, o formato exato do volume de integração não irá importar muito para as 
propriedades a baixas temperaturas, para as quais apenas os modos em torno de k = 0 irão 
contribuir. Mas devemos garantir que a esfera de integração contenha o mesmo número 
de pontos k permitidos dentro da 1
a
 Zona de Brillouin, ou seja, N. Isto define o valor de 
kD, que é conhecido como vetor de onda de Debye: 
 
3/1
23
3 6)2(
3
4









V
N
k
V
Nk celDcelD

. 
 
 Desta forma, o calor específico torna-se 
 
. 
)1(2
3
12
3
1
4
)2(
3
0
22
3
2
0
3
2
0
3
3











D
DD
k
B
ck
ck
k
ck
k
ck
dk
Tk
ck
e
ekc
dk
e
k
T
c
dk
e
ckV
TV
c












 
 
Definindo 
Tk
ck
x
B


, e fazendo a substituição de variáveis, temos 
 
, 
)1(2
3
/
0
2
43
2 









T
x
x
BB
D
dx
e
ex
c
Tk
c
kc
c



 
 
onde 
B
D
D
k
ck

é a temperatura de Debye. Podemos reescrever a expressão (7.62) de 
modo que a temperatura de Debye apareça mais explicitamente: 
 
 
)1(
9
/
0
2
4
3











T
x
x
D
B
D
dx
e
exT
nkc
. 
 
(7.59) 
(7.60) 
(7.61) 
(7.62) 
(7.63) 
 138 
Note que a dependência do calor específico com a temperatura sempre aparece na forma 
DT /
, de modo que a temperatura de Debye define a escala de temperaturas relevante 
ao problema. Assim, no limite de temperaturas baixas, ou seja, 
DT 
, podemos 
estender o limite de integração até 

: 
 
 
)1(
9
0
2
4
3










 dx
e
exT
nkc
x
x
D
B
. 
 
A integral definida pode ser resolvida, e seu valor é 
154 4
. Desta forma, obtemos 
finalmente a expressão do calor específico para baixas temperaturas: 
 
 
5
12
3
4








D
B
T
nkc
 . 
 
Note que a dependência com o cubo da temperatura, verificada experimentalmente, é 
finalmente obtida. 
 Para altas temperaturas (
DT 
), o calor específico deve aproximar-se do 
resultado clássico, como mostramos em (7.58). Assim, a temperatura de Debye separa os 
limites clássico e quântico. Veja na Tabela 7.1 a temperatura de Debye para alguns 
materiais. Note que, quanto mais rígido o material, maior é a temperatura de Debye. 
 
Material D (K) 
Li 400 
Na 150 
C 1860 
Ar 85 
Ne 63 
 
 É possível obter de forma mais simples, apenas com argumentos qualitativos, a 
dependência T
3
 no calor específico devido a fônons. Consideremos a relação de dispersão 
 = ck. A uma temperatura T, a energia térmicadisponível é kBT. Esta energia será 
suficiente para excitar fônons dentro de uma esfera de raio kmax no espaço recíproco tal 
que 
Tkck B max
, de modo que 
cTkk B /max 
. O número de modos Nm dentro 
desta esfera de raio kmax é proporcional ao volume desta esfera, ou seja 
33
max TkNm 
. 
Como cada modo tem uma energia de excitação típica da ordem de kBT, a energia 
vibracional do sistema será E ~ Nm kBT ~T
4
. Assim, o calor específico 
3TTEc 
. 
 
 
 
 
 
 
(7.64) 
(7.65) 
 139 
7.6 – Momento de um fônon 
Qual a interpretação física da quantidade 
k
 para um fônon? Para tentarmos 
entender esta questão, vamos supor um cristal onde foi excitado um único fônon em um 
modo normal com vetor de onda k. Os deslocamentos dos átomos deste cristal podem ser 
expressos por (7.19): 
 
)()(ˆ),( tiet  Rkk kεRq
 
Qual o momento linear total deste cristal? Basta somar os momentos lineares de todos os 
átomos (supondo todos de mesma massa M): 
 





  
0 se ,
0 se ,0
ˆ),(
k
k
εRuP
R
Rk
R
k
N
eMeit
dt
d
M ititot
. 
 
 Ou seja, um fônon com k0 não carrega momento físico. Isto se justifica, pois os 
deslocamentos u são deslocamentos relativos. Apenas os modos de translação (k=0), 
que representam translações do cristal como um todo, carregam momento físico. 
 Apesar disso, pode-se mostrar
11
 que a quantidade 
k
 atua como momento do 
fônon nos processos de interação deste com fótons ou nêutrons, e por isso tem relevância 
e recebe a denominação momento cristalino do fônon (de forma bastante análoga ao 
momento cristalino do elétron, que vimos no Capítulo 5). Estes mecanismos são 
extremamente importantes porque propiciam informação experimental direta sobre o 
espectro de fônons. Nestes processos, as conservações do momento e da energia se 
escrevem da seguinte forma: 
 
)(
)(
k
Gkpp
sEE 



, 
onde p e E são o momento e a energia do fóton ou nêutron incidente, p’ e E’ são o 
momento e a energia do fóton ou nêutron espalhado, e 
k
 e 
)(ks
são o momento 
cristalino e a energia do fônon criado (-) ou destruído (+). O termo 
G
 surge porque o 
vetor de onda k do fônon é definido dentro da 1
a
 Zona de Brillouin. Os processos de 
criação e destruição de fônons estão ilustrados na Fig. 7.20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11
 Apêndice M do Ashcroft-Mermim. 
(7.66) 
(7.67) 
(7.68) 
p 
p’ 
)( Gk 
 
criação 
p 
p’ 
)( Gk 
 
destruição 
Figura 7.20 – Processos de espalhamento de fótons ou nêutrons envolvendo a absorção (destruição) ou 
emissão (criação) de fônons. 
 140 
 
 
 Podemos considerar um caso particular de espalhamento: o espalhamento 
elástico. Isto ocorre se nenhum fônon for criado ou destruído. A energia da partícula 
incidente irá se conservar. Mesmo assim, há alteração do momento pela presença do 
termo 
G
. Sejam 
qp 
e 
qp  
. A conservação de momento nos dá: 
 
GqGqq   )(
. 
 
Esta é precisamente a condição de von Laue, que estudamos no Capítulo 4 no contexto 
da difração de raios-X. Vemos agora que não apenas os fótons, mas também os nêutrons 
podem ser difratados e fornecer informações sobre a estrutura cristalina. 
 No caso mais geral, onde há absorção ou emissão de fônons, temos o 
espalhamento inelástico. Neste caso, o processo de espalhamento fornecerá informação 
sobre o vetor de onda e a energia do fônon, ou seja, permitirá a determinação 
experimental da relação de dispersão 
)(ks
. Para fótons, o espalhamento inelástico leva 
o nome de espalhamento Raman. 
 
 
Referências: 
- Ashcroft e Mermim, Capítulos 21 a 24. 
- Kittel, Capítulos 4 e 5. 
- Ibach e Lüth, Capítulos 4 e 5. 
 
 
 
(7.69)

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