Alunos Calculos Atuariais SEGUROS

Prévia do material em texto

Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
Indenização: Valor Atual e Valor de Novo 
 
 
Indenização é o pagamento dos prejuízos decorrentes de um sinistro, que a seguradora faz ao segurado ou aos seus 
beneficiários, observando as condições estabelecidas no contrato de seguro. 
 
Valor atual (VA) é o valor que considera a depreciação (D) relativa ao uso, idade e estado de conservação na data da 
ocorrência do sinistro. 
 
Valor de Novo (VN) corresponde ao custo da reposição dos bens de uso, aos preços correntes, no dia e local do sinistro, 
sem dedução da depreciação. 
 
O seguro pelo Valor de Novo, muito usado para prédios e móveis, é o tipo de seguro no qual é permitido estabelecer 
uma importância segurada superior ao valor atual do bem no estado em que se encontra. Possibilita a reposição do 
mesmo bem em estado de novo. 
 
 
 D
VA
VN
−
=
1 
 
 
 
 
 
A indenização (I) no seguro contratado pelo Valor de Novo é limitado a 2 vezes o Valor Atual do bem. É dada pela 
fórmula: 
 
 PNx
VN
IS
I = 
 
Onde: PN é o prejuízo de novo. 
 
 
Exemplo: 
 
Um imóvel segurado por R$ 82.000,00 (IS) teve avaliação de R$ 75.600,00 (VA) na data do sinistro. Foi apurada uma 
perda de R$ 45.000,00 (PN). A depreciação do período compreendido entre a data do contrato de seguro e a data do 
sinistro foi calculada em 10 %. 
 
Então, os valores de novo (VN) e de indenização (I) a ser paga pela seguradora corresponderão respectivamente a: 
 
 
 
D
VA
VN
−
=
1
 
1,01
75600
−
=VN 
 
VN = R$ 84.000,00 
 
 
Então: PNx
VN
IS
I = 45000
84000
82000
xI =
 
 
= R$ 43.928,57 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
Franquia 
 
É o valor inicial da importância segurada até o qual o segurado é o segurador de si próprio. Quando o valor do prejuízo é 
igual ou menor que o da franquia, o segurado não tem direito a indenização. A franquia é usualmente expressa num 
percentual da importância segurada. 
 
No exemplo, se a franquia estabelecida corresponde a 15% da importância segurada, a indenização líquida será de: 
 
Franquia = 82.000,00 . 0,15 = R$ 12.300,00 
 
Indenização líquida = 43.928,57 - 12.300,00 = R$ 31.628,57 
 
 
EXERCÍCIO 3 
 
Um imóvel segurado por R$ 120.000,00 (IS) teve avaliação de R$ 109.750,00 (VA) na data do sinistro. Foi apuranda uma 
perda de R$ 64.000,00 (PN). A depreciação do período compreendido entre a data do contrato de seguro e a data do 
sinistro foi calculada em 15%. Calcular o valor da indenização paga, sendo a franquia de 8% do valor segurado. 
 
D
VA
VN
−
=
1 VN = 109.750 / 1 – 0,15 VN = 109.750 / 0,85 VN = 129.117,64 
 
 
PNx
VN
IS
I = I = (120.000 / 129.117,64) x 64.000,00 I = 
 
 
EXERCÍCIO 4 
 
Um imóvel segurado por R$ 360 000,00 (IS) teve avaliação de R$ 2959 820,00 (VA) na data do sinistro. Foi apuranda 
uma perda de R$ 190 000,00 (PN). A depreciação do período compreendido entre a data do contrato de seguro e a data 
do sinistro foi calculada em 20 %. Calcular o valor da indenização paga, sendo a franquia de 10 % do valor segurado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 
 
Calcular quanto receberá de indenização o proprietário de um imóvel segurado no valor de novo (VN) de R$ 350 000,00 
que sofreu um sinistro apurado em R$ 100 000,00 (PN), se a franquia foi estabelecida em 15% do valor segurado na 
época, de R$ 320 000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
EXERCÍCIO 6 
 
Calcular quanto receberá de indenização o proprietário de um imóvel segurado no valor de novo (VN) de R$ 120 000,00 
que sofreu um sinistro apurado em R$ 30 000,00 (PN), se a franquia foi estabelecida em 15% do valor segurado na 
época, de R$ 80 000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Tábuas Biométricas 
 
Teoria das probabilidades 
 
Os modelos matemáticos consistem em uma simplificação da realidade. A atuária também é sustentada por modelos 
matemáticos aplicados que envolvem a gestão dos seguros em geral. 
 
Os modelos matemáticos são uma idealização das características do fenômeno observado, que podem ser: 
 
� Determinísticos, quando dadas as condições de experimentação pode-se determinar ou predizer o resultado 
final do experimento; 
 
 
� Aleatórios ou estocásticos, quando não é possível predizer, com certeza, o resultado final do experimento, por 
exemplo: a soma dos pontos de dois dados, a quantidade de falecimentos em uma determinada população, a 
investigação do efeito de um remédio em pacientes etc. 
 
 
 
Cálculo atuarial 
 
Os cálculos atuariais combinam princípios de Estatística e de Matemática Financeira, para que se obtenha, por exemplo, 
o valor presente atuarial de uma unidade monetária a ser paga a um segurado de idade x quando completar x+n anos, a 
uma taxa de juros i para cada período de capitalização composta. 
 
Como não é possível determinar se o segurado atingirá a idade x+n, temos que calcular a probabilidade de que isso 
venha a ocorrer. 
 
A Tabela Z estabelece a probabilidade considerando uma distribuição normal; no entanto devemos levar em 
consideração o perfil de sobrevivência de um grupo de pessoas, de acordo com a análise do número de indivíduos vivos 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
e mortos, em ordem decrescente de idade, desde a origem até a extinção completa desse grupo. Esse estudo é 
compilado numa tabela estatística denominada Tábua de Mortalidade ou de Sobrevivência. 
 
A primeira tábua de mortalidade construída sobre princípios realmente científicos foi a Breslaw Table, elaborada por 
Edmund Halley em 1693. Entretanto, somente no ano de 1815, Milne conseguiu elaborar uma tábua de mortalidade por 
meio de técnicas estatísticas e demográficas muito similares às atuais, tomando-se em conta a informação populacional 
de expostos ao risco de morte observados numa cidade inglesa (Carlisle). A referida tábua registrou uma esperança de 
vida ao nascer de 38,7 anos para os sexos combinados. Desde então, um grande número de tábuas foi publicado em 
todo o mundo. 
 
A tábua de mortalidade, também chamada de tábua de vida, é um instrumento ou esquema teórico que permite 
calcular as probabilidades de vida e morte de uma população, em função da sua idade. 
 
Este instrumento promove a descrição estatística da mortalidade e constitui a base de um modelo de população 
estacionária, sendo comumente utilizado por demógrafos, atuários e outros investigadores em uma grande variedade de 
problemas e questões relacionadas com a durabilidade da vida humana. 
 
Normalmente, é apresentada em forma de tabela, na qual se registra a cada ano, partindo-se de um grupo inicial de 
pessoas com mesma idade (coorte), o número daquelas que vão atingindo as diferentes idades, até a extinção total do 
grupo inicial observado. 
 
Para que uma tábua apresente dados confiáveis, os indivíduos observados devem conviver em um mesmo 
espaço geográfico e possuir as mesmas condições de vida, durante a sua elaboração. Tais premissas devem ser 
consideradas, uma vez que não tem sentido comparar probabilidades de sobrevivência entre indivíduos que não 
apresentam as mesmas condições de sobrevivência. 
Ressalta-se que o cenário proposto por uma tábua é estacionário, ou seja, não se registram nascimentos nem outras 
formas de entrada de novos indivíduos. Assim, são registrados apenas os óbitos de indivíduos pertencentes ao grupo 
inicial (coorte). Este grupo inicial reflete um contingente de indivíduos,todos nascidos vivos dentro de um mesmo 
espaço geográfico, num mesmo intervalo de tempo, fechado a migrações, que tem a sua trajetória de vida analisada por 
intermédio de indicadores demográficos, até que o mais longevo venha a falecer. 
 
Existem vários tipos de tábuas atuariais para medir a sobrevida: 
� AT49 
� AT55 
� AT71 
� AT83 
� AT2000 
 
AT significa annuity table e o número refere-se ao ano em que foi realizado o levantamento dos dados que geraram a 
tabela. 
 
A AT2000 é mais utilizada pelas seguradoras no Brasil, principalmente para os planos PGBL, mais compatível com a 
expectativa de vida da população. Utilizando-se essas tábuas, por exemplo, a expectativa de um segurado com idade de 
60 anos é de sobrevida de aproximadamente 18 anos pela AT49, 23 anos pela AT83 e 24 anos pela AT2000. 
 
Grupo AT 
 
As Annuity Mortality Table são tábuas de origem estadunidense, elaboradas pela The Society of Actuaries. 
- Annuity Table 1949 (AT-49): Construída a partir de dados coletados entre os anos de 1941 e 1946. Esta tábua trabalha 
com expectativa média de vida de 78 anos. 
- Annuity Table 1983 (AT-83): Atualização da AT-49 construída através de observações feitas entre os anos 1971 e 1976. 
- Annuity Table 2000 (AT-2000): Terceira tábua do grupo AT. Representa a expectativa de vida de uma população a 
partir de um estudo feito em 2000, considera que as pessoas vivem, em média, 84 anos. 
 
GKM 
 
As tábuas GK's foram elaboradas com base na experiência de seguradoras suíças: 
- GKM-80 e GKM-95: Tábuas masculinas 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
- GKF-80 e GKF-95: Tábuas femininas. 
 
CSOs 
 
As Commissioner's Standard Ordinary Tables constituem um grupo de tábuas de mortalidade criadas a partir de dados 
das seguradoras dos Estados Unidos: 
- 1958 US Commissioner's Standard Ordinary Table (CSO-58): construída com dados dos anos 1950 a 1954. 
GAM 
A The 1971 Group Annuity Mortality Table (GAM 71) é uma tábua discriminada por sexo, elaborada pela Joint Actuarial 
Committee of the American Life Convention e pela The Life Insurance Association of America. 
 
 
Tábuas Brasileiras 
O IBGE divulgou em 2003 uma tábua elaborada com base na projeção da mortalidade a partir da tábua de três anos 
antes, sobre a qual foram incorporados os dados obtidos no Censo Demográfico de 2000 e as estimativas de 
mortalidade infantil sobre o registro de óbitos do triênio 1999-2001. 
Está tábua é feita com base em toda a população brasileira e utilizada pelo Instituto Nacional de Seguridade Social no 
cálculo do fator previdenciário. 
 
 
 
Raiz da tábua 
 
O número de pessoas vivas corresponde à idade inicial (origem) denominamos raiz da tábua. A idade final a partir da 
qual não há mais sobreviventes é denominada idade ômega ( Ω ) 
 
 
 
Seguro de pessoas 
 
Seguro de Vida individual 
 
 
É a modalidade de seguro que cobre a morte ou a sobrevivência de um único segurado. Para receber a indenização, o 
segurado indica um beneficiário, que pode ser ele mesmo, nos casos de sobrevida. 
 
O seguro de vida individual tem como característica a longa duração do contrato e suas apólices podem ter coberturas 
para riscos de morte natural, acidental, por invalidez permanente total ou parcial por acidentes ou por doenças. 
 
Para monitorar a expectativa de vida das pessoas, as seguradoras contam com tábuas atuariais e estatísticas, 
resultantes de avançados recursos na área, na qual há a média de vida dos cidadãos de acordo com o gênero ou a 
região. 
 
Existem três modalidades deste seguro: 
 
- de vida ordinário, no qual enquanto viver o segurado paga prêmios anuais ao segurador; 
 
 
- de vida de pagamentos limitados, quando o segurado somente paga os prêmios durante um período de tempo 
determinado no contrato para que após a sua morte seu beneficiário receba a indenização devida; 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
 
- dotal, quando o segurado paga os prêmios anualmente durante um período de tempo estipulado no contrato, depois 
do qual a indenização devida poderá ser paga a ele mesmo ou ao beneficiário por ele indicado (dotal deriva da palavra 
dote, cuja origem tinha a finalidade de compor uma renda por exemplo para a filha por ocasião de seu casamento ou a 
um filho na maioridade). 
 
 
 
Seguro de vida em grupo 
 
Tem como premissa um conjunto de pessoas dividindo uma mesma apólice de seguro de vida, como por exemplo, os 
funcionários de uma empresa. Tem a duração de 1 ano, podendo ser renovado. 
 
 
 
Seguro de acidentes pessoais 
 
Cobre o segurado em casos de acidentes previstos no contrato que causem morte ou invalidez permanente, total ou 
parcial. 
Invalidez permanente é a perda, redução ou impotência funcional definitiva, total ou parcial, de membro ou órgão do 
corpo. 
 
A indenização é paga em espécie, correspondente ao valor do dia trabalhado no caso de incapacidade temporária, bem 
como são ressarcidas as despesas e a assegurada a assistência médica. No caso de morte do segurado, há um pecúlio 
para os beneficiários indicados. 
 
 
 
Elementos da Tábua de Mortalidade 
 
Uma tábua de mortalidade consiste em uma tabela contendo em sua estrutura seis colunas e que, considerando uma 
variável de eliminação, qual seja, a morte, apresenta o seguinte formato: 
 
 
 
 
x xl xd xq xp 
0
xe 
 0 10 000 000 40 400 0,004040 0,995960 73,18 
 1 9 959 600 15 736 0,001580 0,998420 72,47 
 2 9 943 864 8 820 0,000887 0,999113 71,59 
. 
. 
 55 8 921 445 94 255 0,010565 0,989435 22,20 
. 
. 
109 4 4 1,000000 0,000000 0,50 
 
Fonte: Superintendência de Seguros Privados – SUSEP/MF/BRASIL (Tábua AT49 Male). 
 
 
x : idade 
 
xl : número de sobreviventes (life = vida) 
 
xd : número de falecimentos (death = morte) 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
x
x
x
l
d
q = : probabilidade de morte 
 
xx qp −=1 : probabilidade de sobrevivência 
 
 
0
xe : esperança completa de vida 
 
 
 
 
A esperança completa de vida representa o número de anos que, em média, sobrevive um indivíduo de idade x, até o 
final de sua vida. Esta função também é conhecida por vida média. 
 
∑
∑
=
i
ii
x
l
lx
e
.0
 
 
 
 
Probabilidades fundamentais envolvendo um indivíduo (ou uma cabeça) utilizadas na arquitetura dos seguros de vida 
 
Considere o número de sobreviventes e de mortes de indivíduos com idade entre 50 e 70 anos de idade, de acordo com 
a Tábua CSO-58: 
 
X x
l xd 
 
... ................ ............... 
 
50 876 230,363 7 290,237 
51 868 940,126 7 916,045 
52 861 024,082 8 575,800 
53 852 448,282 9 283,162 
54 843 165,120 10 033,665 
55 833 131,455 10 830,709 
56 822 300,746 11 684,894 
57 810 615,853 12 596,970 
58 798 018,882 13 566,321 
59 784 452,561 14 582,973 
60 769 869,588 15 659,147 
61 754 210,441 16 773,640 
62 737 436,801 17 927,089 
63 719 509,712 19 117,373 
64 700 392,339 20 339,394 
65 680 052,945 21 591,681 
66 658 461,264 22 874,944 
67 635 586,320 24 177,704 
68 611 408,617 25 483,511 
69 585 925,105 26 724,044 
70 559 201,061 27 842,621 
... ................ ............... 
75 412 990,475 30 301,111 
... ................. ............... 
78322 188,367 29 982,849 
80 262 637,241 28 884,844 
 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
 
Probabilidade de um indivíduo qualquer com idade exata x, sobreviver até alcançar com vida a idade x+n e, nessa 
mesma idade x+n, vir a morrer 
 
x
nx
l
d
q +=
 
 
x: indica a idade e é escrita à direita e abaixo do símbolo principal 
 
n: indica a duração e é escrita à esquerda e abaixo do símbolo principal 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Vamos calcular a probabilidade de um indivíduo com 55 anos sobreviver até alcançar com vida a idade de 62 anos e, 
nessa idade vir a falecer: 
 
 455,833131
089,17927
55
62 ==
l
d
q 
 
= 0,021517719 ou 2,15 % 
 
 
 
 
Probabilidade de um indivíduo qualquer com idade exata x, vir a morrer antes de alcançar a idade x+n 
 
 
 
x
nxx
l
ll
q +
−
=
 
 
Exemplo 2 
 
Vamos calcular a probabilidade de um indivíduo com 55 anos vir a morrer antes de alcançar a idade de 62 anos: 
 
 455,833131
801,737436455,833131
55
6255 −=
−
=
l
ll
q 
 
= 0,11486141 ou 11,49 % 
 
 
 
Probabilidade de um indivíduo qualquer com idade exata x, vir a morrer entre as idades x+n e x+n+m 
 
 
x
mnxnx
l
ll
q +++
−
=
 
 
 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
Exemplo 3 
 
Vamos calcular a probabilidade de um indivíduo com 55 anos vir a morrer entre as idades de 60 e 62 anos: 
 
455,833131
801,737436588,769859
55
6260 −=
−
=
l
ll
q 
 
= 0,038916772 ou 3,89 % 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 10 
 
 
Uilizando a Tábua CSO-58, calcular a probabilidade de uma pessoa com 50 anos: 
 
a) atingir com vida a idade de 65 anos; 
 
b) atingir com vida a idade de 70 anos; 
 
c) atingir com vida a idade de 60 anos; 
 
d) falecer com 63 anos de idade; 
 
e) falecer com 57 anos de idade; 
 
f) falecer com idade entre 56 e 59 anos; 
 
g) falecer com idade entre 62 e 68 anos. 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 11 
 
Uilizando a Tábua CSO-58, calcular a probabilidade de uma pessoa com 53 anos: 
 
a) atingir com vida a idade de 59 anos; 
b) atingir com vida a idade de 64 anos; 
c) atingir com vida a idade de 60 anos; 
d) falecer com 61 anos de idade; 
e) falecer com idade entre 58 e 65 anos. 
 
 
 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
EXERCÍCIO 12 
 
Uilizando a Tábua CSO-58, calcular a probabilidade de uma pessoa com 57 anos: 
 
a) atingir com vida a idade de 68 anos; 
 
b) atingir com vida a idade de 70 anos; 
 
c) atingir com vida a idade de 67 anos; 
 
d) falecer com 62 anos de idade; 
 
e) falecer com 58 anos de idade; 
 
f) falecer com idade entre 60 e 65 anos; 
 
g) falecer com idade entre 62 e 70 anos. 
 
 
 
EXERCÍCIO 13 
 
Uilizando a Tábua CSO-58, calcular a probabilidade de uma pessoa com 60 anos: 
 
a) atingir com vida a idade de 80 anos; 
 
b) atingir com vida a idade de 75 anos; 
 
c) atingir com vida a idade de 65 anos; 
 
d) falecer com 63 anos de idade; 
 
e) falecer com 78 anos de idade; 
 
f) falecer com idade entre 60 e 80 anos; 
 
g) falecer com idade entre 62 e 78 anos. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Uma Seguradora realizou estudos sobre a sua carteira de seguros de vida, obtendo o número de falecimentos na 
população onde os seus segurados estão inseridos, dentre indivíduos da faixa etária de 50 a 55 anos: 
 
 
110850 =d 
115651 =d 
 
120752 =d 
126153 =d 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
131654 =d 
137555 =d 
 
O número de sobreviventes com 50 anos de idade é: 
 
6951750 =l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de uma pessoa com 50 anos: 
 
a) falecer antes de atingir a idade de 55 anos: 
 
69517
6048...
50
545150 =
+++
=
l
ddd
q 
 
q = 0,087000302 ou 8,70 % 
 
 
 
b) atingir com vida a idade 55 anos: 
 
69517
6048...
50
545150 =
+++
=
l
ddd
q 
 
p = 1 – 0,087000302 = 0,912999697 ou 91,30 % 
 
 
 
c) atingir com vida a idade de 54 anos, com base nesses dados estatísticos é de: 
 
69517
4732...
50
535150 =
+++
=
l
ddd
q
 
 
p = 1 – 0,06806068 = 0,931930319 ou 93,19 % 
 
 
d) atingir com vida a idade de 56 anos é de: 
 
69517
7423...
50
555150 =
+++
=
l
ddd
q
 
 
p = 1 – 0,106779636 = 0,893220363 ou 89,32 % 
 
 
 
e) falecer com 51 anos: 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
69517
1156
50
51 ==
l
d
q 
 
q= 0,016629025 ou 1,66 % 
 
 
 
f) falecer entre as idades de 51 a 53 anos: 
 
69517
3624
50
535251 =
++
=
l
ddd
q 
 
q = 0,052131133 ou 5,21 % 
 
 
 
EXERCÍCIO 14 
 
Uma Seguradora realizou estudos sobre a sua carteira de seguros de vida, obtendo o número de falecimentos na 
população onde os seus segurados estão inseridos, dentre indivíduos da faixa etária de 50 a 55 anos: 
 
 
125850 =d 
128751 =d 
 
135052 =d 
145953 =d 
 
147654 =d 
123555 =d 
 
O número de sobreviventes com 50 anos de idade é: 
 
7320050 =l 
 
Calcular a probabilidade de uma pessoa com 50 anos: 
 
a) falecer antes de atingir a idade de 55 anos: 
 
 
b) atingir com vida a idade 55 anos: 
 
 
c) atingir com vida a idade de 54 anos é de: 
 
 
d) falecer com 53 anos: 
 
 
e) falecer entre as idades de 52 a 54 anos: 
 
 
 
EXERCÍCIO 15 
 
Uma Seguradora realizou estudos sobre a sua carteira de seguros de vida, obtendo o número de falecimentos na 
população onde os seus segurados estão inseridos, dentre indivíduos da faixa etária de 50 a 55 anos: 
 
 
125850 =d 
128751 =d 
 
135052 =d 
145953 =d 
 
147654 =d 
123555 =d 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
O número de sobreviventes com 50 anos de idade é: 
 
7320050 =l 
 
Calcular a probabilidade de uma pessoa com 50 anos: 
 
a) falecer antes de atingir a idade de 54 anos: 
 
 
b) atingir com vida a idade 53 anos: 
 
 
c) atingir com vida a idade de 55 anos é de: 
 
 
d) falecer com 52 anos: 
 
 
e) falecer entre as idades de 50 a 55 anos: 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 
Uma empresa tem a seguinte distribuição etária do seu quadro de funcionários: 
 
 
idade média atual 
 (em anos) 
 
 
nº de empregados 
 
20 
 
1 000 
30 2 000 
40 1 500 
50 500 
 
total 5 000 
 
 
Com base na Tábua CSO-58: 
 
 
X x
l xd 
 
... ................ ............... 
20 966 499,387 1 730,034 
24 959 395,946 1 832,446 
... ................ ............... 
30 948 035,584 2 019,316 
36 935 027,643 2 468,473 
... ................ ............... 
40 924 135,627 3 262,199 
... ................ ............... 
48 889 120,097 6 179,385 
50 876 230,363 7 290,237 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
51 868 940,1267 916,045 
52 861 024,082 8 575,800 
53 852 448,282 9 283,162 
54 843 165,120 10 033,665 
55 833 131,455 10 830,709 
56 822 300,746 11 684,894 
57 810 615,853 12 596,970 
58 798 018,882 13 566,321 
59 784 452,561 14 582,973 
60 769 869,588 15 659,147 
61 754 210,441 16 773,640 
62 737 436,801 17 927,089 
63 719 509,712 19 117,373 
64 700 392,339 20 339,394 
65 680 052,945 21 591,681 
66 658 461,264 22 874,944 
67 635 586,320 24 177,704 
68 611 408,617 25 483,511 
69 585 925,105 26 724,044 
70 559 201,061 27 842,621 
 
 
 
a) Quantos funcionários, provavelmente, venham a falecer ao longo deste ano? 
 
51,15500.1500.2000.1000.
50
50
40
40
30
30
20
20 =+++=
l
d
l
d
l
d
l
d
d 
 
1,79 + 4,26 + 5,30 + 4,16 
 
ou seja: 16 falecimentos 
 
 
 
b) Quantos funcionários, provavelmente, venham a estar ainda vivos no próximo ano? 
 
l = 5 000 - 16 = 4 984 sobreviventes 
 
 
 
 
c) Quantos funcionários, provavelmente, venham a falecer antes dos 55 anos de idade? 
 
500.
50
1500.2000.1000. 5550
40
5540
30
5530
20
5520
l
ll
l
ll
l
ll
l
ll
d
−
+
−
+
−
+
−
= 
 
d = 138 + 242 + 148 + 25 = 553 falecimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos Atuariais - Seguros 
 
Prof. Ricardo Alexandre Borges Teotonio 
Unoeste – Presidente Prudente 
 
d) Quantos funcionários, provavelmente, venham a chegar com vida aos 65 anos de idade? 
 
 
500.1500.2000.1000.
50
6550
40
6540
30
6530
20
6520
l
ll
l
ll
l
ll
l
ll
d
−
+
−
+
−
+
−
=
 
 
d = 296 + 565 + 396 + 112 = 1 369 falecimentos 
 
l = 1 – d = 5 000 – 1 369 = 3 631 sobreviventes 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 16 
 
 
Uma empresa tem a seguinte distribuição etária do seu quadro de funcionários: 
 
 
faixas 
etárias 
(em anos) 
 
idade 
média atual 
 
 
 
nº de 
empregados 
 
18 ı― 30 
 
 
__ 
 
 152 
 
30 ı― 42 
 
__ 280 
 
42 ı― 54 
 
__ 36 
 
54 ı― 66 
 
__ 22 
 
 
total 
 
480 
 
 
 
Com base na Tábua CSO-58, a Seguradora definiu os valores dos prêmios a ser pagos pelos funcionários dessa empresa, 
conforme levantamento por faixa etária do seu quadro de pessoal. 
 
Calcular aproximadamente: 
 
 
a) quantos funcionários, provavelmente, venham a falecer ao longo deste ano. 
 
 
b) quantos funcionários, provavelmente, venham a estar ainda vivos no próximo ano. 
 
 
c) quantos funcionários, provavelmente, venham a falecer antes dos 70 anos de idade. 
 
 
d) quantos funcionários, provavelmente, venham a chegar com vida aos 70 anos de idade.