apostila GEOMETRIA PLANA

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APOSTILA DE
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
Professora: Elisandra Bar de Figueiredo
Elaboração da apostila:
Elisandra Bar de Figueiredo
Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/
Joinville, fevereiro de 2011
PLANO DE ENSINO DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
Departamento: Matemática
Disciplina: Geometria Plana e Espacial
Sigla: GPE0001 Semestre/Ano: 01/2011
Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0
Curso: Licenciatura em Matemática.
Professora: Elisandra Bar de Figueiredo.
Objetivo Geral da Disciplina: Capacitar o aluno para a compreensão dos teoremas
relacionados à geometria e para as aplicações de propriedades de �guras e sólidos geométricos.
Ementa: Ângulos, Teorema de Tales, Polígonos, Pirâmides, Prismas, Poliedros, Teorema
de Euler, Cilindros, Cone, Esfera.
Objetivos Especí�cos da Disciplina: Desenvolver a capacidades do aluno de observação e
representação dos objetos geométricos e físicos. Identi�car os diversos tipos de �guras planas
e sólidos geométricos. Fornecer ao aluno, uma bagagem de conhecimento que lhes permita
resolver problemas práticos e abstratos encontrados no dia a dia ou em outras disciplinas.
Iniciar o aluno a utilizar o rigor lógico nos pensamentos dedutivo e indutivo.
Cronograma de Atividades:
1. Noções primitivas e Postulados
1.1. Noções primitivas
1.2. Postulados: existência, determinação e inclusão
1.3. Segmentos de reta
1.4. Posições relativas entre retas e planos
2. Ângulos
2.1. De�nição
2.2. Medida de ângulos
2.3. Ângulos internos de �guras geométricas planas
3. Triângulos e Quadriláteros
3.1. Congruência de triângulos
i
3.2. Paralelismo e perpendicularidade
3.3. Pontos notáveis no triângulo
3.4. Quadriláteros notáveis
4. Circunferência e círculo
4.1. Ângulos na circunferência
4.2. Quadriláteros inscritos e circunscritos
5. Semelhança de Triângulos
5.1. Teorema de Tales
5.2. Triângulos semelhantes
5.3. Relações métricas no triângulo retângulo
5.4. Triângulos quaisquer
6. Figuras planas
6.1. Polígonos regulares
6.2. Polígonos inscritos e circunscritos em circunferências
6.3. Perímetros e comprimento de circunferência
7. Área de �guras planas
7.1. Área de regiões poligonais
7.2. Área do círculo e de suas partes
8. Poliedros
8.1. Conceitos gerais de poliedros
8.2. Poliedros convexos
8.3. Teorema de Euler
9. Prismas
9.1. De�nição, elementos e classi�cação
9.2. Área da base, da superfície lateral e total
9.3. Volume
9.4. Princípio de Cavalieri
10. Pirâmides
10.1. De�nição, elementos e classi�cação
ii
10.2. Área da base, da superfície lateral e total
10.3. Volume
10.4. Tetraedro
10.4. Tronco de pirâmide
11. Cilindros
11.1. De�nição, elementos e classi�cação
11.2. Seção meridiana
11.3. Área da base, da superfície lateral e total
11.4. Volume
12. Cones
12.1. De�nição, elementos e classi�cação
12.2. Seção meridiana
12.3. Área da base, da superfície lateral e total
12.4. Volume
12.5 Tronco de cone
13. Esfera
13.1. De�nição e elementos
13.2. Área da superfície esférica
13.3. Volume
14.4. Seções
14.5 Fuso esférico
14.6 Cunha esférica
Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição
de conteúdos:
1a Prova: referente ao Capítulos 1, 2 e 3: nota x
2a Prova: referente ao Capítulos 4, 5 e 6: nota y
3a Prova: referente aos Capítulos 7, 8, 9 e 10: nota z
4a Prova: referente ao Capítulo 11, 12 e 13: nota w
Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das
quatro avaliações, ou seja Média=
x+ y + z + w
2
.
iii
Datas das Avaliações:
1a Prova: 29/03/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)
2a Prova: 03/05/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)
3a Prova: 02/06/2011 (quinta-feira, entre 7h e 9h20min)
4a Prova: 28/06/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)
EXAME: 05/07/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)
Segunda chamada das provas
Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliações, deverá entrar
com pedido o�cial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias
úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe.
As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização
da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do
DMAT e na página da disciplina.
É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo
de segunda chamada.
BIBLIOGRAFIA
• IEZZI, G. et all. Geometria Plana. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.
Volume 09, 8
a
edição, Editora Atual, 2008.
• IEZZI, G. et all. Geometria Espacial. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.
Volume 10, 6
a
edição, Editora Atual, 2008.
• KALEFF, A. M. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume
através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos. 2
a
edição, EDUFF,
Rio de Janeiro, 2003.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
• BARBOSA, J.L.M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática,
SBM, 2006.
• CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática,
SBM, 2005.
• GARBI, G. G.. C.Q.D.. 1a edição, Livraria da Física, 2010.
• LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. e MORGADO, A.C. A Matemática
do Ensino Médio. Volume 2. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006.
• LIMA, E.L. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemática,
SBM, 1991.
• MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria I. Editora VestSeller, 2009.
• MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria II. Editora VestSeller,
2008.
iv
Horário de Monitoria
Monitor:
Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
07:30 08:20
08:20 09:10
09:20 10:10
10:10 11:00
11:00 11:50
13:30 14:20
14:20 15:10
15:20 16:10
16:10 17:00
17:00 17:50
18:10 19:00
19:00 19:50
19:50 20:40
Horário de Atendimento da Professora
Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
07:30 08:20
08:20 09:10
09:20 10:10
10:10 11:00
11:00 11:50
13:30 14:20
14:20 15:10
15:20 16:10
16:10 17:00
17:00 17:50
18:10 19:00
19:00 19:50
19:50 20:40
v
Conteúdo
1 Noções primitivas e postulados 1
1.1 Estrutura Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Noções primitivas, postulados e de�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Noções primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Proposições primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.4 Posições relativas entre pontos, retas e planos . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Determinação de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Elementos do espaço, do plano e da reta 6
2.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Triângulos 10
3.1 Conceitos - Elementos - Classi�cação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.2 Elementos do 4ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.3 Classi�cação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Paralelismo e Perpendicularismo 13
4.1 Ângulos das paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Desigualdades nos triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Perpendicularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Quadriláteros 19
5.1 Quadriláteros - de�nição e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Quadriláteros notáveis - de�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Propriedades dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.4 Propriedades dos paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 Propriedades dos retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.6 Propriedades dos losangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.8 Base média do triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.9 Base média do trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
vi
6 Pontos notáveis do triângulo 26
6.1 Incentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Circuncentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Ortocentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.4 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Polígonos 29
7.1 De�nições e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Diagonais - Ângulos internos - Ângulos externos . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Circunferência e círculo 33
8.1 De�nições e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.2 Interior e exterior de uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Posições relativas entre duas circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.3 Posições relativas entre uma reta e uma circunferência . . . . . . . . . . . . . 35
8.4 Quadriláteros circunscritíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 Ângulos na circunferência 38
9.1 Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.2 Ângulo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.3 Ângulo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.4 Quadrilátero inscritível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.5 Ângulo de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.6 Ângulo excêntrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10 Teorema de Tales e Semelhança de triângulos 42
10.1 Feixe de retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10.2 Teorema das bissetrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.3 Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.4 Casos de semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11 Relações métricas nos triângulos 48
11.1 Triângulos retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.2 Aplicações do teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11.3 Triângulos quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12 Polígonos regulares 53
12.1 Conceitos e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.2 Medida do lado e do apótema de polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . 54
12.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
vii
13 Comprimento da circunferência 58
13.1 Conceitos e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.2 Comprimento de um arco de circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
14 Áreas de superfícies planas 62
14.1 Equivalência plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
14.2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
14.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
15 Poliedros convexos 67
15.1 Superfície poliédrica e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
15.2 Poliedros de Platão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
15.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
16 Prismas 72
16.1 De�nições e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
16.2 Paralelepípedos e romboedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
16.3 Volume de um sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16.4 Volume de um paralelepípedo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16.5 Princípio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16.6 Volume de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
16.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
17 Cilindro 78
17.1 De�nições e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
17.2 Área lateral e total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
17.3 Volume do cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
17.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
18 Pirâmide 81
18.1 De�nições e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
18.2 Volume da pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
18.3 Tronco de pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
18.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
19 Cone 89
19.1 De�nições e elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
19.2 Áreas lateral e total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
19.3 Volume do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
19.4 Tronco de cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
19.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
20 Esfera 94
20.1 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
20.2 Área e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
20.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
viii
Capítulo 1
Noções primitivas e postulados
1.1 Estrutura Matemática
1. Noções primitivas - estabelecidas sem de�nição;
2. Proposições primitivas (postulados ou axiomas) - são a�rmações aceitas sem demon-stração;
3. De�nição - caracterização de elementos;
4. Propriedades, proposições, teoremas, corolários, lemas - são a�rmações que devem ser
provadas
1
1.2 Noções primitivas, postulados e de�nições
1.2.1 Noções primitivas
Adotaremos sem de�nir os conceitos de
Ponto, Reta e Plano.
NOTAÇÕES:
• Ponto: letras latinas maiúsculas - A, B, C, · · ·
• Reta: letras latinas minúsculas - r, s, t, · · ·
• Plano: letras gregas minúsculas - α, β, γ, · · ·
1.2.2 Proposições primitivas
1. Postulado da existência
(a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, existem in�nitos pontos.
(b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há in�nitos pontos.
2. Postulados da determinação
(a) Da reta: dois pontos distintos, A e B, determinam uma única reta que passa
por eles. Denotaremos esta reta por
←→
AB.
(b) Do plano: três pontos, A, B e C, não colineares (pontos que não pertencem a
uma mesma reta) determinam um único plano que passa por eles. Denotaremos
este plano por (A,B,C).
3. Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois pontos distintos contidos num plano,
então esta reta está contida nesse mesmo plano.
1.2.3 De�nições
De�nimos:
1. Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.
2. Duas retas, r e s, são paralelas se ou são coincidentes ou são coplanares e não
possuem nenhum ponto em comum. Notação: r ‖ s.
3. Duas retas são concorrentes se elas tem um único ponto de interseção.
4. Duas retas são reversas se não existe um plano que contém as duas retas.
2
1.2.4 Posições relativas entre pontos, retas e planos
1. Pontos P e Q :
{
P = Q
P 6= Q
2. Ponto P e reta r :
{
P ∈ r
P /∈ r
3. Ponto P e plano α :
{
P ∈ α
P /∈ α
4. Retas r e s :

coplanares:

paralelas:
{
r = s
r ∩ s = ∅
concorrentes: r ∩ s = {P}
não coplanares: reversas: r ∩ s = ∅
5. Reta r e plano α :

r ⊂ α ⇒ r ∩ α = r
r ‖ α ⇒ r ∩ α = ∅
r concorrente com α ⇒ r ∩ α = {P}
6. Planos α e β :
{
α ‖ β ⇒ α ∩ β = ∅
α e β secantes ⇒ α ∩ β = r
OBSERVAÇÃO 1.2.5 Se a interseção de dois planos não é vazia, então é sempre uma reta.
1.3 Determinação de um plano
Existem quatro maneiras de determinar um plano:
1. Três pontos não colineares - Postulado da determinação.
2. Uma reta e um ponto fora dela - Teorema:
TEOREMA 1.3.1 Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta,
então eles determinam um único plano que os contém.
3. duas retas concorrentes - Teorema:
TEOREMA 1.3.2 Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único
plano que as contém.
4. duas retas paralelas distintas - Teorema:
TEOREMA 1.3.3 Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas deter-
minam um único plano que as contém.
3
1.4 Exercícios
1. Retas reversas podem ser paralelas?
2. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos?
3. Prove que: três retas, duas a duas concorrentes, não passando pelo mesmo ponto, estão
contidas no mesmo plano.
4. Três retas, duas a duas concorrentes, passando pelo mesmo ponto, estão contidas no
mesmo plano?
5. Na �gura abaixo temos um sólido cujas faces estão contidas em seis planos distintos
(o sólido é um paralelepípedo). Determine a interseção dos planos α e β, sendo α o
plano determinado pelas retas
←→
AB e
←→
HG e β o plano determinado pelas retas
←→
BC
e
←→
EH.
6. Classi�que em V (verdadeiro) ou F (falso) justi�cando a resposta.
(a) Por um ponto passam in�nitas retas.
(b) Uma reta contém dois pontos distintos.
(c) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
(d) Por três pontos dados passa uma só reta.
(e) Três pontos distintos são sempre colineares.
(f) Três pontos distintos são sempre coplanares.
(g) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
(h) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.
(i) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta
a tal que A ∈ a e B ∈ a.
(j) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P
e Q pertencem às retas r e s, então r = s.
(k) Três pontos distintos determinam um plano.
(l) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
(m) Duas retas distintas paralelas e uma reta concorrente com as duas determinam
dois planos distintos.
(n) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
(o) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
7. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas pode-
mos construir?
4
8. Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a
dois distintos, se eles não são coplanares.
9. Quais são os planos determinados por quatro pontos distintos A, B, C e D?
10. Prove que: duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares.
11. Quantos são os planos que passam por uma reta? Justi�que.
12. Prove que: se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e
um ponto da outra, contém a outra.
13. Num plano α há uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Prove que: se con-
duzirmos por P uma reta s, paralela a r, então s está contida em α.
14. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si? Justi-
�que.
15. Prove que: Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos
distintos.
16. Classi�que em V (verdadeiro) ou F (falso) justi�cando a resposta.
(a) Duas retas distintas determinam um plano.
(b) Duas retas concorrentes são coplanares.
(c) Duas retas coplanares são concorrentes.
(d) Duas retas distintas não paralelas são reversas.
(e) Duas retas que não tem um ponto em comum são paralelas.
(f) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes.
(g) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas.
(h) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅.
(i) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que r e s sejam reversas.
(j) A condição r ∩ s = ∅ é su�ciente para que r e s sejam reversas.
(k) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que duas retas distintas r e s sejam
paralelas.
(l) A condição r ∩ s = ∅ é su�ciente para que duas retas r e s sejam paralelas.
(m) Dois planos secantes tem in�nitos pontos em comum.
17. Num plano α há duas retas
←→
AB e
←→
CD concorrentes num ponto O. Fora de α há um
ponto P. Qual a interseção dos planos β = (P,A,B) e γ = (P,C,D)?
18. Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual é a
interseção dos planos α = (r, S) e β = (s,R)?
5
Capítulo 2
Elementos do espaço, do plano e da reta
2.1 Conceitos
1. Um ponto de uma reta divide a mesma em dois conjuntos de pontos chamado semir-
retas, sendo o ponto de divisão chamado origem de cada semirreta.
Notação:
−→
AB
2. Dados dois pontos A e B em uma reta r chama-se segmento AB ao conjunto de pontos
de r que estão entre A e B, que são os extremos do segmento.
3. Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é também
extremidade do outro.
4. Dois segmentos de reta são colineares se pertencem a mesma reta.
5. Dois segmentos de reta colineares e consecutivos são adjacentes se possuem apenas
uma extremidade em comum.
6. Uma reta r de um plano α divide α em dois conjuntos de pontos chamados semiplanos,
sendo a reta de divisão chamada origem de cada semiplano.
7. Um plano qualquer divide o espaço em dois conjuntos de pontos chamados semiespaços,
sendo o plano de divisão chamado origem de cada semiespaço.
6
8. Um conjunto de pontos é convexo se, para todo par de pontos A e B do conjunto, o
segmento AB está inteiramente contido no conjunto. Quando o conjunto não é convexo
ele é dito côncavo.
9. Ângulo é a união de duas semirretas com mesma origem.
10. Se as duassemirretas que determinam um ângulo não são opostas então este ângulo de-
termina dois setores angulares, um convexo e um côncavo. O setor convexo é chamado
interior do ângulo.
11. Ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado por elas.
12. Ângulo entre duas retas reversas é o ângulo formado por duas retas concorrentes par-
alelas as duas primeiras.
13. Congruência
(a) Dois segmentos são congruentes quando podem ser levados a coincidir por super-
posição, mediante um deslocamento rígido de um deles.
(b) Duas �guras são congruentes quando podem ser levadas a coincidir por super-
posição, mediante um deslocamento rígido de uma delas.
7
14. Bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
15. Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos
congruentes. Notação: r ⊥ s.
16. Qualquer um dos ângulos formados pelas retas perpendiculares chama-se ângulo reto.
17. Dois ângulos são adjacentes quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum.
18. (a) α é um ângulo agudo se α < 1R;
(b) α é um ângulo obtuso se α > 1R;
(c) α é um ângulo raso se α = 2R.
19. Dois ângulos α e β são:
(a) complementares se α+ β = 1R;
(b) suplementares se α+ β = 2R;
(c) replementares se α+ β = 4R.
20. Dois ângulos são opostos pelo vértice, (opv), quando os lados de um são as semir-
retas opostas dos lados do outro.
21. Medida de um segmento: Medir um segmento é compará-lo com um outro tomado
como unidade.
Notação: m(AB), |AB| ou simplesmente AB.
8
Consequência: Dois segmentos são congruentes quando possuem a mesma medida.
22. Medida de ângulos: Medir um ângulo é compará-lo com outro ângulo tomado como
unidade.
(a) Sistema sexagesimal: Unidade - grau - 1◦ =
1
90
R.
Múltiplos - subunidades
minuto: 1′ =
1◦
60
,
segundo: 1′′ =
1′
60
.
(b) Sistema decimal: Unidade - grado - 1gr =
1
100
R.
Múltiplos - subunidades
decígrado: 1dgr = 0, 1gr,
centígrado: 1cgr = 0, 01gr.
TEOREMA 2.1.1 Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
2.2 Exercícios
1. As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares.
2. As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
3. Sendo AB e BC segmentos colineares e consecutivos, AB o quádruplo de BC e
|AC| = 45u.c., determine |AB| e |BC|.
4. O segmento AB de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento CD dessa mesma reta.
Determine a medida do segmento AB, considerando como unidade de medida a quinta
parte do segmento CD.
Capítulo 2 do livro texto volume 9: 17, 22 e 23
Capítulo 3 do livro texto volume 9: 30-33, 44, 62, 67, 72, 77 e 78.
9
Capítulo 3
Triângulos
3.1 Conceitos - Elementos - Classi�cação
DEFINIÇÃO 3.1.1 Dados três pontos A, B e C não colineares a união dos segmentos AB,
BC e AC chama-se triângulo ABC.
Notação: Triângulo ABC = 4ABC
3.1.2 Elementos do 4ABC
• Vértices: os pontos A, B e C;
• Lados: os segmentos AB, BC e AC;
• Ângulos (ou ângulos internos): BAˆC ou Aˆ, ABˆC ou Bˆ e ACˆB ou Cˆ.
Dizemos que os lados AB, BC e AC e os ângulos Cˆ, Aˆ e Bˆ são, respectivamente opostos.
3.1.3 Classi�cação
• Quanto aos lados:
1. Equilátero - os três lados congruentes.
2. Isósceles - dois lados congruentes. Num triângulo isósceles o lado não congruente
é chamado base e o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice.
3. Escaleno - quaisquer dois lados não são congruentes.
• Quanto aos ângulos:
1. Acutângulo - os três ângulos agudos.
2. Retângulo - um ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto num triângulo retângulo
é chamado hipotenusa e os outros dois são catetos.
3. Obtusângulo - um ângulo obtuso.
4. Equiângulo - os três ângulos congruentes.
10
DEFINIÇÃO 3.1.4 Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte
de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado.
DEFINIÇÃO 3.1.5 Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com extremidades num
vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.
DEFINIÇÃO 3.1.6 Dado um 4ABC e sendo −−→CX a semirreta oposta à semirreta −−→CB, o
ângulo eˆ = eˆC = ACˆX é o ângulo externo do 4ABC adjacente a Cˆ e não adjacente aos
ângulos Aˆ e Bˆ.
DEFINIÇÃO 3.1.7 Mediana de um triângulo é o segmento com extremidades num vértice e
no ponto médio do lado oposto.
DEFINIÇÃO 3.1.8 Um triângulo é congruente a outro se é possível estabelecer uma corres-
pondência entre seus vértices de modo que:
• seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro;
• seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.
3.2 Congruência de triângulos
1. Lado-Ângulo-Lado (LAL): dois lados e o ângulo compreendido respectivamente con-
gruentes;
11
2. Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): um lado e seus dois ângulos adjacentes respectivamente
congruentes;
3. Lado-Lado-Lado (LLL): três lados respectivamente congruentes;
4. Lado-Ângulo-Ângulo oposto (LAAO): um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto
ao lado respectivamente congruentes;
5. Caso especial de triângulos retângulos - a hipotenusa e um dos catetos respectivamente
congruentes.
TEOREMA 3.2.1 Um triângulo é isósceles se, e somente se, seus ângulos da base são
congruentes.
COROLÁRIO 3.2.2 Um triângulo equilátero possui os três ângulos congruentes.
3.3 Exercícios
1. Prove que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz.
Capítulo 4 do livro texto volume 9: 80, 91, 93-96, 105-112.
12
Capítulo 4
Paralelismo e Perpendicularismo
4.1 Ângulos das paralelas
Sejam r e s retas paralelas e t uma reta concorrente com r e s (t é dita transversal às
paralelas r e s). Os oito ângulos determinados por estas retas e indicados na �gura abaixo
são classi�cados como:
• alternos: α1 e α7, α2 e α8, α3 e α5, α4 e α6;
• correspondentes: α1 e α5, α2 e α6, α3 e α7, α4 e α8;
• colaterais: α1 e α8, α2 e α7, α3 e α6, α4 e α5.
PROPRIEDADES
1. Os ângulos alternos são congruentes.
2. Os ângulos correspondentes são congruentes.
3. Os ângulos colaterais são suplementares.
13
PROPOSIÇÃO 4.1.1 Um ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois ângulos internos
não adjacentes.
COROLÁRIO 4.1.2 A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180
◦.
COROLÁRIO 4.1.3 Num triângulo equilátero cada ângulo interno mede 60
◦.
4.2 Desigualdades nos triângulos
1. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
14
2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
3. DESIGUALDADE TRIANGULAR. Em cada triângulo cada lado é menor que a soma
dos outros dois. E consequentemente cada lado é maior que a diferença dos outros
dois.
4.3 Perpendicularidade
DEFINIÇÃO 4.3.1 Duas retas são perpendiculares se são concorrentes e formam um ângulo
de 90
◦.
DEFINIÇÃO 4.3.2 A projeção de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P ′ ∈ r
obtido pela interseção de r com a reta perpendicular a r e passando por P.
DEFINIÇÃO 4.3.3 A distância do ponto P até a reta r é a distância de P até a sua
projeção P ′.
15
DEFINIÇÃO 4.3.4 A distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto
qualquer de uma delas até a outra reta.
DEFINIÇÃO 4.3.5 A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que
passa pelo seu ponto médio.
PROPRIEDADE DOS PONTOS DA MEDIATRIZ. Todo ponto da mediatriz é equidistante
das extremidades do segmento.
PROPOSIÇÃO 4.3.6 As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo
ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo.
16
DEFINIÇÃO 4.3.7 O ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo é chamado cir-
cuncentro e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
PROPRIEDADE DOS PONTOS DA BISSETRIZ. Todo ponto da bissetriz de um ânguloé
equidistante dos lados deste ângulo.
PROPOSIÇÃO 4.3.8 As bissetrizes de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que
está a igual distância dos lados deste triângulo.
DEFINIÇÃO 4.3.9 O ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo é chamado incen-
tro e é o centro da circunferência inscrita ao triângulo.
17
4.4 Exercícios
1. Com três segmentos cujos comprimentos são 9 cm, 13 cm e 23 cm é possível construir
um triângulo? Justi�que sua resposta.
2. Na �gura abaixo sabe-se que: AB//PQ; AB ≡ AM ; BM ≡MQ; m(BAˆC) =70◦ e
m(PQˆM) =55◦. Determine a medida de β.
3. No triângulo ABC da �gura abaixo tem-se CD perpendicular a AB, BE perpendicular
a AC e CD ≡ BE.
Mostre que ABC é um triângulo isósceles.
4. O triângulo ABC abaixo é um triângulo retângulo com ângulo reto em Aˆ e não é
isósceles. Além disso, AD é bissetriz do ângulo BAˆH, AE é bissetriz do ângulo CAˆH
e AH é uma altura do triângulo ABC.
Com os dados acima classi�que em V (verdadeiro) ou F (falso) as a�rmações abaixo
justi�cando sua resposta.
(a) m(DAˆE) = 45◦.
(b) O triângulo ADE é isósceles.
(c) O triângulo BAE é isósceles.
(d) O triângulo CAD é isósceles.
Capítulo 4 do livro texto volume 9: 114, 115, 116;
Capítulo 5 do livro texto volume 9: 135, 139, 140, 146, 147, 154, 155, 156, 167, 169, 185;
Capítulo 6 do livro texto volume 9: 191, 198, 199, 200, 202, 203, 221, 223.
18
Capítulo 5
Quadriláteros
5.1 Quadriláteros - de�nição e elementos
DEFINIÇÃO 5.1.1 Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos
e três não colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas
extremidades, a união destes quatro segmentos é um quadrilátero.
Notação: Quadrilátero ABCD = ABCD = AB ∪BC ∪ CD ∪DA.
OBSERVAÇÃO 5.1.2 Um quadrilátero é um polígono simples de quatro lados.
ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO ABCD
• Vértices: os pontos A, B, C e D;
• Lados: os segmentos AB, BC, CD e DA;
• Ângulos (ou ângulos internos): DAˆB ou Aˆ, ABˆC ou Bˆ, BCˆD ou Cˆ e CDˆA ou Dˆ;
• Diagonais: os segmentos AC e BD.
PROPOSIÇÃO 5.1.3 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360
◦
graus e a soma
dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é também 360
◦
graus.
19
5.2 Quadriláteros notáveis - de�nições
1. TRAPÉZIO - é o quadrilátero plano convexo que possui um par de lados paralelos,
que são chamados de bases do trapézio.
Classi�cação:
• Trapézio isósceles - se os lados não paralelos são congruentes;
• Trapézio escaleno - se os lados não paralelos não são congruentes;
• Trapézio retângulo - se possui dois ângulos retos.
2. PARALELOGRAMO - é o quadrilátero plano convexo que possui os lados opostos
para-lelos.
ABCD é paralelogramo ⇔ AB//CD e BC//AD.
3. RETÂNGULO - é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro ângulos con-
gruentes.
ABCD é retângulo ⇔ Aˆ ≡ Bˆ ≡ Cˆ ≡ Dˆ.
4. LOSANGO - é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes.
ABCD é losango ⇔ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA.
5. QUADRADO é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes
e os quatro ângulos congruentes.
ABCD é quadrado ⇔ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA e Aˆ ≡ Bˆ ≡ Cˆ ≡ Dˆ.
PROPOSIÇÃO 5.2.1 Todo quadrado é losango e retângulo.
20
5.3 Propriedades dos trapézios
1. Em qualquer trapézio ABCD com bases AB e CD temos que Aˆ+Dˆ = Bˆ+Cˆ = 180◦.
2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
5.4 Propriedades dos paralelogramos
1. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, possui os ân-
gulos opostos congruentes.
21
2. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados
opostos congruentes.
3. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, as diagonais se
interceptam nos respectivos pontos médios.
4. Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelo-
gramo.
5.5 Propriedades dos retângulos
1. Um paralelogramo ABCD é um retângulo se, e somente se, tem as diagonais congru-
entes.
22
5.6 Propriedades dos losangos
1. Um paralelogramo ABCD é um losango se, e somente se, tem as diagonais perpendi-
culares.
5.7 Resumo
Note que se um quadrilátero convexo
• tem diagonais que se cortam ao meio, então ele é um paralelogramo;
• tem diagonais que se cortam ao meio e são congruentes, então ele é um retângulo;
• tem diagonais que se cortam ao meio e são perpendiculares, então ele é um losango;
• tem diagonais que se cortam ao meio, são congruentes e são perpendiculares, então ele
é um quadrado.
5.8 Base média do triângulo
1. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo,
então ele é paralelo ao terceiro lado e mede metade do terceiro lado.
23
2. Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto
médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é
ponto médio do terceiro lado.
5.9 Base média do trapézio
1. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio, então ele é paralelo às bases e é igual a semissoma das bases.
2. Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio
de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta extremidade
é ponto médio deste lado.
24
5.10 Exercícios
1. Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são
paralelas aos lados do retângulo.
2. Sejam AB e PQ dois segmentos que interceptam-se num ponto X. Prove que se X é
ponto médio dos dois segmentos, então o quadrilátero formado pelos pontos A, P, B
e Q é um paralelogramo.
3. Demonstre que unindo-se, consecutivamente, os pontos médios dos lados de um retân-
gulo obtém-se um losango.
4. Considere um losango ABCD se o ângulo formado pela mediana BX com um dos lados
do losango mede 50
◦
(veja a �gura abaixo), determine a medida de todos os ângulos
internos e externos deste losango.
5. No trapézio abaixo sabe-se que AD ≡ DC ≡ CB e BD ≡ BA. Determine a medida
do ângulo Aˆ.
Na �gura abaixo temos que D é ponto médio de AB, E é ponto médio de BC e a reta
r é paralela a reta
←→
AB. Prove que ADHC é um paralelogramo e que |DE| = |AC|
2
.
6. Considere um trapézio isósceles ABCD com bases AB e CD. Seja O o ponto de
interseção das suas diagonais.
(a) Prove que os triângulos BOC e AOD são congruentes.
(b) Se a razão entre a medida dos ângulos Aˆ e Dˆ é 2
7
, determine a medida de todos
os ângulos internos desse trapézio.
Capítulo 7 do livro texto volume 9: 227, 229, 231, 234, 235, 254, 256, 263.
25
Capítulo 6
Pontos notáveis do triângulo
6.1 Incentro
DEFINIÇÃO 6.1.1 Num triângulo ABC incentro é o centro da circunferência inscrita
nesse triângulo.
PROPRIEDADE. O incentro é o ponto de interseção das três bissetrizes de um triângulo.
Para provar isto usamos o propriedade dos pontos da bissetriz. Visto no resumo de Perpen-
dicularismo.
6.2 Circuncentro
DEFINIÇÃO 6.2.1 Num triângulo ABC circuncentro é o centro da circunferência circuns-
crita a este triângulo.
PROPRIEDADE. O circuncentro é o ponto de interseção das três mediatrizes de um triân-
gulo. Para provar isto usamos o propriedade dos pontos da mediatriz. Visto no resumo de
Perpendicularismo.
6.3 Ortocentro
DEFINIÇÃO 6.3.1 Ortocentro é o ponto de interseção das três alturas de um triângulo.
A prova que as três alturas de um triângulo se interceptam num mesmo ponto pode ser
encontrada no livro texto no capítulo 8.
6.4 Baricentro
PROPOSIÇÃO 6.4.1 As três medianas de um triângulo de interceptam-se num mesmo ponto,
chamado baricentro do triângulo, que divide a mediana em duas partes tais que a parte que
contém o vértice é o dobro da outra.DEMONSTRAÇÃO:
26
27
6.5 Exercícios
1. O triângulo ABC abaixo é um triângulo equilátero com incentro no ponto O. Prove
que O é também circuncentro e ortocentro deste triângulo.
2. Considere o trapézio ABCD com AB//CD, |AB| = 8u.c. e |CD| = 5u.c., repre-
sentado na �gura abaixo. Se G é o baricentro do triângulo ABC qual a medida de
ZY ?
3. Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio da AB. Determine
m(PM), sendo m(DP ) = 16 cm.
4. Na Figura abaixo P é o ponto médio de AC e PQ é paralelo a BC. Sendo |BC| =
40 u.c. e |AC| = 50 u.c., determine |PQ| e |PO|.
Capítulo 8 do livro texto volume 9: 277, 278, 280, 281, 282, 285, 288, 289, 290.
28
Capítulo 7
Polígonos
7.1 De�nições e elementos
DEFINIÇÃO 7.1.1 Dada uma sequência de pontos distintos (A1, A2, A3, · · · , An), com
n ≥ 3, em um plano α, sendo que três pontos consecutivos não são colineares, considerando
An, A1 e A2 consecutivos, chama-se polígono de n lados a união dos segmentos
A1A2, A2A3, · · · , An−1An, AnA1.
Notação: Polígono A1A2 · · ·An−1An = A1A2 ∪ A2A3 ∪ · · · ∪ An−1An ∪ AnA1.
EXEMPLO 7.1.2 Identi�que quais casos abaixo são polígonos.
TIPOS DE POLÍGONOS
• Um polígono é simples se a interseção de quaisquer dois lados não consecutivos é vazia.
• Um polígono é complexo quando não é simples.
• Um polígono é convexo se a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer
deixa os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.
• Um polígono que não é convexo é chamado de polígono côncavo.
OBSERVAÇÃO 7.1.3 Por de�nição, um quadrilátero é sempre um polígono simples.
29
EXEMPLO 7.1.4 Classi�que os polígonos dados no Exemplo 1.
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
Considerando o polígono A1A2 · · ·An−1An, temos:
• Vértices -
• Lados -
• Ângulos (internos) -
• Ângulos externos de um polígono convexo -
• Lados Consecutivos -
• Ângulos Consecutivos -
• Perímetro -
• Diagonais -
NOME DOS POLÍGONOS
De acordo com o número de lados os polígonos recebem nomes especiais. Veja a seguir a
correspondência, sendo n o número de lados.
• n = 3 −→ triângulo ou trilátero
• n = 4 −→ quadrângulo ou quadrilátero
• n = 5 −→ pentágono
• n = 6 −→ hexágono
• n = 7 −→ heptágono
• n = 8 −→ octógono
• n = 9 −→ eneágono
• n = 10 −→ decágono
30
• n = 11 −→ undecágono
• n = 12 −→ dodecágono
• n = 15 −→ pentadecágono
• n = 20 −→ icoságono
DEFINIÇÃO 7.1.5 Um polígono convexo é regular se tem todos os lados congruentes (equi-
látero) e todos os ângulos congruentes (equiângulo).
EXEMPLO 7.1.6 • O triângulo regular é o triângulo equilátero.
• O quadrilátero regular é o quadrado.
• Para os demais polígonos usamos a notação regular. Exemplo: pentágono regular,
icoságono regular.
7.2 Diagonais - Ângulos internos - Ângulos externos
PROPOSIÇÃO 7.2.1 O número de diagonais de um polígono convexo de n lados, n ≥ 3, é
dado por d =
n(n− 3)
2
.
PROPOSIÇÃO 7.2.2 A soma Si dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,
n ≥ 3, é Si = (n− 2) · 180◦.
31
PROPOSIÇÃO 7.2.3 A soma Se dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados,
n ≥ 3, é Se = 360◦.
COROLÁRIO 7.2.4 Num polígono convexo regular de n lados, n ≥ 3, cada ângulo interno e
externo medem, respectivamente, ai =
(n− 2) · 180◦
n
e ae =
360◦
n
.
7.3 Exercícios
1. Na �gura abaixo temos um hexágono e um pentágono regular. Determine a medida de
α, β, θ e δ.
2. Três polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números inteiros n, n+1
e n+2. Sabendo que a soma dos ângulos internos dos três polígonos é 2700◦, determine
o número de diagonais de cada um destes polígonos.
3. Considere um polígono convexo de 6 lados. Sabendo que as medidas dos ângulos
internos desse polígono formam uma progressão aritmética e a proporção entre o menor
ângulo e a razão desta progressão é
15
2
, determine a medida de todos os ângulos internos
deste polígono.
Capítulo 9 do livro texto volume 9: 294, 295, 298, 311, 320, 322, 324, 326, 328.
32
Capítulo 8
Circunferência e círculo
8.1 De�nições e elementos
DEFINIÇÃO 8.1.1 Circunferência é o conjunto de pontos de um plano α cuja distância de
um ponto O ∈ α é igual a uma distância r > 0 �xa dada. O ponto O é chamado centro e r
é o raio da circunferência.
Notação: Circunferência de centro O e raio r : λ(O, r), assim,
λ(O, r) = {p ∈ α/d(P,O) = r}.
8.1.2 Interior e exterior de uma circunferência
Dado um ponto X ∈ α e uma circunferência λ(O, r) ⊂ α, podemos ter:
1. X interno a λ ⇐⇒ d(X,O) < r;
2. P pertence a λ ⇐⇒ d(P,O) = r;
3. Y externo a λ ⇐⇒ d(Y,O) > r;
O conjunto de todos os pontos interiores a λ(O, r) é o interior da circunferência e o con-
junto dos pontos exteriores é o seu exterior.
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA λ(O, r):
• Centro -
• Raio -
• Corda -
• Diâmetro -
• Arco de circunferência -
� Arco menor -
33
� Arco maior -
• Semicircunferência -
DEFINIÇÃO 8.1.3 Círculo ou disco é o conjunto de pontos de um plano α cuja distância de
um ponto O ∈ α é menor ou igual a uma distância r > 0 �xa dada. O ponto O é chamado
centro e r é o raio do círculo.
Notação: Circulo de centro O e raio r : c(O, r), assim, c(O, r) = {p ∈ α/d(P,O) ≤ r}.
OBSERVAÇÃO 8.1.4 O círculo c(O, r) é a união da circunferência λ(O, r) com o seu interior.
ELEMENTOS DO CÍRCULO c(O, r):
• Setor circular -
• Segmento circular -
• Semicírculo -
8.2 Posições relativas entre duas circunferências
Sejam λ1(O1, r1) e λ2(O2, r2) duas circunferências, com r1 > r2 e d = d(O1, O2). Podemos
ter,
1. λ2 ⊂ λ1 não tangentes, então d < r1 − r2;
2. λ2 ⊂ λ1 tangentes, então d = r1 − r2;
3. λ2 e λ1 tangentes externas, então d = r1 + r2;
4. λ2 e λ1 secantes, então r1 − r2 < d < r1 + r2;
5. λ2 externa a λ1, então d > r1 + r2.
34
8.3 Posições relativas entre uma reta e uma circunferên-
cia
1. t tangente a λ(O, r), então d(O, t) = r;
2. s secante a λ(O, r), então d(O, s) < r;
3. l exterior a λ(O, r), então d(O, l) > r.
PROPRIEDADES DA RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Seja s uma reta secante à circunferência λ(O, r), não passando por O, com s∩λ = {A,B}.
Então, temos
(a) Se M é ponto médio da corda AB, então
←−→
OM ⊥ s.
(b) Se l é uma reta perpendicular à reta s, passando por O e P ∈ s ∩ l, então P é ponto
médio de AB.
PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
1. Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à
circunferência.
35
2. Seja t uma reta tangente à circunferência λ(O, r) no ponto T. Então, OT ⊥ t.
PROPOSIÇÃO 8.3.1 Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB tangentes a
circunferência λ(O, r), com A,B ∈ λ, então PA ≡ PB.
8.4 Quadriláteros circunscritíveis
DEFINIÇÃO 8.4.1 Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se seus
quatro lados são tangentes à circunferência.
PROPOSIÇÃO 8.4.2 Um quadrilátero convexo ABCD é circunscrito a uma circunferência
λ se, e somente se, |AB|+ |CD| = |AD|+ |BC|.
36
8.5 Exercícios
1. Determine os raios das circunferências centradas em A, B e C, sendo m(AB) = 12,
m(BC) = 13 e m(AC) = 17.
Capítulo 10 do livro texto volume 9: 337, 339, 342, 343, 353, 357, 358, 361, 364, 370, 372.
37
Capítulo 9
Ângulos na circunferência
9.1 Congruência
DEFINIÇÃO 9.1.1 Duas circunferências são congruentes se possuem o mesmo raio.
DEFINIÇÃO 9.1.2 Dois arcos são congruentes se são arcos de circunferências de mesmo
raio e possuem o mesmo ângulo de abertura.
9.2 Ângulo central
DEFINIÇÃO 9.2.1 Ângulo central relativo a circunferência λ(O, r) é o ângulo que tem o
vértice no centro da circunferência.
Todo ângulo central determina na circunferência um arco AB correspondente, sendo A
e B os pontos onde o ângulo intercepta a circunferência. Na �gura abaixo α = AOˆB é um
ângulo central com arco AB correspondente.DEFINIÇÃO 9.2.2 Amedida de uma arco de circunferência é igual a medida do ângulo
central correspondente.
9.3 Ângulo inscrito
DEFINIÇÃO 9.3.1 Ângulo inscrito na circunferência λ(O, r) é um ângulo que tem o vér-
tice na circunferência e os lados são secantes a circunferência. Na �gura abaixo α é ângulo
inscrito com ângulo AOˆB como ângulo central correspondente.
38
PROPOSIÇÃO 9.3.2 A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central
correspondente.
PROPOSIÇÃO 9.3.3 Todo ângulo reto é inscritível numa semicircunferência. Reciproca-
mente, todo ângulo inscrito numa semicircunferência, com os lados passando pelas extremi-
dades da semicircunferência é um ângulo reto.
9.4 Quadrilátero inscritível
DEFINIÇÃO 9.4.1 Um quadrilátero que tem os vértices numa circunferência é um quadrilátero
inscrito nesta circunferência.
39
PROPOSIÇÃO 9.4.2 Um quadrilátero convexo é inscritível numa circunferência se, e so-
mente se, os ângulos opostos são suplementares.
9.5 Ângulo de segmento
DEFINIÇÃO 9.5.1 Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circun-
ferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado secante e o outro lado
tangente à circunferência. Na �gura abaixo α é o ângulo do segmento circular AB.
PROPOSIÇÃO 9.5.2 A medida do ângulo de segmento é metade da medida do ângulo central
correspondente.
40
9.6 Ângulo excêntrico
DEFINIÇÃO 9.6.1 Se duas cordas se interceptam num ponto no interior a uma circunferên-
cia, distinto do centro, então qualquer um dos ângulos que elas formam é chamado ângulo
excêntrico interior. Na �gura abaixo β e θ são ângulos excêntricos interiores.
DEFINIÇÃO 9.6.2 Se com origem num ponto exterior a uma circunferência traçarmos duas
semirretas, ambas secantes à circunferência, ou ambas tangentes, ou uma secante e a outra
tangente, estas semirretas formam um ângulo que é chamado ângulo excêntrico exterior. Nas
�guras abaixo α é sempre um ângulo excêntrico exterior.
9.7 Exercícios
1. Demonstre que: se duas cordas de uma mesma circunferência são congruentes, então
os arcos correspondentes às cordas são congruentes.
2. Seja AB o diâmetro de uma circunferência e C um ponto sobre a circunferência tal que
a medida do arco BC seja igual a 32◦. Calcule a medida dos ângulos ABˆC e ACˆB.
3. Prove que um trapézio inscrito em uma circunferência é isósceles.
4. Determine a medida de um ângulo excêntrico interior, em relação à medida dos arcos
que ele compreende.
5. Determine a medida de um ângulo excêntrico exterior, em relação à medida dos arcos
que ele compreende.
6. Determine a medida do ângulo α representado abaixo, sabendo que CD = R, sendo R
o raio da circunferência.
Capítulo 11 do livro texto volume 9: 378, 382, 383, 385, 386, 389, 390, 392, 393, 394, 395,
397
41
Capítulo 10
Teorema de Tales e Semelhança de
triângulos
10.1 Feixe de retas paralelas
DEFINIÇÃO 10.1.1 Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares paralelas
entre si.
DEFINIÇÃO 10.1.2 Reta transversal a um feixe de retas paralelas é uma reta concorrente
com as retas do feixe.
DEFINIÇÃO 10.1.3 Pontos correspondentes de duas retas transversais a um feixe de
retas paralelas são os pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe.
DEFINIÇÃO 10.1.4 Segmentos correspondentes de duas retas transversais são os seg-
mentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. Na �gura abaixo são
segmentos correspondentes AB e EF ; BC e FG; CD e GH e ainda, AC e EG
entre outros.
TEOREMA 10.1.5 (Teorema de Tales) Se duas retas são transversais de um feixe de
para-lelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre
os respectivos segmentos correspondentes da outra. Na �gura acima temos,
|AB|
|BC| =
|EF |
|FG| ;
|BC|
|CD| =
|FG|
|GH| ;
|AB|
|CD| =
|EF |
|GH| ; entre outros.
42
EXEMPLO 10.1.6 Determine o valor das incógnitas nas �guras abaixo.
EXEMPLO 10.1.7 Na �gura abaixo, onde r//s//t, temos que m(AC) + m(AE) = 20 cm;
m(AD)
m(AB)
= 5
3
e as medidas dos segmentos AB e BC são proporcionais a 1 e 3, respectiva-
mente. Calcule as medidas de AB, BC, AD, e DE.
43
10.2 Teorema das bissetrizes
TEOREMA 10.2.1 (Teorema da bissetriz interna) Considere o triângulo ABC e seja AD
bissetriz interna do ângulo A. Então,
|BD|
|AB| =
|CD|
|AC| , como na �gura.
TEOREMA 10.2.2 (Teorema da bissetriz externa) Considere o triângulo ABC e seja AD
bissetriz externa do ângulo A. Se AD intercepta BC no ponto D, então,
|BD|
|AB| =
|CD|
|AC| , como
na �gura.
44
EXEMPLO 10.2.3 Considere o triângulo ABC na �gura abaixo. Sendo AS bissetriz de Aˆ e
AD bissetriz externa de Aˆ. Determine |CD|, dados |BS| = 8u.c. e |SC| = 6u.c..
10.3 Semelhança de triângulos
DEFINIÇÃO 10.3.1 Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos ordenada-
mente congruentes e os lados homólogos proporcionais (dois lados são homólogos se cada um
deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes).
Na �gura abaixo, se 4ABC é semelhante ao 4EFG, então Aˆ ≡ Eˆ; Bˆ ≡ Fˆ ; Cˆ ≡ Gˆ e
k =
|AB|
|EF | =
|BC|
|FG| =
|AC|
|EG| .
Notação: 4ABC ∼ 4EFG,
Se a constante de proporção k for igual a 1 temos que os triângulos são congruentes.
TEOREMA 10.3.2 (Teorema fundamental) Se uma reta paralela a um dos lados de um
triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela de-
termina é semelhante ao primeiro.
45
10.4 Casos de semelhança de triângulos
1. Primeiro caso (Ângulo-Ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenada-
mente congruentes, então eles são semelhantes.
2. Segundo caso (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de um triângulo são proporcionais
aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então
os triângulos são semelhantes.
3. Terceiro caso (Lado-Lado-Lado): Se dois triângulos tem os lados homólogos propor-
cionais, então os triângulos são semelhantes.
10.5 Exercícios
1. Considere o triângulo ABC representado na �gura abaixo. Calcule o perímetro do
quadrilátero EFCG sabendo que: a circunferência inscrita é tangente ao lado AB no
ponto E; |AB| = 12u.c., |AC| = 8u.c., |BC| = 16u.c. e os lados EG e EF são
paralelos a BC e AC, respectivamente.
46
2. Sabendo que a razão de semelhança entre dois triângulos semelhante é k, Determine:
(a) a razão de semelhança entre os perímetros destes triângulos;
(b) a razão de semelhança entre as alturas homólogas destes triângulos;
(c) a razão de semelhança entre os raios dos círculos inscritos nestes triângulos;
3. Na �gura abaixo considere |AB| = 8 u.c., |BC| = 12 u.c. e BFDE um losango
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado deste losango.
4. Na �gura abaixo o triângulo ABC é equilátero, as três retas ligando os lados AB
a AC são paralelas a BC e dividem o lado AB em quatro segmentos congruentes.
Se |DG| + |EH| + |FI| = 18 u.c., determine o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo ABC.
5. Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC, conforme a �gura abaixo.
Seja AE um diâmetro dessa circunferência e BD a altura do triângulo ABC relativa
ao vértice B.
(a) Mostre que os triângulos ABE e BCD são semelhantes.
(b) Sendo |AE| = 15 u.c., |AB| = 5 u.c. e |BC| = 7 u.c., calcule a altura BD.
Capítulo 12 do livro texto volume 9: 416, 418, 421, 422, 424, 430, 435, 441, 443, 444
Capítulo 13 do livro texto volume 9: 450, 455, 458, 461, 471, 472, 478, 483
47
Capítulo 11
Relações métricas nos triângulos
11.1 Triângulos retângulos
Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em A e AD altura deste triângulo
relativa ao lado BC, conforme a �gura abaixo.
Elementos:
• BC -
• AB -
• AC -
• AD -
• BD -
•CD -
PROPOSIÇÃO 11.1.1 Na �gura acima temos que 4DBA ∼ 4ABC ∼ 4DAC.
48
TEOREMA 11.1.2 (Teorema de Pitágoras) A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa.
TEOREMA 11.1.3 (Recíproca do teorema de Pitágoras) Se num triângulo o quadrado
de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo.
11.2 Aplicações do teorema de Pitágoras
1. Medida da diagonal de um quadrado de lado a :
2. Medida da altura de um triângulo equilátero de lado a :
3. Seja α a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. De�na
• seno de α por: sinα = cateto oposto
hipotenusa
• cosseno de α por: cosα = cateto adjacente
hipotenusa
• tangente de α por: tanα = cateto oposto
cateto adjacente
Com isto temos,
49
• do quadrado:
� sin(45◦) =
� cos(45◦) =
� tan(45◦) =
• do triângulo equilátero:
� sin(30◦) =
� cos(30◦) =
� tan(30◦) =
� sin(60◦) =
� cos(60◦) =
� tan(60◦) =
EXEMPLO 11.2.1 No triângulo ABC da �gura abaixo tem-se que: AH é altura; DE//AB;
DF//AC; m(Cˆ) = 30◦; |AC| = 6u.c.; |AB| = 5u.c. e |DH| = 3
2
u.c.. Determine o
perímetro do triângulo DEF.
50
11.3 Triângulos quaisquer
TEOREMA 11.3.1 (Lei dos cossenos) Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é
igual à soma dos quadrados dos outros dois menos duas vezes o produtos destes dois lados
pelo cosseno do ângulo por eles formado.
TEOREMA 11.3.2 (Lei dos senos) Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos
dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência cir-
cunscrita ao triângulo.
51
11.4 Exercícios
1. Na Figura 11.1, determine a medida do ângulo Cˆ.
2. Na Figura 11.2, o triângulo ABC é equilátero de lado 4 u.c., M é o ponto médio do
lado AC e |PB| = 1 u.c.. Calcule o perímetro do triângulo APM.
3. Na Figura 11.3, Aˆ = 45◦ e |BC| = 4√2 u.c., determine o determine o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
4. Na Figura 11.4, AB é igual ao raio do círculo de centro O, |BC| = 26u.c. e BH é
perpendicular a AC. Calcule |HC|.
Figura 11.1: Ex.2 Figura 11.2: Ex. 3 Figura 11.3: Ex. 4 Figura 11.4: Ex. 5
Capítulo 14 do livro texto volume 9: 509, 512, 516, 523, 527, 530, 534, 538, 556, 576, 598,
617, 618
Capítulo 15 do livro texto volume 9: 626, 627, 629, 632, 637, 640, 641, 653, 655, 656, 669
52
Capítulo 12
Polígonos regulares
12.1 Conceitos e propriedades
DEFINIÇÃO 12.1.1 Um polígono convexo é regular se tem todos os lados congruentes e
todos os seus ângulos internos congruentes ou seja, um polígono é regular se é equilátero e
equiângulo.
PROPRIEDADE 1. Dividindo-se uma circunferência λ(O, r) em n (n ≥ 3) arcos congru-
entes, temos:
(a) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, for-
mam um polígono regular de n lados inscrito em λ(O, r);
(b) as tangentes a λ(O, r) traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular
de n lados circunscrito a esta circunferência.
PROPRIEDADE 2. Dado um polígono convexo regular P de n lados (n ≥ 3), temos:
(a) P é inscritível numa circunferência, isto é, existe uma única circunferência que passa
pelos seus vértices.
(b) P é circunscritível a uma circunferência, isto é, existe uma única circunferência inscrita
em P.
53
ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM POLÍGONO REGULAR.
1. Centro:
2. Ângulo cêntrico:
3. Apótema:
12.2 Medida do lado e do apótema de polígonos regulares
Indicaremos por ln a medida do lado e por an a medida do apótema do polígono regular de
n lados.
EXEMPLO 12.2.1 Calcule o lado e o apótema do polígono regular abaixo conhecendo o raio R
da circunferência circunscrita.
1. Quadrado:
54
2. Triângulo equilátero:
3. Hexágono regular:
4. Octógono regular:
5. Dodecágono regular:
55
EXEMPLO 12.2.2 Calcule o apótema de um polígono regular dados R e ln.
EXEMPLO 12.2.3 Calcule l2n dados R e ln.
56
12.3 Exercícios
1. Determine a razão entre os raios de dois círculos, sabendo que o primeiro está circun-
scrito a um triângulo regular e no segundo está inscrito um quadrilátero regular. Além
disso, o perímetro do triângulo e do quadrilátero é o mesmo.
2. Na �gura abaixo temos inscritos na circunferência, de raio 4u.c., um polígono de 5
lados e um de 10 lados e circunscrito à circunferência um de 10 lados. Sendo |AB| =
2
√
10− 2√5u.c. o lado do polígono de 5 lados, determine sem usar senos e cossenos
de ângulos que não sejam os conhecidos:
(a) cos 72◦;
(b) o apótema do polígono de 5 lados inscrito na circunferência;
(c) o lado (BP ) do polígono de 10 lados inscrito na circunferência;
(d) o apótema do polígono de 10 lados inscrito na circunferência;
(e) o lado (UV ) do polígono de 10 lados circunscrito à circunferência;
(f) a aproximação para pi usando o polígono de 10 inscrito e o de 10 lados circunscrito
a circunferência.
Capítulo 16 do livro texto volume 9: 688, 700, 701, 703, 704, 705, 711, 717, 718, 719, 721,
722, 725.
57
Capítulo 13
Comprimento da circunferência
13.1 Conceitos e propriedades
Seja λ(O,R) uma circunferência e considere o polígono regular A1B1C1D1 · · ·N1 de n
lados inscrito em λ e ABCD · · ·N o polígono regular de n lados circunscrito a λ.
Na �gura acima temos:
• |OP | = R = An - apótema do polígono circunscrito;
• |OP1| = r = an - apótema do polígono inscrito;
• |AB| = Ln - lado do polígono circunscrito;
• |A1B1| = ln - lado do polígono inscrito;
Note que os triângulos 4AOB e 4A1OB1 são semelhantes.
58
Logo,
|AB|
|A1B1|
=
|OP |
|OP1|
⇔ Ln
ln
=
R
r
⇔ n · Ln
n · ln =
R
r
⇔ Pn
pn
=
R
r
,
onde Pn é o perímetro do polígono circunscrito e pn é o perímetro do polígono inscrito.
Como R > r, segue que,
Pn > pn.
Além disso, conforme aumenta o número de lados do polígono, temos que pn aumenta,
enquanto Pn diminui.
EXEMPLO 13.1.1 Veri�que que
p3 < p4 < p6 < p12 < P12 < P6 < P4 < P3,
sendo pn o perímetro do polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R
e Pn o perímetro do polígono regular de n lados circunscrito numa circunferência de raio R.
59
DEFINIÇÃO 13.1.2 Dada uma circunferência λ(O,R), o segmento maior que o perímetro
de todos os polígonos convexos inscritos e menor que o perímetro de todos os polígonos
convexos circunscritos é chamado segmento reti�cante da circunferência ou perímetro
do círculo de�nido pela circunferência.
DEFINIÇÃO 13.1.3 O comprimento do segmento reti�cante da circunferência ou do perímetro
do círculo é chamado comprimento da circunferência. Notação: C.
OBSERVAÇÃO 13.1.4 Os perímetros dos polígonos inscritos e circunscritos em λ aproximam
o comprimento da circunferência.
PROPOSIÇÃO 13.1.5 A razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número
constante representado por pi, isto é,
C
2R
= pi.
DEMONSTRAÇÃO:Considere duas circunferências λ1(O1, R1) e λ2(O2, R2) com comprimento
C1 e C2, respectivamente. Sejam
• p1 e P1 os perímetros de um polígono regular de n lados inscrito e circunscrito em
λ1(O1, R1);
• p2 e P2 os perímetros de um polígono regular de n lados inscrito e circunscrito em
λ2(O2, R2).
Temos que p1 < C1 < P1 e p2 < C2 < P2, donde
p1
2R1
<
C1
2R1
<
P1
2R1
e
p2
2R2
<
C2
2R2
<
P2
2R2
.
Além disso, por semelhança de triângulos temos que
p1
p2
=
R1
R2
=
P1
P2
.
Logo,
p2
2R2
<
C1
2R1
<
P2
2R2
.
Portanto,
C1
2R1
=
C2
2R2
,
ou seja, a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número constante.
EXEMPLO 13.1.6 Use o perímetro de polígonos, de n lados, inscritos e circunscritos a uma
circunferência de raio R para aproximar o valor de pi. Considere n = 3, 4, 6, 12.
60
13.2 Comprimento de um arco de circunferência
O comprimento de um arco decircunferência l é proporcional à sua medida α.
• Para α em graus:
• Para α em radianos:
OBSERVAÇÃO 13.2.1 Chama-se radiano todo arco de circunferência cujo comprimento é igual
ao comprimento do raio da circunferência que o contém. Assim, numa circunferência há 2pi
radianos e consequentemente
1 rad =
360◦
2pi
=
180◦
pi
.
13.3 Exercícios
1. Uma pista circular está limitada por duas circunferências concêntricas cujos compri-
mentos valem, respectivamente, 3km e 2,4km. Determine a largura da pista.
2. Determine o perímetro da região sombreada sendo ABCD um quadrado de lado 48u.c.
e os arcos são centrados em A, B, C e D.
A B
CD
3. Calcule o comprimento da circunferência inscrita no trapézio retângulo ABCD com
bases m(AD) = 10 e m(BC) = 15.
Capítulo 17 do livro texto volume 9: 733-737, 747-751, 762, 769.
61
Capítulo 14
Áreas de superfícies planas
14.1 Equivalência plana
DEFINIÇÃO 14.1.1 Dois polígonos são equivalentes se podem ser decompostos em igual
número de polígonos dois a dois congruentes entre si. Notação: P1 ≈ P2.
EXEMPLO 14.1.2 Um retângulo de dimensões b e h e um paralelogramo com um lado medindo
b e altura relativa a este lado medindo h são equivalentes. Notação: R(b, h) ≈ P (b, h).
14.2 Área
DEFINIÇÃO 14.2.1 Área de uma superfície plana é um número real positivo associado
a superfície de forma que:
(i) superfícies equivalentes possuem a mesma área;
(ii) a uma soma de superfícies está associada uma área que é a soma das áreas das super-
fícies parcelas;
(iii) se uma superfície R1 está contida em uma outra R2, então a área de R1 é menor ou
igual que a área de R2.
UNIDADE DE MEDIDA DE ÁREA. Considere o quadrado Q(1, 1) de lado 1u.c.. Este
quadrado é a unidade de medida de área, isto é,
1 u.a. = Q(1, 1).
62
ÁREAS DE POLÍGONOS
• Retângulo R(b, h) : A = b · h u.a.
• Quadrado Q(a, a) : A = a2 u.a.
• Paralelogramo P (b, h) : A = b · h u.a.
• Triângulo T (b, h) : A = b · h
2
u.a.
• Triângulo Equilátero de lado a A = a
2
√
3
4
u.a.
• Trapézio Tra(b1, b2, h) : A = (b1 + b2) · h
2
u.a.
• Losango L(d1, d2) sendo d1 e d2 as medidas de suas diagonais: A = d1 · d2
2
u.a.
• Polígono regular com medidas:

n = número de lados
a = medida do apótema
l = medida do lado
p = semiperímetro
, então A = p · a u.a.
63
ÁREA DO CÍRCULO E DE SUAS PARTES
• Círculo de raio R : A = semiperímetro · apótema = 2piR
2
·R = pir2 u.a.
• setor circular de abertura α◦ : A = piαR
2
360
u.a.
• Segmento circular: A = (área do setor) - (área do triângulo).
RAZÃO ENTRE ÁREAS
• Razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Suponha que 4ABC ∼ 4DEF
com
|AB|
|DE| =
|AC|
|DF | =
|BC|
|EF | = k, então
A4ABC
A4DEF
= k2.
• Razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes. Dizemos que dois polígonos são
semelhantes se podem ser decompostos em triângulos semelhantes, consequentemente
seus ângulos são ordenadamente congruentes e seus lados homólogos proporcionais. Se
a proporção de semelhança entre dois polígonos for k, então a razão entre as suas áreas
será k2.
64
14.3 Exercícios
1. A �gura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regu-
lares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes. Sabe-se que
o lado do hexágono mede 1u.c..
(a) Determine a área dos ladrilhos que compõe a �gura 1.
(b) Classi�que (quanto a lados e ângulos) e determine a área dos 6 ladrilhos trian-
gulares colocados perfeitamente nos espaços da �gura 1, como indicado na �gura
2.
2. Determine a área de um octógono regular de lado medindo 4 u.c..
3. Determine a área do triângulo abaixo.
4. Um agrimensor desejava encontrar a área de um lote de terra ABCDE, cujo diagrama
está abaixo. Para determinar a área ele traçou uma reta passando por E na direção
norte-sul e as retas passando por A, B, C e D na direção leste-oeste e descobriu que
|AO| = 37m, |BR| = 47m, |CQ| = 42m, |DP | = 28m, |PQ| = 13m, |QE| = 7m,
|ER| = 19m e |RO| = 18m. Com esses dados, ele encontrou a área que queria.
Calcule-a, agora, você.
Sul
LesteOeste
Norte
65
5. Prove que a área de um triângulo de lados medindo a, b e c é dada por
A =
√
p(p− a)(p− b)(p− c),
sendo p o semiperímetro.
Dica: �xe um dos lados como base e determine a altura relativa a este lado em função
da medida dos lados e do semiperímetro e use a lei dos cossenos.
6. Considere um hexágono regular de apótema 5
√
3 u.c. inscrito numa circunferência de
raio R. Determine a área interior a circunferência e exterior ao hexágono.
7. O perímetro do triângulo equilátero ABC é 12 cm , onde A, B e C são os centros
das circunferências ilustradas na �gura abaixo. Calcule a área da região hachurada,
delimitada pelas circunferências.
8. A �gura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros
AD, AC e CD.
Sendo CB perpendicular a AD, e sabendo-se que |AB| = 4 e |DB| = 3, determine a
área da região sombreada na �gura.
9. Determine a área sombreada na �gura abaixo sabendo que AC é diâmetro de uma
circunferência com centro em O, B é um ponto desta circunferência, m(COˆB) =30◦
e |OA| = 2 cm.
Capítulo 19 do livro texto volume 9: 795, 799, 800, 807, 813, 819, 820, 824, 832, 840, 846,
858, 859, 903, 904, 906, 913, 915.
66
Capítulo 15
Poliedros convexos
15.1 Superfície poliédrica e poliedros
DEFINIÇÃO 15.1.1 Superfície Poliédrica limitada convexa é um número �nito de polí-
gonos planos e convexos, tais que
(i) dois polígonos não estão num mesmo plano;
(ii) cada lado de cada polígono não está em mais que dois polígonos;
(iii) havendo lados de polígonos que estão em apenas um polígono eles devem formar uma
única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;
(iv) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semiespaço (condição de con-
vexidade).
OBSERVAÇÕES 15.1.2 • As superfícies poliédricas limitadas convexas que tem contorno
são chamadas abertas. As que não possuem contorno são chamadas fechadas.
• Uma superfície poliédrica limitada convexa aberta ou fechada não é uma região convexa
EXEMPLO 15.1.3 .
67
ELEMENTOS.
• Faces -
• Arestas -
• Vértices -
• Ângulos das faces -
• Ângulos poliédricos -
DEFINIÇÃO 15.1.4 Considere um �nito n (n ≥ 4) de polígono convexos tais que:
(i) dois polígonos não estão num mesmo plano;
(ii) cada lado de cada polígono é comum a dois e somente dois polígonos;
(iii) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semiespaço (condição de con-
vexidade).
Nestas condições �cam determinados n semiespaços, cada um tendo origem no plano do polí-
gono e contendo os demais. A interseção destes semiespaços é chamado poliedro convexo.
OBSERVAÇÃO 15.1.5 • Um poliedro possui faces, arestas e vértices;
• A união das faces é a superfície do poliedro;
• Um poliedro convexo é uma região convexa.
68
TEOREMA 15.1.6 (Relação de Euler) Para todo poliedro convexo vale a relação
V − A+ F = 2,
sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.
69
DEFINIÇÃO 15.1.7 Os poliedros para os quais vale a relação de Euler são chamados Poliedros
eulerianos.
OBSERVAÇÃO 15.1.8 odo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é
convexo.
EXEMPLO 15.1.9 Determine o número de arestas e faces dos poliedros do Exemplo 1.
15.2 Poliedros de Platão
DEFINIÇÃO 15.2.1 Um poliedro é chamado Poliedro de Platão se satisfaz as seguintes
condições:
(i) todas as faces tem o mesmo número de arestas;
(ii) todos os ângulos poliédricos tem o mesmo número de arestas;
(iii) vale a relação de Euler (V + F − A = 2).
TEOREMA 15.2.2 Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão.
70
DEFINIÇÃO 15.2.3 Um poliedro convexo é regular quando:(i) suas faces são polígonos regulares;
(ii) seus ângulos poliédricos são congruentes.
TEOREMA 15.2.4 Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros de regulares.
OBSERVAÇÃO 15.2.5 Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de
Platão é regular.
15.3 Exercícios
1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares,
1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.
2. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais (7 lados).
Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 64 ângulos retos?
3. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais.
Sabe-se que o número de faces triangulares excede o que faces pentagonais em duas
unidades. Calcule o número de faces de cada tipo sabendo que o poliedro tem 7 vértices.
4. Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces
adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da
superfície poliédrica que resta.
5. Um poliedro convexo possui 21 faces, 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos e
os demais ângulos triédricos.
(a) Calcule o número de vértices e de arestas deste poliedro.
(b) Sabendo que o poliedro possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pen-
tagonais, e que o número de faces triangulares é igual ao número de faces quad-
rangulares. Determine o número de faces de cada tipo.
Capítulo 7 do livro texto volume 10: 182, 184, 185, 186, 191, 192, 194, 196, 201, 212.
71
Capítulo 16
Prismas
16.1 De�nições e elementos
DEFINIÇÃO 16.1.1 Considere um polígono convexo de n lados (n ≥ 3) contido num plano
α e um segmento de reta PQ cuja reta suporta intercepta α. Prima ou prisma convexo
limitado é a união de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremi-
dade nos pontos do polígono.
ELEMENTOS.
• Duas bases congruentes -
• n faces laterais -
• 2n arestas das bases -
• n arestas laterais -
• 2n vértices -
• 2n ângulos triedros -
OBSERVAÇÃO 16.1.2 Nos prismas vale a relação de Euler.
DEFINIÇÃO 16.1.3 A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases.
72
DEFINIÇÃO 16.1.4 Seção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que in-
tercepta todas suas arestas laterais.
OBSERVAÇÕES 16.1.5 • Uma seção de um prisma é um polígono com o mesmo número
de lados que as bases do prisma e com vértices em cada aresta lateral do prisma.
• Seção reta ou seção normal é uma seção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.
DEFINIÇÃO 16.1.6 Superfície lateral de um prisma é a união das faces laterais. A área
desta superfície é chamada área lateral do prisma e indicada por Al.
DEFINIÇÃO 16.1.7 Superfície total de um prisma é a união da superfície lateral e das
bases deste prisma. A área desta superfície é chamada área total do prisma e indicada por
At.
CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS.
• Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Suas faces laterais são retângulos e sua altura é igual ao comprimento das arestas
laterais.
• Prisma oblíquo é aquele cujas arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
• Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
NATUREZA DOS PRISMAS. Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal etc,
conforme a base for um triângulo, quadrilátero, pentágono etc.
16.2 Paralelepípedos e romboedros
• Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é
composta por seis paralelogramos.
• Paralelepípedo reto é um prisma reto cujas bases são paralelogramos. Sua superfície
total é composta por dois parale-logramos e quatro retângulos.
• Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro é um prisma reto
cujas bases são retângulos. Sua superfície total é composta por seis retângulos.
• Cubo é paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes.
• Romboedro é um paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua
superfície total é composta por seis losangos.
• Romboedro reto é um paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre
si. Sua superfície total é composta por quatro quadrados e dois losangos.
• Romboedro reto-retângulo ou cubo é um romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua
superfície total é composta por seis quadrados.
73
16.3 Volume de um sólido
DEFINIÇÃO 16.3.1 Volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólido de
forma que
(i) sólidos congruentes tem volumes iguais;
(ii) se um sólido S é a união de dois sólidos S1 e S2 que não tem pontos interiores em
comum então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2.
UNIDADE DE MEDIDA. A unidade de medida de volume é o cubo de aresta 1u.c. Assim,
o volume desse cubo é 1u.v. (1 unidade de volume). Se a unidade de comprimento for cm,
então seu volume será 1cm
3.
DEFINIÇÃO 16.3.2 Dois sólidos são equivalentes se tem volumes iguais na mesma unidade
de volume.
16.4 Volume de um paralelepípedo retângulo
Considere um paralelepípedo retângulo com dimensões a, b e c. Comparando este par-
alelepípedo com o cubo de aresta 1, temos que este cubo encaixa a · b · c vezes no par-
alelepípedo, ou seja, o volume deste paralelepípedo é V = abc.
OBSERVAÇÃO 16.4.1 Se considerarmos no paralelepípedo acima como base a face de dimensões
a e b e como altura a dimensão c podemos escrever o volume de um paralelepípedo retângulo
como V = Ab · h, ou seja, o volume é o produto a área da base pela altura do paralelepípedo.
OBSERVAÇÃO 16.4.2 O volume de um cubo de aresta medindo a é V = a3.
16.5 Princípio de Cavalieri
Considere um número �nito de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de mesmas
dimensões e, consequentemente, de mesmo volume. Considere a formação de dois sólidos
diferentes, A e B, com esta coleção de chapas, como na �gura abaixo.
74
O Volume ocupado por estas chapas nos sólidos A e B é o mesmo.
Se estes sólidos são colocados sobre um mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço
dos determinados por α, qualquer plano β secante aos sólidos A e B e paralelo a α determina
em A e B superfícies de mesma área (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser
estendida para duas pilhas com o mesmo número de moedas congruentes.
O fato que acabamos de caracterizar intuitivamente é formalizado pelo princípio de Cav-
alieri ou postulado de Cavalieri (Francesco Bonaventura Cavalieri, 1598-1647) que segue:
"Dois sólidos que tem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano
geram áreas iguais, tem o mesmo volume."
A1 = A2 ⇒ VS1 = VS2 .
16.6 Volume de um prisma
Consideremos um prisma P1 com altura h e área da base B1 = A e um paralelepípedo
retângulo P2 com altura h e área da base B2 = A (o prisma e o paralelepípedo tem alturas
congruentes e bases equivalentes).
Se posicionarmos as bases do prisma e do paralelepípedo em um mesmo plano α de modo
a deixá-los num mesmo semiespaço, determinado por este plano, qualquer plano β, paralelo
a α, que seccionar P1 também secciona P2 e as seções (B
′
1 e B
′
2, respectivamente) tem áreas
iguais, pois são congruentes às respectivas bases. Então, pelo princípio de Cavalieri o prisma
P1 e o paralelepípedo P2 tem o mesmo volume, ou seja,
V = A · h = área da base × altura.
75
16.7 Exercícios
1. Determine a natureza do prisma cuja soma dos ângulos das faces é 72 retos.
2. O apótema da base de um prisma triangular regular mede
√
3cm e a área lateral é
72cm
2. Determine a altura deste prisma.
3. Determine a área de superfície total de um cubo com aresta medindo au.c.
4. Determine o número de diagonais de um prisma cuja base é um polígono convexo de
n lados.
5. Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo são congruentes.
6. Determine