09-Mai-19 - GST1213 - Equivalência Atuarial

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GST1213 − MÉTODOS QUANTITATIVOS CONTÁBEIS E ATUARIAIS
EQUIVALÊNCIA ATUARIAL
Jobel Corrêa, MBA, MSc.
ATUÁRIA
COMO GERENCIAR O RISCO?
▪ A ideia revolucionária que define a
fronteira entre os tempos modernos
e o passado se baseia no domínio do
risco;
▪ Antigamente havia a noção de que o
futuro é um capricho dos deuses e
de que os homens eram passivos
perante a natureza;
▪ Antes o futuro era um “espelho” do
passado ou o domínio obscuro de
adivinhos que detinham o monopólio
sobre os eventos previstos”.
A palavra atuário, ao longo do
tempo, adquiriu significados
diversos até chegar no atual
estágio. O termo é bastante
antigo; vem da grafia “actuarius"
na língua Latina, significando
escriba antigo, encarregado de
preparar processos verbais das
seções do Senado, de redigir os
documentos e fatos que
deveriam figurar nos autos.
A gestão do risco tornou-se uma importante ferramenta para
a ampla gama de tomada de decisões:
• Alocação de riquezas;
• Salvaguarda de regimes previdenciários;
• Planejamento familiar;
• Cultivo de determinado produto;
• Lançamento de satélites;
• Seguro vida.
“O risco acompanha o homem e é inerente à sua natureza”
(LARRAMENDI, 1982, p.9).
RISCO: Um evento aleatório, cuja
distribuição de probabilidade é
conhecida e sua ocorrência implica
prejuízos econômicos.
INCERTEZA: Variável cuja distribuição
de probabilidade é desconhecida.
https://www.youtube.com/watch?v=V2sfnVikFXA
A necessidade de proteção contra o perigo, a insegurança diante do
desconhecido, a incerteza do futuro e o medo em relação à imprevisibilidade
dos acontecimentos estiveram sempre presentes na vida do homem.
Tais sentimentos o levaram a criar formas de proteção para si e para o seu
patrimônio. Assim nasceu a ideia do seguro.
Certos acontecimentos, como a morte de uma pessoa ou a destruição de bens
ou coisas, trouxeram ao homem a preocupação de buscar uma forma de
reparação por intermédio de uma instituição.
O seguro é um organismo que progressivamente se aperfeiçoa para
restabelecer, de alguma forma, o equilíbrio perturbado pela materialização
do risco.
Existem registros indicando
que os cameleiros da
Babilônia, 23 séculos antes do
nascimento de Cristo,
atravessavam o deserto em
caravanas para comercializar
seus animais nas cidades
vizinhas.
Sentindo as dificuldades e os
perigos da travessia, como a
morte ou desaparecimento dos
animais, os cameleiros
estabeleceram um acordo:
cada membro do grupo que
perdia um camelo tinha a
garantia de receber um outro
animal pago pelos demais
cameleiros.
Os romanos, congregaram-se em
sociedades chamadas collegia, com intuito
de protegerem-se mutuamente contra
prejuízos monetários advindos de dias
chuvosos, pragas e casos de morte.
O imperador Cláudio (10 a.C. – 54 d.C.),
interessado em estimular o plantio e
comércio de grãos, criou um seguro
gratuito para todos os agricultores e
mercadores romanos ao tomar para si a
responsabilidade sobre qualquer perda do
cereal decorrente do mau tempo.
John Graunt (1620-1674), realizou seu trabalho em uma época
em que a sociedade, essencialmente agrícola da Inglaterra,
estava se tornando cada vez mais sofisticada, com
empreendimentos comerciais ultramarinos. As observações de
John Graunt, publicadas em 1662 no seu livro Natural and
Political Observations made upon the Bills of Mortality
constituíram o primeiro exemplo de método estatístico
aplicado.
Foi ao longo deste período que se observou um grande esforço
para a obtenção de dados referentes à mortalidade de pessoas.
Mesmo percebendo que as estatísticas disponíveis
representavam uma mera fração de todos os nascimentos e
mortes já ocorridos em Londres, Graunt não se absteve de
elaborar amplas conclusões sobre os dados disponíveis. Sua
linha de análise é conhecida atualmente como inferência
estatística.
Com o seu esforço inovador, Graunt transformou o processo
simples de coleta de informações em um instrumento poderoso
e complexo de interpretação do mundo.
Seguro Privado (Companhias de Seguros)
Sob o aspecto jurídico, segundo o art. 757 do Código Civil Brasileiro, “pelo
contrato de seguro, o segurador se obriga, mediante o pagamento do
prêmio, a garantir interesse legítimo do segurado, relativo a pessoa ou a
coisa, contra riscos predeterminados”.
Assim, o contrato de seguro é um acordo pelo qual o segurado, mediante
pagamento de um prêmio ao segurador, garante para si ou para seus
beneficiários, indenizações de prejuízos que venha a sofrer em consequência
da realização de um dos eventos previstos no contrato.
São dois os principais elementos do contrato de seguro: proposta e apólice,
indispensáveis ao estabelecimento do compromisso entre as partes.
São elementos essenciais do Seguro: Segurador, Segurado, Prêmio e o Risco:
Segurador (Seguradora): é a empresa legalmente constituída para assumir e gerir
coletivamente os riscos, obedecidos os critério técnicos administrativos específicos;
Segurado: é a pessoa física ou jurídica em nome de que se faz o seguro; é comum a pessoa
do segurado apresentar, também, características de Estipulante e de Beneficiário.
Prêmio: é o valor devido pelo Segurado ao Segurador, para que este assuma os riscos
previstos no contrato de seguro.
Risco: é um acontecimento possível, porém futuro e incerto, quer quanto a sua ocorrência,
quer quanto ao momento em que se deverá produzir, independentemente da vontade do
Segurado e do Segurador. Risco pode ser avaliado por três prismas diferentes: crescentes
(risco de morte, em função da idade); decrescentes (risco de sobrevivência, em função da
idade) e estacionários (incêndio).
ESPERANÇA MATEMÁTICA ou VALOR ESPERADO
Esperança matemática é o que produz o jogo honesto na acepção do jogo equilibrado
Preço Puro ou de Custo
É igual ao ganho esperado, multiplicado pela probabilidade desse ganho e ainda 
multiplicado pelo fator de desconto (vn) correspondente ao período entre a aposta e o 
sorteio.
𝐸 = 𝑄 ∙ 𝑝 ∙ 𝑣𝑛
𝑶𝒏𝒅𝒆:
𝑄 = 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑃 𝑒 =
𝑃𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣 = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜
𝑛 = 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜
EXEMPLO 1:
Um apostador espera ganhar a importância de 200.000,00. e se a probabilidade de ganhar 
é de 1/5, a respectiva esperança matemática será, desconsiderando-se o prazo (n = 0), de:
𝐸 = 𝑄 ∙ 𝑝 ∙ 𝑣𝑛
𝐸 = 200.000 ∙
1
5
∙ 𝑣0
1
𝐸 = 40.000 (Preço de custo ou aposta máxima)
FATOR DE DESCONTO
O fator de desconto é determinado em função de uma taxa de juros (i) e do prazo pré-
estabelecidos (n). Tem por objetivo apurar, na data atual, o valor de certo montante
financeiro que será exigido daqui a n períodos.
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
10.000,00
i = 6% a.m.
0 1 2 3 4
10.600,00 11.236,00 11.910,16 12.624,76
capitalização
descapitalização
FATOR DE DESCONTO
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
𝑟 = 1 + 𝑖 → 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜
𝑣 =
1
(1 + 𝑖)
→ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜
EXEMPLO 2:
Uma sociedade beneficente está rifando um automóvel no valor R$ 50.000,00. Serão vendidos 10.000 rifas
(bilhetes). Qual é a esperança matemática, considerando que todas as rifas (bilhetes) sejam vendidas.
a) Desprezar o fator de desconto (n = 0)
𝐸 = 𝑄 ∙ 𝑝 ∙ 𝑣𝑛
𝐸 = 50.000 ∙
1
10.000
∙ 𝑣𝑛
1
𝑬 = 𝑹$ 𝟓, 𝟎𝟎
(preço matemático ou de custo do bilhete)
b) venda das rifas será feita hoje e o sorteio do veículo
ocorrerá daqui há cinco meses (i = 3% a.m.)
𝐸 = 𝑄 ∙ 𝑝 ∙ 𝑣𝑛
𝐸 = 50.000 ∙
1
10.000
∙
1
(1,03)
5
𝐸 = 50.000 ∙ 0,0001 ∙ 0,9708 5
𝑬 = 𝑹$ 𝟒, 𝟑𝟏
43.130,43
i = 3% a.m.
0 1 2 3 4
50.000,00
5
PREÇO DE VENDA ou COMERCIAL
O preço de venda ou comercial de uma operação de esperança matemáticapoderá ser
apurado mediante a agregação do “carregamento ou sobrecarga" ao preço de compra. O
carregamento tem por objetivo financiar as despesas decorrentes (agenciamento,
corretagem, lançamento, administrativas, impostos e o lucro da operação).
MÉTODO 1: INCIDÊNCIA DO CARREGAMENTO DO PREÇO DE CUSTO 
𝜋 = 𝐸 ∙ (1 + 𝛽)
𝑶𝒏𝒅𝒆:
𝐸 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛ç𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝜋 = 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝛽 = 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑒𝑚 %)
EXEMPLO 3:
O preço de custo de um bilhete lotérico da extração Federal é de R$ 100,00. Qual o preço comercial do
bilhete, se adotarmos o carregamento de 30%, incidente sobre o seu preço de custo.
𝜋 = 100 ∙ (1 + 0,3)
𝜋 = 𝑅$ 130,00
𝜋 = 𝐸 ∙ (1 + 𝛽)
MÉTODO 2: INCIDÊNCIA DO CARREGAMENTO SOBRE O PREÇO DE VENDA
𝜋 =
𝐸
(1 − 𝛽)
𝑶𝒏𝒅𝒆:
𝐸 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛ç𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝜋 = 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝛽 = 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑒𝑚 %)
EXEMPLO 4:
O preço de custo de um bilhete lotérico da extração Federal é de R$ 100,00. Qual o preço comercial do
bilhete, se adotarmos o carregamento de 30%, incidente sobre o seu preço de venda.
𝜋 =
𝐸
(1 − 𝛽)
𝜋 =
100
(1 − 0,3)
=
100
0,7
= 𝑅$142,85
EXEMPLO 5:
Uma rifa que levará 4 meses para o seu sorteio apresenta como premiação um caminhão valor de R$
290.000,00. A instituição responsável pela rifa deseja obter um lucro de 10%. Calcular o valor de venda de
cada bilhete, utilizando os dois métodos de agregação do carregamento. Utilize uma taxa mensal de juros
equivalente a 0,64% a.m. para o cálculo do valor do bilhete. Serão comercializados 7.000 bilhetes.
Solução:
1. Dados:
𝑄 = 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 290.000
𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 =
1
7.000
𝑣 = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 =
1
1 +
0,64
100
𝑛 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
EXEMPLO 5:
Uma rifa que levará 4 meses para o seu sorteio apresenta como premiação um caminhão valor de R$
290.000,00. A instituição responsável pela rifa deseja obter um lucro de 10%. Calcular o valor de venda de
cada bilhete, utilizando os dois métodos de agregação do carregamento. Utilize uma taxa mensal de juros
equivalente a 0,64% a.m. para o cálculo do valor do bilhete. Serão comercializados 7.000 bilhetes.
Solução:
2. Cálculo da esperança matemática (preço de custo) do bilhete:
𝐸 = 290.000 ∙
1
7.000
∙
1
1 +
0,64
100
4
= 290.000 ∙ 0,000143 ∙
1
1 + 0,0064
4
𝐸 = 41,4285 ∙
1
1,0064
4
= 41,42 ∙ 0,9936 4 = 41,42 ∙ 0,9748
𝑬 = 𝑹$ 𝟒𝟎, 𝟑𝟖
EXEMPLO 5:
Uma rifa que levará 4 meses para o seu sorteio apresenta como premiação um caminhão valor de R$
290.000,00. A instituição responsável pela rifa deseja obter um lucro de 10%. Calcular o valor de venda de
cada bilhete, utilizando os dois métodos de agregação do carregamento. Utilize uma taxa mensal de juros
equivalente a 0,64% a.m. para o cálculo do valor do bilhete. Serão comercializados 7.000 bilhetes.
Solução:
3. calcular os preços de venda pelo método do carregamento sobre o preço de custo:
𝜋 = 𝐸 ∙ (1 + 𝛽)
𝜋 = 40,38 ∙ (1 +
10
100
)
𝜋 = 40,38 ∙ 1 + 0,1 = 40,38 ∙ 1,01
𝝅 = 𝟒𝟎, 𝟕𝟖
EXEMPLO 5:
Uma rifa que levará 4 meses para o seu sorteio apresenta como premiação um caminhão valor de R$
290.000,00. A instituição responsável pela rifa deseja obter um lucro de 10%. Calcular o valor de venda de
cada bilhete, utilizando os dois métodos de agregação do carregamento. Utilize uma taxa mensal de juros
equivalente a 0,64% a.m. para o cálculo do valor do bilhete. Serão comercializados 7.000 bilhetes.
Solução:
4. calcular os preços de venda pelo método do carregamento sobre o preço de venda:
𝝅 = 𝟒𝟒, 𝟖𝟕
𝜋 =
40,38
1 −
10
100
=
40,38
1 − 0,1
=
40,38
0,9
𝜋 =
𝐸
(1 − 𝛽)
EXEMPLO 5:
Uma rifa que levará 4 meses para o seu sorteio apresenta como premiação um caminhão valor de R$
290.000,00. A instituição responsável pela rifa deseja obter um lucro de 10%. Calcular o valor de venda de
cada bilhete, utilizando os dois métodos de agregação do carregamento. Utilize uma taxa mensal de juros
equivalente a 0,64% a.m. para o cálculo do valor do bilhete. Serão comercializados 7.000 bilhetes.
Solução final:
𝑬 = 𝑹$ 𝟒𝟎, 𝟑𝟖
𝝅𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝑹$ 𝟒𝟎, 𝟕𝟖
𝝅𝒗𝒆𝒏𝒅𝒂 = 𝑹$ 𝟒𝟒, 𝟖𝟕
EXERCÍCIOS PARA ESTUDO
1. Uma extração lotérica apresenta como premiação:
- Uma premiação de R$ 100.000,00;
- Dez premiações de R$ 50.000,00 cada;
- Vinte premiações de R$ 20.000,00 cada.
Sabendo-se que o número de bilhetes é de 15.000 e que o sorteio será realizado daqui a 3 anos, calcule o preço do bilhete
a ser comercializado utilizando um carregamento de 20% (despesas administrativas e lançamento), devendo o mesmo
incidir sobre o preço de venda ou comercial. Utilizar uma taxa de juros de 6% a.a.
Respostas: E = R$ 55,97 ; π = R$ 69,97
2. Uma extração lotérica apresenta como premiação:
- Um automóvel no valor de $ 10.000,00;
- Dez televisores no valor de $ 400,00 cada;
- Vinte rádios no valor de $ 80,00 cada.
A instituição administradora da extração acrescenta ao preço de cada bilhete uma margem para atender as despesas de
lançamento e o lucro, sendo 40% o montante das despesas e 10% o montante dos lucros. O número de bilhetes a serem
comercializados é de 5.000. O sorteio deverá será daqui a um ano (utilize uma taxa de juros de 10% a.a.). Pergunta-se:
a) Qual o preço a ser cobrado por bilhete? (aplicado o carregamento sobre o preço de custo)
b) Qual o preço a ser cobrado por bilhete? (aplicado o carregamento sobre o preço de venda)
Respostas: E = R$ 2,84; πcusto = R$ 4,25; πvenda = R$ 5,67
EXERCÍCIOS PARA ESTUDO
3. A loteria do Estado na extração desta semana oferece as seguintes premiações:
- Uma premiação de R$ 5.000,00;
- Duas premiações de R$ 500,00 cada;
- Dez premiações de R$ 100,00 cada;
- Cem premiações de R$ 10,00 cada;
- Quinhentas premiações de R$ 5,00 cada.
O carregamento será desdobrado da seguinte forma:
- Desp. de emissão = $ 50,00
- Desp. com agentes = $ 100,00
- Custos fiscais = $ 50,00
- Lucro = $ 850,00
Calcular o preço que deverá ser comercializado cada bilhete e os percentuais de carregamento correspondentes, aplicando
os dois métodos de incidência do carregamento estudados. Serão comercializados 5.000 bilhetes. Desprezar a taxa de juros
(n = 0).
Respostas: E = R$ 2,10; π = R$2,31; βcusto 10%; βvenda = 9,09%
EXERCÍCIOS PARA ESTUDO
4. Uma nova raspadinha será lançada. No total serão comercializados, na primeira série, 50.000 raspadinhas (bilhetes). A
premiação prevista será a seguinte:
- Dois veículos da linha GM no valor de R$ 30.000 cada;
- Cinco motocicletas da linha HONDA no valor de R$ 7.000 cada;
- Setenta televisores da linha SHARP no valor de R$ 1.000 cada;
As premiações serão entregues daqui a três meses (utilizar uma taxa de juros de 0,9489% a.m.). A Entidade instituidora
adicionará uma margem de 30% sobre o valor comercial de cada raspadinha para atender as despesas e o lucro. Calcule o
valor comercial de venda de uma raspadinha.
Respostas: E = R$ 3,21; π = R$ 4,58
EXERCÍCIOS PARA ESTUDO
5. Uma raspadinha oferece as seguintes premiações em uma determinada série: um carro no valor de R$ 100.000,00; 10
motocicletas no valor de R$ 5.000,00 cada e 5.000 rádios no valor de R$ 50,00 cada. Sabe-se que a administradora da
raspadinha pretende comercializar cada bilhete ao preço de R$ 10,00. O número de bilhetes comercializados será de
80.000. Pede-se:
a) Calcule o percentual de carregamento, aplicado sobre o preço de venda de cada raspadinha, utilizado pela
administradora para a série (desprezar o prazo, ou seja, n=0).
b) Qual seria o preço de venda da cada raspadinha, na eventualidade da administradora aplicar um carregamento de 35%
sobre o preço de custo?
Respostas: a) β= 50%; b) $ 6,75
6. Uma raspadinha oferece os seguintespremiações em uma determinada série: um carro no valor de R$ 50.000,00 , dez
televisores no valor de R$ 1.000,00 cada e mil canetas no valor de R$ 10,00 cada. Sabe-se que a administradora da
raspadinha pretende comercializar, na série, 7.000 bilhetes. Sabe-se, também, que o sorteio será efetuado 1 ano após a
venda das raspadinhas. Pergunta-se:
a) Qual seria o preço unitário de venda da raspadinha, na eventualidade da administradora aplicar uma sobrecarga ou
carregamento de 30% sobre o preço de venda e trabalhar com uma taxa de juros de 12% ao ano?
b) Qual seria o preço unitário de venda da raspadinha, na eventualidade da administradora aplicar uma sobrecarga ou
carregamento de 50% sobre o preço de custo e trabalhar com uma taxa de juros de 6% ao ano?
Respostas: a) R$ 12,76 ; b) R$ 14,15
EXERCÍCIOS PARA ESTUDO
7. Uma extração lotérica oferece como premiação o valor de $ 20.000,00. Serão colocados à venda 1.000
bilhetes. Considere:
- Uma taxa de juros de 4% a.m.;
- Serão comercializados, na data zero, todos os bilhetes colocados à venda;
- Os bilhetes são numerados sequencialmente, sem a repetição de números;
- Somente um bilhete será sorteado, com direito à premiação de $ 20.000,00;
- O sorteio e a entrega da premiação ocorrerá daqui a 3 meses;
- A lotérica utiliza um carregamento de 30% para cobrir seus gastos administrativos e impostos;
- O carregamento deve incidir sobre o preço de venda de cada bilhete.
Calcule o preço que deverá ser comercializado cada bilhete.
Resposta: R$ 25,40
Obrigado!