Triedro Frenet

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2 – Triedro de Frenet1 
 
2.1 – Introdução 
 
Nesta seção é desenvolvido um sistema de referência, com origem no ponto que 
define a posição de uma partícula ao longo de sua trajetória. Este referencial será 
importante para desenvolver uma abordagem vetorial da velocidade e da aceleração de 
uma partícula nas próximas seções. 
 
2.2 – Versor da tangente 
 
Inicialmente será adotado um referencial fixo, definido por um sistema de eixos 
cartesianos OXYZ. A trajetória da partícula pode ser uma representada por uma curva e 
a posição da partícula ao longo desta trajetória pode ser definida pelo ponto 
∈= ),,( zyxP a curva, cujas coordenadas podem ser expressas em função de um 
parâmetro escalar t, ou seja, )(),( tyytxx == e )(tzz = . Portanto, )(tPP = , onde t 
não é necessariamente a variável tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 – Trajetória do ponto material P 
 
O vetor OP , com origem em O e extremidade no próprio ponto P, localiza um 
ponto P da curva. Este vetor é chamado de vetor posição. 
 
1
 Este texto teve a colaboração do aluno Salvatore Fortunato Ferraro. 
Conforme visto em Geometria Analítica, o vetor OP pode ser obtido através da 
diferença entre o ponto de extremidade e o de origem: 
OPOP −= 
Como ∈P à curva, )z,y,x(),,()z,y,x(OP =−= 000 
Como )(),( tyytxx == e )(tzz = , o vetor OP depende somente do parâmetro 
t, ou seja, )(tOPOP = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.2 – Vetor posição OP 
 
Para 0tt = , o vetor assume a posição 00 )( OPtOP = , se o parâmetro variar para 
ttt ∆+= 01 , o vetor assumirá uma outra posição 101 )()( OPttOPtOP =∆+= . 
 Com os vetores 0OP e 1OP , o vetor P∆ é definido por 01 OPOPP −=∆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.3 – Vetor P∆ 
 
Onde P∆ é o vetor diretor da reta s, secante à curva, e definida pelos pontos P0 
e P1. 
Dividindo o vetor P∆ pelo escalar t∆ , seu módulo é alterado mas sua direção e 
seu sentido são mantidos. 
 
 
 
Fig. 2.4 – Reta secante à curva (reta s) no ponto P0 
 
Reduzindo o parâmetro t∆ , o ponto P1 assumirá posições cada vez mais 
próximas do ponto P0. Seria como se a reta s girasse em torno do ponto P0. Se t∆ 
tender a zero, os pontos P0 e P1 definem o vetor 10PP , que tem a direção da reta r, 
tangente à curva no ponto P0. 
 
 
Fig. 2.5 – Reta tangente à curva (reta r) no ponto P0 
 
Nessa situação, t∆ e P∆ são infinitamente pequenos, assumindo suas formas 
diferenciais dt e Pd
�
. Assim, o vetor 
t
P
∆
∆
�
 tomará a forma 
dt
Pd
�
, que é a derivada do vetor 
posição )(tOP em relação ao parâmetro t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.6 – Vetor diretor da reta tangente à curva (reta r) no ponto P0 
 
Observe que o vetor 
dt
Pd
�
 é o vetor diretor da reta r, tangente à curva no ponto P0. 
Para obter o versor tangente (vetor com módulo unitário), basta efetuar a divisão 
do próprio vetor pelo seu módulo. 
 
dt
Pd
dt
Pd
�
�
�
=τ 
Para facilitar a notação, será empregado 
′
= OP
dt
Pd
�
. Portanto, 
′
′
=
OP
OP
τ
�
, que é 
o VERSOR DA TANGENTE à curva num determinado ponto P. 
 
 
 
 
 
2.3 – Tópicos de Geometria Analítica 
 
a) VVV
���
•=
2
 De fato: 
( ) VVzyxzyxV ��� •=++=++= 22222222 
 
b) Se o produto escalar entre dois vetores não nulos for igual a zero, esses dois vetores são 
ortogonais entre si: 
 
UVUV
����
⊥⇔=• 0 
 
c) Derivada do módulo de um vetor: 
 
VVV
���
•=
2
 
Derivando membro a membro vem: 
VVVVVV ′•+•′=
′
⋅
������
2 
Observe que para derivar VV
��
• foi utilizada a regra do produto. 
V
VVVVV �
����
�
2
′•+•′
=
′
 
Como VVVV ′•=•′
����
 vem: 
V
VVV �
��
�
2
2 ′•⋅
=
′
 
V
VVV
dt
Vd
�
��
�
�
′•
=
′
= 
 
d) Desenvolvimento do duplo produto vetorial: 
 
( ) ( ) ( ) WVUVWUWVU ��������� ⋅•−⋅•=∧∧ 
( ) ( ) ( ) UWVVWUWVU ��������� ⋅•−⋅•=∧∧ 
 
e) O vetor obtido a partir de um produto vetorial é perpendicular aos dois vetores deste produto: 
 
UWVUW
�����
⊥⇒∧= e VW
��
⊥ . 
2.4 – Versor da Normal Principal 
Será obtido um segundo versor, perpendicular ao versor tangente. 
Se o módulo do versor tangente for elevado ao quadrado: 
1=τ� 
12 =⋅= τττ ��� 
Derivando membro a membro, utilizando a regra do produto, vem: 
0=⋅+⋅
dt
d
dt
d τ
ττ
τ
�
��
�
 
02 =⋅
dt
dτ
τ
�
�
 
0=⋅
dt
dτ
τ
�
�
 
Este resultado significa que, o vetor derivada do versor da tangente 





dt
dτ�
e o 
próprio versor da tangente (τ� ) são ortogonais entre si (veja item b da seção 2.3), ou 
seja, ττ �
�
⊥
dt
d
. Existem infinitos vetores perpendiculares ao versor da tangente. Em 
particular, o vetor 
dt
dτ�
 aponta sempre para o interior da concavidade da curva. Esta é 
uma importante propriedade para a Mecânica Geral. Por este motivo o vetor 
dt
dτ�
 recebe 
o nome de VETOR NORMAL PRINCIPAL. 
 
 
Fig. 2.7 – Vetores da Tangente e da normal 
2.4.1 – Equação para determinar diretamente o Versor da Normal Principal 
 














′
′
=
OP
OP
dt
d
dt
dτ�
 (2.4.1.1) 
Aplicando a regra do quociente para a derivada: 
 2
′
′
⋅
′
−
′
⋅
′
=
OP
dt
OPd
OPOP
dt
OPd
dt
dτ�
 (2.4.1.2) 
2
′
′
′
⋅
′
−
″
⋅
′
=
OP
OPOPOPOP
dt
dτ�
 (2.4.1.3) 
Substituindo 
′
′
OP (veja item c da seção 2.3): 
2
′














″
⋅
′
′
⋅
′
−
″
⋅
′
=
OP
OP
OP
OPOPOPOP
dt
dτ�
 (2.4.1.4) 
Reduzindo ao mesmo denominador: 
 
3
2
′
′
⋅




 ″
⋅
′
−
″
⋅
′
=
OP
OPOPOPOPOP
dt
dτ�
 (2.4.1.5) 
 
O numerador é um duplo produto vetorial (veja item d da seção 2.3). Portanto: 
 
3
′
′
∧




 ″
∧
′
=
OP
OPOPOP
dt
dτ�
 (2.4.1.6) 
Para obter o versor n� basta dividir 
dt
dτ�
 pelo seu módulo. 
3
3
′
′
∧




 ″
∧
′
′
′
∧




 ″
∧
′
==
OP
OPOPOP
OP
OPOPOP
dt
d
dt
d
n
τ
τ
�
�
�
 (2.4.1.7) 
 
′
∧




 ″
∧
′
′
∧




 ″
∧
′
=
OPOPOP
OPOPOP
n
�
 (2.4.1.8) 
 
Esta equação será utilizada o para determinar o VERSOR DA NORMAL n� . 
 
2.5 – Versor da binormal 
 
O terceiro versor do Triedro de Frenet é ortogonal ao versor τ� e ao versor n� , 
sendo definido pelo produto vetorial: 
nb ��
�
∧= τ 
Onde b
�
 recebe o nome de VERSOR DA BINORMAL. Pode-se verificar que 
b
�
é de fato é um versor desenvolvendo o seu módulo: 
θτ sennb ⋅⋅= ��
�
 
Como τ� e n� são ortogonais entre si, °= 90θ . 
1⋅⋅= nb ��
�
τ 
1111 =⋅⋅=b
�
 
Logo b
�
 é versor. Se nb ��
�
∧= τ e n
��⊥τ vale dizer que τ�
�
�
∧= bn (veja figura 
2.8). Portanto: 
 
τ
�
�
∧=
′
∧




 ″
∧
′
′
∧




 ″
∧
′
b
OPOPOP
OPOPOP
 
 
τ
�
�
∧=
°⋅
′
⋅
″
∧
′
′
∧



 ″
∧
′
b
senOPOPOP
OPOPOP
90
 
 
τ
�
�
∧=
′
′
∧
″
∧
′
″
∧
′
b
OP
OP
OPOP
OPOP
 
 
ττ
�
�
�
∧=∧
″
∧
′
″
∧
′
b
OPOP
OPOP
 
 
Logo: 
″
∧
′
″
∧
′
=
OPOP
OPOPb
�
 
 
Fig. 2.8 – TRIEDRO DE FRENET 
 
A ordem n��∧τ escolhida para gerar b
�
 fez com que os versores τ� , n� e b
�
 
formassem uma base ortonormal, análoga à base do sistema cartesiano i
�
, j� e k
�
. Esta 
base, formada pelos versores τ� , n� e b
�
, é chamada de TRIEDRO DE FRENET (veja 
figura 2.8). 
 
Finalmente, pode-se concluir que o Triedro de Frenet pode ser obtido para cada 
ponto P de uma determinada curva. É um sistema de coordenadas que se “movimenta” 
sobre uma curva conhecida, diferente do sistema de coordenadas cartesianas, que é fixo 
na origem )0,0,0(=O . 
′
′
=
OP
OP
τ
�
 
′
∧




 ″
∧
′
′
∧




 ″
∧
′
=
OPOPOP
OPOPOP
n
�
 
″
∧
′
″
∧
′
=
OPOP
OPOPb
�
 
 
2.6 – Curvatura 
Define-se curvatura (que será representada pela notação 
ρ
1 ) de uma linha no 
ponto P pela equação: 
 
ds
dτ
ρ
�
=
1
 (2.6.1) 
 
τ
�
n
�
b
�
Inicialmente será obtida uma equação para o vetor 
ds
dτ�
: 
 








⋅=⋅=
'
'
' PO
PO
dt
d
POds
dt
dt
d
ds
d
�
�
�
�� 1ττ
 (2.6.2) 
 
22
'
''
'
'
''''
'
'
''''
'
'
PO
PO
P
POPOPOPO
PO
dt
POd
POPOPO
PO
PO
dt
d
�
�
�
���
�
�
���
�
� 







⋅−
=
−
=








 (2.6.3) 
 
 Assim: 
 
( )
4
2
3
1
'
'''''''
'
''
'
'
''''
'
'
' PO
POPOPOPOPO
PO
PO
PO
POPOPOPO
PO
PO
dt
d
POds
d
�
�����
�
�
�
�
���
�
�
�
�
⋅−
=








⋅−
=








⋅=
τ
 (2.6.4) 
 
Observando o Duplo Produto Vetorial no numerador: 
 
 
( )
4
'
'"'
PO
POPOPO
ds
d
�
���
�
∧∧
=
τ
 (2.6.5) 
 
A curvaturapode ser calculada vetor 
ds
dτ�
: 
 
( ) ( )
34
1
'
"'
'
'"'
PO
POPO
PO
POPOPO
ds
d
�
��
�
���
�
∧
=
∧∧
==
τ
ρ
 (2.6.6) 
 
2.7 – Raio de Curvatura 
 
O raio de curvatura ρ de uma linha no ponto P é calculado pela equação: 
 
( )"'
'
POPO
PO
��
�
∧
=
3
ρ (2.6.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.9 – Raio de curvatura no ponto P (ρ ) 
 
 
 
 
 
 
P 
ρ