Apostila Limites - 2019

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Engrena Educacional
Cursos para Engenharia e Ciências Exatas
Cálculo Diferencial
LIMITES
Izaias Cordeiro Néri
São Paulo
CONTEÚDO
1 Limites 2
1.1 Definição Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Cálculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Exercícios - Cálculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Exercícios - Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Operações com Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Exercícios - Propriedades de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.1 Exercícios Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 12
CAPÍTULO 1
Limites
1.1 Definição Intuitiva
Um bom exemplo para iniciar o estudo de limites é o cálculo de áreas pelo
método de Exaustão.O método da exaustão é um método para se encontrar a
área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja
soma das áreas converge para a área da figura desejada.
Figura 1.1: Área do Círculo por aproximação
Chamaremos de A0 a área do círculo e, cada área dos polígonos vamos deno-
minar como A1, A2, A3, · · · , An.
A0 ≈ A1 + A2 + · · · + An A0 ≈
n∑
=1
A A0 = limn→∞
n∑
=1
A
2
1.2. CONCEITO CAPÍTULO 1. LIMITES
1.2 Conceito
De um ponto de vista informal (sem a rigorosidade Matemática)
lim
→ ƒ () = L
Aqui lemos "o limite de ƒ (), quando  tende a  é igual a L.
Exemplo 1.2.1 Vamos estudar o comportamento de uma função ƒ definida por
ƒ () = 2 −  + 2 para os valores de  próximos de 2.
Solução:
x 1,9 1,99 1,999 2,0 2,001 2,01 2,1
y 3,71 3,97 3,997 4 4,003 4,03 4,31
Vamos fazer uma análise gráfica
Exemplo 1.2.2 Estime o valor de ƒ (1) em ƒ () =
 − 1
2 − 1 .
Solução:
x 0,9 0,99 0,999 1,0 1,001 1,01 1,1
y 0,526 0,503 0,5 0,5 0,499 0,498 0,476
3
1.3. CÁLCULO DE LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES
1.3 Cálculo de Limites
Os exemplos anteriores podem ser resolvidos da seguinte forma:
a) lim
→2(
2 −  + 2) = 22 − 2 + 2 = 4
b) lim
→1
 − 1
2 − 1 = lim→1
 − 1
( − 1)( + 1) = lim→1
1
 + 1
=
1
2
Exemplo 1.3.1 Encontre o valor de lim
→2
 − 2
2 − 4
Solução: lim
→2
 − 2
2 − 4 = lim→2
 − 2
( + 2)( − 2) = lim→2
1
 + 2
=
1
4
Exemplo 1.3.2 Determine o valor de lim
→3
p
 − p3
 − 3 .
Solução: Há duas maneiras de resolver esse limite.
1ª - Considerando o denominador como uma diferença de quadrados
lim
→3
p
 − p3
 − 3 = lim→3
p
 − p3
(
p
)2 − (p3)2 = lim→3
p
 − p3
(
p
 − p3).(p + p3) = lim→3
1p
 +
p
3
=
1
2
p
3
2ª - Fazendo a racionalização
lim
→3
p
 − p3
 − 3 = lim→3
p
 − p3
 − 3 .
p
 +
p
3p
 +
p
3
= lim
→3
 − 3
( − 3).(p + p3) = lim→3
1p
 +
p
3
=
1
2
p
3
Exemplo 1.3.3 Determine o valor de lim
→1
 − 2
2 − 4 .
Solução: lim
→1
 − 2
2 − 4 = lim→1
1 − 2
12 − 4 =
−1
−3 =
1
3
Obs.: Nem sempre precisamos fazer alguma estratégia para resolver o limite.
Somente a faremos quando houver uma indeterminação.
4
1.4. LIMITES LATERAIS CAPÍTULO 1. LIMITES
1.3.1 Exercícios - Cálculo de Limites
(E - 1) Determine o valor dos limites:
(a) lim
→2
2 =
(b) lim
→−3(2 + 5) =
(c) lim
→1(1 − 
2) =
(d) lim
→3
p
 + 6 =
(e) lim
→−3
2
 + 2
=
(f) lim
→−2
2 − 1
2
=
(g) lim
→−1
3 + 1
2 −  =
(h) lim
→3
p
 + 1
 − 4 =
(i) lim
→4
3
p
 + 4 =
(E - 2) Calcule os limites:
(a) lim
→2
2 − 
2 − 4 =
(b) lim
→−4
t + 4
t2 − 16 =
(c) lim
→5
 − 5p
 − p5 =
(d) lim
→−1
3 + 1
 + 1
=
(e) lim
→0
p
 + 4 − 2

=
(f) lim
→0
p
2 + 9 − 3
2
=
Respostas
(E - 1) (a) 4
(b) −1
(c) 0
(d) 3
(e) −2
(f) −3
4
(g) −2
3
(h) −2
(i) 2
(E - 2) (a) −1
4
(b) −1
8
(c) 2
p
5
(d) 3
(e)
1
4
(f)
1
6
1.4 Limites Laterais
lim
→+ ƒ () = L1 lim→− ƒ () = L2
Se L1 e L2 são iguais, dizemos que o limite existe, e portanto, lim→ ƒ () = L
5
1.4. LIMITES LATERAIS CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.4.1 Observe o gráfico a seguir e determine o valor de lim
→3 ƒ ().
Solução:
lim
→3+ ƒ () = 7 lim→3− ƒ () = 7 .
Exemplo 1.4.2 Observe o gráfico a seguir e determine o valor de lim
→0 ƒ ().
Solução:
lim
→0+ ƒ () = 7 lim→0− ƒ () = 5 .
lim
→0 ƒ () = ∃
Exemplo 1.4.3 Observe o gráfico a seguir e determine o valor de lim
→1 ƒ ().
Solução:
lim
→1+ ƒ () = 8 lim→1− ƒ () = 3 .
lim
→1 ƒ () = ∃
6
1.4. LIMITES LATERAIS CAPÍTULO 1. LIMITES
1.4.1 Exercícios - Limites Laterais
E - 1 Observe o gráfico a seguir e determine o valor dos limites laterais pedidos:
(a) lim
→1+ ƒ () = (b) lim→1− ƒ () = (c) lim→2+ ƒ () = (d) lim→2− ƒ () =
E - 2 Observe o gráfico e determine o valor dos limites laterais pedidos:
(a) lim
→0+ ƒ () = (b) lim→0− ƒ () = (c) lim→2+ ƒ () = (d) lim→2− ƒ () =
Respostas
E-1 (a) 0 (b) 0 (c) -2 (d) -2
E-2 (a) 3 (b) 1 (c) 3 (d) 3
7
1.5. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES
1.5 Propriedades dos Limites
Definição 1.5.1 Suponha que b e a sejam números reais e que n seja um
número inteiro positivo.
1. lim
→b = b→ lim→14 = 4
2. lim
→ = → lim→1 = 1
3. lim
→
n = n → lim
→1
6 = 16 = 1
4. lim
→
np = np→ lim
→1
3p = 3p1 = 1
1.5.1 Operações com Limites
Definição 1.5.2 Suponha que b e c sejam números reais e n seja um nú-
mero inteiro positivo. Suponha também que f e g sejam funções com os
seguintes limite:
lim
→c ƒ () = L e lim→cg() = K
1. Múltiplo por um escalar: lim
→cb.ƒ () = b.L
2. Adição ou Subtração: lim
→c[ƒ () ± g()] = L ± K
3. Produto: lim
→c[ƒ ().g()] = L.K
4. Quociente: lim
→c
ƒ ()
g()
=
L
K
5. Potência: lim
→c[ƒ ()]
n = Ln
6. Raiz: lim
→c
n
Æ
ƒ () = n
p
L
8
1.5. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.5.1 Dado os limites lim
→ ƒ () = 2 e lim→g() = −3. Encontre:
(a) lim
→[ƒ () + 2g()] (b) lim→[ƒ ().g()].
Solução:
(a) lim
→[ƒ () + 2g()] = lim→ ƒ () + lim→2g() = lim→ ƒ () + 2. lim→g() = 2 +
2.(−3) = −4
(b) lim
→[ƒ ().g()] = lim→[ƒ ()]. lim→[g()] = 2.(−3) = −6
1.5.2 Exercícios - Propriedades de Limites
E - 1 Dados os limites lim
→2 ƒ () = 4, lim→2g() = −1 e lim→2h() = 3. Determine:
(a) lim
→2 [ƒ () + 5.g()]
(b) lim
→2 [g()]
3
(c) lim
→2
Æ
ƒ ()
(d) lim
→2
3ƒ ()
g()
(e) lim
→2
g()
h()
(f) lim
→2
ƒ ().g()
h()
Respostas
E - 1 (a) −1
(b) −1
(c) 2
(d) −12
(e) −1
3
(f) −4
3
9
1.6. LIMITES INFINITOS CAPÍTULO 1. LIMITES
1.6 Limites Infinitos
Exemplo 1.6.1 Calcule lim
→0+
1

.
Solução: lim
→0+
1

=
1
0
=∞
Exemplo 1.6.2 Calcule lim
→0−
1

.
Solução: lim
→0−
1

=
1
0
= −∞
Exemplo 1.6.3 Observe o gráfico abaixo e responda:
(a) lim
→1− ƒ () (b) lim→1+ ƒ ()
Solução: (a)lim
→1− ƒ () = −∞ (b) lim→1+ ƒ () =∞
1.7 Limites no Infinito
Exemplo 1.7.1 Encontre lim
→∞
�
1

�
e lim
→−∞
�
1

�
Solução: Vemos que quando  é grande, 1/ é pequeno tão próximo de zero
quanto quisermos. Por exemplo:
1
100
= 0,01,
1
1000
= 0,001 e
1
1000000
=
0,000001, logo para ambos os limites temos:
lim
→∞
�
1

�
= lim
→−∞
�
1

�
= 0
10
1.8. LIMITES INFINITOS NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.7.2 Calcule lim
→∞
3 −  + 1
3
.
Solução:
lim
→∞
3 −  + 1
3
= lim
→∞
3(3/3 − /3 + 1/3)
3
= lim
→∞
3
3
1 − 12︸︷︷︸
0
+
1
3︸︷︷︸
0
 =
1.1 = 1
Exemplo 1.7.3 Calcule lim
→∞
32 −  − 2
52 + 4 + 1
.
Solução:
lim
→∞
32 −  − 2
52 + 4 + 1
= lim
→∞
2(32/2 − /2 − 2/2)
2(52/2 + 4/2 + 1/2)
= lim
→∞
3 − 1

− 2
2︸ ︷︷ ︸
0
5 +
4

+
1
2︸ ︷︷ ︸
0
=
3
5
Exemplo 1.7.4 Calcule lim
→∞
p
22 + 1
3 − 5 .
Solução:
lim
→∞
p
22 + 1
3 − 5 = lim→∞
r
2(2 + 1
2
)
(3 − 5 )
= lim
→∞

r
2 + 1
2
(3 − 5 )
=
p
2
3
1.8 Limites Infinitos no Infinito
Exemplo 1.8.1 Calcule lim
→−∞ 
2 − 33.
Solução:
lim
→−∞ 
2 − 33 = lim
→−∞ 
3
�
1

− 3
�
= −∞.(−3) =∞
Exemplo 1.8.2 Calcule lim
→−∞ 
5 − 3.
Solução:
lim
→−∞ 
5 − 3 = lim
→−∞ 
5
�
1 − 1
2
�
= lim
→−∞ 
5 = −∞
11
1.8. LIMITES INFINITOS NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.8.3 Calcule lim
→−∞
3 + 3 − 1
22 +  + 1
.
Solução:
lim
→−∞
3 + 3 − 1
22 +  + 1
= lim
→−∞
3
�
1 +
3
2
− 1
3
�
2
�
2 +
1

+
1
2
� = lim
→−∞ .
�
1 +
3
2
− 1
3
�
�
2 +
1

+
1
2
� = −∞.1
2
=
−∞
1.8.1 Exercícios Limites Infinitos e no Infinito
E - 1 Encontre os limites
(a) lim
→∞ 5
2 − 4
(b) lim
→∞ 2 + 3 − 52
(c) lim
→∞ 
2 + 3
(d) lim
→−∞ 
5 − 3
E - 2 Calcule
(a) lim
→∞
1
2
(b) lim
→∞
2 + 1
 + 3
(c) lim
→∞
2 − 1

(d) lim
→∞
3p

(e) lim
→∞
p
2 + 1
3 + 2
(f) lim
→∞
2 + 
3 + 2
E - 3 Calcule
(a) lim
→−∞ 1 + 2 − 35
(b) lim
→∞
p

(c) lim
→∞
3 + 1
2 − 5
(d) lim
→∞
3
 + 4
(e) lim
→−∞
p
52 − 2
 + 3
(f) lim
→−∞
p
5 − 
(g) lim
→∞
2 − p
7 + 62
(h) lim
→∞
1
 − 12
E - 4 Observe o gráfico a seguir e responda.
(a) lim
→1+ ƒ () (b) lim→1− ƒ () (c) lim→∞ ƒ () (d) lim→−∞ ƒ ()
12
1.8. LIMITES INFINITOS NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
Respostas
E - 1 (a) ∞
(b) −∞
(c) ∞
(d) −∞
E - 2 (a) 0
(b) 2
(c) 2
(d) 0
(e)
1
3
(f) 0
E - 3 (a) ∞
(b) ∞
(c)
3
2
(d) 0
(e)
p
5
(f) ∞
(g) −
p
6
6
(h) 0
E - 4 (a) 1
(b) 3
(c) ∞
(d) −∞
13
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