Fibonacci - Exercícios Resolvidos

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Fibonacci – Exercícios Resolvidos 
 
Exercício Resolvido 01) Seja 1 2... nA A A um polígono regular inscrito em um círculo de raio unitário. 
Considere que 1k kd A A= , para 2 k n≤ ≤ . Demonstrar a seguinte relação: 
( )2 2
2
5
n
k n
k
d F
=
− =∏ , onde nF é o n -ésimo número de Fibonacci. 
 
Solução: 
 
Seja O o centro do círculo. Aplicando lei dos co-senos no 1 1 (1 1)kAOA k n+∆ ≤ ≤ − , temos a seguinte 
relação: ( )2 2 2cos , onde 2 /kd k nθ θ π= − = . 
Portanto: ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 12
1 1 1
5 5 2 2cos 3 2cos 1
n n n
k
k k k
d k kθ θ− − −
= = =
⎡ ⎤− = − − = +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦∏ ∏ ∏ . 
Temos que ( ) ( ) ( )2 /cos 2 , onde 12 2
ik ik k k
i n ne e w wk w e w
θ θ
πθ
− −+ += = = = . 
Substituindo ( ) ( )2 em 1 , teremos a seguinte identidade: 
( ) ( )( )( ) ( )
1
21 1 1
2 1
1
1 1 1 2
1
3 15 3 2 3 ,
2
n
k k
k k k kn n n
k
k k n n
k k k
w m w mw w w wd
w w
−
−− − −
=
−
= = =
+ +⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +− = + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∏∏ ∏ ∏ onde 
2
23 5 1 5
2 2
m α⎛ ⎞+ += = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. Reparemos que é verdadeira a seguinte expressão: 
( ) ( ) ( ) ( )11 4 .k n n k n kk n k n kmw mw w m ww m m mw mw
− −
− −
+ + ++ = = = 
 
Substituindo ( ) ( )4 em 3 : 
 
( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 11 1 12 22 1
1 1
1 1 12
1 1 15 .
k n kn
n nn n k n n
k kk
k n n n n
k k k
w m m w
mwd w m w m
m mww
−−
− −− − − −
=
− −
= = =
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∏∏ ∏ ∏ 
 
É importante notar que , onde 1.
n n
nF
α β αβα β
−= = −− Assim teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 211 1 12 1 22 2 2
1 1 1
15
n n nn n nnk k
k n
k k k
d w m F w m
m
α ββ α β
−− − −−
= = =
⎛ ⎞−⎛ ⎞− = + = ⇔ + = ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏ ∏ 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 22
1 12 2
1 1
/ 1 1
/ 1 1
n nn nn n
k k
n
k k
m
w m w m
m
α ββ α β
β α β α β
− −
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − − −⎛ ⎞−+ = ⇔ + = = ⇔⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∏ ∏ 
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
21
2
1 2 1
12 3 1
1
1
1 *
1 1 ... 1
n
k
nn
k k
n n
k
w mm
w m
m m m m m
−
−
=
− −=
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤− − ⎢ ⎥+ = ⇔ =⎢ ⎥− − ⎢ ⎥− + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∏∏ . 
 
É verdade que ( )1 1 2 31 2 1
1
...
n
k n n n
n
k
w m m S m S m S
− − − −
−
=
+ = + + + +∏ . Este polinômio possui raízes da forma 
, onde 1 1iir w i n= − ≤ ≤ − . Pela fórmula de Newton (vide artigo específico em Fundamentos - Fatoração): 
 
( ) ( )1 1 1 1 11 21 2 1
1 1 1 1
... 0 5 , onde .
n n n n
p np p p
i i i n i
i i i i
r S r S r S r p
− − − − − −− −
−
= = = =
+ + + + = ∈∑ ∑ ∑ ∑ ? 
 
Para ( ) p jn j≠ ∈? , temos a seguinte relação: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1
1 1 1
11 1 1 .
1
p nn n np ip p pp i p p
i p
i i i
wr w w w
w
−− − − +
= = =
⎡ ⎤−= − = − = − = −⎢ ⎥−⎣ ⎦∑ ∑ ∑ 
 
Supondo n par, façamos: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1
1) em 5 : 1 ... 0
2) 1 em 5 : 1 ... 1 0
3) 2 em 5 : 1 ... 1 0
...
1) 2 em 5 : 1 1 ... 0
) 1 em 5 : 1 1
n n
n n
n n
n n
p n n S S S S S
p n S S S S n S
p n S S S n S S
n p S n S S S S
n p n S S
− −
− −
− −
− −
= − + − + − − + =
= − − + − + + + − =
= − − + − + − + − + =
− = − + + − + − − + =
= + − + 2 3 2 1... 0n nS S S− −− + + − =
 
 
Percebe-se claramente que 1 se é par e 1, caso contrário.i iS i S= = − Logo: 
( )1 1 2 3
1
... 1
n
k n n n
k
w m m m m
− − − −
=
+ = − + − −∏ . Assim, para demonstrarmos ( )* , basta percebermos que, 
quando é parn , a seguinte identidade é verdadeira: 
( )
( ) ( )
21
21 2 3
21
1 2 12 3 1
... 1 1 1. c.q.d
1 ...1 ... 1
n
k
n n n
k
n nn
w m
m m m
m m mm m m m
−
− − −
=
− −−
⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎛ ⎞− + − −⎢ ⎥ = = − =⎜ ⎟− + − −⎢ ⎥− + − + + − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∏
 
Para n ímpar, o raciocínio é análogo. 
 
 
Exercício Resolvido 02) Calcular o valor de 
( ) 1 1 1
2
1
1
2
n
n n
n
n
F F
n
++∞ − +
=
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ , sabendo que nF é o n -ésimo 
número de Fibonacci. 
 
Solução: 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2
1 2
1 11 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
1 1Podemos provar, por indução, que , onde , .
5 5
E ainda, e são raízes da equação 1 0.
E assim .
Logo
n n
n
n n n nn n n n
n n
F A B A B
F F A B A B A B AB BA
λ λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ− −− − + +− +
= + = = −
− − =
= + + = + + +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 11 2 2 2 2 2 2
+ + 1 2 2 1 2 1 1 21 1
2
n=1 n=1
1 12 21 2 2 2 12 21 2
1 1 1 1
2
2 1
1
11
 
2 4
1 11
4 4 4 4
1
4 4
n nn n nn
n n
n n
n nn nn
n n
n n n n
n
n
n A B AB ABn F F
AB AB nn
A n B n
n A n
λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λλ λ
λ
+ − −+∞ ∞− +
− −++∞ +∞ +∞ +∞
= = = =
+∞
=
− + + + +− + = =
− + −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎛ ⎞= − − + ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ( )
( )
( )
2
2 2 22
1 2
1 1 1
2 2
2 2 2 21 2
1 2
1 1 1
2
1
1
4 4
11 .
4 4 4
Mas observemos que se 1, então . Assim nosso res
1
n n n
n n n
n n n
n n n
n
n
B n AB AB n
A n B n AB AB n
qq nq
q
λ λ λ
λ λ λ λ
+∞ +∞ +∞
= = =
+∞ +∞ +∞
= = =
+∞
=
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
< = −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 21 2
2 2
1 22 2 22 2
1 2
2 2
ultado é:
1
4 4 41
111 1
44 4
3 5 3 5 3 5 3 54 1481 .
25 25 25 10 10 125
A B
AB AB
λ λ
λ λλ λ
−
+ − + + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞− −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤+ − − +⎢ ⎥= + + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦