CALC II - Exercícios

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CÁLCULO II 
EXERCÍCIOS. 
AULA 01. 
1. 
 
 
Usando as regras de integraçao, determine a integral da funçao f(x) = ( x3 - 6x + 
3) /x . 
Quest.: 
1 
 
 
A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3 ln | x| 
 
A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3 +c 
 
A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3 ln | x| +c 
 
A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3/x +c 
 
A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + c 
 2. 
 
 
Usando as regras de integraçao, determine a integral da funçao f(x) = ( et + 2) / ( 
et + 2t). 
Quest.: 
2 
 
 
A integral será ln | et + 2| + c 
 
A integral será ln | et + 2t| + c 
 
A integral será ln | et + t + 2| + c 
 
A integral será ln | et | + c 
 
A integral será ln | et + 2t| 
 3. 
 
 
Encontre a solução para a integral ∫dxx Quest.: 
3 
 
 
ln|x|+c 
 x+c 
 x-1+c 
 |x|+c 
 ln|2x|+c 
 4. 
 
 
Utilizando as regras de integraçao, determine a integral da funçao f(x) = (ax - 
b)1/2. 
Quest.: 
4 
 
 
A integral terá como resultado (2/(3a)) ( ax - b) 1/2 +c . 
 
A integral terá como resultado (2/(3a)) ( (ax - b) 3) 1/2 . 
 
A integral terá como resultado ( (ax - b) 3) 1/2 +c . 
 
A integral terá como resultado (2/(3)) ( ax - b) 1/2 +c . 
 
A integral terá como resultado (2/(3a)) ( (ax - b) 3) 1/2 + c . 
 
 
 
5. 
 
 
Utilizando as regras basicas para antidiferenciação, calcule a integral indefinida 
∫(2x3-4x2-5x+6)dx 
Quest.: 
5 
 
 x4-x33-x22+6x+C 
 6x2-8x-5 
 x4-4x33-5x22+6x+C 
 x33-x22+6x+C 
 
x42-4x33-5x22+6x+C 
 6. 
 
 
Utilizando as regras basicas para antidiferenciação, calcule a integral indefinida 
∫(x3-3x2+2x-4)dx 
Quest.: 
6 
 
 
x3+2x2-4x+c 
 
x44-x3+x2-4x+c 
 
x4-x3+x2-4x+c 
 
3x2-6x+2 
 
4x4-3x3+2x2-4x+c 
AULA 02. 
1a Questão (Ref.: 201309080477) 
 
Calcule ∫sen²(x).cos(x)dx . 
 
 Sen³(x)/3+c 
 Cos³(x)+c 
 Sen³(x)/2+c 
 Cos²(x)+c 
 Sen³(x) 
 
 2a Questão (Ref.: 201309082230) 
 
Ao calcularmos a integral indefinida ∫ e2x+4e-x+ex+2+2xdxencontramos como resultado: 
 
 -4e-x+e2x2+ex+2+ln(x)+c 
 4e-x+e2x2+ex+2+2ln(x)+c 
 -4e-x+e2x2+ex+2+2ln(x)+c 
 -4e-x+ex2+ex+2+2ln(x)+c 
 -4ex+e2x2+ex+2+2ln(x)+c 
 
 3a Questão (Ref.: 201309101136) 
Calcule a integral ∫4t-1dt 
 
 (1/6).(4t-1)^(3/2)+C 
 4.(4t-1)^(3/2)+C 
 (5/6).(4t-1)^(5/2)+C 
 (1/6).(4t-1)+C 
 (4t2-t)^(3/2)+C 
 
 4a Questão (Ref.: 201309101137) 
Calcule o valor da integral ∫cos(7t+5)dt 
 
 -cos(7t+5)+C 
 sen(t+5)+C 
 -sen(7t+5)+C 
 (-1/7).sen(7t+5)+C 
 (1/7).sen(7t+5)+C 
 
 5a Questão (Ref.: 201309101134) 
 
Calcule a integral ∫1+y22ydy 
 
 (2/3).(1+y2)^(3/2)+C 
 (1+y2)+C 
 (1+y2)^(3/2)+C 
 (2/)3(y+y3)^(3/2)+C 
 (y+y2)^(3/2)+C 
 
 6a Questão (Ref.: 201309080661) 
O valor de ∫x⋅9-4x2dx é : 
 
 (9-4x2)3212 + C 
 -(9-4x2)-3212 + C 
 0 
 -(9-4x2)3212 + C 
 -(9-4x2)2312 + C 
AULA 03. 
1a Questão (Ref.: 201309095307) 
 
Calcule o valor da integral ∫1232(-2x+4)dx 
 
 2 
 -2 
 5 
 1 
 10 
 
 2a Questão (Ref.: 201309084246) 
 
Use as regras básicas para antidiferenciação para calcular a integral indefinida 
∫(3x2+5x4)dx 
 
 nenhuma das respostas anteriores 
 5x5 + x3 
 x3 + x2 + 2 
 
 
 2x2 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309095440) 
 
Calcule a integral ∫04(3x-x34)dx 
 
 8 
 1 
 -6 
 4 
 2 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309101125) 
 
Calcule o valor da integral ∫a3ax dx 
 
 a 
 a2 
 a22 
 a3 
 a23 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201309083753) 
Suponha que a receita marginal de uma empresa pela fabricação e venda de aparelhos 
celulares seja drdx=2-2(x+1)2. Onde r é medido em milhares de reais e x em milhares de 
unidades. Quanto dinheiro a companhia deve esperar de uma produção de 3 mil celulares? 
 
 8,5 = R$ 8500 
 4,5 = R$ 4500 
 5,5 = R$ 5500 
 6,5 = R$ 6500 
 7,5 = R$ 7500 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201309095308) 
 
Calcule o valor da integral ∫0π2y2 dy 
 
 π24 
 π212 
 π324 
 π224 
 π32 
 
 
 
 
AULA 04. 
1a Questão (Ref.: 201309081023) 
 
Seja a função definida por F(x)=4-x2. Com relação a área sob o gráfico desta função é correto 
afirmar que: 
 
 A área sob o gráfico de f(x) entre x=0 e x=3 é igual a 2 
 A área sob o gráfico de f(x) entre x=0 e x=1é igual a 2 
 A área sob o gráfico de f(x) entre x=0 e x=1é igual a 113 
 A área sob o gráfico de f(x) entre x=0 e x=1 é igual a 1 
 A área sob o gráfico de f(x) entre x=1 e x=2,1 é 0 
 
 2a Questão (Ref.: 201309101122) 
 
Suponha que f seja uma função integrável e que ∫19f(x)dx=-1. Calcule ∫91f(x)dx 
 
 -1 
 0 
 1 
 -2 
 2 
 
 3a Questão (Ref.: 201309095305) 
 
 
Suponha que ∫-30g(t)dt=2. Calcule ∫-30g(r)2dr 
 
 e 
 3 
 1 
 g(r) 
 dt 
 
 4a Questão (Ref.: 201309095309) 
 
Calcule o valor da integral ∫02(t-2)dt 
 
 -1 
 3 
 -2 
 1 
 2 
 
 5a Questão (Ref.: 201309095464) 
 
 
Uma região no primeiro quadrante é limitada acima pela curva y=x e abaixo pelo eixo x e pela 
reta y=x-2.Encontre os limites de integração para o cálculo da área formada pela região. 
 
 0≤x≤4 
 0≤x≤2 e 5≤x≤6 
 0≤x≤1 e 2≤x≤3 
 0≤x≤2 e 2≤x≤4 
 0≤x≤2 
 
 6a Questão (Ref.: 201309080474) 
 
 
A região abaixo do gráfico de f(x)=x2-2x+85 entre x=-2 e x=4 vale: 
 
 0 
 3/2 unidades de área 
 1/2 unidades de área 
 4/5 
 12unidades de área 
 
AULA 05. 
 1a Questão (Ref.: 201309215604) 
 
 
Qual a solução da integral ∫[xsen(x)dx] ? 
 
 -x cos(x) + sen(x) + C 
 x sen(x) cos(x) + C 
 -x cos(x) + C 
 x sen(x) + cos(x) + C 
 x sen(x) + C 
 
 2a Questão (Ref.: 201309080872) 
 
 
Uma primitiva para f(x)=ex⋅sen(x) é 
 
 -ex⋅(sen(x)-cos(x))+c 
 ex⋅(sen(x)-cos(x))2+c 
 -2⋅ex⋅(sen(x)-cos(x))+c 
 ex⋅(sen(x)⋅cos(x))+c 
 ex⋅(sen(x)-cos(x))+c 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309215610) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[xcos(x)dx] ? 
 
 x sen(x) + cos(x) + C 
 sen(x) + cos(x) + C 
 sen(x) cos(x) + C 
 x sen(x) cos(x) + C 
 sen(x) + x cos(x) + C 
 
 4a Questão (Ref.: 201309215609) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[x2exdx] ? 
 
 x ln|x| + x + C 
 x ln|x| - x + C 
 ex (x-1) + C 
 ex (x2 + 2x - 2) + C 
 ex (x2 - 2x + 2) + C 
 
 5a Questão (Ref.: 201309215605) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[xexdx] ? 
 
 ex (x2 - 2x + 2) + C 
 x ln|x| - x + C 
 ex + C 
 ex (x-1) + C 
 x ln|x| + C 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201309215606) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[sen2(x)cos(x)dx] ? 
 
 sen(x) + x cos(x) + C 
 sen(x) + cos(x) + C 
 (sen2(x))/2 + C 
 (sen3(x))/3 + C 
 x sen(x) + cos(x) + C 
AULA 06. 
 1a Questão (Ref.: 201309082228) 
 
 
Determine o valor de ∫0π3 x2+1cos2xdx (?????) 
 
 3+C(constante) 
 -π381 +C(constante) 
 π381-3+C(constante) 
 π381+3+C(constante) 
 π381 +C(constante) 
 
 2a Questão (Ref.: 201309089249) 
 
 
Seja a função f(x)=sen3x√����. 
Usando os métodos de integração encontre ∫f(x)dx 
 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 cos x - 12 (cos x)1/2 + c 
 cos x - 2 (cos x)1/2 + c 
 (2/5) (cos x )2/5 + c 
 (2/5) (cos x )2/5 - 2 (cos x)1/2 + c 
 
 3a Questão (Ref.: 201309584208) 
 
 
Utilizando o método de integração de funções racionais por frações parciais determine o valor 
da integral da função 1/(x2 - 4). 
 
 O valor da integral será (1/4) ln [(x-2)/(x+2)] + c 
 O valor da integral será [(x-2)/(x+2)] + c 
 O valor da integral será (1/4) ln [x-2] + c 
 O valor da integralserá (1/4) ln [x+2] + c 
 O valor da integral será ln [(x-2)/(x+2)] + c 
 
 4a Questão (Ref.: 201309089254) 
 
 
Seja f(x) = sen5 x cos2x encontre a integral indefinida ∫f(x)dx 
 
 (-1/3) cos3 x - (1/7) cos7x + c 
 (1/7) cos7x + c 
 cos3 x + (1/5) cos5 x + (1/7) cos7x + c 
 senx +c 
 (-1/3) cos3 x + (2/5) cos5 x - (1/7) cos7x + c 
 
 5a Questão (Ref.: 201309089316) 
 
 
Determine o resultado da integral indefinida ∫f(x)dx, sendo f(x)=���	� 
 
 sen3x+tgx 
 ∫sennxdx=-1nsenn-1xcosx+n-1n∫senn-2xdx 
 sen2x+cos2x 
 senx 
 tgx+cotgx 
 Best Answer: 
Integrate by parts with 
u = sin^(n-1)(x) => du = (n-1)·cos(x)·sin^(n-2)(x) dv = sin(x) => v = -cos(x) 
The rearrange the integral ∫ v du using the identity sin²(x) + cos²(x) = 1. Then you will 
find the original ∫ sin^n(x) dx on RHS. Solve the equation for that integral. 
 
∫ sin(x)·sin^(n-1)(x) dx = -cos(x)·sin^(n-1)(x) - ∫ -cos(x)·(n-1)·cos(x)·sin^(n-2)(x) dx 
<=> 
∫ sin^n(x) dx 
= -cos(x)·sin^(n-1)(x) + (n-1)· ∫ cos²(x)·sin^(n-2)(x) dx 
because cos²(x) = 1 - sin²(x) 
<=> 
∫ sin^n(x) dx 
= -cos(x)·sin^(n-1)(x) + (n-1) · ∫ (1 - sin²(x)) ·sin^(n-2)(x) dx 
<=> 
∫ sin^n(x) dx 
= -cos(x)·sin^(n-1)(x) + (n-1) ·( ∫ sin^(n-2)(x) dx - ∫ sin^n(x) dx 
<=> 
(1 + (n -1) ∫ sin^n(x) dx 
= -cos(x)·sin^(n-1)(x) + (n-1)· ∫ sin^(n-2)(x) dx 
<=> 
∫ sin^n(x) dx 
= -(1/n)·cos(x)·sin^(n-1)(x) + [(n-1)/n]· ∫ sin^(n-2)(x) dx 
 
or in your notation 
I(n) = -(1/n)·cos(x)·sin^(n-1)(x) + [(n-1)/n]· I(n-2) 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201309080917) 
 
 
O resultado de ∫
16 − �²dx é: 
 
 x⋅16-x22+8⋅arctan(x4)+C 
 x⋅16-x22+8⋅arcsen(x2)+C 
 x⋅16-x24+8⋅arcsen(x4)+C 
 x⋅16-x22+8⋅arcsen(x4)+C 
 -x⋅16-x22+8⋅arcsen(x4)+C 
AULA 07. 
1a Questão (Ref.: 201309583167) 
 
 
Uma curva é definida pela funçao f(x). A integral da funçao f(x) = 1/ ( 1 + x2) com limite de 
integraçao superior sendo mais infinito e o limite inferior sendo zero é uma integral imprópria. 
Encontre o resultado de tal integral. 
 
 A integral será uma integrál imprópria com resultado pi. Podemos justificar esta resposta 
da seguinte forma: a integral da funçao 1/(1+x2) é a funçcao arctg x e quando aplicamos 
o limite de x tendendo a mais infinito este limite tenderá a pi. 
 A integral será uma integrál imprópria com resultado pi/2. Podemos justificar esta 
resposta da seguinte forma: a integral da funçao 1/(1+x2) é a funçcao arctg x e quando 
aplicamos o limite de x tendendo a mais infinito este limite tenderá a pi/2. 
 A integral será uma integrál imprópria com resultado pi/2. Podemos justificar esta 
resposta da seguinte forma: a integral da funçao 1/(1+x2) é a funçcao tg x e quando 
aplicamos o limite de x tendendo a mais infinito este limite tenderá a pi/2. 
 A integral será uma integrál imprópria com resultado pi. Podemos justificar esta resposta 
da seguinte forma: a integral da funçao 1/(1+x2) é a funçcao tg x e quando aplicamos o 
limite de x tendendo a mais infinito este limite tenderá a pi. 
 A integral será uma integrál imprópria com resultado pi/2. Podemos justificar esta 
resposta da seguinte forma: a integral da funçao 1/(1+x2) é a funçcao sen x e quando 
aplicamos o limite de x tendendo a mais infinito este limite tenderá a pi/2. 
 
f(x) = 1/(1+x2) => 
 � ������� dx��� � ������� !∞0 � ������!∞� − 	�������0� � 	%& − 	0 � 	%& 
 
 2a Questão (Ref.: 201309083798) 
 
Qual a área da região formada pelas retas x=-1, x=1, y=x e y=-x ? 
 
 3 
 5 
 4 
 1 
 2 
 
Gráfico 
 
' ��−�� − ��� (� !�)� ' ���� − �−�� (� �
�
� ' �−2� (� !
�
)� ' �2� (�
�
��	 +�−�&� 0−1 + [(�&), 10 = (0 + 1) + (1 − 0) = 2. 
 
 3a Questão (Ref.: 201309583178) 
 
Uma curva é definida pela funçao f(x). A integral da funçao f(x) = e - x com limite de integraçao 
superior sendo mais infinito e o limite inferior sendo zero é uma integral imprópria. Encontre o 
resultado de tal integral. 
 
 A integral será uma integral imprópria com resultado 1. Podemos justificar esta resposta 
da seguinte forma: a integral da funçao e - x é a funçao e -x e quando aplicamos o limite 
escreveremos lim de b tendendo a mais infinito da funçao e -b + 1 este limite tenderá a 
1. 
 A integral será uma integral imprópria com resultado 1/2. Podemos justificar esta 
resposta da seguinte forma: a integral da funçao e - x é a funçao e -x e quando aplicamos 
o limite escreveremos lim de b tendendo a mais infinito da funçao e -b + 1 este 
limite tenderá a 1/2. 
 A integral será uma integral imprópria com resultado 1/2. Podemos justificar esta 
resposta da seguinte forma: a integral da funçao e - x é a funçao - e -x e quando 
aplicamos o limite escreveremos lim de b tendendo a mais infinito da funçao - e -b + 1 
este limite tenderá a 1/2. 
 A integral será uma integral imprópria com resultado 1. Podemos justificar esta resposta 
da seguinte forma: a integral da funçao e - x é a funçao - e -x e quando aplicamos o limite 
escreveremos lim de b tendendo a mais infinito da funçao - e -b + 1 este limite tenderá a 
1. 
 A integral será uma integral imprópria com resultado 0. Podemos justificar esta resposta 
da seguinte forma: a integral da funçao e - x é a funçao - e -x e quando aplicamos o limite 
escreveremos lim de b tendendo a mais infinito da funçao - e -b + 1 este limite tenderá a 
0. 
 
funçao f(x) = e - x => 
 
' �).(� = 	 [−�).]
��
�
+∞
0 = 	 (−�)�) − (−��) = 1 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309095449) 
 
Determine a área da região entre a curva y=-x2-2x e o eixo x no intervalo -3≤x≤2 
 
 10 
 28/3 
 2/3 
 5/3 
 10/3 
Gráfico 
 
y=-x²-2x e o eixo x no intervalo -3≤x≤2 
-x²-2x=0 => x(-x-2)=0 => x= 0 ou –x-2=0 => raízes ={-2,0} 
Concavidade para baixo pois “a” é negativo. 
Parte 1) 
' [0—�−�& − 2�� (� � 	' ��& ! 2��(� � 0�³3 ! �²3
2
3 �	43)&)5
)&
)5 
Parte 2) 
' ��
�& 
 2�� 
 0 (� � 	' �
�& 
 2��(� � 
 0�53 ! �&3 0
2 � 	43)&)5
�
)& 
Parte 3) 
' �0—�
�& 
 2�� (� � 	' ��& ! 2��(� � 0�³3 ! �²3 20 � 	203&�
&
� 
Área total = 4/3 + 4/3 + 20/3 = 28/3. 
 
 5a Questão (Ref.: 201309095460) 
 
 
Para calcular a área da região compreendida entre a parábola y=2-x2 e a reta y=-x é preciso 
calcular a integral definida. Dentre as opções abaixo, marque àquela que melhor representa 
esta integral. 
 
 ∫12(2+x-x2)dx 
 ∫(2+x-x2)dx 
 ∫-12(-2-x+x2)dx 
 ∫-12(2+x-x2)dx 
 ∫-12(2+x2)dx 
Calculando os limites de integração, temos 2-x² = -x => -x²+x +x =0 => raízes 
={-1, 2} que são os pontos onde as funções são iguais. 
 
Então temos: 
' [(2 
 �&� 
 �
�� (� � ' �2 ! � 
 �&�(�&)� 	
&
)� 
 
 6a Questão (Ref.: 201309084424) 
 
 
Determine a área da região compreendida entre as curvas 4x2+y=4 e x4-y=1 
 
 71/15 
 83/15 
 104 
 104/15 
 15 
Calculando os limites de integração. 
4x²+y = 4 => y = 4 -4x² x4-y=1 => y=x4-1 
4-4x²=0 => 4x²=4 => x²=1 => Raízes ={-1,1} 
A concavidade está para baixo e quando x=0 temos y=4. 
x4-1=(x²-1)(x²+1) => Raízes = {-1,1} 
A concavidade está para cima e quando x=0 temos y = -1. 
Os limites de integração são {-1,1}. 
 Gráfico. 
 
Logo temos: 
'[(−4�& + 4) − (�6 − 1� (� ��
)�
'�
�6 
 4�² ! 5 (� ��
)�
0
�85 
 4�53 ! 5�3 1
1 ⇒ 
0
�85 
 4�53 ! 5�3 1
1 � :
25 
 43 ! 10; � 	10415 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 08. 
 
1a Questão (Ref.: 201309215612) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[(x/x-1)dx] ? 
 
 ln|x-1| + x + C 
 x ln|x-1| - x + C 
 ln|x-1| + C 
 ln|x-1| - x + C 
 x ln|x-1| + x + C 
 
' �� − 1(� = 	' <1 +
1
� − 1=(� = '(� + '
1
� − 1(� = � + >�|� − 1| + @. 
 
 
 X l__x-1_____ Logo (x/x-1) = 1 + (1/x-1). 
 -x+1 1 
 1 
 
 2a Questão(Ref.: 201309215616) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[14x-122x2-2x-12dx] ? 
 
 
 3 ln|x-3| - 4ln|x+2| + C 
 3 ln|x-3| + 4 ln|x+2| + C 
 3 ln|x-3| + 4ln|x-2| + C 
 3 ln|x+3| + 4ln|x-2| + C 
 3 ln|x+3| - 4ln|x-2| + C 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309081618) 
 
 
O resultado de ∫[x-8/(x-4)⋅(x+2)]dx é: 
 
 53⋅ln(x+2)-23⋅ln(x-2)+C 
 53⋅ln(x+2)-23⋅ln(x-4)+C 
 53⋅ln(x+2)+23⋅ln(x-4)+C 
 53⋅ln(x+2)+23⋅ln(x-2)+C 
 -53⋅ln(x+2)-23⋅ln(x-2)+C 
' (� − 8)(� − 4��� ! 2� (� ⟹	 �� − 8��� − 4��� ! 2� � 	 C�� − 4� ! D�� ! 2� 	⟹ 
�� − 8� � C�� ! 2� ! D�� − 4� ⟹ 
� − 8 � �C ! D�� ! �2C − 4D� ⟹ E C ! D � 12C − 4D � 8 	⟹ C � −23	, D � 53. 
' �� − 8��� − 4��� ! 2� (� ⟹	' G H−
23I�� − 4� ! H
53I�� ! 2�J (� ⟹	 
−23' 1�� − 4� (� !	53' 1�� ! 2� (� � −23 	>�|� − 4| ! 53 	>�|� ! 2| ! @.	 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309215615) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[2x+21x2-7xdx] ? 
 
 -3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 
 -5 ln|x| + 3 ln|x-7| + C 
 3 ln|x| - 5 ln|x-7| + C 
 5 ln|x| - 3 ln|x-7| + C 
 3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201309214770) 
 
 
Calcule a integral indefinida ∫(x-3)(x2-x-6)dx, com o auxilio da Integração por Frações 
Parciais. 
 
 ln|2x|+C 
 ln|x+2|+C 
 ln|x|+C 
 ln|x+6|+C 
 ln|x+10|+C 
�² − � − 6 = (� − 3)(� + 2) 
' (� − 3)(�² − � − 6) (� = '
(� − 3)
(� − 3)(� + 2) (� = '
1
(� + 2) (� = >�|� + 2| + @. 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201309215617) 
 
 
Qual a solução da integral: ∫[6x2+14x-20x3-4xdx] ? 
 
 5 ln|x| - 3 ln|x+2| + 4 ln|x-2| + C 
 5 ln|x| - 4 ln|x+2| + 3 ln|x-2| + C 
 5 ln|x| + 3 ln|x+2| - 4 ln|x-2| + C 
 5 ln|x| + 4 ln|x+2| - 3 ln|x-2| + C 
 5 ln|x| + 3 ln|x+2| + 4 ln|x-2| + C 
 
AULA 09. 
1. 
 
 
Considere a regiao delimitada por y = (a2 - x2 )1/2 , o eixo x e as retas x = - a e x = a, 
sendo girada ao redor do eixo x. Determine qual o sólido gerado e qual o volume referente a 
mesma. 
 
 
O solido gerado é uma esfera de raio 5 e o volume gerado será (4/3) pi . 
 
O solido gerado é uma elipse de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a. 
 
O solido gerado é uma elipse e o volume gerado será pi a3 . 
 
O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a3 . 
 O solido gerado é uma esfera de raio 3 e o volume gerado será (4/3) pi
. 
 
 2. 
 
 
Calculando ∫0∞e-xdx, obtemos 
 
 
0 
 
e3 
 
1 
 ∞ 
 12 
 
 3. 
 
 
Em uma fábrica de brinquedo será lançado um novo brinquedo este terá o formato do sólido 
de revoluçao obtido pela rotaçao ao redor do eixo x da regiao compreendida pelo gráfico de 
y = (x)1/2 e y = 1/x, no intervalo [1/2 , 3]. Determine o volume deste sólido de revoluçao. 
 
 volume será pi. 
 volume será 2 pi 
 volume será 3pi/2 
 
volume será (95/24) pi 
 
volume será pi/2 
 
 4. 
 
 
Calculando a integral imprópria ∫-∞-11xdx, obtemos 
 
 
0 
 
-∞ 
 
12 
 
2 
 
-12 
 
 5. 
 
 
Encontre o volume gerado pela função f(x) = sqrt (a2 - x2) 
Onde sqrt é a raiz quadrada de a2 - x2. 
no intervalo [-a, a]. 
 
 
π a2 
 
π a5 
 
π a3 
 
4 π a4 
 
(4 π a3) /3 
 
 
 
6. 
 
 
Calculando a integral impropria ∫1∞1(x+1)3dx, obtemos 
 
 
1 
 
18 
 
0 
 
+∞ 
 
38 
 
AULA 10. 
 
 
1a Questão (Ref.: 201309091941) 
 
 
Determine o comprimento da curva x=1-t, y=2+3t, -23≤t≤1 
 
 533 
 2103 
 5103 
 -5103 
 5102 
X=1-t => dx/dt=-1 y=2+3t => dx/dt=3 
' K[�´(�)]² + [M´(�)]²(� = ' 
[−1]² + [3]²(�
�
)&5
= ' √10(�
�
)&5
		
NO
NP
= √10' (�
�
)&5
=	√10[�]
1
−23
⟹ 
√10 :1 + 23; =
5√10
3 	. 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201309215639) 
 
 
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da 
região R delimitada por y = x + 1, x = 0, x = 2 e y = 0. 
 
 26p/3 u.v. 
 0 u.v. 
 26p/7 u.v. 
 2p/35 u.v. 
 2p/3 u.v. 
Q = 	R' [S(�)]²(� �	TU R' �� ! 1 ²(� �	
&
� R' ��& ! 2� ! 1 &(� � 	R 0�
53 ! �& ! �3 20 ⟹&� 
Q � R :83 ! 4 ! 2; � 26R3 	V. W. 
 
Pode-se usar �� ! 1 � V e obter o mesmo resultado. 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309089267) 
 
 
Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por 
x2=y-2, 2y-x-2=0, x=0 e x=1 em torno do eixo x. 
 
 10π 
 π 
 79π20 
 20π 
 π4 
Q � 	R' �S��� ² 
 	����� &(�.� 		R ' G��² ! 2 ² 
	:� ! 22 ;
&J (� � 		R ' X��6 ! 4�² ! 4 
 0�² ! 4� ! 44 3Y (��� 	
�
�
T
U 
Q � R' X04�6 ! 16�² ! 164 3 
 0�² ! 4� ! 44 3Y (� � R4' �4�6 ! 15�² 
 4� ! 12 (� ⟹��
�
� 	 
Q � R4 :45 �8 ! 153 �³ 
 2�² ! 12�; 10 � R4 :45 ! 153 ! 10; � R4 :23715 ; � 79R20 	 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309089303) 
 
 
Calcular, o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y = x + 2. 
 
 89 
 72π5 
 34 
 10π 
 90π 
Determinando o limites de integração. 
X²=x+2 => x²-x-2=0 => Raízes ={-1,2} 
Gráfico. 
 
Q = 	R' [S(�)]² 
	 ����� &(�.� 		R ' \�� ! 2 ² 
	 ��² &](� �			&)�
T
U R' ��& ! 4� ! 4 
	�6 (� ⟹	
&
)� 
Q � R 04� ! 2�² ! �³3 
 �85 3 2
1 � 	R 0:8 ! 8 ! 83 
 325 ;— :4 ! 2 
 13 ! 15;3 � R :<18415 = 
 <
3215 =; ⟹ 
Q � R :21615 ; � 72R5 	V. W. 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201309215637) 
 
 
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da 
região R delimitada por y = x2/4, x = 1, x = 4 e y = 0. 
 
 1023p/80 u.v. 
 1924p/80 u.v. 
 206p/15 u.v. 
 1024p/80 u.v. 
 206p/30 u.v. 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201309091967) 
 
 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região 
compreendida entre o eixo y e a curva x=2y, 1≤y≤4. 
 
 3π2 
 2π 
 3π 
 π2 
 π