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(Questões de provas resolvidas e comentadas) Carlos R. Torrente Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Torrente, Carlos Roberto Raciocínio lógico para concurso, Carlos Torrente – 1ª ed. – Gov. Valadares – MG – 2015. ISBN: 978-85-67182-24-7 Prefixo Editorial: 67182 Direitos reservados. Reprodução proibida. 2015. e-mail: cursoscrt@gmail.com Impresso no Brasil / Printed in Brazil Editoração e revisão: Carlos Torrente Diagramação: Carlos Torrente Capa: Willian Passos ________________________________________________ NOTA: Apesar dos cuidados e revisões, podem ocorrer erros de digitação, ortográficos e dúvidas conceituais. Em qualquer hipótese, solicitamos a sua comunicação para o e-mail cursoscrt@gmail.com para que possamos esclarecer ou corrigir, se for o caso. Agradeço a Deus e dedico este livro à minha esposa Neide, aos meus filhos Camila, Igor, meu genro Willian Passos e minha sobrinha Franciely Torrente. Sumário: Proposição...........................................................................09 Conectivo.............................................................................12 Tabela verdade....................................................................14 Como negar uma proposição..............................................19 Proposições equivalentes....................................................42 Equivalências lógicas..........................................................52 Tautologia............................................................................65 Contradição.........................................................................66 Contingência........................................................................67 Argumentação.....................................................................69 Proposições categóricas.....................................................99 Diagramas lógicos.............................................................100 Sentenças abertas.............................................................115 Quantificador universal......................................................116 Quantificador existencial...................................................118 Sequência com números e letras......................................125 Bibliografia.........................................................................155 9 RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Proposição: É uma declaração ou sentença que pode ser julgada como VERDADEIRA — V —, ou FALSA — F —, mas não como V e F simultaneamente. Sendo assim, vejamos os exemplos: a) O curso preparatório é o caminho para o sucesso. b) O Brasil é um país democrático. c) As instituições federais tem autonomia. d) Os brasileiros são acolhedores. e) Hoje teremos prova de matemática. f) Todo mineiro é torcedor do Cruzeiro. g) 3 + 2 < 6 – 2 Estas sentenças podem ser julgadas como VERDADEIRAS ou FALSAS, logo, cada sentença representa uma proposição. A sentença ou frase onde você não consegue julgar, se é verdadeira ou falsa, não representa uma proposição. Exemplos: Exclamações: Parabéns! Interrogações: Quantas horas são? Imperativos: Estude para a prova de matemática. Sentenças abertas: x + 3 = 8 10 Proposição composta: As proposições compostas são expressões construídas a partir de outras proposições. Exemplo: Carlos é professor (Proposição simples) Roberto é cantor (Proposição simples) Carlos é professor e Roberto é cantor. (Proposição composta) Exercício resolvido: 1 – ICMS/SP) . Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a: (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 11 Solução: Analisando cada uma das frases, temos: I. Que belo dia! É uma sentença exclamativa, portanto não representa uma proposição. II. Um excelente livro de raciocínio lógico. É uma sentença que não pode ser julgada como falsa ou verdadeira, portanto não representa uma proposição. III. O jogo terminou empatado? É uma sentença interrogativa, portanto não representa uma proposição. IV. Existe vida em outros planetas do universo. É uma sentença que pode ser julgada como falsa ou verdadeira, portanto representa uma proposição simples. V. Escreva uma poesia. É uma sentença imperativa, portanto não representa uma proposição. Portanto, a sentença IV é a única que representa uma proposição simples, as demais frases não são proposições. Resposta correta: LETRA D 12 CONECTIVOS: São símbolos usados para ligar as proposições simples, transformando-as em proposições compostas. Os principais conectivos são: • Conjunção: A ^ B (lê-se: A e B) • Disjunção: A ν B (lê-se: A ou B) • Condicional: A → B (lê-se: se A então B) • Bicondicional: A ↔ B (lê-se: A se somente se B) Os conectivos serão representados das seguintes formas: ^: corresponde “e” (conjunção). Ex: Trabalho e estudo. A – Trabalho B – Estudo A ^ B (Trabalho e estudo) ν : corresponde “ou” (disjunção). Ex: Trabalho ou estudo. A – Trabalho B – Estudo A ν B (Trabalho ou estudo) 13 v ou ◊: corresponde “...ou, ...ou,...” mas não ambos. (disjunção exclusiva) Ex: Ou Trabalho ou estudo. A – Trabalho B – Estudo A v B ou A ◊ B (Ou Trabalho ou estudo) OBS: O conectivo v ou ◊ não é usado com muita frequência em provas de concurso. → : corresponde “se...então...” (condicional) Ex: Se trabalho então, não estudo. A – Trabalho B – Não estudo A → B (Se trabalho então, não estudo) ↔ : Corresponde “...se e somente se...” (bicondicional). Ex: Trabalho, se e somente se, estudo. A – Trabalho B – Estudo A ↔ B (Trabalho, se e somente se, estudo). 14 Tabela verdade: Trata-se de uma tabela formada por linhas e colunas, mediante a qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. O número de linhas da tabela depende do número de proposições que a sentença apresenta. Para encontrar o número de linhas de uma tabela verdade é só utilizar a seguinte fórmula: Nº linhasda Tabela-Verdade = 2nº de proposições N = 2n Exemplo: 1 – CESPE) A proposição simbólica P ٨ Q ٧ V possui, no máximo, 4 avaliações. ( ) Certa ( ) Errada Solução: A proposição dada P ٨ Q ٧ V tem três sentenças distintas (P, Q e V), logo, usando a fórmula, temos: 2³ = 8, portanto, a proposição tem 8 avaliações. Resposta: Conclusão Errada. 2 – CESPE) Considerando os símbolos lógicos ¬ (negação), ٨ (conjunção), ٧ (disjunção), → (condicional) e as proposições S: (p ٨ ¬ q) ٧ (¬ p ٨ r) → q ٧ r T: ((p ٨ ¬ q) ٧ (¬ p v r)) ٨ (¬ q ٨ ¬ r), 15 As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas. Solução: A proposição dada S tem três sentenças distintas (p, q e r), 2³ = 8, portanto, a proposição S tem 8 avaliações. A proposição dada T tem três sentenças distintas (p, q e r), 2³ = 8, portanto, a proposição T tem 8 avaliações. Resposta: Conclusão Errada. Construção da tabela verdade de uma conjunção: Conjunção: Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” representado pelo símbolo “∧”. • A ٨ B (lida como “A e B ”): Uma conjunção tem valor lógico Verdadeiro (V) quando ambas proposições forem Verdadeiras; nos demais casos, será Falso ( F ). Tabela verdade de uma conjunção: A B A ٨ B V V V V F F F V F F F F 16 Construção da tabela verdade de uma disjunção: Disjunção: Proposições compostas em que está presente o conectivo “ou” são ditas DISJUNÇÕES. Uma disjunção pode ser inclusiva, representada pelo símbolo “٧”, ou exclusiva, representada pelo símbolo v ou ◊. Construção da tabela verdade de uma disjunção inclusiva: • A ٧ B (lida como “A ou B”): Uma disjunção inclusiva tem valor lógico F quando ambas forem Falsas; nos demais casos, será V; Tabela verdade de uma disjunção inclusiva: A B A ٧ B V V V V F V F V V F F F 17 Construção da tabela verdade de uma disjunção exclusiva: • A v B (lida como “ou A... ou B...”): Uma disjunção exclusiva tem valor lógico F quando ambas forem verdadeiras ou Falsas; ou seja, quando ambas proposições tiverem os mesmos valores lógicos, nos demais casos, será V; Tabela verdade de uma disjunção exclusiva: A B A v B V V F V F V F V V F F F Construção da tabela verdade de uma condicional: Condicional: Proposições compostas em que está presente o conectivo “se ... então” que é representado pelo símbolo “→”. • A → B (lida como “se A, então B”): Uma condicional tem valor lógico F quando A for Verdade e B for Falso; nos demais casos, será V; 18 Tabela verdade de uma condicional: A B A → B V V V V F F F V V F F V Construção da tabela verdade de uma bicondicional: Bicondicional: Proposições compostas em que está presente o conectivo “Se e somente se” representada pelo símbolo “↔”. • A ↔ B (lida como “se A, se e somente se B”): Uma bicondicional tem valor lógico V quando ambas proposições tiverem os mesmos valores lógicos, ou seja Falsas (F,F) ou Verdadeiras (V,V); nos demais casos, será F; Tabela verdade de uma bicondicional: A B A ↔ B V V V V F F F V F F F V 19 Como negar uma proposição: O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo o símbolo que representa a proposição. No caso de uma proposição simples basta pôr a palavra não antes do verbo, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: Carlos é professor Negação: Carlos não é professor Igor é engenheiro. Negação: Igor não é engenheiro. Veja a negação de proposições simples na tabela verdade. • ¬A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V, quando A for F. Tabela verdade da negação de proposições: A B ¬ A ¬ B V V F F V F F V F V V F F F V V 20 Em resumo, os valores lógicos representados na tabela verdade ficam da seguinte forma: A B ¬ A ¬ B A ٨ B A ٧ B A v B A → B A ↔ B V V F F V V F V V V F F V F V V F F F V V F F V V V F F F V V F F F V V Exemplos: 1 – Represente cada uma das sentenças usando os conectivos lógicos, considerando que as letras A, B, C e D representam as seguintes proposições: A: Carlos é professor. C: Paulo é ator. B: Roberto é cantor. D: Igor é policial. a) Paulo é ator e Igor é policial. C ٨ D b) Roberto é cantor ou Igor é policial. B ٧ D c) Igor é policial e Carlos é professor. D ٨ A d) Carlos não é professor e Roberto é cantor. ¬ A ٨ B e) Se Paulo é ator, então Igor não é policial. C → ¬ D f) Se Carlos é professor e Pedro é atleta, então Igor é policial. ( A ٨ ¬ C ) → D 21 Negação de uma proposição composta: Negação de uma conjunção: Para negar uma proposição composta por uma conjunção, deve-se negar a primeira e a segunda proposição, e depois trocar o conectivo “e” por “ou”. Exemplo: 1 – IBFC) A negação da frase: “Carlos foi a praia e o tempo estava fechado” é: a) “Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado”. b) “Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado”. c) “Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado”. d) “Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado”. Solução: Temos a proposição: “Carlos foi a praia e o tempo estava fechado”. A: Carlos foi a praia. B: O tempo estava fechado. A ٨ B: Carlos foi a praia e o tempo estava fechado. 22 Analisando as alternativas dadas, temos: a) “Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado”. ¬A ٧ B b) “Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado”. ¬A ٨ ¬B c) “Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado”. ¬A ٧ ¬B d) “Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado”. A ٨ ¬B Comentário: Para negar uma conjunção, deve-se negar a primeira e a segunda proposição e trocar o conectivo “e” por “ou”, assim: ¬ (A ٨ B) = (¬A ٧ ¬B). Resposta correta: Letra C. Negação de uma disjunção: Para negar uma proposição composta por uma disjunção, deve-se negar a primeira proposição e depois negar a segunda, trocando “ou” por “e”. Simbolicamente, temos: ¬ (A ٧ B) = (¬A ٨ ¬B) 23 01 – ESAF/2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Solução: Para negar a disjunção exclusiva “Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra”, deve-se negar a proposição Milão é a capital da Itália e depois negar a proposição Paris é a capital da Inglaterra, trocando o conectivo “ou” por “e”. A = Milão é a capital da Itália B = Paris é a capital da Inglaterra. Simbolicamente, temos: ¬ (A ٧ B) = (¬A ٨ ¬B) Portanto, a negação da proposição “Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra” é “Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra”.Resposta correta: Letra A 24 2 - CESPE/2010) A negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”. Resolução: Para negar a disjunção exclusiva “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado”, deve- se negar a proposição Pedro não sofreu acidente de trabalho e depois negar a proposição Pedro está aposentado, trocando o conectivo “ou” pelo conectivo “e”. A: Pedro não sofreu acidente de trabalho. B: Pedro está aposentado. Simbolicamente, temos: ¬ (¬A ٧ B) = (A ٨ ¬B) Portanto, a negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho e Pedro não está aposentado”. Esta é uma questão do tipo certo ou errado, comum nas provas da CESPE, portanto, o item está ERRADO. Comentário: Lembre-se que a negação de uma negação é uma afirmação. 25 Negação de uma condicional: Para negar uma proposição composta com condicional, deve-se repetir a primeira proposição, substituir o conectivo “se...então” pelo conectivo “e” e negar a segunda proposição. Exemplo: 1 – A negação de “Se estudo então sou aprovado” é: a) Não estudo e sou aprovado. b) Estudo e não sou aprovado. c) Se não estudo então não sou aprovado. d) Se sou aprovado então estudo. e) Se não sou aprovado então não estudo. Solução: A representação simbólica da proposição: Se estudo então sou aprovado, é: A: Estudo. B: Sou aprovado. Se estudo então sou aprovado. A → B Para negar a proposição “Se estudo então sou aprovado”, deve-se repetir a proposição “estudo”, negar a proposição “sou aprovado” e substituir o conectivo “se...então” por “e”. Vejam: ¬ (A → B) = A ٨ ¬B Portanto, temos: Estudo e não sou aprovado. Resposta correta: Letra B. 26 Negação de uma bicondicional: Negar uma proposição composta com bicondicional equivale a negar duas condicionais [p↔q = (p→q) e (q→p)], portanto, para negar a bicondicional, teremos que negar a primeira condicional ou negar a segunda condicional. Exemplo: 1 – A negação da proposição “Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena”, é “Ficarei rico se, e somente se, não ganhar na mega sena”. Solução: A representação simbólica da proposição “Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena”, é: A: Ficar rico B: Ganhar na mega sena A ↔ B: Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena. Negando a proposição, temos: Se fico rico então, não ganho na mega sena e se não ganho na mega sena então fico rico. Veja a representação simbólica da negação: ¬ (A ↔ B) = (A → ¬B) ٨ (¬B → A) 27 Exercícios resolvidos: 1 – (CESPE/ BB - 2007) Uma expressão da forma ¬ (A ٨ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A →B. Resolução: Construindo a tabela verdade das proposições ¬ (A ٨ ¬ B ) e A→B, temos: A B ¬ B (A٨ ¬ B) ¬ ( A٨ ¬ B ) A → B V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V Observe que as duas últimas colunas, que representam as proposições compostas ¬ (A ٨ ¬ B) e A →B tem os mesmos valores lógicos (V, F, F e V). Resposta: Esta questão é da CESP/UNB do tipo CERTA ou ERRADA, portanto esta questão apresentou uma conclusão CERTA. 28 2 – (CESPE/2007) A proposição simbolizada por (A → B) → (B → A ) possui uma única valoração F. Resolução: Construindo a tabela verdade da proposição composta (A → B) → (B → A ), temos: A B A → B B → A (A → B ) → (B → A ) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V Existe somente uma avaliação falsa “F” (na linha 3) nos valores lógicos que representam a proposição (A → B) → (B → A ). Resposta: Esta questão é da CESPE/UNB do tipo CERTA ou ERRADA. Esta a questão apresentou uma conclusão CERTA. 3 – FCC/2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é: a) disjunção inclusiva. b) conjunção. c) disjunção exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. 29 Solução: Simbolizando a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso, temos: A: Paula estuda. B: Não passa no concurso. Portanto, “Paula estuda, mas não passa no concurso” pode ser representar por A ٨ B. Comentário: O conectivo mas representa uma conjunção. Alternativa correta: Letra B. 4 – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição P é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição Q é falso, então é correto afirmar que: a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. b) A disjunção entre P e Q é verdade. c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade. d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. 30 Solução: Analisando cada alternativa dada, considerando que P verdadeiro e Q falso, temos: a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. P → Q V F (FALSO) b) A disjunção entre P e Q é verdade. P ٧ Q V F (VERDADE) c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade. P ٨ Q V F (FALSO) d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. P ↔ Q V F (FALSO) Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos que a proposição P ٧ Q tem valor lógico verdade. Alternativa correta: Letra B. 31 Outra solução: Construindo a tabela verdade. a) b) c) d) P Q P → Q P ٧ Q P ٨ Q P ↔ Q V V V V V V V F F V F F F V V V F F F F V F F V Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos, na segunda linha, que a proposição P ٧ Q tem valor lógico verdade. Resposta correta: Letra B 5 – CESPE) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B e A ٧ B, sendo que o símbolo ٧ denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa. A B A ٧ B V V V F F V F F 32 Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: a) V, F, V, V; b) V, F, F, V; c) F, V, F, V; d) V, V, V, F; e) F, F, V, V. Solução: Na última coluna da tabela temos uma disjunção inclusiva com duas proposições “A” e “B”. Uma proposição composta será FALSA (F), quando as duas proposições simples “A” e “B” forem FALSAS (F). Vejam a última linha da tabela: Portanto, temos: A B A ٧ B V V V V F V F V V F F F Alternativa correta: Letra D. 33 6 – CESPE) A proposição composta (¬ A ) ٧ ( ¬ B) tem valorações contrárias às valorações da proposição A ٨ B, independentemente das possíveis valorações V e F dadas às proposições básicas A e B. Solução: Construindo a tabela-verdade: A B ¬ A ¬ B (¬ A ٧ ¬ B) A ٨ B V V F F F V V F F V F F F V V F F F F F V V V F Comentário: Analisando as duas últimas colunas da tabela verdade verificamos que as proposições (¬ A ٧ ¬ B) e A ٨ B tem valores lógicos contrários. Resposta: Esta questão da CESPE/UNB é do tipo CERTA ou ERRADA, portanto, a questão apresentou uma conclusão CERTA. 34 7 – IBFC) Das afirmações abaixo, a única que é verdade é: a) A disjunçãop ٧ q é verdade se e somente se p e q são verdadeiras. b) A conjunção p ٨ q é falsa se e somente se p e q são falsas. c) A bicondicional p ↔ q é falsa se e somente se p e q são falsas. d) A condicional p → q é falsa se, e somente se, p é verdadeira e q é falsa. Solução: Construindo a tabela verdade, teremos: a) b) c) d) p q p ٧ q p ٨ q p ↔ q p → q V V V V V V V F V F F F F V V F F V F F F F V V Na segunda linha verificamos que a proposição p → q é falsa se, e somente se, p é verdadeira e q é falsa. Alternativa correta: Letra D 35 8 – ESAF/2009) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 Solução Usando a tabela verdade temos: A B ¬ A ¬ B A ٨ B A ٧ B A → B A ↔ B V V F F V V V V V F F V F V F F F V V F F V V F F F V V F F V V a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 F ٧ F (Falso) b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 V → F (Falso) c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 F ٨ F (Falso) 36 d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 F → F (verdadeiro) e) 3 = 3 se, e somente se, 3 + 4 = 9 V ↔ F (Falso) Resposta correta: Letra D 9 – CESPE/2008) Considerando as definições apresentadas, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição. a) ¬(A ٨ B) b) (¬A) v (¬B) c) (¬A) ^ (¬B) d) (¬A) v B e) ¬[A →(¬B)] Resolução: Fazendo da representação simbólica da proposição “Nem Antônio é Desembargador nem Jonas é juiz”, temos: A: Antônio é Desembargador. B: Jonas é Juiz. 37 Na proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz” tem uma conjunção implícita. Podemos escrever esta proposição da seguinte forma: “Nem Antônio é desembargador e nem Jonas é juiz”, que simbolicamente é representado por (¬A) ٨ (¬B). Resposta correta: Letra B. 10 – IBFC) Considere as proposições: t: 3 é um número primo. u: 2 é um quadrado perfeito. Sendo (V) para o valor verdade e (F) para valor falso, pode-se dizer que: a) t ٨ u = V b) u → t = F c) t ↔ u = V d) u ٧ t = V Solução: Analisando as proposições, temos: t: 3 é um número primo. VERDADE u: 2 é um quadrado perfeito. FALSO 38 Construindo a tabela verdade: a) b) c) d) t u t ٨ u u → t t ↔ u u ٧ t V V V V V V V F F V F V F V F F F V F F F V V F Na segunda linha verificamos que a disjunção u ٧ t é verdade se u é falsa e t é verdadeira. Resposta correta: Letra D Outra solução: Analisando cada proposição sem construir a tabela verdade: Como sabemos que t é verdade e u é falso, temos: a) t ٨ u = V V F ( Falso ) b) u → t = F F V (Verdade) 39 c) t ↔ u = V V F (Falso) d) u ٧ t = V F V (Verdade) Resposta correta: Letra D (A disjunção u ٧ t é verdade se u é falsa e t é verdadeira). 11 – FCC/2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) p ٧ q (B) p → q (C) ¬ (p → q) (D) p ↔ q (E) ¬ (p ٨ q) p q ? V V F V F V F V F F F F 40 Resolução: Construindo a tabela-verdade a) b) c) d) e) p q p ٨ q p → q ¬ ( p → q ) p ↔ q ¬ (p ٨ q) V V V V F V F V F F F V F V F V F V F F V F F F V F V V Resposta Correta: LETRA C 12 – IBFC) O valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição q é falso. Nessas condições, o valor lógico da proposição composta [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q é: a) Falso. b) Inconclusivo. c) Falso ou verdadeiro. d) Verdadeiro. 41 Solução: Construindo a tabela verdade, temos: p q ¬p ¬q ¬p ↔ q [(¬p ↔q) → p [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q V V F F F V V V F F V V V F F V V F V F F F F V V F V F Na segunda linha verificamos que se p é verdadeiro e q é falso, então a proposição composta [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q é falsa. Alternativa correta: Letra A 13 – CESPE/2008) A proposição composta “Se A então B” é necessariamente verdadeira. Solução: A proposição composta “Se A então B” representa uma condicional. Uma condicional será F quando a primeira proposição for V e a segunda proposição for F, caso contrário será V. 42 Construindo a tabela verdade: A B A → B V V V V F F F V V F F V Pela tabela verdade verificamos que quando a proposição A é verdadeira e a proposição B é falsa (2ª linha) temos uma valoração FALSA. Conclusão ERRADA. 14 – CESPE/2012) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P “e” Q. Solução: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário = Eu não sou traficante, mas eu sou usuário. O “mas” representa uma conjunção. Conclusão CERTA. 43 Proposições equivalentes: Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem. Exercícios resolvidos: 01 – FCC/2006) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é: a) ¬ q → ¬ p b) ¬ q → p c) ¬ p → ¬ q d) q → ¬ p e) ¬ (q → p) Solução: Veja na tabela verdade os valores lógicos da proposição p → q: p q p → q V V V V F F F V V F F V 44 Uma proposição equivalente à proposição p → q tem que ter os valores lógicos V, F, V e V. Veja a tabela verdade de cada alternativa apresentada. a) Comparando as proposições p → q e ¬ q → ¬ p: p q p → q ¬ q → ¬ p V V V V V F F F F V V V F F V V As proposições p → q e ¬ q → ¬ p tem os mesmos valores lógicos ( V, F, V e V), portanto são equivalentes. b) Comparando as proposições p → q e ¬ q → p p q p → q ¬ q → p V V V V V F F V F V V V F F V F As proposições p → q e ¬ q → p não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. 45 c) Comparando as proposições p → q e ¬ p → ¬ q: p q p → q ¬ p → ¬ q V V V V V F F V F V V F F F V V As proposições p → q e ¬ p → ¬ q não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. d) Comparando as proposições p → q e q → ¬ p p q p → q q → ¬ p V V V F V F F V F V V V F F V V As proposições p → q e q → ¬ p não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. 46 e) Comparando as proposições p → q e ¬ (q → p): p q p → q ¬ (q → p) V V V F V F F F F V V V F F V FAs proposições p → q e ¬ (q → p) não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. A resposta correta é a letra A. 02 – IPAD) A sentença: “Penso, logo existo” é logicamente equivalente a: a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo. d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso. 47 Solução: Simbolizando a sentença, temos: A – Penso B - Existo A → B: “Penso, logo existo” Representando na tabela verdade a sentença “Penso, logo existo” que simbolicamente pode ser representado por A → B, temos: A B A → B V V V V F F F V V F F V A sentença “Penso, logo existo”, que simbolicamente é representada por A → B tem os seguintes valores lógicos V, F, V, e V. Uma proposição equivalente a A → B tem que apresentar estes mesmos valores lógicos. Simbolizando as alternativas dadas e construindo a tabela verdade, temos: 48 a) Penso e existo. A ٨ B A B A → B A ٨ B V V V V V F F F F V V F F F V F A sentença “Penso e existo”, representada simbolicamente por A ٨ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes. b) Nem penso, nem existo. ¬ A ٨ ¬ B A B ¬ A ¬ B A → B ¬ A ٨ ¬ B V V F F V F V F F V F F F V V F V F F F V V V V A sentença “Nem penso, nem existo”, representada simbolicamente por ¬ A ٨ ¬ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes. 49 c) Não penso ou existo. ¬ A ٧ B A ¬ A B A → B ¬ A ٧ B V F V V V V F F F F F V V V V F V F V V A sentença “Não penso ou existo”, representada simbolicamente por ¬ A ٧ B, tem os mesmos valores lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A → B, portanto são equivalentes. d) Penso ou não existo. A ٧ ¬ B A B ¬ B A → B A ٧ ¬ B V V F V V V F V F V F V F V F F F V V V A sentença “Penso ou não existo”, representada simbolicamente por A ٧ ¬ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes. 50 e) Existo, logo penso. B → A A B A → B B → A V V V V V F F V F V V F F F V V A sentença “Existo, logo penso”, representada simbolicamente por B → A, não tem os mesmos valores lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes. Resposta correta: Letra C 3 – CESPE/2008) Simbolizando-se adequadamente, pode-se garantir que a proposição “Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas” é equivalente à proposição “Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá”. Solução: Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos. 51 Simbolizando as proposições “Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas” e “Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá”, temos: A: O caminhão atropelou o tamanduá. B: Ana foi lavar roupas. A → B: Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas. ¬ B → ¬ A: Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá. Fazendo a tabela-verdade: A B ¬ A ¬B A → B ¬ B → ¬ A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V 52 A sentença “Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas”, representada simbolicamente por A → B, tem os mesmos valores lógicos da sentença “Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá”, representada simbolicamente por ¬ B → ¬ A, portanto, as proposições são equivalentes não são equivalentes. Resposta: Esta questão é do tipo CERTO ou ERRADO, portanto, a questão apresentou uma conclusão CERTA. Equivalências lógicas: Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente equivalentes) quando os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como: A B, ou simplesmente por A = B. 53 Equivalências da Condicional: As equivalências da condicional são as seguintes: 1 ) Se A então B = Se não B então não A. A → B implica que ¬ B → ¬ A (contra-positiva) Fazendo a tabela-verdade: A B ¬ A ¬B A → B ¬ B → ¬ A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Pela tabela verificamos que a proposição composta A → B tem os mesmos valores lógicos da proposição composta ¬ B → ¬ A, portanto, as proposições são equivalentes são equivalentes. A proposição ¬ B → ¬ A é a contra-positiva da proposição A → B. Ex: Dizer que “Se chove então me molho” equivale a dizer que “Se não me molho então não chove”. 54 2 ) Se A então B = Não A ou B. A → B implica que ¬ A ٧ B Fazendo a tabela-verdade: A B ¬ A ¬B A → B ¬ A ٧ B V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Ex: Dizer que “Se estudo então passo no ENEM” equivale a dizer que “Não estudo ou passo no ENEM”. Outra equivalências: As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes a: “Se A então B“: “Se Carlos é cruzeirense, então Marcelo é atleticano.” Se A, B. “Se Carlos é cruzeirense, Marcelo é atleticano.” 55 B, se A. “Marcelo é atleticano, se Carlos é cruzeirense.” A é condição suficiente para B. “Carlos é cruzeirense é condição suficiente para Marcelo é atleticano.” B é condição necessária para A. “Marcelo ser atleticano é condição necessária para Carlos ser cruzeirense.” Equivalências com símbolo de negação: Proposição Negação direta Equivalente da negação A ٨ B ¬(A ٨ B) ¬A ٧ ¬B A ٧ B ¬(A ٧ B) ¬A ٨ ¬B A → B ¬(A → B) A ٨ ¬B A ↔ B ¬(A ↔ B) A ٨ ¬B ou ¬A ٨ B 56 Leis de “De Morgan: Sejam as afirmações: A = Carlos é professor. B = Roberto é cantor. ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B Essas duas equivalências são conhecidas como leis de “De Morgan” que foi o primeiro a expressá-las em termos matemáticos. Exemplo 01: p = Carlos é professor e Roberto é cantor. ¬p = Carlos não é professor ou Roberto não é cantor. Exemplo 02: p = Carlos é professor ou Roberto é cantor. ¬p = Carlos não é professor e Roberto não é cantor. 57 Exercícios resolvidos: 1 – EBSERH) A afirmação “inflação alta causa desemprego” é equivalente, do ponto de vista lógico-matemático, a: a) se a inflação não está alta, não há desemprego. b) se a inflação não está alta, há desemprego. c) se não há desemprego, a inflação está alta. d) se não há desemprego, a inflação não está alta. e) se há desemprego, a inflação está alta. Resolução: Seja a sentença representada pela condicional: “inflação alta causadesemprego”, quer dizer “Quando há inflação alta, então vai existir desemprego”. Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter duas proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se de dois conceitos: contra positiva e pela dupla negação, veja: • Equivalência pela contra positiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A). • Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B). Obtendo a equivalência pela linguagem corrente, teremos: 58 • Pela contra positiva: “inflação alta causa desemprego” é equivalente a “Se não há desemprego, a inflação não está alta”. Este mesmo exercício pode ser resolvido usando a tabela verdade: A: Inflação alta. B: Há desemprego. Fazendo a tabela-verdade: A B ¬ A ¬B A → B ¬ B → ¬ A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Se a inflação não está alta, não há desemprego. ¬ A → ¬ B Se a inflação não está alta, há desemprego. ¬ A → B Se não há desemprego, a inflação está alta. ¬ B → A Se não há desemprego, a inflação não está alta. ¬ B → ¬ A Se há desemprego, a inflação está alta. B → A Portanto, alternativa correta é a letra (D). 59 2 – ESAF/2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo está em Paris”. b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris”. c) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris”. d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”. e) É verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris”. Resolução: Seja a sentença representada pela condicional: “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris”. Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter A proposição equivalente a essa condicional utilizando-se de o conceitos da dupla negação, veja: 60 • Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B). Como nas alternativas só temos “ou” e “e”, trata-se da 1ª equivalência. Daí temos: A: Pedro está em Roma; B: Paulo está em Paris; (¬ A ٧ B): “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”. Alternativa correta é a Letra (D). Outra resolução: Nessa questão, temos que: A: Pedro está em Roma B: Paulo está em Paris O que a questão pede é uma proposição equivalente à negação de A → B. Assim, temos: ¬ (A → B) = A ^ ¬B Vamos passar as alternativas para a linguagem simbólica: a) A ^ B (item incorreto) b) ¬ (A v ¬B) = ¬A ^ B (item incorreto) c) ¬ (¬A v ¬B) = A ^ B (item incorreto) d) ¬ (¬ A v B) = A ^ ¬ B (item correto) e) A v B (item incorreto) 61 Com isso, podemos afirmar que "Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’". Resposta correta: Letra D. 3 – EBSERH) Considerando a afirmação “Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias” como verdadeira, assinale a alternativa correta. a) A afirmação “Se eu não for aprovado no concurso, viajarei de férias” é verdadeira. b) A afirmação “Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias” é verdadeira. c) A afirmação “Se eu não viajar de férias, terei sido aprovado no concurso” é verdadeira. d) A afirmação “Se eu for não aprovado no concurso, não viajarei de férias” é equivalente à afirmativa. e) A afirmação “Se eu não viajar de férias, não terei sido aprovado no concurso” é equivalente à afirmativa dada. Resolução: Seja a sentença representada pela condicional: “Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias”. 62 Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter a proposição equivalente a essa condicional utilizando-se da contrapositiva, veja: • Equivalência pela contrapositiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A). “Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias” é equivalente a “Se eu não viajar de férias, não terei sido aprovado no concurso”. Portanto, alternativa correta é a letra (E). 4 – ANA) Sabendo-se que o símbolo ¬ denota negação e que o símbolo ٧ denota o conector lógico “ou”, a fórmula A → B, que é lida “se A então B”, pode ser reescrita como: a) A ٧ B b) ¬ A ٧ B c) A ٧ ¬ B d) ¬ A ٧ ¬ B e) ¬ ( A ٧ B ) Resolução: A condicional do tipo: “A → B”, é equivalente, pela dupla negação, à proposição (¬ A ٧ B). Portanto, alternativa correta é a letra B. 63 5 – EBSERH) Alguém afirmou que “se todo paciente é impaciente, então alguém vai enlouquecer”. Supondo que ocorra exatamente a negação da sentença, então: a) se nem todo paciente é impaciente, então ninguém vai enlouquecer. b) todo paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer. c) se todo paciente é impaciente, então ninguém vai enlouquecer. d) algum paciente é impaciente ou alguém vai enlouquecer. e) se nenhum paciente é impaciente, então alguém vai enlouquecer. Resolução: A negação de uma condicional do tipo: “Se A, então B” (A → B) será da forma: ¬ (A → B) = A ٨ ¬ B Ou seja, para negar uma condicional deve-se copiar a primeira proposição e negar a segunda proposição. Portanto, a negação da proposição “Se todo paciente é impaciente, então alguém vai enlouquecer” será “Se todo paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer”. Portanto, alternativa correta é a letra B. 64 6 – CESPE/2009) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes. Solução: Sendo a conclusão dada pela condicional “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” (A → B), podemos obter duas proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se de dois conceitos: contrapositiva e pela dupla negação, vejam: • Equivalência pela contrapositiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A). Pela contra-positiva a proposição será: “Se a operação agarra foi bem-sucedida, então o delegado prendeu o chefe da quadrilha.” • Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B). Pela dupla negação a proposição será: “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem- sucedida”. ITEM ERRADO 65 TAUTOLOGIA: Tautologia é uma proposição composta que é sempre VERDADEIRA, independentemente do valor lógico das proposições simples componentes. A proposição A → (A ٧ B) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade. A B A ٧ B A → (A ٧ B) V V V V V F V V F V V V F F F V Observemos que o valor lógico da proposição composta A → (A ٧ B), que aparece na última coluna da tabela-verdade, é sempre VERDADEIRO, independente dos valores lógicos que A e B assumem. Logo, a proposição A → (A ٧ B) representa uma tautologia. 66 CONTRADIÇÃO: Construindo uma tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem falso, então estaremos diante de uma contradição. Ex: 1 – Verifique se a proposição ( A ↔ ¬ B ) ٨ ( A ٨ B ) representa uma contradição: A B ¬ B ( A ↔ ¬ B ) A ٧ B (A ↔ ¬ B) ٨ (A ٧ B ) V V F F V F V F V V VF F V F V V F F F V F F F Observemos que o valor lógico da proposição composta ( A ↔ ¬ B ) ٨ ( A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabela- verdade, é sempre falso, independente dos valores lógicos que A e B assumem. Portanto, a proposição (A ↔ ¬ B) ٨ (A ٧ B ) representa uma contradição. 67 CONTINGÊNCIA: Se uma proposição composta não for uma tautologia nem uma contradição ela será uma contingência. Ex: Verifique se a proposição composta A ↔ ( A ٨ B ) representa uma contingência. A B A ↔ B A ↔ ( A ٨ B ) V V V V V F F F F V F F F F V F Observemos que o valor lógico da proposição composta A ↔ ( A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabela-verdade, aparece valores falsos e verdadeiros, independente dos valores lógicos que A e B assumem. Por isto representa uma contingência. Exercício resolvido: 1 – IBFC/2012) Se p e q são proposições e ¬p e ¬q suas respectivas negações, então podemos dizer que (¬p ٧ q) → ¬q é uma: a)Tautologia b) Contingência c)Contradição d) Equivalência 68 Solução: Vale a pena lembrar que: Tautologia: Todos os valores lógicos da proposição são verdades. Contradição: Todos os valores lógicos da proposição são falsos. Contingência: A proposição não representa uma tautologia e nem uma contradição, ou seja, os valores lógicos são verdades e falsos. Equivalência: Quando duas proposições tem os valores lógicos iguais. Construindo a tabela verdade, temos: p q ¬p ¬q ¬p ٧ q [(¬p ٧ q) → ¬q] V V F F V F V F F V F V F V V F V F F F V V V V Resposta: Letra C. Comentário: Verificando a última coluna temos os valores lógicos F, V, F e V, que não representa uma tautologia e nem uma contradição, portanto, a proposição [(¬p ٧ q) → ¬q] é uma contradição. 69 ARGUMENTOS: Argumento é um conjunto de proposições, chamadas de premissas, com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição, denominada conclusão. Um raciocínio lógico é considerado correto quando é constituído por uma sequência de proposições verdadeiras. Algumas dessas proposições são consideradas verdadeiras por hipótese e as outras são verdadeiras por consequência de as hipóteses serem verdadeiras. VALIDADE DE UM ARGUMENTO: Se as premissas e a conclusão são simultaneamente verdadeiras, então o argumento é válido. Quando as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, dizemos que o argumento é inválido, também chamado de sofisma ou falácia. Podemos concluir que: uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm- se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. 70 Existem diferentes métodos que nos possibilitam afirmar se um argumento é válido ou não. Eis alguns desses métodos: Utilizando tabela-verdade: Esta forma é mais indicada quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum. Este método deve ser evitado quando o argumento apresentar três ou mais proposições simples. Deve-se construir a tabela-verdade destacando uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as linhas em que os valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras), os valores lógicos da coluna da conclusão forem também Verdadeiros, então o argumento é válido. Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido. Exemplos: 1 – (CESPE/2007) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. 71 Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira. Premissa 1: “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” A → B Premissa 2: “Mara não acertou na loteria” ¬ A Conclusão: “Ela não ficou rica” ¬ B Verificação da validade ou não do argumento pela tabela verdade. Premissa 1 Premissa 2 Conclusão A B A → B ¬ A ¬ B 1ª linha V V V F F 2ª linha V F F F V 3ª linha F V V V F 4ª linha F F V V V Verificamos quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas são todos V. Observamos que na 3ª e 4ª linhas as duas premissas com valor lógico V. Na 4ª linha as premissas e a conclusão são verdadeiras, mas na 3ª linha as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa logo o argumento é inválido. 72 Comentário: Para que o argumento seja válido, teríamos que ter as premissas e as conclusões verdadeiras na 3ª e 4ª linhas. 2 – (CESPE/2007) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. A: Sílvia ama Joaquim B: Sílvia ama Tadeu Construção da tabela verdade Premissa 1 Premissa 2 Conclusão A B A ٧ B Linha 1 V V V Linha 2 V F V Linha 3 F V V Linha 4 F F F Verifica-se quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas e da conclusão são todos V. Observa-se que a 1ª linha apresenta as duas premissas e a conclusão com valor lógico V, logo o argumento é válido. Resposta: “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” representa uma proposição verdadeira. 73 Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras. Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdadeira, para que o argumento seja válido. Exemplos: 1 – (CESPE/2009 ) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras. Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa sequência. Solução: Vamos considerar que todas as proposições dadas são verdadeiras (V). 74 A: Fred é policial. B: Fred tem porte de arma. C: Fred mora em São Paulo. D: Fred é engenheiro. E: Fred faz cálculos estruturais. Representação simbólica de cada premissa: Premissa 1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. A → B Premissa 2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. B ٧ D Premissa 3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. D→E Premissa 4: Fred não tem porte de arma. ¬ B Premissa 5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. C → A Conclusão: “Fred não mora em São Paulo”. ¬ C 75 Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos se conclusão “Fred não mora em São Paulo” é verdadeira ou falsa.Vejam: Premissa 1: A → B (verdade) F F Premissa 2: B ٧ D (verdade) F V Premissa 3: D → E (verdade) V V Premissa 4: ¬ B (verdade) V Premissa 5: C → A (verdade) F F Conclusão: ¬ C (verdade) V A conclusão é verdadeira, afirmativa correta. 76 2 – (CESPE/ PF – 2009 ) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. Solução: Considerando que todas as proposições dadas são verdadeiras (V), temos: A: Carlos estuda. B: Carlos fracassou na prova de física. C: Carlos jogou futebol. Premissas: Premissa 1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. ¬ A → B Premissa 2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. C → ¬ A Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física. ¬ B Conclusão: Carlos não jogou futebol. ¬ C 77 Analisando as premissas: Premissa 1: ¬ A → B (verdade) F F Premissa 2: C → ¬ A (verdade) F F Premissa 3: B¬ (verdade) V Conclusão: ¬ C (verdade) V Pela análise das premissas concluímos que: Carlos estuda. Carlos não fracassou na prova de física. Carlos não jogou futebol. Resposta: sequência de proposições dadas constitui uma dedução correta. 3 – ESAF/2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. 78 c) Sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara. e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara. Solução: Uma disjunção (“ou”) será verdadeira (V) quando pelo menos uma das proposições que a compõe for verdadeira (V). Simbolizando as proposições: A: Sou amiga de Abel B: Sou amiga de Oscar C: Sou amiga de Nara D: Sou amiga de Clara Daí, temos: Premissa 1: Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. ( A ٧ B ) Premissa 2: Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. ( C ٧ ¬ B ) Premissa 3: Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. ( D ٧ ¬ B ) Premissa 4: Não sou amiga de Clara. ¬ D 79 Comentário: Numa questão como esta, em que nos são fornecidas várias proposições para que possamos tirar conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos: Premissa 1: ( A ٧ B ) ( Verdade ) V F Premissa 2: ( C ٧ ¬ A ) ( Verdade ) V F Premissa 3: ( D ٧ ¬ B ) ( Verdade ) F V Premissa 4: ¬ D ( Verdade ) V Conclusão: Sou amiga de Abel Não sou amiga de Oscar Sou amiga de Nara Não sou amiga de Clara Resposta certa é a letra C. 80 4 – ESAF – 2002) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. Solução: Considerando que: A: Iara fala italiano. B: Ana fala alemão. C: Ching fala chinês. D: Débora fala dinamarquês. E: Elton fala espanhol. F: Francisco fala francês. 81 Simbolizando as seguintes proposições: Premissa 1: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. ¬ A → B Premissa 2: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. A → C ٧ D Premissa 3: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. D → E Premissa 4: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. E ↔ ¬ ( ¬ F ) Premissa 5: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. ¬ F ٨ ¬ C Comentário: Numa questão como esta, em que nos são fornecidas várias proposições para que possamos tirar conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos: 82 Premissa 1: ¬ A → B (verdade) V V Premissa 2: A → C ٧ D (verdade) F F F Premissa 3: D → E (verdade) F F Premissa 4: E ↔ ¬ ( ¬ F ) (verdade) F F Premissa 5: ¬ F ٨ ¬ C (verdade) V V Conclusão: Iara não fala italiano. Ana fala alemão. Ching não fala chinês. Débora não fala dinamarquês. Elton não fala espanhol. Francisco fala francês. Resposta correta: Letra A. 83 5 – CESP/UNB – 2008) Uma dedução lógica é uma sequência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm- se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considere verdadeiras as duas premissas abaixo: “O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto”. “O raciocínio de Pedro não está correto”. Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta. Solução: A: O raciocínio de Pedro está correto B: O julgamento de Paulo foi injusto “O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto”. A ٧ B ( Verdade ) F V “ O raciocínio de Pedro não está correto”. ¬ A ( Verdade ) V Conclusão: O julgamento de Paulo foi injusto. B ( Verdade ) V Portanto, tem-se uma dedução lógica correta. 84 6 – (ESAF/2009) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo. a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com GlóriaProposições: A: Beto briga com Glória. B: Glória vai ao cinema. C: Carla fica em casa. D: Raul briga com Carla. Premissas: Premissa 1: Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. A → B Premissa 2: Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. B → C Premissa 3: Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. C → D Premissa 4: Raul não briga com Carla. ¬ D 85 Analisando os argumentos: A → B ( verdade ) F F B → C ( verdade ) F F C → D ( verdade ) F F ¬ D ( verdade ) V De acordo com a análise das premissas, temos: A: Beto briga com Glória. (Falso) B: Glória vai ao cinema. (Falso) C: Carla fica em casa. (Falso) D: Raul briga com Carla. (Verdade) Beto não briga com Glória. Glória não vai ao cinema. Carla não fica em casa. Raul briga com Carla. Concluímos que “Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.” Resposta correta: Letra A. 86 7 – ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo, a. Nestor e Júlia disseram a verdade b. Nestor e Lauro mentiram c. Raul e Lauro mentiram d. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e. Raul e Júlia mentiram. Solução: Numa questão como esta, em que nos são fornecidas várias proposições para que possamos tirar conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos: Premissas: A: Nestor disse a verdade. B: Júlia e Raul mentiram. C: Lauro falou a verdade. D: Há um leão feroz nesta sala. 87 Premissa 1: A → B (Verdade) F F Premissa 2: B → C (Verdade) F F Premissa 3: C → D (Verdade) F F Premissa 4: ¬ D (Verdade) V Conclusão: A: Nestor disse a verdade. (Falso) B: Júlia e Raul mentiram. (Falso) C: Lauro falou a verdade. (Falso) D: Há um leão feroz nesta sala. (Verdade) Nestor não disse a verdade. Júlia e Raul não mentiram. Lauro não falou a verdade. Há um leão feroz nesta sala. Considerando que as premissas são verdadeiras, concluímos que “Nestor e Lauro mentiram.” Resposta correta: Letra B. 88 8 – ESAF/2003) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: A) Homero, João e Adolfo são inocentes. B) Homero, João e Adolfo são culpados. C) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. D) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. E) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente. Solução: Considerando que os três são inocentes, temos as seguintes proposições: H: Homero é inocente. A: Adolfo é inocente. J: João é inocente. 89 Premissa 1: Se Homero é culpado, então João é culpado. Premissa 2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. Premissa 3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente. Premissa 4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. Representando cada premissa por símbolos e considerando que todas são verdadeiras, temos: Premissa 01: ¬ H → ¬ J (verdade) V V Premissa 02: H → (¬J ٧ ¬A) (verdade) F V V Premissa 03: A → J (verdade) F F Premissa 04: ¬ A → ¬ H (verdade) V V Portanto, Homero, Adolfo e João são culpados. Resposta correta: Letra B. 90 9 – CESPE/2009) Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V. Solução: Nessa questão, vamos simbolizar as proposições: p: Jane é policial federal q: Jane é procuradora de justiça r: Jane foi aprovada em concurso público Proposição A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. (p v q) → r Proposição B: Jane foi aprovada em concurso público. r Proposição C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. p v q 91 Proposição A: (p v q) → r (verdade) V V V V F V F V V Proposição B: r (verdade) V Proposição C: p v q (verdade) V V V F F V Sabendo que A e B são verdadeiros, temos que: A: (p v q) → V (valor lógico verdadeiro) pode assumir qualquer valor que esta expressão será verdadeira. Portanto, a expressão C: (p v q) pode ser verdadeira ou falsa, o que torna o item errado. Conclusão ERRADA. 92 10 – ESAF/2008) Três meninos, Pedro, Lago e Arnaldo, estão fazendo um curso de informática. A professora sabe que os meninos que estudam são aprovados e os que não estudam não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então Lago estuda; se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo estudam; se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda; se Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas informações pode-se concluir que: a) Pedro, Lago e Arnaldo são aprovados. b) Pedro, Lago e Arnaldo não são aprovados. c) Pedro é aprovado, mas Lago e Arnaldo são reprovados. d) Pedro e Lago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado. e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Lago é reprovado. Solução: Devemos partir do princípio que todas as proposições dadas são verdadeiras (V) Vamos considerar que: A: Pedro estuda. B: Lago estuda. C: Arnaldo estuda 93 Premissa 1: Se Pedro estuda, então Lago estuda. A → B Premissa 2: Se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo estudam. ¬ A → B ٧ C Premissa 3: Se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda. ¬ B → ¬ C Premissa 4: Se Arnaldo estuda então Pedro estuda. C → A Analisando as premissas, temos: Premissa 1: A → B (verdade) V V Premissa 2: ¬ A → B ٧ C (verdade) F V V Premissa 3: ¬ B → ¬ C (verdade) F F Premissa 4: C → A (verdade) V V Conclusão: Pedro, Lago e Arnaldo estudam, logo, serão aprovados. Resposta correta: Letra A. 94 11 – CESPE/2008) Suponha verdadeiras as três proposições seguintes: I. Se as vendas aumentaram, então os preços vão baixar.II. O salário aumentou ou os preços não vão baixar. III. As vendas aumentaram. Nessa situação, tomando-se como premissa a conclusão do raciocínio válido que usa como premissas as proposições I e III, é correto concluir que “O salário aumentou”. Solução: Proposições: A: As vendas aumentaram. B: Os preços vão abaixar. C: O salário aumentou. Premissa 1: Se as vendas aumentaram, então os preços vão baixar. A → B Premissa 2: O salário aumentou ou os preços não vão baixar. C ٧ ¬ B Premissa 3: As vendas aumentaram. A Conclusão: O salário aumentou. C 95 Detalhando a argumentação: Premissa 1: A → B (verdade) V V Premissa 2: C ٧ ¬ B (verdade) V F Premissa 3: A (verdade) V Conclusão: As vendas aumentaram. (Verdade) Os preços vão abaixar. (Verdade) O salário aumentou. (Verdade) Verificando a análise das premissas, Vimos que o salário aumentou. Conclusão CORRETA. 96 12 – ESAF/2005) Considere a afirmação: P: “A ou B” onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Ênio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Ênio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto. SOLUÇÃO: A proposição composta A ou B que representa uma disjunção. O enunciado disse que esta disjunção é falsa. Para negar uma disjunção, deve-se negar a primeira e segunda proposição, além de trocar o conectivo “ou” por um “e”. Teremos: ¬ (A ou B) = ¬A e ¬B 97 Negando A, teremos: ¬A = Carlos não é dentista. Verificamos que B é a condicional “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto”. Para negar uma condicional deve-se repetir a primeira proposição, negar a segunda proposição e trocar o conectivo “então” por “e”. ¬B: Ênio é economista e Juca não é arquiteto. ¬ (A ou B) = ¬ A e ¬ B Conclusão: Carlos não é dentista. Ênio é economista. Juca não é arquiteto. Resposta correta: Letra B. 98 13 – ESAF/2004 ) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo: a) S > T e Z ≤ P b) S ≥ T e Z > P c) X ≥ Y e Z ≤ P d) X > Y e Z ≤ P e) X < Y e S < T Solução: Vejam as premissas que temos: Premissa 01: Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Premissa 02: Se Z > P, então S ≤ T. Premissa 03: Se S ≤ T, então Q ≤ R. Conclusão: Q > R Analisando as premissas, temos: Premissa 01: X ≥ Y → (Z > P v Q ≤ R ) (verdade) F F F Premissa 02: Z > P → S ≤ T (verdade) F F Premissa 03: S ≤ T → Q ≤ R (verdade) F F Conclusão: Q > R (verdade) V 99 Analisando os argumentos, temos: X ≥ Y - Falso Z > P - Falso Q ≤ R - Falso S ≤ T - Falso Concluímos, então, que: X < Y, Z ≤ P, Q > R e S > T. Resposta correta: Letra A. Proposições categóricas: As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de proposições categóricas. Representação das preposições categóricas: As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões de concurso. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é quem definirá o desenho do diagrama. 100 Utilizando os diagramas lógicos: Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euller. Todo A é B: Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também é elemento de B. Observação: Dizer que todo A é B não significa dizer que todo B é A. B A Portanto, o conjunto A está contido no conjunto B. 101 Nenhum A é B. Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, os conjuntos A e B não têm elementos comum. A B Dizer que nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que nenhum B é A. Algum A é B. Por convenção universal em lógica, proposições da forma algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. A B 102 Algum A não é B. Proposições na forma algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que algum A é não B, e também é logicamente equivalente a dizer que algum não B é A. A B Observação: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B. 103 Exercícios resolvidos: 1 – VUNESP/2013) Considere que cada região do diagrama possua elementos. A partir dessa representação, pode-se concluir corretamente que: a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também elemento de B. b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são elementos de D. c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são elementos de A. d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são elementos de A ou de C. e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são elementos de A. 104 Solução: Observando os diagramas e analisando cada alternativa, temos: a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também elemento de B. FALSA: Tem elemento de D que é elemento de A e não é elemento de B. b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são elementos de D. VERDADE: Todos os elementos de B são elementos de D. 105 c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são elementos de A. FALSO: Nenhum elemento de C é elemento de A. d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são elementos de A ou de C. FALSO: Existem elementos de D, que não são elementos de B, que não são elementos de A ou de C. 106 e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são elementos de A. FALSO: Nenhum elemento de B é elemento de C e existem elementos de B que não é elemento de A. Resposta correta: Letra B. 2 – CESGRANRIO/2007) Se todo A é B e nenhum B é C, é possível concluir, corretamente, que: (A) nenhum B é A. (B) nenhum A é C. (C) todo A é C. (D) todo C é B. (E) todo B é A. 107 Solução: Veja a representação
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