2015.1 - Equa+º+Áes Homog+¬neas

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CÁLCULO III 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS HOMOGÊNEAS: 
 
 Notas de aula - Prof. Antonio Fábio 
 
 
 
 
FUNÇÃO HOMOGÊNEA: 
 
 
 
 Uma função 
 yxf ,
 é dita homogênea se 
   yxftytxtf n ,..,. 
, onde 
n
 é o grau de homogeneidade. 
 Exemplos: 
 
 
 
 a) 
  323 53 yyxxyxf ,
 
 Temos: 
        
   yxftyyxxtytyxtxt
ytytxtxtytytxtxtytxtf
,............
...............,.
.
33233332333
332233323
5353
53 53

 . 
 Logo, 
  323 53 yyxxyxf ,
 é uma função homogênea de grau 3. 
 
 
 
 
 b) 
  yxeyxf ,
 
 Temos: 
     yxfteeytxtf nyxtytxt ,..,. ...  
. 
 Logo, a função 
  yxeyxf ,
 não é homogênea. 
 
 
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS: 
 
 
 
 Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
é dita homogênea se as funções 
   yxNyxM ,, e 
 forem homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade. 
 As equações homogêneas podem ser transformadas em equações separáveis por uma mudança da variável 
dependente. Fazendo: 
dtxdxtdyxty ...  e 
, a equação 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
 se transforma em uma equação 
de variáveis separáveis. Resolvendo a equação separável e substituindo 
x
y
t por 
 voltamos as variáveis originais. 
Ex. Resolva a equação: 
    :.. 0 dyyxdxxy
 
 Solução: 
 
   
       
       yxNtyxttytxtytxMyxyxN
yxMtxyttxtytytxMxyyxM
dyyxdxxy
NM
,..,,
,..,,
..



 Se
 Se
0
 
 Como M e N são funções homogêneas de grau 1, logoa equação é uma equação homogênea. 
 
:temos e doSubstituin ,... dtxdxtdyxty 
 
 
          ............. 011 0  dtxdxttxdxtxdtxdxtxtxdxxxt
 
 Simplificando a equação por 
,x
 encontramos: 
 
 2 
 
    
   
Cdt
tt
t
x
dx
dt
tt
t
x
dx
dttxdxtt
dtdx
dttxdxtdtxdxtdxdxtdtxdxttdxt










 .
..
,...
,
...........
12
1
 :Integrando
0
12
1
 :Então
0112
:temos e Agrupando
0 011
2
2
2
2
 
 
 Encontramos: 
CttLnxLnCttLnxLn 212 2 12 
2
1
 22  ..
 
 
 Substituindo, 
,
x
y
t 
 temos: 
 














 2
2
 2 12 2 12 2 
2
22
2
2
2
2
2
C
x
xxyy
LnxLnC
x
y
x
y
LnxLnC
x
y
x
y
LnxLn ..
 
 
.. CexxyyCxxyyLnC
x
xxyy
xLn 22222
2
22
2 2 22 2
2
 


 
 Encontramos: 
 
., 2C22 doconsideran 2 eKKxxyy 
 
 
 EXERCÍCIOS: 
 
 Resolva as equações diferenciais abaixo, caso seja homogênea: 
 a) 
,'
xy
yx
y
22
 


 
 
  0 b) 22  duyxdxyx ...