2015.1 - Equa+º+Áes Separ+íveis

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 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CÁLCULO III 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS: 
 
 Notas de aula - Prof. Antonio Fábio 
 
 
 
 
 
 Seja uma equação diferencial, na forma diferencial, 
    0 dyyxNdxyxM .,.,
. 
 A equação se diz separável ou de variáveis separáveis, se: 
 – 
   xAyxM ,
  função somente de x; 
 – 
   yByxN ,
  função somente de y. 
 Exemplos: 
 
    052
5
2
5
2
 b)
03 a)








dyydxx
y
x
dx
dy
y
x
y
dyydxx
..'
...cos
 
 
 SOLUÇÃO GERAL: 
 Consideremos a equação separável: 
 
0 dyyBdxxA ).().(
 
 A solução é: 
RKKdyyBdxxA   onde ,).(.)(
 
 
Exemplos: 
 1) Resolver a equação 
1
1
2 


y
x
y,
: 
 Solução: 
 
011 11 
1
1
 
1
1 22
22






 dyydxxdyydxx
y
x
dx
dy
y
x
y ).().().().(,
 
 Então: 
 
...).().( Ky
y
x
x
KdydyydxdxxKdyydxx     32 11 
32
22
 
 
 2) Resolver a equação 
y
x
y
5
4
'
, sabendo y(0) = 2: 
 Solução: 
 
dxxdyy
y
x
dx
dy
y
x
y ..' 45
5
4
5
4

 
 Logo: 
Kx
y
K
xy
dxxdyy  
2
222
2
2
5
2
4
2
545
.
..
 (solução geral). 
 Mas, y(0) = 2. Logo: 
1002
2
25 2
2
 KK.
.
 
 Então a resposta é: 
102
2
5 2
2
 x
y
(solução particular). 
 
 2 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 1) Determine a solução geral das seguintes equações: 
 
 
 
 
x
y
y
dyex.dx y


,
.cos
 b)
0 a) 
 
    0510 1 d)
0 c)
2
22


yxyxx
xyy
.'.
'.
 
 
 2) Resolva as equação 
0 0 2  )(;cos. , yxyy
: