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Cálculo: Funções de uma e várias variáveis - Exercicioscap1-5
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Cálculo – funções de uma e várias variáveis Editora Saraiva
Capítulo 5
Derivadas
Exercício 1:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 2:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 3:
Conclusão: Como os limites laterais são diferentes, concluímos que não existe o limite para
. Conseqüentemente não existe a derivada de f(x) no ponto
.
Exercício 4:
Conclusão: Como os limites laterais são diferentes, concluímos que não existe o limite para
. Conseqüentemente não existe a derivada de f(x) no ponto
.
Importante
Derivada da fc. constante
Derivada da fc. potência
Derivada da fc. logarítima.
Derivada da fc. seno
Derivada da fc. cosseno
Exercício 5:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
r)
s)
t)
u)
u)
w)
x)
Exercício 6:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
�� EMBED Equation.3
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
Exercício 7:
a)
b)
c)
Exercício 8:
Exercício 9:
Exercício 10:
a)
b)
c)
Exercício 11:
Exercício 12:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 13:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 14:
Conclusão: Como f(x) é a equação de uma reta, o coeficiente angular é o mesmo em qualquer ponto da mesma. Portanto, qualquer que seja x e qualquer que seja
, fica demonstrado que
.
Exercício 15:
a)
b)
Exercício 16:
Exercício 17:
Exercício 18:
(decréscimo)
Exercício 19:
Exercício 20:
Exercício 21:
Conclusão: O Custo marginal é o custo decorrente da produção de uma unidade adicional à partir de x unidades.
Neste caso, qualquer que sejam as x unidades o custo adicional devido a produção de mais uma unidade é de 50,00 reais.
Exercício 22:
a)
b)
O Custo marginal decorrente da produção de uma unidade adicional à partir de 5 unidades é de 17,50 reais.
c)
O Custo marginal decorrente da produção de uma unidade adicional à partir de 10 unidades é de 60,0 reais.
Exercício 24:
Conclusão: A receita marginal é a receita decorrente da venda de uma unidade adicional à partir de x unidades.
Neste caso, qualquer que sejam as x unidades a receita adicional devido a venda de mais de uma unidade é de 100,00 reais.
Exercício 25:
Conclusão: O Custo marginal é o custo decorrente da produção de uma unidade adicional à partir de x unidades.
Neste caso, qualquer que sejam as x unidades o custo adicional devido a produção de mais uma unidade é de 50,00 reais.
Exercício 22:
a)
b)
A receita marginal decorrente da venda de uma unidade adicional a partir de 10 unidades é de 420,00 reais.
c)
A receita marginal decorrente da venda de uma unidade adicional a partir de 20 unidades é de 340,0 reais.
Exercícios 26:
Exercício 27:
Exercício 28:
Exercício 29:
a)
a)
c)
Esta equação não corta o eixo x.
ponto cuja tangente é igual a zero.
d)
ponto cuja tangente é igual a zero.
Exercício 30:
a)
a)
c)
d)
Exercício 31:
a)
A propensão marginal a consumir é o aumento do consumo decorrente do aumento em uma unidade da renda disponível.
Neste caso, qualquer que seja a renda disponível o aumento em uma unidade da renda disponível ocasiona um aumento do consumo de 0,7 reais.
b)
A propensão marginal a poupar é o aumento da poupança decorrente do aumento de uma unidade do saldo (renda disponível-consumo).
Neste caso, qualquer que seja o saldo (renda disponível-consumo) o aumento em uma unidade do saldo ocasiona um aumento da poupança de 0,3 reais.
Exercício 32:
a)
b)
Se a renda disponível passar de 64 para 65 reais, o aumento do consumo será aproximadamente igual a 0,025 reais.
c)
Se a renda disponível passar de 64 para 65 reais, o aumento da poupança será aproximadamente igual a 0,975 reais.
Exercício 33:
a)
b)
Se a renda disponível passar de 64 para 65 reais, o aumento do consumo será aproximadamente igual a 0,0375 reais.
c)
Se a renda disponível passar de 64 a 65 reais, o aumento da poupança será aproximadamente igual a 0,9625 reais.
Exercício 34:
a)
Se o número de homens-hora empregados por mês passar de 6.400 a 6.401, o aumento do número de litros produzidos mensalmente será aproximadamente igual a 3,125.
b)
Se o número de horas-homem empregados por mês passar de 8.100 a 8.101 o aumento do número de litros produzidos mensalmente será aproximadamente igual a 2,78 litros.
Exercício 35:
a)
Se a quantidade de fertilizante empregada passar de 50 a 51 toneladas, o aumento na produção anual de algodão será aproximadamente igual a 100 toneladas.
b)
Se a quantidade de fertilizantes empregadas passar de 75 a76 toneladas, o aumento na produção anual de algodão será aproximadamente igual a 50 toneladas.
Exercício 36:
a)
b)
Exercício 37:
Exercício 38:
No ponto considerado a demanda é inelástica, isto é, se o preço sofrer um aumento percentual de , a queda percentual na demanda é de aproximadamente
Exercício 39:
No ponto considerado a oferta é inelástica, isto é, se o preço sofrer um aumento percentual de 1%, o aumento percentual na oferta é de aproximadamente 0,0465%.
Exercício 40:
No ponto considerado a oferta é inelástica, isto é, se o preço sofrer um aumento percentual de 1%, o aumento percentual na oferta é de aproximadamente 0,0517%.
Exercício 41:
No ponto considerado a demanda é elástica, isto é, se o preço sofrer um aumento de 1%, a queda percentual na demanda é de aproximadamente 2%.
Exercício 42:
No ponto considerado a demanda é inelástica, isto é, se o preço sofrer um aumento percentual de 1%, a queda percentual na demanda é de aproximadamente 0,27%.
Exercício 43:
Demanda elástica.
Demanda inelástica.
Exercício 44:
a)
b)
c)
Exercício 45:
a)
b) Se o preço sobe 5%, portanto a queda percentual da demanda será de:
Por outro lado temos:
queda nas vendas
de –0,4545%
Exercício 46:
O preço sobe 1%.
0,6.1% = 0,6%
A demanda diminui 0,6%.
O preço sobe 2%.
0,6.2% = 1,2%
A demanda diminui 1,2%.
O preço sobe 5%.
0,6.5% = 3,0%
A demanda diminui 3,0%.
Exercício 47:
Se o preço se reduz em 1% 2,4.1% = 2,4%.
Exercício 48:
Exercício 49:
Exercício 50:
P
N
R
0 S M x
Exercício 51:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Exercício 52:
Exercício 53:
Exercício 54:
Exercício 55:
Exercício 56:
Exercício 57:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
y
1
-1
0
y
x
-1
1
0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
� EMBED Equation.3 ���
x
5/3
40/3
30
20
155/9
5/9
� EMBED Equation.3 ���
x
0
x
R(x)
10
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
6
x
R(x)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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cap1.doc
Cálculo – funções de uma e várias variáveis Editora Saraiva
Capítulo 1
Conjuntos
Exercício 1:
a) a é elemento de A.
OBS: O método da enumeração ou método tabular consiste em escrever os nomes dos elementos de um conjunto entre chaves.
b)A é subconjunto de B
Se A é subconjunto de B, podemos dizer que A está contido em B ou que B contém A.
c)
d) A não está contido em B.
e) A não contém B.
A
B.
a não é elemento de A.
Exercício 2:
Conjunto dos números naturais entre 8 e 12 (inclusive).
A = {8, 9, 10, 11, 12}.
Conjunto das vogais do alfabeto.
B = {a, e, i, o, u}.
Conjunto dos números pares entre 0 e 18 (exclusive).
C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.
d) Conjunto dos números primos pares positivos.
D = {2}.
e) Conjunto das frações próprias positivas de denominador 7.
f)
g)
h)
i)
Exercício 3:
a) {1, 3, 5, 7, ..., 15}.
b) {1, 7}
c) O conjunto dos números pares entre 5 e 21.
d) O conjunto dos números reais entre -1 e 10, incluindo -1 e excluindo 10.
Exercício 4:
a)
b)
c)
d)
e)
Exercício 5:
Se A = {a, e, i}
a)
b)
este símbolo relaciona dois conjuntos.
c)
este símbolo relaciona elemento e conjunto.
d)
Exercício 6:
a) {0, 1, 2}
b)
c) {R, O, M, A}
Nos incisos a, b e c se considerarmos os conjuntos originais o número de subconjuntos aumentará em 1 unidade.
a) 8 subconjuntos.
b) 4 subconjuntos.
c) 16 subconjuntos.
Exercício 7:
A={x | x é par positivo e menor que 7}
B={2, 4, 6}
A={2, 4, 6} A=B
a)
b)
c)
Exercício 8:
a) {1, 2, 3} = {3, 2, 1}
verdadeiro
A ordem com que aparecem os elementos no conjunto é irrelevante.
b)
c)
d)
e)
f) {B, R, A, S, A}
{B, R, A, S}
verdadeiro.
Exercício 9:
a) A = {x | x é 5, 10, 15, ... }
conjunto infinito.
b)
conjunto infinito.
c)
x = 0
C = {0}
conjunto finito.
d) {x/2 |
}
conjunto finito.
D = {2, 4}.
e)
Conjunto infinito.
Definições
-Intersecção de Conjuntos
-União de Conjuntos
-Complementar de um Conjunto
-Diferença de Conjuntos
Exercício 10:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
C ={1, 2, 3, 4, 5}.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Exercício 11:
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {0, 2, 4, 6}
C ={9, 10}.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 12:
a)
b)
E E
A B A B
c)
E
A
B
Exercício 13:
a)
b)
E A B E
A B
C
c)
E
A B
C
Exercício 14:
a)
g)
b)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
k)
f)
l)
Exercício 15:
a)
b)
E E
A B A B
c)
d)
E E
A B A B
Exercício 16:
a)
E
C
B
A
b)
A B
c)
E
A B
d)
E
A B
C
Exercício 17:
a)
E
B
A
b)
E
B
A
Exercício 18:
a)
b)
c)
d)
Exercício 19:
Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
Exemplo 20:
a)
A B
2
3
0
(0, 2)
(0, 3)
1
(1, 2)
(1, 3)
b)
A B
x
y
z
a
(a, x)
(a, y)
(a, z)
b
(b, x)
(b, y)
(b, z)
c
(c, x)
(c, y)
(c, z)
c)
A B
1
2
3
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
Exercício 21:
4
1
5
B
A 2 6 C
7
3
8
Exercício 22:
a) A = {1, 2, 5, 7, 8}
Produto Cartesiano
b)
c)
d)
Exercício 23:
Dado 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; Dado 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exercício 24:
Moeda 1 = {CA, CR} ;Moeda 2 = {CA, CR}.
Moeda 1 x Moeda 2 = {(CA, CA), (CA, CR), (CR, CA), (CR, CR)}
n(Moeda 1 x Moeda 2) = n(Moeda 1) x n(Moeda 2) = 2 x 2 = 4.
Exercício 25:
E
A B
a)
E
A B
b)
c)
d)
Exercício 26:
“ Se um conjunto tem n elementos, então seu conjunto das partes tem
elementos.“
Exercício 27:
Apresentamos 4 possíveis partições:
1) 2)
A1 A2 E A1 A2 A3 E
1, 2 3, 4
1, 2 3, 4 5, 6
A3 A4
5 6
3) 4)
A2 A3 E A1 A2 E
2 3
A1 1 4 A4 1, 2, 3 4, 5, 6
6 5
A6 A5
Exercício 28:
a)
E
A B
3
18 20
6
9 11
22 C
b) Gostam de pelo menos de duas ciências = 3 + 6 + 9 + 11 = 29 estudantes.
c) n( M ) = 18 + 3 + 9 + 6 = 36 alunos.
n( F ) = 20 + 3 + 6 + 11= 40 alunos.
n( Q ) = 22 + 6 + 9 + 11= 48 alunos.
d) n(
) = 100 – 36 = 64 alunos.
n(
) = 18 + 20 + 22 +9 + 6 + 11 + 3 = 89
n(
) = 89 alunos.
Exercício 29:
Diagrama de Árvore.
a (1, a)
1 b (1, b)
c (1, c)
d (1, d)
a (2, a)
2 b (2, b)
c (2, c)
d (2, d)
a (3, a)
3 b (3, b)
c (3, c)
d (3, d)
Exercício 30:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 31:
E
A B
C
Exercício 32:
E
A B
92 35 80
33
Exercício 33:
E
A B
12%
60% 50%
8%
22% 7%
45% C
a) % não fumam = 100% - 98% = 2, 0 %
b) % fumam duas marcas = 22% + 7% +12% = 41%
Exercício 34:
44% homens casados.
80% pessoas casadas 12% mulheres casadas sem filhos.
30% mulheres casadas com filhos.
Incompatíveis.
86%
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
0 1 2 3 4 5 6 7 8 A
A
8
7
6
5
4
3
2
1
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cap2.doc
Cálculo – funções de uma e várias variáveis Editora Saraiva
Capítulo 2
Conjuntos Numéricos
números naturais.
números inteiros.
números racionais.
números inteiros positivos
Relação de Inclusão.
números racionais.
números reais.
Resumindo .
Exercício 1:
a)
representação infinita e não periódica.
Resposta verdadeira
b)
representação infinita e não periódica. ( x = 2,236068...)
Resposta verdadeira
c)
representação infinita e periódica.
Resposta verdadeira
d)
e)
f)
1,414214...
representação infinita e não periódica.
Resposta verdadeira
g)
h)
i)
representação infinita e não periódica.
Resposta verdadeira
j)
representação infinita e periódica.
Resposta verdadeira
.
Exercício 2:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 3:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 4:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 5:
a) 0,888...
b)
c)
d) 0,7222...
e)
f)
Exercício 6:
Somente para
Exercício 7:
a)
b)
c)
d)
Exercício 8:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Exercício 9:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Exercício 10:
Exercícios 11:
Exercício 12:
Exercício 13:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
�� EMBED Equation.3
g)
h)
i)
Exercício 14:
Exercício 15:
A produção diária nesse mês variou de um mínimo de 180 unidades a um máximo de 380 unidades.
Equações do Segundo Grau
(Dedução de Fórmula).
Exercício 16:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Outra Forma:
h)
i)
j)
k)
l)
Exercício 17:
a)
Outra Forma:
b)
Outra Forma:
c)
Outra Forma:
d)
Outra Forma:
e)
Outra Forma:
f)
Outra Forma:
Exercício 18:
Exercício 19:
Exercício 20:
Exercício 21:
Exercício 22:
Exercício 23:
Dados os seguintes intervalos:
A=[2,8] ;B=[7,20]
A
2 8
B
7 20
a)
b)
c)
d)
Exercício 24:
Dados os seguintes intervalos:
A=[1,
] ;B=[0,5[
A
1
B
0 5
a)
b)
c)
Exercício 25:
a)
A
4
b)
B
3
c)
C
1 5
d)
D
-5 +5
e)
E
-2 +2
f)
E
-2 +2
g)
G
-1 +1
h)
H
-1 +5
Exercício 26:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 27:
Exercício 28:
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cap3.doc
Cálculo – funções de uma e várias variáveis Editora Saraiva
Capítulo 3
Funções
Exercício 1:
A={1,2,5,7} B={3,5,8,9}
A={(1,3),(1,5),(1,8),(1,9),(3,5),(3,8),(3,9),(5,8),(5,9),(7,8),(7,9)}
b)
B={(3,3),(5,3),(5,5),(7,3),(7,5)}
c)
C={(1,3),(1,5),(1,8),(1,9),(3,3),(3,9),(5,5)}
d)
D={(3,3),(5,5)}
e)
D={(1,3),(3,5),(7,9)}
Exercício 2:
a)
1 3
3 5
5 8
7 9
b)
1 3
3 5
5 8
7 9
c)
1 3
3 5
5 8
7 9
d)
1 3
3 5
5 8
7 9
e)
1 3
3 5
5 8
7 9
Exercício 3:
a)
Dm(S)={1,3,5,7}; Im(S)={3,5,8,9}
b)
Dm(S)={3,5,7}; Im(S)={3,5}
c)
Dm(S)={1,3,5}; Im(S)={3,5,8,9}
d)
Dm(S)={3,5}; Im(S)={3,5}
e)
Dm(S)={1,3,7}; Im(S)={3,5,9}
Exercício 4:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 5:
a)
b)
c)
d)
Exercício 6:
a)
b)
a)
Exercício 7:
Exercício 8:
Exercício 9:
I
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 D
Exercício 10:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
I D
-3 –2 -1 0 1 2 3
Exercício 11:
- 3 +
2 1
D 0 D
Exercício 12:
I
+
+1
D D
-1
Exercício 13:
a)
b)
c)
Exercício 14:
a)
b)
Exercício 15:
a)
b)
Exercício 16:
Custo médio
a)
b)
c)
Exercício 17:
Renda= $ 600,00
b) Renda=$1.200,00
c) Y=
Exercício 18:
a)
b)
c)
d)
Y=
Resumindo:
Y=
Exercício 19:
Salário fixo= $ 2000,00+ $ 50,00 por assinatura.
Exercício 20:
Perímetro=40 (retângulo).
20 - x
x x
20 - x
Exercício 21:
Exercício 22:
É função.
É função.
Não é função.
É função.
é função.
Não é função.
É função.
É função.
Não é função.
É função.
Não é função.
É função.
Para resolver o Exercício 22 foi utilizada a definição de função que transcrevemos a continuação:
Uma relação f de A em B é uma função somente se:
a) Todo elemento x E A tem um correspondente Y E B definido pela relação, chamado imagem de x.
b) A cada x E A não podem corresponder dois ou mais elementos de B através de f.
Exercício 23:
a)
b)
c)
D = R - {0,3}
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Exercício 24:
Exercício 25:
a)
3
b)
c)
d)
e)
Exercício 26:
a)
y
y=5
5
4
3
2
1
0
b)
c)
d)
y
4
3
2
1
0 x
1 2 3 4
e)
y 1 2
0 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
f)
y
6
5
4
3
2
1
0 1 x
g)
y
0 0,5 1
-1 x
-2
-3
-4
h)
y
2
1
-2 -1 0 1 x
i)
y
5
4
3
2
1
-1 0 1 2 x
Exercício 27:
a)
y
2
1
0 1 2 3 x 3 x
-1
-2
b)
y
3
2
1
4 -3 -2 -1 0 x -4 x
c)
y
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 x 4 x
d)
y
0 1
-1 x x
-2 0
-
e)
y
2
-1 1
0 x -0,4 x
-1
-2
-3
Exercício 28:
A=(1,2) e B=(2,7)
y
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 x
b) A=(0,3) e B=(2,5)
y
5
4
3
2
1
0 1 2 x
c) A(-1,4) e B(3,5)
5
4
3
2
1
-1 0 1 2 3 x
d) A=(-2,1) e B=(5,-2)
y
1
x
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
Exercício 29:
P=(1,3); m=2
b) P=(0,0); m=3
y =3.(x-0)+0=3.x
y =3.x
c) P=(-1,4); m=-1
y =-1.(x-(-1)) +4=-1.(x+1) +4=-x-1+4
y =-x+3
P=(-1,-2); m=2
y =2.(x-(-1)) –2=2.(x+1) –2=2.x+2-2
y =2.x
P=(0,-4); m=-3
y =-3.(x-0) –4=-3.x-4
y =-3.x-4
P=(-2,0); m=-1
y =-1.(x-(-2)) +0=-x-2
y =-x-2
Exercício 30:
A=(1,2) e B=(2,3)Compartilhar
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