Prova_AF_2014_1_A_Gabarito

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Centro Universitário de Belo Horizonte 
 
IET – INSTITUTO DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA 
Curso de Engenharia Química 
 
Avaliação Final de Estatística e Probabilidades 
 
 
Professor: Bráulio RGM Couto Belo Horizonte,06/06/2014 
GABARITO 
 
 
 
1ª Questão (6,0 pontos) – A demanda química de oxigênio (DQO) de um efluente industrial pode 
ser modelada por uma distribuição normal com média 3530 mg/L e desvio padrão de 609 mg/L. 
 
X: v.a. normalmente distribuída representando a demanda química de oxigênio (DQO) de um 
efluente industrial (mg/L) 
 
)609;530.3(~ == σµNX 
 
1.1 (3,0 pontos) - Encontrar a probabilidade de que a DQO deste efluente seja: 
a) Menor que 3.000 mg/L 
 
)87,0()
609
35303000()000.3( −<=−<−=< ZPXPXP
σ
µ
 
1922,0)87,0()000.3( =−<=< ZPXP 
 
b) Acima de 4.000 mg/L 
 
)77,0()
609
35304000()000.4( +>=−>−=> ZPXPXP
σ
µ
 
)77,0(1)77,0()000.4( +<−=+>=> ZPZPXP 
 
2207,07793,01)77,0(1)000.4( =−=+<−=> ZPXP 
 
c) Entre 3.000 mg/L e 4.000 mg/L 
 
 
)77,087,0()000.4000.3( +<<−=<< ZPXP 
 
)87,0()77,0()000.4000.3( −<−+<=<< ZPZPXP 
 
5871,01922,07793,0)87,0()77,0( =−=−<−+< ZPZP 
 
 
 2
 
1.2 (3,0 pontos) – Encontre um intervalo, simétrico e centrado na média, em que 95% das 
amostras de efluentes apresentem valores de DQO (mg/L) 
 
95,0)( =+<<− aXaP µµ 
 
95,0)()( =


 −+<<
−−
σ
µµ
σ
µµ aZaP 
 
 
95,0=


 +<<
−
σσ
aZaP 
 
 
025,0)(025,0 =−<→=


 −< zZPaZP
σ
 
 
975,0)(975,0 =+<→=


 +< zZPaZP
σ
 
 
σ
σ
96,196,1 =→== aaz 
 
 
Intervalo centrado na média: 
 
 
95,0)96,196,1( =+<<− σµσµ XP 
 
 
95,0)60996,1353060996,13530( =×+<<×− XP 
 
 
95,0)724.4336.2( =<< XP 
 
 
 3
2ª Questão (10,0 pontos) – Os dados abaixo referem-se a uma amostra de alunos do UniBH: 
 
Curso 
Número de 
alunos na 
amostra 
Total de alunos 
do sexo 
masculino 
Idade 
média 
(anos) 
Desvio padrão 
da idade 
(anos) 
Arquitetura e Urbanismo 138 47 22 4,6 
Ciência da Computação 481 407 23 4,1 
 
a) (4,0 pontos) Obtenha uma estimativa pontual e por intervalo de 95% de confiança para a 
proporção de alunos do sexo masculino de cada curso. 
 
1
)ˆ1(ˆ96,1ˆ%95..
−
−±=
n
pppCI 
 
Arquitetura e Urbanismo - Proporção de alunos do sexo masculino: 
 
34,0
138
47
ˆ ==p 
( )42,0;26,0
1138
)34,01(34,096,134,0%95.. =
−
−±=CI 
 
 
Ciência da Computação - Proporção de alunos do sexo masculino: 
 
84,0
481
407
ˆ ==p 
( )88,0;81,0
1481
)84,01(84,096,184,0%95.. =
−
−±=CI 
 
 
b) (4,0 pontos) Obtenha uma estimativa pontual e por intervalo de 95% de confiança para a 
idade média dos alunos de cada curso. 
 
n
sXCI 96,1%95.. ±= 
 
 
 4
Arquitetura e Urbanismo - Idade média: 
 
22=X 6,4=s 
 
( )8,22;2,21
138
6,496,122%95.. =±=CI 
 
Ciência da Computação - Idade média: 
 
23=X 1,4=s 
 
( )4,23;6,22
481
1,496,123%95.. =±=CI 
 
 
c) (2,0 pontos) Há evidências para se afirmar que a idade média dos alunos de Ciência da 
Computação e Arquitetura e Urbanismo sejam diferentes? Justifique sua resposta. 
 
Não há evidências para se afirmar que a idade média dos alunos de Ciência da 
Computação e de Arquitetura e Urbanismo sejam diferentes porque há uma 
superposição dos intervalos de confiança para a idade média de cada curso. 
 
 
3ª Questão (4,0 pontos) – Foi realizado um estudo no UniBH para se avaliar se a proporção de 
reprovação na disciplina Leitura e Produção de Textos era diferente entre cursos de “humanas” 
versus “exatas”. Numa amostra de 118 alunos do curso de Administração, nove foram reprovados 
em Leitura e Produção de Textos (8%). Numa outra amostra, com 229 alunos de Engenharia 
Ambiental, Engenharia Química e Engenharia Mecânica, 28 foram reprovados em Leitura e Produção 
de Textos (12%). A análise dos dados foi feita por meio do teste de qui-quadrado, que gerou valor-
p=0,188. Existem evidências, a um nível de significância de 5% (α = 0,05), de que a proporção de 
reprovação em Leitura e Produção de Textos seja diferente, quando cursos de “humanas” são 
comprados com cursos de “exatas”? 
 
Não há evidências de que a proporção de reprovação em Leitura e Produção de Textos 
seja diferente, quando cursos de “humanas” são comprados com cursos de “exatas” 
porque o valor-p obtido na análise é de 0,188, superior ao nível de significância 
considerado (α = 0,05). 
 
 
 5
4ª Questão (5,0 pontos) – Considere um experimento em que 16 observações da viscosidade de 
um polímero (η) foram obtidas em função de duas variáveis do processo: temperatura da reação (T) 
e taxa de alimentação do catalisador (V). Variável resposta: Y = viscosidade do polímero (η). O 
quadro abaixo apresenta o resultado da regressão linear múltipla realizada por meio do Excel: 
Variável Coeficiente Erro padrão Stat t valor-P 
Interseção 1566,1 61,6 25,4 1,80E-12 
Temperatura (ºC) 7,6 0,6 12,3 1,52E-08 
Velocidade (lb h-1) 8,6 7,4 0,5 3,71E-01 
 
Considere nível de significância de 5% (α = 0,05) e, com base nos resultados acima, responda às 
questões: 
 
a) (2,5 pontos) Dentre as duas variáveis explicativas, quais delas estão significativamente 
associadas com a viscosidade do polímero (η)? Justifique a sua resposta. 
 
Somente a temperatura mostrou-se significativamente associada com o desfecho 
(viscosidade do polímero), pois valor-p = 1,52E-08, menor que 0,05, nível de 
significância usualmente considerado em testes de hipótese. 
 
 
b) (2,5 pontos) O que ocorrerá com a viscosidade do polímero (η) se a velocidade de 
alimentação do catalisador aumentar? Também aumentará, reduzirá ou permanecerá 
inalterada? Justifique a sua resposta. 
 
Como a velocidade não está significativamente associada com viscosidade do 
polímero, então qualquer alteração no seu valor não terá qualquer efeito sobre o 
desfecho. OU seja, se a velocidade de alimentação do catalisador aumentar, a 
viscosidade do polímero permanecerá inalterada. 
 
 
Fórmulas para cálculo de intervalos de 95% de confiança para média e proporção 
considerando amostras “grandes”: 
 
1
)ˆ1(ˆ96,1ˆ
−
−±
n
ppp
n
sX 96,1±