Gabarito 1ª Lista de Exercícios de Probabilidade
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Gabarito 1ª Lista de Exercícios de Probabilidade

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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LISTA DE EXERCÍCIOS I \u2013 Introdução à Probabilidade, Análise Combinatória e Estatística Descritiva 
Professores: Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão, Luis Antônio Seabra 
GABARITO (Em preparação) 
 
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01. 
 a) 26 x 26 x 26 = 263 
 b) 262 + 263 
 c) 262 + 263 +264 
 
02. P6 = 6! = 720 
 
03. 5 x 4 x 6 = 120 
 
04. 2 + 22 + 23 + ... + 210 = 2 x (210 \u2013 1)/ 2-1 = 2 (210 \u2013 1) 
 
05. A lança 6 dados e ganha caso consiga pelo menos um resultado igual a 1. 
 
 Seja Ac = nenhum resulatado igual a 1. 
 
Então, 
 
 6651,0
6
5
1)(
6
5
)(
66
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb\u2212=\u21d2\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb= APAP c 
 
 B lança 12 dados e ganha caso consiga pelo menos dois resultados iguais a 1. 
 
 Seja Bc = 1 ou nenhum resultado igual a 1 
 
Então, 
 
 6187,0)(1)(
6
5
6
5
6
1
1
12
)(
1211
=\u2212=\u21d2\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
= cc BPBPBP 
 
Logo A tem maior probabilidade de ganhar 
 
 
06. Seja A: \u201cAs partes sejam unidas na ordem original\u201d 
 
Fazendo P(A) = n(A)/n(S), onde S é o espaço amostral, temos que: 
 
!)( nAn = 
 
n
nn
Sn
2
)!2(
2,...,2,2
2
)( =\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
= 
 
Daí, 
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LISTA DE EXERCÍCIOS I \u2013 Introdução à Probabilidade, Análise Combinatória e Estatística Descritiva 
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)!2(
2!
)(
n
n
AP
n
= 
 
07. Seja n(S) = número de maneiras possíveis de colocar r-1 carros em N-1 lugares, pois o carro 
está fixo. Então, 
 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
=
1
1
)(
r
N
Sn 
 
Como o carro está fixo e quero que os lugares dos vizinhos fiquem vazios, então, 
 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
=
1
3
)(
r
N
An 
 
Daí, 
 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
=
1
1
1
3
)(
r
N
r
N
AP 
 
08. Por analogia do axioma 3, temos 
 
 ( )\u2211
==
\u2264\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb n
k
c
k
n
k
c
k APAP
11
U 
 
Ainda, pela lei de Morgan, temos: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
===
IIU
n
k
k
c
n
k
k
n
k
c
k APAPAP
111
1 
 
Assim, ( ) ( )\u2211\u2211
====
\u2212\u2265\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u21d2\u2264\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
n
k
c
k
n
k
k
n
k
c
k
n
k
k APAPAPAP
1111
11 II 
 
09. Temos que: 
 
\u2211
\u2211
\u2211
\u2211 ====
)(
)/()(
)(
)(
)(
)((
)(
)((
)/(
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
AP
ABPAP
AP
ABP
AP
ABP
AP
ABP
ABP
I
U
IU
U
UI
U 
 
Mas, P(B/An) = P(C/An) 
 
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Dai, 
)/(
)(
)((
)(
)((
)(
)(
)(
)/()(
)/( n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n ACP
AP
ACP
AP
ACP
AP
ACP
AP
ACPAP
ABP U
U
UI
U
IUI
U ======
\u2211
\u2211
\u2211
\u2211
 
Logo, )/()/( nn ACPABP UU = 
 
10. Sejam C: \u201cEscrever a carta\u201d, P: \u201cO correio perder\u201d e E: \u201cO carteiro entregar\u201d 
 
568,0
11,08,01,09,08,0112,0
112,0
)(
)(
)/( =
××+××+××
××
==
c
cc
cc
EP
ECP
ECP
I
 
 
11. 
Inicialmente será analisada cada uma das estratégias de ação: permanecer ou mudar de porta. 
Sob a visão de não mudar de porta, a primeira escolha definirá se você vencerá ou não. A 
probabilidade de ganhar, nesse caso, é 1/3. Isso ocorre porque o prêmio é igualmente provável nas 
3 portas. 
Sob a estratégia de mudar de porta, se o prêmio está atrás da porta inicialmente escolhida 
(probabilidade 1/3), você não vence. Se não está atrás da porta escolhida (probabilidade 2/3), e 
dado que outra porta sem o prêmio foi aberta para você, você mudará para a porta com o prêmio. 
Assim, a probabilidade de vencer será, portanto, 2/3 quando você decide mudar de porta. Assim, 
mudar de porta é mais vantajoso. 
 
12. a) A partir da leitura das tabelas é possível extrair os seguintes resultados. 
 
P(Pena de Morte | Acusado Branco) = 19/160 = 0,1187 
P(Pena de Morte | Acusado Negro) = 17/166 = 0,1024 
Não é possível concluir que 
raça influencia na aplicação da 
pena. 
 
b) 
P(Pena de Morte | Acusado Branco, vítima branca) = 19/151 = 0,1258 
P(Pena de Morte | Acusado Negro, vítima branca) = 11/63 = 0,1746 
P(Pena de Morte | Acusado Branco, vítima negra) = 0/9 = 0 
P(Pena de Morte | Acusado Negro, vítima negra) = 6/103 = 0,058 
 
c) As vítimas negras são mais negligenciadas pela justiça. Os acusados negros (quando a vítima é 
branca) são \u2248 40% mais penalizados à morte que os brancos. 
 
Obs: Esse exercício ilustra duas idéias de grande valor. A primeira é a do conceito de probabilidade 
como freqüência relativa em uma amostra. A segunda é a aplicação prática do conceito de 
probabilidade condicional. 
 
13. Para esse problema devemos considerar que o nosso universo é o mês de Novembro. Vamos 
descrever os eventos A = chuva e B = fluminense ganhar. Do enunciado temos que P(A) = 0,3 e 
P(AC) = 0,7. Podemos extrair também que: P(B|A) = 0,4 e P(B|AC) = 0,6. O que se quer é P(A|B) ou 
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seja a probabilidade de ter chovido dado que o fluminense ganhou. Essa é uma aplicação do 
teorema de bayes. 
 
 
 
)()|()()|(
)()|(
)|(
CC APABPAPABP
APABP
BAP
+
= substituindo 
9
2
7,06,03,04,0
3,04,0
)|( =
\u22c5+\u22c5
\u22c5
=BAP 
 
 
14. Sabe-se que: 
)()()( CBAPBAPAP \u2229+\u2229= 
Portanto 
)()()(
)()()(
BPAPAP
BAPAPBAP C
\u22c5\u2212=
\u2229\u2212=\u2229
 
)()(
))(1)((
CBPAP
BPAP
=
\u2212=
isso prova os itens a) e b). 
 
Para provar o item c), use a Lei de Morgan: 
 
)()()(1
)(1
))(()(
CCCC
CC
CCC
BAPBPAP
BAP
BAPBAP
\u2229+\u2212\u2212=
\u222a\u2212=
\u222a=\u2229
 
Mas também temos, 
 
)()()()(1
))(1())(1(
)()()(
CCCC
CC
BPAPAPBP
BPAP
BPAPBAP
\u22c5+\u2212\u2212=
\u2212\u22c5\u2212=
\u22c5=\u2229
 c.q.d. 
 
 
15. a) Para permanecer no mesmo lugar depois de dois passos, o equilibrista pode dar um passo 
para frente e depois para trás ou vice-versa. Assim a probabilidade requerida será 
 
)1(2 pp \u2212\u22c5\u22c5 
 
\u2126 
AC
 
A 
B 
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 b) A probabilidade de que depois de 3 passos ele esteja 1 passo à frente de sua posição inicial é 
igual a probabilidade de que dos 3 passos 2 sejam para frente e 1 para trás. Assim, 
)1(
1
3
2 pp \u2212\u22c5\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
16. 
a) Seja UF o evento em que a conexão de F até B esteja desbloqueada. Assim, P(UF) = 0,85, P(UF
C) 
= 0,15. Seja UA o evento em que a conexão de A até B esteja desbloqueada (ou seja, pelo menos 
um dos caminhos A ou B estão desbloqueados). Temos, 
986,0)95,01)(9,08,01(1)|( =\u2212×\u2212\u2212=FC UUP 
9,08,0)|( ×=CFC UUP 
995,0)9,01)(95,01(1)|( =\u2212\u2212\u2212=FD UUP 
95,0)|( =CFD UUP 
9714,0))|(75,01))(|(9,01(1)|(