Funções - Introdução, 1o e 2o grau, trigonométricas - Resumo (1)

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Funções – Aula 1
As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação , cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado:
Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:
Domínio da Função
Ao conjunto A damos o nome de domínio da função.
O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.
Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A.
Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.
Contradomínio da Função
Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função.
O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B.
Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.
Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.
Imagem da Função
A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu.
Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.
Definição de uma Função
Esta função f de A em B, , é definida como:
Ou ainda como:
Veja também que representamos f(x) ou y em função de x. A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio.
A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto do contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x2, como também do D(f) e do CD(f).
Omissão do Domínio e do Contradomínio na Definição de uma Função
É provável que em muitos livros e em outros sites você tenha encontrado a definição de muitas funções, nas quais não foram feitas menções nem ao domínio, nem ao contradomínio das mesmas.
É que nestes casos se assume que o contradomínio seja o conjunto dos números reais, .
Mas qual será o domínio?
Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função:
O contradomínio é:
O domínio é o próprio conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os quais  não seja um número real.
Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento 0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a x, elemento este que deve pertencer a Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem.
Então devemos desconsiderar o número 0 e mais nenhum outro, pois a divisão de 1 por qualquer outro número real produz um quociente real.
O domínio desta função pode então ser definido por:
Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero:
Logo a definição desta função poderia ser:
No caso da função  é muito fácil de se identificar que x não pode ser igual a 0, mas e no caso da função abaixo?
Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o radicando no denominador não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo, então concluímos que 5x - 5 deve ser maior que zero. Então temos:
Isolando x no primeiro membro:
Portanto x deve ser maior que 1, pois se x for igual 1 teremos uma divisão por zero e se x for menor que 1 teremos um radical negativo. Podemos então definir o domínio desta função por:
Desta forma podemos então definir assim esta função:
Não há como negar que  é uma forma bem mais simples de se definir esta função, é por isto que os livros costumam fazer assim.
Exemplos de Relação que não é Função
Observe o diagrama de flechas ao lado:
Ele não representa uma função de A em B, pois o elemento 2 do conjunto Apossui duas imagens, -8 e 8, o que contraria o conceito de função.
Se apenas 8 ou -8 recebessem um flechada de 2, aí sim teríamos uma função.
Agora vejamos este outro diagrama de flechas a seguir:
Veja que não há nenhum elemento do domínio que fleche mais de um elemento do contradomínio, mas ainda assim não estamos diante de uma função. Por quê?
Simplesmente porque o elemento 5 do conjunto A não possui uma imagem em B.
Observe agora o seguinte gráfico no plano cartesiano:
Ele representa ou não uma função?
Como sabemos, em uma função cada elemento x do domínio deve estar relacionado a um único elemento y do contradomínio, ou seja, deve possuir uma única imagem.
Note porém que neste gráfico os pontos (5, 1) e (5, 4), possuem a mesma abscissa, o que significa dizer que o elemento 5 do domínio possui duas imagens, ele flecha tanto o elemento 1, quanto o elemento 4 do contradomínio, portanto tal gráfico não representa uma função.
Em resumo, levando-se em conta o domínio e o contradomínio da relação, se no gráfico for possível traçar uma reta paralela ao eixo das ordenadas que passe por mais de um ponto do gráfico, ou ainda que não passe por nenhum dos seus pontos, então estaremos diante de um gráfico que não representa uma função.
Zeros ou Raízes de uma Função
Olhe o gráfico da função ao lado e perceba que alguns dos seus pontos estão localizados sobre o eixo das abscissas.
A abscissa de cada um destes pontos é denominada zero da função ou raiz da função.
Todo elemento do domínio da função que tem como imagem o elemento 0, é uma raiz da função.
Os elementos do domínio que anulam a função são as suas raízes, isto significa dizer que dependendo da função, ela pode não possuir raízes reais, pois pode não existir no seu domínio nenhum elemento que a anule e sendo assim o seu gráfico nunca intercepta o eixo x, assim como também pode possuir infinitas raízes reais, pois o seu gráfico intercepta o eixo x infinitas vezes, já que podem existir infinitos elementos do seu domínio que tornem a função nula.
Função de 1º grau
  Definição
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Vejaalguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
 
Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Oxe Oy.
    Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto,  e outro ponto é .
    Marcamos os pontos (0, -1) e  no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
	x
	y
	0
	-1
	
	0
	
	
    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.
   Temos:
   f(x) = 0        ax + b = 0        
   Vejamos alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                    f(x) = 0        2x - 5 = 0        
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                    g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
   
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
    h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5
 
Crescimento e decrescimento
   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
	
	x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-10
-7
-4
-1
2
5
8
	
      Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
    valores de y também aumentam. Dizemos, então que a 
    função y = 3x - 1 é crescente.
   Observamos novamente seu gráfico:
	
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Sinal
   Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
  1º) a > 0 (a função é crescente)
         y > 0       ax + b > 0         x > 
         y < 0      ax + b < 0         x < 
    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
          y > 0   ax + b > 0            x < 
         y < 0   ax + b < 0        x > 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.
 
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�1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?�
Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.
Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.
Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:
x + 8 = 28 - x
A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.
O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.
x + x + 8 = 28
x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.
2x + 8 = 28
Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:
2x = 28 - 8
Realizando a subtração:
2x = 20
O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:
Realizando a divisão encontramos a raiz 10:
x = 10
Portanto:
Eu tenho 10 carrinhos.
�2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria?�
Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:
O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:
Realizando as subtrações:
O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:
Que dividindo dá:
Tomemos então o primeiro membro da equação inicial
Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:
Portanto:
Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.
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�3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?�
Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:
Ou seja:
Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:
Realizando a subtração:
Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:
Que dividindo dá:
Portanto:
Eu tenho 15 anos de idade.
�4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?�
Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.
A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:
O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.
Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.
Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:
Ao fazermos a subtração:
Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:
Que dividindo dá:
Portanto:
O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.
�5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?�
Chamemos de v o volume da chuva hoje.
Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:
Somando os termos do primeiro membro temos:
Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:
Ao dividirmos:
Portanto:
O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.
�
�6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?�
Portanto:S = { 4,5 }.
�7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?�
Portanto:
7/11 é a raiz da equação.
8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o conjunto solução desta equação?
Portanto:
S = {} é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao conjunto universo.
9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?
Portanto:
V = {4/5} é o conjunto solução da equação.
10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?
Portanto:
Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.
�
1)  Dados o conjunto A = {3, 7, 9} e o conjunto B = {1, 5, 11, 13}, além das relações R1 = {(3, 1), (9, 13)}, R2 = {(3, 5), (7, 5), (7, 11), (9, 13)} e R3 = {(3, 1), (7, 11), (9, 1)}, quais destas relações não se tratam de funções de A em B, sendo que R1, R2 e R3 são relações de A em B?�
Embora não seja estritamente necessário, a resolução desta questão também se utiliza de diagramas de flechas para que você tenha uma visão gráfica do conteúdo explanado.
Pela definição de função sabemos que uma relação de A em B é função quando todos os elementos do conjunto A estão relacionados a um, e somente um, elemento do conjunto B.
Segundo tal definição a relação R1 não é função, pois não existe nenhum par ordenado que relacione o elemento 7 do conjunto A, a qualquer elemento do conjunto B.
Em nenhum dos pares ordenados da relação R1 o primeiro elemento do par ordenado é o número 7 do conjunto A.
Observe no diagrama de flechas desta relação, que do elemento 7 do conjunto A não parte nenhuma flecha.
Então, segundo da definição de função, a relação R1 não é função.
Na relação R2, para todo elemento do conjunto A há ao menos um par ordenado que relaciona um elemento deA a um elemento de B.
O problema neste caso é que o elemento 7 do conjuntoA esta relacionado a mais de um elemento do conjuntoB, através dos pares ordenados (7, 5) e (7, 11).
Note no diagrama de flechas da relação R2, que do elemento 7 do conjunto A partem duas flechas em direção ao conjunto de chegada, relacionando-o com os elementos 5 e 11 do conjunto B.
Então, segundo da definição de função, a relação R2também não é função.
A R3 relaciona cada elemento do conjunto A a um, e somente um, elemento do conjunto B.
Veja que nem todos os elementos de B recebem flechadas de algum elemento de A, mas isto não contraria a definição de função.
Os elementos 5 e 13 pertencem ao contradomínio da função, mas não pertencem ao seu conjunto imagem.
Observe também que o elemento 1 do conjunto Brecebe mais de uma flechada, não contrariando contudo, a definição de função.
Portanto, a relação R3 é função.
As relações R1 e R2 não se tratam de funções de A em B.
 
�2) A função f(x) = x2 - 2x + 3 é bijetora?�
Uma função para ser bijetora deve ser simultaneamente sobrejetora e injetora.
Uma função é sobrejetora quando não há no contradomínio qualquer elemento que não esteja relacionado a nenhum elemento do domínio, ou em outras palavras, em uma função sobrejetora o conjunto imagem é o próprio contradomínio, visto que todos os elementos do conjunto de chegada recebem ao menos uma flechada.
Uma função é injetora quando cada elemento do conjunto imagem está relacionado a somente um elemento doconjunto de partida, ou seja, cada elemento do conjunto imagem recebe exatamente uma flechada.
Como sabemos, f(x) = x2 - 2x + 3 é uma função polinomial do segundo grau, não sendo portanto, uma função injetora, pois sendo o seu gráfico uma parábola, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das abscissas que corte a parábola em algum local que não seja o seu vértice, tal reta a interceptará em dois pontos com a mesma imagem.
Observe a figura ao lado.
Note que a parábola é interceptada nos pontos (-1, 6) e (3, 6) pela retar, paralela ao eixo x.
Veja que tanto para x = -1, quanto para x = 3, temos y = 6, ou seja, ambos os elementos do domínio possuem a mesma imagem 6.
Agora observe o vértice da parábola no ponto (1, 2), note que este é oponto de mínimo desta função.
Perceba que para quaisquer valores de y < 2 não pertencem ao conjunto imagem da função, pois 
Como no caso desta função o conjunto imagem não é o próprio contradomínio, então esta função também não é sobrejetora, pois existem elementos no contradomínio que não estão relacionados a nenhum elemento do domínio, por exemplo, não existe qualquer valor real que atribuído ao x da função resulte em y = 1, já que o valor mínimo é y = 2.
Não, a função f(x) = x2 - 2x + 3 não é bijetora, pois não é nem injetora, nem tampouco sobrejetora.
 
�3) Qual é o domínio e o contradomínio da função ?�
Em caso de omissão do domínio e do contradomínio, assumimos que o contradomínio é o conjunto dos números reais, . Já em relação ao domínio precisamos levar em conta outras considerações.
No caso desta função temos um radical no numerador da fração.
Como sabemos, o radicando real de um radical de índice par não pode ser negativo, de onde concluímos em relação ao numerador que:
Também sabemos que o logaritmando de um logaritmo em qualquer base deve ser maior que zero, o que nos leva a esta outra consideração em relação ao denominador:
Não podemos nos esquecer que o logaritmo decimal de 1 é igual a 0, então x não pode ser igual a 1, caso contrário teremos um denominador igual a 0 e sabemos que não podemos realizar a divisão por zero no conjunto dos números reais, portanto temos uma terceira condição que é:
Vamos tomar como exemplo x = 1/2. Veja que este valor satisfaz a segunda condição, pois 1/2 é maior que 0, e também a terceira já que 1/2 é diferente de 1, no entanto não satisfaz a primeira condição, visto que x deve ser maior ou igual a 1 e não é.
Como as três condições precisam ser satisfeitas, a condição adotada será x > 1, já que quando x > 1, certamente será maior que 0 e diferente de 1, além de satisfazer a primeira condição.
Ao lado temos a representação gráfica da explicação acima.
Na primeira linha temos a condição x ≥ 1.
Na segunda linha temos a condição x > 0.
Na terceira linha temos a condição x ≠ 1.
Na quarta linha temos a condição que satisfaz todas as três condições simultaneamente.
Em função disto o domínio desta função é:
E a função pode ser assim definida:
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�4) Sendo f-1 a função inversa de , obtenha a sua definição.�
O que temos de fazer neste problema é encontrarmos a função inversa de .
Para simplificar o desenvolvimento vamos substituir f(x) por y:
Agora invertemos a posição das variáveis x e y:
O próximo passo é isolarmos a variável y no primeiro membro:
Como y é igual a f(x), a função inversa y-1 será:
Veja que o gráfico de f(x), em vermelho, é simétrico ao gráfico de f-1(x), em azul, em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. Esta é uma característica do gráfico de uma função com o da sua função inversa.
Funções como esta, que possuem uma função inversa, as denominamos funções inversíveis.
Lembre-se que para ser uma função inversível, ela precisa ser bijetora.
f-1 é definida como .
 
�5) Qual é a função inversa da função 3x2?�
Como não foi informado, o contradomínio da função é o próprio conjunto dos números reais.
Já que não há qualquer restrição, visto que todo número real possui um quadrado, então o domínio da funçãotambém é o próprio conjunto dos números reais.
Então a definição desta função é:
Para obtermos a definição da função inversa vamos substituir f(x) por y e depois isolá-la no primeiro membro:
Então teríamos a seguinte função inversa:
Falta ainda definirmos o domínio e o contradomínio desta função inversa.
Para isto devemos nos lembrar que  implica em . Traduzindo, significa dizer que o domínio da função é o contradomínio da suainversa e o contradomínio da função é o domínio da sua inversa.
Em função disto a definição da função inversa seria:
Você consegue identificar alguma coisa errada nesta definição?
Em outras palavras, ela diz que para todo número real x, existe um outro número real f-1(x), obtido a partir da lei de formação , mas sabemos que isto não é verdade. Por quê?
Simplesmente porque não existe raiz quadrada real de um número real negativo.
Então, corrigindo, a definição da função seria:
Observe que o domínio de f-1(x) não é o contradomínio f(x).
Isto quer dizer o quê?
Quer dizer que a função f-1(x) não é verdadeiramente a função inversa da f(x), poisf-1(x) não está definida para qualquer x menor que zero. Veja que o gráfico de f-1(x), em azul, não ultrapassa o eixo x.
Observe que o gráfico de f(x), em vermelho, não é simétrico ao gráfico de f-1(x)em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. Isto demonstra graficamente que estas funções não são uma o inverso da outra.
Não existe a função inversa de f(x), pois ela não é bijetora. As funções quadráticas não o são.
Isto já basta para resolver o problema. Ao invés de tão prolixo, este artigo poderia ser bem conciso, no entanto foi redigido desta forma para lhe passar mais alguns conceitos importantes.
Veja também que f-1(x) não é uma função sobrejetora e consequentemente não é bijetora.
Se você não se recorda do que se tratam estes tipos de função, esta é uma boa oportunidade para fazer uma recapitulação
A função 3x2 não é inversível, pois não é bijetora e, portanto, não possui uma função inversa.
 
�6) O gráfico de uma função afim intercepta os eixos do plano cartesiano em um ponto com abscissa igual -3 e em um outro com ordenada igual 1. Qual é a lei de formação desta função?�
Funções afim são representadas graficamente por uma reta não paralela ao eixo x.
Ao lado temos o gráfico da função afim que passa pelos referidos pontos, os quais também pertencem aos eixos do plano cartesiano.
O ponto (-3, 0) é comum à reta e ao eixo das abscissas.
O ponto (0, 1) é comum à função e ao eixo das ordenadas.
A lei de formação de uma função afim é da forma .
Podemos identificar o valor numérico dos coeficientes a e b, substituindo os valores de x e y dos referidos pontos.
Para o ponto (0, 1) temos:
Agora que sabemos que b = 1, para o ponto (-3, 0) temos:
Conhecendo a e b já temos condição de obter a lei de formação da função:
Assim a função , cujo gráfico tem em comum aos eixos do plano cartesiano os pontos (-3, 0) e (0, 1) é definida por:
A lei de formação desta função é .
 
�7) Uma função linear cujos pontos tem abscissa com valor simétrico ao da ordenada, é uma função afim crescente?�
Uma função linear é da forma  com , ou seja, é uma função afim da forma , com  e com .
Segundo o enunciado, um determinado ponto desta função linear é identificado por (x, -x), isto é, o valor da ordenada y é o oposto do valor da abscissa x.
O seu gráfico temos ao lado.
Para obtê-lo escolhemos dois pontos aleatoriamente, segundo a indicação do enunciado e traçamos a reta que os contém.
Obviamente este é o gráfico de uma função decrescente e não de umafunção crescente.
Mas você não precisa ter o gráfico para solucionar este problema.
Já que os pontos do gráfico são (x, -x), quando aumentamos o valor dex, consequentemente diminuímos o valor de y que é igual a -x, então tal função é decrescente, pois para ser crescente, ao aumentarmos o valor de x, o valor de y também deveria aumentar.
Não, embora a função linear com tais características seja uma função afim, ela é uma função decrescente.
 
�8) O gráfico de uma certa função afim passa pelo ponto (3, 22). Além disto sabe-se que f(7) = 78. Pergunta-se: Qual a ordenada do ponto desta função cujo valor da abscissa é igual a 12?�
Dizer que f(7) = 78 é a mesma coisa que dizer que o gráfico desta função afim passa pelo ponto (7, 78).
Então este problema requer na verdade que se obtenha a lei de formação da função afim que passa pelos pontos(3, 22) e (7, 78) e que a partir dela calculemos a ordenada do ponto desta função, cuja abscissa é igual a 12.
Já temos no site exemplos de problemas onde damos dois pontos de uma função afim e solicitamos que seja obtida a regra de associação da função. Para variar um pouco, agora vamos solucionar este problema através da resolução de um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas pelo método da adição.
Visto que a lei de formação de uma função afim é da forma , a partir dos pontos conhecidos podemos equacionar o seguinte sistema:
Note que para cada ponto temos uma equação obtida da lei de formação, na qual x e y foram substituídos pelo respectivo elemento do par ordenado do ponto em questão. A primeira linha se refere ao ponto (3, 22) e a segunda ao ponto (7, 78).
Para solucionar o sistema vamos começar multiplicando a primeira equação por -1:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcbGVmdFx7LTIyXHF1YWQ9XHF1YWQtM2FccXVhZC1ccXVhZCBiXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXF1YWQ3OFxxdWFkPVxxdWFkXHFxdWFkN2FccXVhZCtccXVhZCBi" \* MERGEFORMATINET 
Agora podemos somá-las para que o valor de a seja obtido:
O valor de b vamos obter substituindo a por 14 na primeira equação:
Sendo a = 14 e b = -20 temos a seguinte regra de associação:
Então só nos resta calcular a ordenada do ponto desta função cujo valor da abscissa é igual a 12, que nada mais é quef(12):
A ordenada do ponto desta função cujo valor da abscissa é igual a 12 é 148.
 
�9) Uma função quadrática tangencia o eixo x no ponto (3, 0) e intercepta o eixo y no ponto (0, -9). Defina esta função .�
Ao estudarmos as relações entre coeficientes e raízes das equações do segundo grau vimos as seguintes relações:
Como no ponto (3, 0) a função apenas tangencia o eixo das abscissas, isto significa que tal função possui duas raízes reais e iguais a 3.
No caso as raízes são a abscissa deste ponto, ou seja, ambas as raízes são iguais a 3.
 é a lei de formação de uma função quadrática , com  (, e .
O fato de a função interceptar o eixo das ordenadas no ponto (0, -9), nos indica que o valor do coeficiente c é -9, pois a parábola do gráfico de uma função polinomial do segundo grau sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Sabendo-se que c =-9 e que x1 = x2 = 3, a partir da segunda relação acima temos:
Agora sabemos que c =-9, x1 = x2 = 3 e que a =-1. Então, a partir da primeira relação supracitada:
Os coeficientes da função quadrática são então:
Que nos leva à seguinte definição de função:
A definição desta função é: .
 
�10) Os pontos (0, -60), (2, -42) e (7, 108) pertencem à parábola y = ax2 + bx + c para quais valores de a, b e c?�
O ponto (0, -60) deve pertencer à parábola do gráfico da função e para que isto ocorra c deve ser igual a ordenada deste ponto, ou seja, c deve ser igual a -60, o que nos permite momentaneamente definir a parábola como:
Agora a partir da equação da parábola e dos pontos (2, -42) e (7, 108) podemos montar um sistema de equações do primeiro grau com duas variáveis:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcbGVmdFx7XHF1YWQ0YVxxdWFkK1xxdWFkMmJccXVhZD1ccXVhZDE4XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFw0OWFccXVhZCtccXVhZDdiXHF1YWQ9XHF1YWQxNjg=" \* MERGEFORMATINET 
Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Para isto vamos multiplicar a primeira equação por -7 e a segunda por 2:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcbGVmdFx7LTI4YVxxdWFkLVxxdWFkMTRiXHF1YWQ9XHF1YWQtMTI2XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXF1YWQ5OGFccXVhZCtccXVhZDE0YlxxdWFkPVxxdWFkMzM2" \* MERGEFORMATINET 
Agora podemos somar as equações para obtermos o valor do coeficiente a:
O valor do coeficiente b iremos obter substituindo a por 3 na primeira equação:
Os valores dea, b e c são respectivamente 3, 3 e -60.
�
Ao estudarmos a função afim vimos que sua lei de formação é baseada em um polinômio do primeiro grau na variável x. Analogamente a lei de formação de uma função quadrática é baseada num polinômio do segundo grau na variável x.
Toda função  na forma , com  (,  e ) é denominadafunção quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.
Representação Gráfica de uma Função Quadrática
Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenadospertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.
Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:
	 x 
	y = -x2 + 10x – 14
	2
	y = -22 + 10 . 2 - 14 = 2
	3
	y = -32 + 10 . 3 - 14 = 7
	4
	y = -42 + 10 . 4 - 14 = 10
	5
	y = -52 + 10 . 5 - 14 = 11
	6
	y = -62 + 10 . 6 - 14 = 10
	7
	y = -72 + 10 . 7 - 14 = 7
	8
	y = -82 + 10 . 8 - 14 = 2
Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.
Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.
Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.
Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas
De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Na função y = -x2 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).
Raiz da Função Quadrática
Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.
Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.
Sendo  a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:
Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.
Resolução de equações completas
    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
    A partir da equação , em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
	1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
	2º passo: passar 4ac par o 2º membro.
	3º passo: adicionar aos dois membros.
	4º passo: fatorar o 1º elemento.
	5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.
	6º passo: passar b para o 2º membro.
	7º passo: dividir os dois membros por .
   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
	
    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
   
Vértice e Concavidade da Parábola
Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a suaconcavidade é para baixo.
Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1:
Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.
Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?
Vamos identificar os coeficientes destas funções.
Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos:
Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:
Já tem algum palpite?
Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente épositivo.
O gráfico da função  é côncavo para baixo quando a < 0:
Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:
Coordenadas do Vértice da Parábola
A abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:
Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vérticepara conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.
Seus coeficientes são:
Então para a abscissa do vértice xv temos:
A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0:
Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:
Da outra maneira o cálculo seria:
Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.
Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática
Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.
Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.
Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.
Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática
Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5:
Os seus coeficientes são:
Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.
O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado:
1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:
Conhecendo o discriminante podemos calcular yv:
Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir um valor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(xv).
Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.
Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:
Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática
Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x)=-x2+4x+2:
Os coeficientes da regra de associação desta função são:
Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.
O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim:
6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor mínimo:
Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv).
Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.
Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:
   Exemplos:
resolução a equação: 
Temos  
                        
 
Discriminante
   Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega  (delta).
	
    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
	
   De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo .
        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
	
	
    Exemplo:
Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
Solução
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
 
        Logo, os valores de k devemser menores que 3.
2º Caso: O discriminante é nulo  
            O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
                                    
    Exemplo:
Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. 
Solução
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .
                      
   Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo .
        O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são números complexos.
       
   Exemplo:
Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
Solução
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter 
                
   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
	Resumindo
  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:
  Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.
  Para , a equação tem duas raízes reais iguais.
  Para , a equação não tem raízes reais.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
 Observe o seguinte problema:
 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192   4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16                 1
x2 +xy = 48                 2
 
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim:    2x + y = 16        1
                        y = 16 - 2x
Substituindo y em  2 , temos:
               x2 + x ( 16 - 2x) = 48
              x 2 + 16x - 2x2 = 48
                - x2  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.
                  x2 - 16x + 48 = 0
x'=4       e        x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
 
As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
 
   
Isolando y em 1
               y - 3x = -1  y = 3x - 1
Substituindo em  2
           x2  - 2x(3x - 1)  = -3
           x2 - 6x2 + 2x    = -3   
          -5x2 + 2x + 3    = 0    Multiplicando ambos os membros por -1.
           5x2 - 2x - 3     = 0
x'=1       e    x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                            
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .
Logo, temos para conjunto verdade: 
PROBLEMAS DO 2º GRAU
 Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática
Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
Resolva a equação ou o sistema de equações.
Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
Solução
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
Temos então a equação: .
Resolvendo-a:
                                    
Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número:                10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:  �� INCLUDEPICTURE "http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/Image210.gif" \* MERGEFORMATINET  10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
                                              
Resolvendo o sistema, temos:
                                               
Isolando y em   1 :
                    -x + y = 3   y= x + 3
Substituindo y em 2:
xy   =  18
x ( x + 3)      =   18
x2 + 3x     =   18
x2 + 3x - 18   =   0
x'= 3  e  x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                 y'= 3 + 3 = 6
                                 y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3  e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
                       
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão  do tanque; observe a equação correspondente:
                       
Resolvendo-a, temos:
                      6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
                      6x + 30 + 6x = x2 + 5x
                       x2 - 7x - 30 = 0
                       x'= - 3      e   x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
Solução
Podemos representar por:
   
Resolvendo-a:
   
Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.
�
Exercícios de Funções do 2º Grau
	1) Identifique os coeficientes de cada função, mínimo ou máximo e trace o gráfico:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2  + 55 = 0
c) x2 - 6x = 0
d) x2 - 10x + 25 = 0
a) x2 - x - 20 = 0
b) x2 - 3x -4 = 0
c) x2 - 8x + 7 = 0
 
2) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?
�
Triângulo retângulo:
Ele é definido por possuir um ângulo reto, ângulo este entre a base (lado horizontal) e a altura (lado vertical).
Cada um destes lados é denominado cateto. O outro lado, o maior deles, é denominado hipotenusa.
Segundo o Teorema de Pitágoras temos que a soma do quadrado da medida dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa, ou de forma simplificada:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Nomeando os catetos de a e b e a hipotenusa de c, o teorema é representado pela seguinte expressão:
Ou ainda por:
Demonstração do Teorema de Pitágoras
Teorema é qualquer proposição que precisa ser demonstrada para que seja aceita.
Há várias formas de demonstrarmos o Teorema de Pitágoras, mas aqui iremos apresentar somente uma, que além de ser fácil de se explicar, também é fácil de se entender.
Vamos tomar 4 dos triângulos acima e montar uma figura como esta ao lado:
Como podemos observar, com os quatro triângulos formamos uma figura contendo dois quadrados, um interno e outro externo.
Os lados do quadrado interno têm medida igual a c. Já a medida dos lados do quadrado externo é igual a + b.
A área do quadrado externo é igual a soma da área dos quatro triângulos mais a área do quadrado interno. Isto pode ser assim representado:
Desenvolvendo esta expressão, cujo primeiro membro é um produto notável, concluímos a prova do teorema:
Nestenosso exemplo o cateto a é menor que o b, mas a demonstração se comprovaria mesmo que os catetos tivessem o mesmo comprimento, ou que medida de a fosse maior que a medida de b.
Seno, Cosseno e Tangente
O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se como sendo a razão entre o cateto oposto a  e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
��
Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.
O cosseno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se  como sendo a proporção entre o cateto adjacente a  e a hipotenusadeste triângulo. Ou seja:
Cos o = b/a
Em trigonometria,  (ou ) é a proporção entre o cateto oposto a  e o cateto adjacente a , onde  é um dos 2 ângulos agudos do triângulo retângulo.
Consequentemente também é dado pela razão entre o seno e o co-seno:
Os valores de tangentes mais usados na resolução de problemas são as tangentes dos ângulos notáveis.
Mostrar que os senos e cossenos dos ângulos de 30 e 60 graus foram obtidos usando-se um triângulo eqüilátero de lado unitário. Os ângulos de 45, usaram um triângulo retângulo Isóceles de catetos unitários.                    
                      
O Número PI
Na matemática, o número  é uma proporção numérica que tem origem na relação entre operímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro  e diâmetro  então aquele número é igual a  É representado pela letra grega π. Falar que os egípcios já conheciam π através da observação dessa relação entre medindo perímetros e diâmetros de círculos de diferentes diâmetros......
P1/D1 = P2/D2 = P3/D3 = π
D3 > D2 > D1.
O valor de  pertence aos números irracionais, ou seja, não pode ser escrito na forma a/b com a e b inteiros. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar  por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima  por 3,1415926. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar  com 52 casas decimais. Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de  através de algoritmos computacionais.
Grau (°) e radiano (rad) são diferentes unidades de medida de ângulo que podem ser relacionadas por meio do círculo. Sabe-se que 1° é a fração correspondente a �� INCLUDEPICTURE "http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/regr1.jpg" \* MERGEFORMATINET  de um círculo, portanto, um círculo, em graus, corresponde ao ângulo de 360° (I).
Sabemos ainda, da definição de radiano, que a medida de ângulo θ em radianos é dada por:
E que o comprimento, c, do perímetro de um círculo de raio r é C = 2πr.
Desta forma, podemos escrever:
Portanto, um círculo em radianos corresponde ao ângulo:
De (I) e (II) podemos concluir então que:
Então, através da regra de três simples, temos:
Portanto, podemos concluir que para obter um ângulo α, em graus, a partir de um ângulo �� INCLUDEPICTURE "../../../../DOCUME~1ATENDI~1CONFIG~1Tempmsohtmlclip1%25EF%25BF%25BD1clip_image009.png" \* MERGEFORMAT , em radianos, basta aplicar a relação:
E para obter um ângulo �� INCLUDEPICTURE "../../../../DOCUME~1ATENDI~1CONFIG~1Tempmsohtmlclip1%25EF%25BF%25BD1clip_image009.png" \* MERGEFORMAT , em radianos, a partir de um ângulo α, em graus, aplicamos a seguinte relação:
Vejamos um exemplo:
Para obter o valor do ângulo α, em graus, correspondente ao ângulo �� INCLUDEPICTURE "http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/regr12.jpg" \* MERGEFORMATINET , aplicamos a relação (V), obtendo:
Para obter o ângulo �� INCLUDEPICTURE "http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/regr9.jpg" \* MERGEFORMATINET , em radianos, correspondente ao ângulo �� INCLUDEPICTURE "../../../../DOCUME~1ATENDI~1CONFIG~1Tempmsohtmlclip1%25EF%25BF%25BD1clip_image014.png" \* MERGEFORMAT  aplicamos a relação (VI), obtendo:
ou:
Mais genericamente, podemos dizer:
Se, por exemplo,  em radianos foi dado, o ângulo ordinário correspondente seria:
��
Um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio r (em vermelho) corresponde a um ângulo de 1 radiano (em verde). A metade da circunferência corresponde a π radianos e uma circunferência completa a 2π.
Como Erastótenes calculou o raio da terra?
	
	
Erastótenes, matemático e geógrafo grego, nasceu em c. 276 aC e morreu em c. 194 aC em Alexandria (antigo Egito). Por volta do ano de 240 aC Erastótenes dirigia a biblioteca do museu de Alexandria, tendo deste modo acesso a catálogos relacionados a acontecimentos astronômicos importantes.
Obteve assim a informação, de que, em certo dia do ano (solstício de verão no hemisfério norte), ao meio-dia, o Sol se refletia nas águas de um poço muito fundo situado na cidade de Syene (que ficava exatamente no limite da zona tropical e no mesmo meridiano de Alexandria).
Para que a luz do Sol pudesse se refletir nas águas de um poço muito fundo, este deveria estar bem alinhado com o Sol, isto é, o Sol, o poço e o raio da Terra deveriam estar todos sobre uma mesma reta imaginária, ou em outras palavras, o Sol deveria estar no zênite, exatamente sobre a cabeça do observador.
Erastótenes observou que neste mesmo dia, em Alexandria, a sombra de uma coluna, ao meio-dia, revelava que o Sol distava do zênite 7,2 0 (medida feita com o auxílio do astrolábio).
	Sabendo que os raios de luz provindos de grandes distâncias parecem paralelos ou comportam-se como se fossem, Erastótenes concluiu que os raios que ligam as extremidades de um arco de 800 Km ao centro da Terra, formam um ângulo de 7 ,2 0 (800 Km é a distância entre as duas cidades, que já era conhecida pelos funcionários do museu). Este ângulo equivale a aproximadamente 1/50 do comprimento do meridiano terrestre -que é de 3600 (2).
Resolver problema usando teoria dos arcos e também por Pitágoras.
800 km		-	7,5 graus
2 Pi Raio da Terra	- 360 graus
R terra = 6.111 km
Ou
Seno 7,5 = 800 km/ raio da terra
Raio = 6.129 km
Bem próximo do raio real (auxílios de GPS modernos). O Cara era um gênio.
�
Funções Trigonométricas     ( Ý )
 
	 IV-2-i. Funções
Co-seno e Seno
	 Propriedades
Seno e Co-Seno
	 IV-2-ii. Função
Tangente
	 IV-2-iii. Função
Co-tangente
	 IV-2-iv. Função
Secante
	 IV-2-v. Função
Co-secante
	 Propriedades
Tangente, Co-tangente
Secante e Co-Secante
	 Exemplo 
 (gráfico) 
 
IV-2-i.  Funções  Co-seno  e  Seno      ( Ý )
 
	 Introdução
	 Definição de
 Seno e Co-seno
	 Obs. 4-1
	 Definição de Amplitude
  e Período de Oscilação
	 Obs. 4-2
	 A Função
Seno
	 A Função
Co-seno
	 Obs. 4-3
	 Propriedades
Seno e Co-Seno
	 
Introdução :     ( Ý ) 
 
    Considere   um   ângulo   t ,   medido   em   radianos   num   círculo   de   equação   x 2  +  y 2  =  1 .   Esta   medida   é   o   comprimento   do   arco   desde   o   ponto  ( 1 , 0 )   até   o   ponto   P ( x ,   y ) ,   no   sentido   anti-horário .
 
	
 
�
	 
Definição de Seno e Co-seno:     ( �� HYPERLINK "http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap04_Calc1.html" \l "IV-2_FuncoesTrigonometricas" \t "_self" Ý ) 
 
    As  funções  trigonométricas  co-seno  e  seno  são :
 
  cos t  =  a  primeira  coordenada  de  P = ( x ,  y ) ,  x
 
  sen t  =  a  segunda  coordenada  de  P = ( x ,  y ) ,  y
	
�
 
Observação 4-1 :     ( Ý )
 
    Uma  conseqüência  imediata  da  definição  ( já  que  o  ponto  P  =  ( x ,  y )  =  ( cos t , sin t )  pertence  ao  círculo  unitário  com  centro  na  origem )  é  a  identidade  fundamental, que tem origem no teorema de Pitágoras: Então,
 
( sen t ) 2 + ( cos t ) 2  =  1
 
    Quando  t  cresce  e  P  move  em  torno  do  círculo ,  os  valores  do  seno  e  do  co-seno  de  t  oscilam ,  eacabam  se  repetindo  quando  P  retorna  a  pontos  onde  já  tenha  estado .  Os  físicos  usam  bastante  o  termo  oscilação  para  funções  que  se  comportam  como  o  seno  e  o  co-seno .
 
�
 
Definição:     ( Ý ) 
 
    A  amplitude  de  uma  oscilação  é  a  metade  da  distância  entre  os  valores  máximo  e  mínimo .  O  período  de  uma  oscilação  é  o  tempo  necessário  para  que  a  oscilação  execute  um  ciclo  completo .
 
�
 
Observação 4-2 :     ( Ý )
 
    A   amplitude   de   sen t   e   de   cos t   é   1 ,   pois   como   ( sen t ) 2  +  ( cos t ) 2  =  1   temos
 
| sen t |     1    e    | cos t |     1
 
    O   período   é   2  ,   já   que   este   é   o   valor   do   perímetro   do   círculo   de   raio   1 .   Assim ,
 
sen ( t + 2  )  =  sen ( t )    e    cos ( t + 2  )  =  cos ( t )
 
    Este   comportamento   oscilatório   das   funções   seno   e   co-seno   faz   com   que   as   equações 
 
sen ( t )  =  a    e    cos ( t )  =  a
 
tenham  infinitas  ou  nenhuma  solução .   Por  exemplo ,   as  infinitas  soluções  de   cos t  =  1   são  da  forma   t  =  2 k  ,   t     e   a   equação   cos t  =  2   não   possui   nenhuma   solução .
 
Função Seno :     ( Ý )
 
f (x) = sen (x) , Dom f =IR e Im f = [ -1 , 1 ] .
 
    Observe  o  gráfico  da  função  seno  em  uma  animação .
 
 
Função Co-seno :     ( �� HYPERLINK "http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap04_Calc1.html" \l "IV-2_FuncoesTrigonometricas" \t "_self" Ý )
 
f ( x )  =  cos ( x ) ,   Dom f  =  IR   e   Im f  =  [ -1 , 1 ] .
 
    Observe  o  gráfico  da  função  co-seno  em  uma  animação .
 
 
Observação 4-3 :     ( Ý )
 
 
( i )  Vamos  observar  os  gráficos  das  funções  seno  e  co-seno  na  mesma  animação .
 
 
( i i )  Observe  os  gráficos  de  seno  e  co-seno  juntos .
 
 
( i i i )  Observe  na  tabela  abaixo  o  sinal  do  seno  e  do  cosseno .
 
	1o Quadrante
	2o Quadrante
	
	
	sen ( t )    0    e   cos ( t )    0
	sen ( t )    0    e   cos ( t )    0
 
	3o Quadrante
	4o Quadrante
	
	
	sen ( t )    0    e   cos ( t )    0
	sen ( t )    0    e   cos ( t )    0
 
( i v )    Nas  tabelas  abaixo  vamos  ver  os  valores  de  seno  e  co-seno  para  alguns  ângulos .
 
	 
	  0  
	
	
	
	
	  sen  
	  0  
	  1  
	  0  
	  – 1  
	  0  
	  cos  
	  1 
	  0
	  – 1 
	  0  
	  1  
	
	 
  sen  
  cos  
 
( estes  valores  devem  ser  entendidos  e  memorizados )
 
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Algumas  propriedades  das  funções  seno  e  co-seno :      ( Ý )
 
	
	 
	
	
	 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
	
 
O  co-seno  e  o  seno  são  as  funções  trigonométricas  básicas ,  já  que  todas  as  outras  funções  trigonométricas  podem  ser  definidas  em  função  do  seno  e  do  co-seno .  Por  exemplo ,  a  função  tangente  é  o  quociente  do  seno  pelo  co-seno .
 
demonstração :
 
    Veja  uma  justificativa  para  estas  propriedades  na  figura  abaixo .
 
 
 
 
demonstração :
 
 
	
	
	
	
 
 
 
 
 
Tabela de Relações Trigonométricas
	01) sen2x + cos2x = 1
	02) 1 + tg2x = sec2x 
	03) 1 + cotg2x = cosec2x
	04) sen (-x) = -sen x 
	05) cos (-x) = cos x
	06) tg (-x) = -tg x
	07) 
	08) 
	09) 
	10) 
	11) 
	12) 
	13) 
	14) 
	15) 
	16) 
	17) 
	18) sen 2x = 2 sen x.cos x
	19) cos 2x = cos2x - sen2x = 1 - 2 sen2x =  
= 2 cos2x - 1 
	20) 
	21) 
	22) 
	23) 
	24) 
	25) 
	26) 
	27) 
	28) 
	29) 
	30) 
	31) 
	32) 
	33) 
	
IV-2-ii.  Função  Tangente      ( Ý )
	�
 
Definição:
 
    A  função  tangente  é  definida  por 
 
 ,   para  todo  x  real  tal  que  cos x  não  se  anula .
�
 
    Observe  a  variação  do  valor  da  tangente  no  círculo  trigonométrico  na  animação  ao  lado .
 
    Note  que  as  interseções  da  função  tangente  com  o  eixo  x  são  as  mesmas  da  função  seno .  Além  disso ,  a  tangente  possui  polos  nos  zeros  da  função  co-seno .  Geometricamente  é  evidente  que  a  tangente  é  periódica  com  período   .
 
	
Função  Tangente :
 
 
    Observe  o  gráfico  da  função  tangente  em  uma  animação .
 
 
Observação :
	
	
 
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Outras  Funções  Trigonométricas 
 
IV-2-iii.  Função  Co-tangente      ( Ý )
 
�
 
Função  Co-tangente :
 
 
 
�
 
 
    Observe  a  variação  do  valor  da  co-tangente  no  círculo  trigonométrico  em  uma  animação .
 
 
 
 
IV-2-iv.  Função  Secante      ( Ý )
 
�
 
Função  Secante :
 
 
�
 
    Observe  a  variação  do  valor  da  secante  no  círculo  trigonométrico.
 
IV-2-v.  Função  Co-secante      ( Ý )
 
�
 
Função  Co-secante :
 
 
�
 
    Observe  a  variação  do  valor  da  co-tangente  no  círculo  trigonométrico  em  uma  animação .
 
 
    Agora ,  observe  o  gráfico  da  função  co-secante  na  animação  abaixo .
 
 
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Algumas  propriedades  das  funções  tangente ,  co-tangente ,  secante  e  co-secante :   ( Ý )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
	
	
	( dem )
 
 
 
 
Exemplo :  ( Ý )
 
    Esboce  o  gráfico  das  seguintes  funções  no  intervalo  indicado :
	    (solução)
	    (solução)
	    (solução)
	    (solução)
 
Solução:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
	
	
	
	
	
	
 Translação para esquerda :    y = f ( x + c )  ,     sendo    c > 0          ( por que ? )         ( Ý )
 
 
 Translação para direita :    y = f ( x – c )  ,     sendo    c > 0     ( por que ? )         ( Ý )
 
 
 Translação para cima :    y = f ( x ) + c  ,     sendo    c > 0         ( Ý )
 
 
 Translação para baixo :    y = f ( x ) – c   ,     sendo    c > 0          ( Ý )
 
 
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Ex.:
Tendo em vista os dados apresentados, é possível
afirmar que o ângulo ‘, representado na figura,
mede:
a) entre 75° e 90°.
b) entre 60° e 75°.
c) entre 45° e 60°.
d) entre 30° e 45°.
e) menos de 30°.
Ex.:
Para medir a largura AC de um rio um
homem usou o seguinte procedimento: localizou um
ponto B de onde podia ver na margem oposta o
coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60°;
determinou o ponto D no prolongamento de CA de
forma que o ângulo CBD fosse de 90°. Medindo
AD =40 metros, achou a largura do rio. Determine
essa largura e explique o raciocínio.
Ex.:
Se a medida do ângulo BÂC é igual a 60º, AB = AC e BC = 10, então a área do triângulo ABC da
figura vale:
( A ) 10
( B ) 3
( C ) 25 3
( D ) 10 3		
( E ) 5 3
A autora alegrava-se em conseguir estimar o comprimento de objetos inacessíveis, como, por
exemplo, a altura x da torre mostrada na figura abaixo. A partir do conhecimento de relações
trigonométricas e sabendo que sen α = 0,6428 e cos α = 0,7660, ela podia encontrar que x, em metros, era
aproximadamente igual a:
( A ) 16
( B ) 17
( C ) 18
( D ) 19
( E ) 20
�
Logaritmos
Ao estudarmos a exponenciação ou potenciação aprendemos que, por exemplo, o produto de 3 por 3, que é igual a 9, pode ser representado na forma de uma potência pela seguinte sentença matemática:Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:
2 é o logaritmo de 9 na base 3;
3 é a base do logaritmo;
9 é o logaritmando.
Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:
Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que bx = a
Vejamos a sentença abaixo:
O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:
Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que  pode, de forma simplificada, ser expresso como , com a omissão do expoente 1.
Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como , utilizamos apenas .
Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.
Assim sendo a expressão  em geral é escrita como 
Propriedades dos Logaritmos
Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQgYlxxdWFkPVxxdWFkMQ==" \* MERGEFORMATINET 
Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.
Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQxXHF1YWQ9XHF1YWQw" \* MERGEFORMATINET 
Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.
Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQoTVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBOKVxxdWFkPVxxdWFkXGxvZ19iXHF1YWQgTVxxdWFkK1xxdWFkXGxvZ19iXHF1YWQgTg==" \* MERGEFORMATINET 
O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b deN.
Vamos tomar como exemplo o .
Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:
Como vimos acima o , pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9:
Claramente o , já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27:
Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:
Então chegamos a:
O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5, pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWRcKFxmcmFje019e059XClccXVhZD1ccXVhZFxsb2dfYlxxdWFkIE1ccXVhZC1ccXVhZFxsb2dfYlxxdWFkIE4=" \* MERGEFORMATINET 
O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.
Agora vamos utilizar o  neste outro exemplo. Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:
Já que como visto o  e  temos que:
O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1, já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWRcKE5eTVwpXHF1YWQ9XHF1YWQgTVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxsb2dfYlxxdWFkIE4=" \* MERGEFORMATINET 
Para qualquer valor real M, o logaritmo na base b da potência NM é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N, a base da potência.
Função Logarítmica
Função logarítmica de base a é toda função , definida por  com  e .
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, mas sim um número real.
A função logarítmica de  é inversa da função exponencial de  e vice-versa, pois:
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do gráfico.
Vamos representar graficamente a função  e como estamos trabalhando com um logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10:
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2.
Temos então seguinte a tabela:
	 x 
	y = log x
	0,001
	y = log 0,001 = -3
	0,01
	y = log 0,01 = -2
	0,1
	y = log 0,1 = -1
	1
	y = log 1 = 0
	10
	y = log 10 = 1
Acima temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função:
Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar.
Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y.
Por exemplo, se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6.
Isto porque:
Função Crescente e Decrescente
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser classificadas comofunção crescente ou função decrescente.
Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica , definida por , temos que  e .
Função Logarítmica Crescente
Se  temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Também podemos observar através do gráfico, que para dois valor de x (x1 e x2), que , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a > 1.
Função Logarítmica Decrescente
Se  temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.
No gráfico também observamos que para dois valor de x (x1 ex2), que , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1.
É importante frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1.
Logaritmo Neperiano ou Natural
O sistema de logaritmos neperianos possui como base o número irracional e (e = 2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com a condição x > 0.
Ele pode ser expresso por: 
loge x = ln x
3) Qual é o domínio e o contradomínio da função 
�
� ?
Em caso de omissão do domínio e do contradomínio, assumimos que o contradomínio é o conjunto dos números reais, . Já em relação ao domínio precisamos levar em conta outras considerações.
No caso desta função temos um radical no numerador da fração.
Como sabemos, o radicando real de um radical de índice par não pode ser negativo, de onde concluímos em relação ao numerador que:
Também sabemos que o logaritmando de um logaritmo em qualquer base deve ser maior que zero, o que nos leva a esta outra consideração em relação ao denominador:
Não podemos nos esquecer que o logaritmo decimal de 1 é igual a 0, então x não pode ser igual a 1, caso contrário teremos um denominador igual a 0 e sabemos que não podemos realizar a divisão por zero no conjunto dos números reais, portanto temos uma terceira condiçãoque é:
Vamos tomar como exemplo x = 1/2. Veja que este valor satisfaz a segunda condição, pois 1/2 é maior que 0, e também a terceira já que 1/2 é diferente de 1, no entanto não satisfaz a primeira condição, visto que x deve ser maior ou igual a 1e não é.
Como as três condições precisam ser satisfeitas, a condição adotada será x > 1, já que quando x > 1, certamente será maior que 0 e diferente de 1, além de satisfazer a primeira condição.
Acima temos a representação gráfica da explicação acima.
Na primeira linha temos a condição x ≥ 1.
Na segunda linha temos a condição x > 0.
Na terceira linha temos a condição x ≠ 1.
Na quarta linha temos a condição que satisfaz todas as três condições simultaneamente.
Em função disto o domínio desta função é:
E a função pode ser assim definida:
�� INCLUDEPICTURE "http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?RChmKVxxdWFkPVxxdWFkXHsgeFxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XHF1YWR8XHF1YWQgeFxxdWFkPlxxdWFkMX0=" \* MERGEFORMATINET  e 
.
Função Exponencial
Função exponencial é toda função , definida por  com  e .
Neste tipo de função como podemos observar em , a variável independente x está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante também observar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.
Note que temos algumas restrições, visto que temos  e .
Se  teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em1. Neste caso  equivaleria a  que é uma função constante.
E para , por que tal restrição?
Ao estudarmos a potenciação vimos que 00 é indeterminado, então  seria indeterminado quando .
No caso de  não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo,  e  o valor de  não será um número real, pois teremos:
E como sabemos .
Representação da Função Exponencial no Plano Cartesiano
Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos fazê-lo da mesma forma que fizemos com a função quadrática, ou seja, arbitrarmos alguns valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x), localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos a curva do gráfico.
Para a representação gráfica da função  arbitraremos os seguinte valores para x:
-6, -3, -1, 0, 1 e 2.
Montando a tabela temos:
	 x 
	y = 1,8x
	-6
	y = 1,8-6 = 0.03
	-3
	y = 1,8-3 = 0.17
	-1
	y = 1,8-1 = 0.56
	0
	y = 1,80 = 1
	1
	y = 1,81 = 1.8
	2
	y = 1,82 = 3.24
Acima temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função:
Função Crescente e Decrescente
Assim como no caso das funções afim, as funções exponenciais também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente.
Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função exponencial, definida por , temos que  e .
Função Exponencial Crescente
Se  temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Função Exponencial Decrescente
Se  temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que xaumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.
Note também que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), além de nunca cruzar o eixo das abscissas.
�
Translação de Funções
www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap01_Calc1.html#Solucao_Exemplo_1_3_a
Translação  para  esquerda:  :       y  =  f ( x + c )   sendo  c > 0 . 
 
      Vamos  ver  que  a  verificação  de  que  o  gráfico  de  y = f ( x + c ) ,  sendo  c > 0 ,  é  obtido  transladando-se  o  gráfico  de  f   c  unidades  para  a   esquerda  é  uma  conseqüência   direta  da  definição  de  translação . 
 
      Translademos  o  gráfico  de  f   c  unidades  para  a  esquerda  ,  e  chamemos  a  função  obtida  de  g . 
 
      Fixemos  x  no  domínio  da  g .   Queremos  verificar  que  vale   y  =   g ( x )  =  f ( x + c ) . 
 
      Por  definição  de  translação  ( o  gráfico  da  g  foi  obtido  transladando  o  gráfico  da  f  c  unidades  para  a  esquerda ) ,  se  considerarmos  a  abcissa  x + c ,  o  valor  de  y  será  o  mesmo ,  isto  é ,   y = g ( x ) = f ( x + c ) . 
 
F(x) = g(x) – c
      Ilustremos  este  fato  com  um  gráfico . 
 
Translação  para  direita:  :       y  =  f ( x – c )   sendo  c > 0 . 
 
      Vamos  ver  que  a  verificação  de  que  o  gráfico  de  y = f ( x – c ) ,  sendo  c > 0 ,  é  obtido  transladando-se  o  gráfico  de  f   c  unidades  para  a   direita  é  uma  conseqüência   direta  da  definição  de  translação . 
 
      Translademos  o  gráfico  de  f   c  unidades  para  a  direita  ,  e  chamemos  a  função  obtida  de  g . 
 
      Fixemos  x  no  domínio  da  g .   Queremos  verificar  que  vale   y  =   g ( x )  =  f ( x – c ) . 
 
      Por  definição  de  translação  ( o  gráfico  da  g  foi  obtido  transladando  o  gráfico  da  f  c  unidades  para  a  direita ) ,  se  considerarmos  a  abcissa  x – c ,  o  valor  de  y  será  o  mesmo ,  isto  é ,   y = g ( x ) = f ( x – c ) . 
 
      Ilustremos  este  fato  com  um  gráfico . 
 
Exemplo 1.3 Seja   ,  esboce  juntos  os  gráfico  das  seguintes funções :      ( Ý )
 
	(a)       (solução) 
 
	(b)       (solução) 
 
	(c)       (solução) 
 
	(d)       (solução) 
 
 
Solução :
 
(a)   
 
 (b)   
  (c)   
 
 
(d)   
�
 
�
Parte superior do formulário
Notação Científica
Ao estudarmos os logaritmos decimais vimos que eles são uma forma de se escrever números reais positivos como potências de 10. Por exemplo, , pois . O logaritmo decimal é o expoente da base 10.
A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potência de 10.
Mantissa e Ordem de Grandeza
Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:
Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que 10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.
Exemplos de Números Escritos em Notação Científica
Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.
A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.
Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.
Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.
Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:
2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.
Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103 como compensação.
Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:
Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3. Veja que neste caso aordem de grandeza é negativa.
Veja o número 1 escrito em notação científica:
Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é igual a 0.
Outros Exemplos de Números Escritos em Notação Científica
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