Mecânica dos fluidos - Analise dimensional e semelhança parte I

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Análise dimensional e Semelhança I
Prof. Msc. André Gorjon Neto
1
Introdução
Muitos problemas de interesse da Mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos somente com o uso de equações integrais ou diferenciais, neste contexto:
Métodos experimentais são necessários;
Para estabelecer relação entre variáveis de interesse
Estudos experimentais são muito caros
Deve-se fazer o número mínimo de experimento
Isso é feito usando uma técnica chamada análise dimensional, que é baseada na noção de HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
Análise Dimensional
Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação tem as mesmas dimensões. Por exemplo:
Dividindo o lado esquerdo por Z1
Todos os termos se tornam adimensionais
Equação escrita como a combinação de parâmetros adimensionais
Essa é a idéia da análise dimensional
Semelhança
Muitas vezes é necessário efetuar experimentos em objetos que são muito grandes, para serem manipulados em experiências a um custo razoável
Semelhança é o estudo da previsão de condições do protótipo a partir de observações de modelos. 
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional
Semelhança
Escoamento sobre açudes e represas
Semelhança
Escoamento através de grandes bombas e turbinas
Semelhança
Escoamento através de grandes bombas e turbinas
Analise Dimensional
Análise Dimensional - Definição
No escoamento de fluidos existem muitos parâmetros geométrico e escoamentos envolvidos.
Com o intuito de economizar temo e dinheiro, deve ser usado um número mínimo de combinações de parâmetros.
Considere a queda de pressão através da válvula.
Placa
deslizante
Todos os parâmetros podem ser fixados, menos a velocidade;
Série de experimentos variando a abertura h;
Série de experimentos variando o diâmetro d;
Analise Dimensional
Análise Dimensional - Definição
Considere que qualquer equação que relacione um conjunto de variáveis, pode ser escrita em termos de parâmetros adimensionais.
Pode-se organizar as variáveis da equação acima em parâmetros adimensionais, como segue:
Análise Dimensional - Definição
Pode-se agora fazer um experimento com h/d fixo, e variando o termo Vρd/µ
Deve-se ter em mente que nem sempre é claro os parâmetros que devem ser incluídos, sendo a seleção deste parâmetros apropriados uma etapa essencial na análise dimensional.
Análise Dimensional – Revisão de dimensões
Todas as quantidades tem alguma combinação de dimensões de comprimento, tempo massa e força, que são relacionadas pela segunda lei de Newton
Assim vemos que é suficiente usar apenas três dimensões básicas, o sistema MLT
M – Massa
L – Comprimento
T - Tempo
Análise Dimensional – Revisão de dimensões
Outro exemplo – Escoamento compressível de um gás em função dos efeitos térmicos
Análise Dimensional – Símbolos e dimensões em Mec. Fluidos
Quantidade
Símbolo
Dimensões
Comprimento
l
L
Tempo
t
T
Massa
m
M
Força
F
ML/T2
Velocidade
V
L/T
Aceleração
a
L/T2
Freqüência
w
T-1
Gravidade
g
L/T2
Área
A
L2
Análise Dimensional – Símbolos e dimensões em Mec. Fluidos
Quantidade
Símbolo
Dimensões
Vazão
Q
L3/T
Fluxo de massa
M/T
Pressão
p
M/LT2
Tensão
t
M/LT2
Massa específica
r
M/L3
Peso específico
g
M/L2T2
Viscosidade
m
M/LT
Viscosidade cinemática
n
L2/T
Análise Dimensional – Símbolos e dimensões em Mec. Fluidos
Quantidade
Símbolo
Dimensões
Trabalho
W
ML2/T2
Potencia, fluxo de calor
ML2/T3
Tensão superficial
s
M/T2
Módulo da elasticidade volumétrica
B
M/LT2
Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte sequência:
1º PASSO: 
Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n 
n = 5
2º PASSO: 
Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. 
[F] = F 
[V] = L x T-1 
[ρ] = F x L-4 x T2 
[µ] = F x L-2 x T 
[D] = L 
Teorema p de Buckingham
3º PASSO: 
Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. 
m = 3 
4º PASSO: Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K 
K = n - m ∴ K = 2 
5º PASSO: 
Estabelecemos a base dos números adimensionais. 
Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. 
Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. 
Para o exemplo, temos: 
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. 
ρ e µ como variáveis dependentes. 
Teorema p de Buckingham
Bases possíveis para o exemplo: 
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. 
Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.
6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. 
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F 
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Teorema p de Buckingham
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.
Para p1 tem-se:
Teorema p de Buckingham
Para p2 tem-se:
Teorema p de Buckingham