Exercícios de Física: Rolamento, Torque e Momento Angular

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LISTA DE EXERCI´CIOS DE FI´SICA I
Rolamento, torque e momento angular
1: Um tubo de paredes finas rola pelo cha˜o. Qual e´ a raza˜o entre suas energias cine´ticas translacional e
rotacional, em torno de um eixo paralelo ao seu comprimento e que passa pelo seu centro de massa?
Resp.: Kt
Kr
= 1
2: Um aro de 140 kg rola sobre um piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma
velocidade de 0, 150 m/s. Qual e´ o trabalho que deve ser feito sobre o aro para fazeˆ-lo parar?
Resp.: W = −3, 15 J
3: Um automo´vel tem massa total de 1.700 kg. Ele e´ acelerado, a partir do repouso, ate´ alcanc¸ar 40 km/h,
em 10 s. Suponha que cada roda seja um disco uniforme de 32 kg. Determine, ao fim do intervalo de
10 s, (a) a energia cine´tica de rotac¸a˜o de cada roda em torno do seu eixo, (b) a energia cine´tica total de
cada roda e (c) a energia cine´tica total do automo´vel.
Resp.: (a) Kr = 985, 69 J (em cada roda); (b) Ktot = 2.957, 04 J (em cada roda); (c) Ktot = 108.663 J
(do carro)
4: Um corpo de raio R e massa m rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. Ao encontrar
uma elevac¸a˜o, ele a sobe rolando ate´ uma altura ma´xima h. (a) Se h = 3v2/4g, qual e´ o momento de
ine´rcia do corpo? (b) Qual deve ser a forma deste corpo?
Resp.: (a) I = mR
2
2
; (b) cil´ındrica ou de disco
5: Um ioioˆ possui momento de ine´rcia de 950 g · cm2 e massa de 120 g. O raio do seu eixo e´ de 3, 2 mm
e o comprimento do fio e´ de 120 cm. Ele rola ate´ o final do fio, partindo do repouso. (a) Qual e´ a sua
acelerac¸a˜o? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao final do fio? Quando chega ao final do fio, quais
sa˜o (c) sua velocidade linear, (d) sua energia cine´tica de translac¸a˜o, (e) sua velocidade angular e (f) sua
energia cine´tica de rotac¸a˜o?
Resp.: (a) a = −0, 125 m/s2; (b) t = 1, 386 s; (c) v = 0, 173 m/s; (d) Kt = 0, 0018 J ; (e) ω =
53, 75 rad/s; (f) Kr = 1, 8× 10
−3 J
6: Sendo ~r = xiˆ + yjˆ + zkˆ e ~F = Fxiˆ + Fy jˆ + Fzkˆ, mostre que o torque ~τ = ~r × ~F e´ dado por
~τ = (yFz − zFy )ˆi+ (zFx − xFz)jˆ + (xFy − yFx)kˆ.
Resp.: –
7: Quais sa˜o o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do torque em torno da origem que a forc¸a ~F exerce sobre
uma ameixa de coordenadas (−2, 0 m; 4, 0 m), sendo que a u´nica componente de ~F e´ (a) Fx = 6 N , (b)
Fx = −6 N , (c) Fz = 6 N , Fz = −6 N?
Resp.: (a) ~τ = −24 N ·mkˆ; (b) ~τ = 24 N ·mkˆ; (c) ~τ = 24 N ·miˆ+12 N ·mjˆ (d) ~τ = −24 N ·miˆ−12 N ·mjˆ
8: Qual e´ o torque resultante, em torno da origem, aplicado a uma pulga de coordenadas (0;−4, 0m; 5, 0m)
pelas forc¸as ~F1 = (3, 0 N)kˆ e ~F2 = (−2, 0 N)jˆ?
Resp.: ~τ = −2 N ·miˆ
9: Dois objetos esta˜o se movendo como mostra a figura 1. Qual e´ o seu momento angular total em torno
do ponto O?
m2=6,5 kg
1,5 m
2,8 m m1=3,1 kg
v1=3,6 m/s
v2=2,2 m/s
O
Figura 1: Problema 9.
Resp.: l = 9, 798 kg ·m2/s
10: Uma part´ıcula P , de massa igual a 2, 0 kg, tem vetor posic¸a˜o ~r (|~r| = 3, 0 m) e velocidade ~v (|~v| =
4, 0 m/s), como mostra a figura 2. Sobre ela atua uma forc¸a ~F (|~F | = 2, 0 N). Todos os treˆs vetores
esta˜o no plano xy. Quais sa˜o (a) o momento angular da part´ıcula e (b) o torque exercido sobre ela, em
torno da origem?
r
45
30
30
F
v
O
P
y
x
Figura 2: Problema 10.
Resp.: (a) 12 kg ·m2/s; (b) τ = 3 N ·m
11: Sendo dados r, p e φ, podemos calcular o momento angular de uma part´ıcula aplicando a equac¸a˜o
l = rmv sinφ. Entretanto, a`s vezes temos, em vez disso, as componentes (x, y, z) de ~r e (vx, vy, vz) de
~v. (a) Mostre que as componentes de l ao longo dos eixos x, y e z sa˜o dadas por lx = m(yvz − zvy),
ly = m(zvx − xvz) e lz = m(xvy − yvx). (b) Mostre que, se a part´ıcula se mover apenas no plano xy, o
vetor momento angular possuira´ apenas componente z.
Resp.: (a) –; (b) –
12: Uma part´ıcula de 3, 0 kg esta´ nas coordenadas x = 3, 0 m, y = 8, 0 m, com velocidade ~v =
(5 m/s)ˆi− (6 m/s)jˆ. Sobre ela atua uma forc¸a de 7, 0 N , que aponta no sentido negativo de x. (a) Qual
e´ o momento angular da part´ıcula? (b) Qual e´ o torque que atua sobre ela? (c) Qual e´ a taxa de variac¸a˜o
do seu momento angular, em relac¸a˜o ao tempo?
Resp.: (a) ~l = −174 kg ·m2/skˆ; (b) ~τ = 56 N ·mkˆ; (c) dl
dt
= 56 kg ·m2/s2
13: Uma part´ıcula sofre a ac¸a˜o de dois torques em torno da origem: τ1 tem mo´dulo igual a 2, 0 N ·m e
aponta no sentido crescente de x, e τ2 tem mo´dulo de 4, 0 N ·m e aponta no sentido decrescente de y.
Quais sa˜o o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido de dl/dt, onde l e´ o momento angular da part´ıcula?
Resp.: | dl
dt
| = 2 N ·miˆ− 4 N ·mjˆ, ( dl
dt
esta´ no plano xy e forma um aˆngulo θ = −63, 4◦ com o semi-eixo
positivo de x)
14: No instante t, ~r = 4, 0t2iˆ− (2, 0t+ 6, 0t2)jˆ fornece a posic¸a˜o de uma part´ıcula de 3, 0 kg em relac¸a˜o
a` origem de um sistema de coordenadas xy (~r esta´ em metros e t em segundos). (a) Encontre uma
expressa˜o para o torque que atua sobre a part´ıcula em relac¸a˜o a` origem. (b) O mo´dulo do momento
angular da part´ıcula em relac¸a˜o a` origem esta´ aumentando, diminuindo ou permanece inalterado?
Resp.: (a) ~τ = 48tkˆ; (b) l esta´ aumentando, pois l ∝ t2
15: Um disco de lixar, com momento de ine´rcia 1, 2× 10−3 kg ·m2, esta´ conectado a uma broca ele´trica
cujo motor fornece um torque de mo´dulo 16 N · m em torno do eixo central do disco. Com o torque
aplicado por 33 ms em torno desse eixo, qual e´ o mo´dulo (a) do momento angular e (b) da velocidade
angular do disco?
Resp.: (a) l = 0, 53 kg ·m2/s; (b) ω = 440 rad/s
16: O momento angular de um volante com momento de ine´rcia de 0, 140 kg ·m2 em torno do seu eixo
central diminui de 3, 00 para 0, 800 kg ·m2/s em 1, 50 s. (a) Qual e´ o mo´dulo do torque me´dio que atua
sobre o volante em torno do seu eixo central durante esse per´ıodo? (b) Supondo uma acelerac¸a˜o angular
constante, de que aˆngulo o volante gira? (c) Qual o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual e´ a
poteˆncia me´dia do volante?
Resp.: (a) τmed = −1, 47 N ·m; (b) θ = 20, 33 rad; (c) W = −29, 9 J ; (d) Pmed = 19, 9 J
17: Na figura 3, treˆs part´ıculas de massa m = 23 g sa˜o presas a treˆs hastes de comprimento d = 12 cm
e massa desprez´ıvel. O conjunto gira em torno do ponto O com velocidade angular ω = 0, 85 rad/s. Em
torno do ponto O, quais sa˜o (a) o momento de ine´rcia do conjunto, (b) o mo´dulo do momento angular
da part´ıcula do meio e (c) o mo´dulo do momento angular do conjunto?
O
m
m
m
ω
d
d
d
Figura 3: Problema 17.
Resp.: (a) I = 4, 6× 10−3kg ·m2; (b) |~l2| = 1, 1× 10
−3 kg ·m2; (c) |~lconj | = 3, 9× 10
−3 kg ·m2
18: A figura 4 mostra uma estrutura r´ıgida composta de um aro de raio R e massa m e um quadrado
feito de quatro barras finas, cada uma de comprimento R e massa m. A estrutura r´ıgida gira com
uma velocidade constante em torno de um eixo vertical, com per´ıodo de rotac¸a˜o de 2, 5 s. Supondo
R = 0, 50 m e m = 2, 0 kg, calcule (a) o momento de ine´rcia da estrutura em torno do eixo de rotac¸a˜o e
(b) seu momento angular em torno desse eixo.
2RR
Eixo de rotacao
Figura 4: Problema 18.
Resp.: (a) Iconj = 1, 6 kg ·m
2; (b) lconj = 4, 0 kg ·m
2
19: Um homem esta´ de pe´ sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular
constante de 1, 2 rev/s; seus brac¸os esta˜o abertos e ele segura um tijolo em cada ma˜o. O momento
de ine´rcia do sistema composto por homem, tijolos e plataforma em torno do eixo vertical central da
plataforma e´ 6, 0 kg ·m2. Se ao mover os tijolos o homem reduz o momento de ine´rcia do sistema para
2, 0 kg ·m2, quais sa˜o (a) a velocidade angular resultante da plataforma e (b) a raza˜o entre a nova energia
cine´tica do sistema e a energia cine´tica original? (c) Que fonte fornece a energia adicional?
Resp.: (a) ωf = 3, 6 rev/s; (b)
Kf
Ki
= 3; (c) o homem realiza trabalho ao diminuir o momento de ine´rciatrazendo os tijolos para mais perto de seu corpo. Esta energia vem da energia interna armazenada no
homem.
20: Uma roda esta´ girando livremente com uma velocidade angular de 800 rev/min sobre uma haste cujo
momento de ine´rcia e´ desprez´ıvel. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com o dobro do momento
de ine´rcia da primeira, e´ repentinamente acoplada a` mesma haste. (a) Qual e´ a velocidade angular da
combinac¸a˜o resultante da haste e das duas rodas? (b) Que frac¸a˜o da energia cine´tica rotacional original
e´ perdida?
Resp.: (a) ωf = 267 rev/min; (b)
−∆Kr
Ki
= 0, 667
21: O momento de ine´rcia de uma estrela colapsando em rotac¸a˜o cai a 1
3
do seu valor inicial. Qual e´ a
raza˜o entre a nova energia cine´tica rotacional e a energia cine´tica rotacional inicial?
Resp.:
Kf
Ki
= 3
22: A figura 5 e´ uma vista de cima de uma barra uniforme de comprimento 0, 600 m e massa M girando
horizontalmente a 80, 0 rad/s no sentido anti-hora´rio em torno de um eixo que passa pelo seu centro.
Uma part´ıcula de massa M/3, 00, viajando horizontalmente a uma velocidade de 40, 0 m/s atinge a barra
se gruda nela. A trajeto´ria da part´ıcula e´ perpendicular a` barra no instante da colisa˜o, a uma distaˆncia
d do centro da barra. (a) Para que valor de d a barra e a part´ıcula ficam estaciona´rias apo´s a colisa˜o?
(b) Em que sentido a barra e a part´ıcula giram se d for maior que esse valor?
d
particula
eixo de rotacao
Figura 5: Problema 22.
Resp.: (a) d = 0, 18 m; (b) sentido hora´rio
23: Uma haste fina de comprimento 0, 50 m e massa 4, 0 kg pode girar em um plano horizontal em torno
de um eixo vertical passando pelo seu centro. A haste encontra-se em repouso quando uma bala de 3, 0 g
deslocando-se no plano de rotac¸a˜o e´ disparada contra uma das suas extremidades. Conforme vista de
cima, a trajeto´ria da bala faz um aˆngulo θ = 60◦ com a haste (figura 6). Se a bala se aloja na haste e a
velocidade angular da haste e´ igual a 10 rad/s imediatamente apo´s a colisa˜o, qual e´ a velocidade da bala
imediatamente antes do impacto?
Eixo
θ
Figura 6: Problema 23.
Resp.: v = 1, 3× 103 m/s