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LISTA DE EXERCÍCIOS DE FÍSICA I
Vetores
1: Qual é o ângulo φ entre ~a = 3, 0ˆi− 4, 0jˆ e ~b = −2, 0ˆi+ 3, 0jˆ?
Resp.: φ = 109, 4◦
2: Se ~a = 3ˆi− 4jˆ e ~b = −2ˆi+ 3kˆ, qual é ~c = ~a×~b?
Resp.: ~c = −12ˆi− 9jˆ − 8kˆ
3: Quais são (a) a 
omponente x e (b) a 
omponente y de um vetor ~a no plano xy se ele aponta a 250◦
no sentido anti-horário em relação ao sentido positivo do eixo x e seu módulo é 7,3 m?
Resp.: (a) ax = −2, 50 m; (b) ay = −6, 86 m
4: A 
omponente x de um vetor ~A é −25,0 m e a 
omponente y é +40,0 m. (a) Qual é o módulo de ~A?
(b) Qual é o ângulo entre o sentido de
~A e o sentido positivo do eixo x?
Resp.: (a) | ~A| = 47, 17 m; (b) 302◦ (=−58◦ + 180◦)
5: Um vetor deslo
amento ~r no plano xy tem módulo de 15 m e o sentido espe
i�
ado pelo ângulo θ=30◦,
omo mostra a �gura 1. Determine (a) a 
omponente x e (b) a 
omponente y do vetor.
y
x
r
θ
Figura 1: Problema 5.
Resp.: (a) rx = 13 m; (b) ry = 7, 5 m
6: Em termos de vetores unitários, (a) qual é a soma ~a+~b se ~a = (4, 0 m)ˆi+(3, 0 m)jˆ e ~b = (213, 0 m)ˆi+
(7, 0 m)jˆ? Quais são (b) o módulo e (
) o sentido de ~a+~b?
Resp.: (a) ~a+~b = (217 m)ˆi+ (10 m)jˆ; (b)|~a+~b| = 217, 23 m; (
) 2, 64◦
7: En
ontre as 
omponentes (a) x, (b) y e (
) z da soma ~r dos vetores ~c e ~d 
ujas 
omponentes em metros
ao longo dos três eixos são: cx=7,4, cy=−3,8, cz=−6,1, dx=4,4, dy=−2,0, dz=3,3.
Resp.: (a) (~c+ ~d)x = 11, 8 m; (b) (~c+ ~d)y = −5, 8 m; (
) (~c+ ~d)z = −2, 8 m
8: Dois vetores são dados por ~a = (4, 0 m)ˆi−(3, 0 m)jˆ+(1, 0 m)kˆ e ~b = (−1, 0 m)ˆi+(1, 0 m)jˆ+(4, 0 m)kˆ.
Em termos de vetores unitários, en
ontre (a) ~a+~b, (b) ~a−~b, (
) um ter
eiro vetor ~c tal que ~a−~b+ ~c=0
e (d) os vetores unitários nas direções do vetor ~a e do vetor ~b.
Resp.: (a) ~a +~b = (3, 0 m)ˆi − (2, 0 m)jˆ + (5, 0 m)kˆ; (b) ~a −~b = (5, 0 m)ˆi − (4, 0 m)jˆ − (3, 0 m)kˆ; (
)
~c = (−5, 0 m)ˆi+ (4, 0 m)jˆ + (3, 0 m)kˆ; (d) aˆ = 0, 78ˆi− 0, 59jˆ + 0, 20kˆ e bˆ = −0, 24ˆi+ 0, 24jˆ + 0, 94kˆ
9: Dois vetores são dados por ~a = (3, 0)ˆi+ (5, 0)jˆ e ~b = (2, 0)ˆi+ (4, 0)jˆ. En
ontre (a) ~a×~b, (b) ~a ·~b, (
)
(~a+~b) ·~b, (d) a 
omponente de ~a ao longo da direção de ~b e (e) o unitário na direção de ~c sendo ~c = ~a×~b.
Resp.: (a) ~a×~b = 2kˆ; (b) ~a ·~b = 26; (
) ~a+~b ·~b = 46; (d) |~a| cosφ=8,97; (e) cˆ = kˆ
10: Três vetores são dados por ~a = (3, 0)ˆi + (3, 0)jˆ − (2, 0)kˆ, ~b = (21, 0)ˆi − (4, 0)jˆ + (2, 0)kˆ e ~c =
(2, 0)ˆi+ (2, 0)jˆ + (1, 0)kˆ. En
ontre (a) ~a · (~b× ~c), (b) ~a · (~b+ ~c), e (
) ~a× (~b+ ~c).
Resp.: (a) ~a · (~b× ~c) = 175; (b) ~a · (~b+ ~c) = 57; (
) ~a× (~b+ ~c) = 5ˆi− 55jˆ − 75kˆ
11: Se
~d1 = 3ˆi− 2jˆ + 4kˆ e ~d2 = −5ˆi+ 2jˆ − kˆ, então quanto vale ( ~d1 + ~d2) · ( ~d1 × 4 ~d2)?
Resp.: ( ~d1 + ~d2) · ( ~d1 × 4 ~d2)=0
12: Use a de�nição de produto es
alar, ~a ·~b = |a||b| cos θ, e o fato de que ~a ·~b = axbx + ayby + azbz para
al
ular o ângulo entre os dois vetores dados por ~a = 3, 0ˆi+ 3, 0jˆ + 3, 0kˆ e ~b = 2, 0ˆi+ 1, 0jˆ + 3, 0kˆ.
Resp.: 22, 25◦
13: No produto
~F = q~v × ~B, tome q=2, ~v = 2, 0ˆi + 4, 0jˆ + 6, 0kˆ e ~F = 4, 0ˆi − 20jˆ + 12kˆ. Qual é em
termos de vetores unitários, o vetor
~B, sabendo-se que Bx = By?
Resp.:
~B = −3ˆi− 3jˆ + 1, 75kˆ
14: Um vetor
~A tem módulo igual a 6,00 unidades, outro vetor ~B tem módulo igual a 7,00 unidades, e
~A · ~B vale 14,0 unidades. Qual é o ângulo entre ~A e ~B?
Resp.: 70, 5◦
15: Para os três vetores seguintes, quanto vale 3~C · (2 ~A× ~B)?
~A = +2, 00ˆi+ 3, 00jˆ − 4, 00kˆ
~B = −3, 00ˆi+ 4, 00jˆ + 2, 00kˆ
~C = +7, 00ˆi− 8, 00jˆ
Resp.: 3~C · (2 ~A× ~B)=540
16: Os três vetores da �gura 2 têm módulos |a|=3,00 m, |b|=4,00 m, |c|=10,0 m e o ângulo θ=30◦. Quais
são (a) a 
omponente x e (b) a 
omponente y de ~a; (
) a 
omponente x e (d) a 
omponente y de ~b; e (e)
a 
omponente x e (f) a 
omponente y de ~c? Se ~c = p~a+ q~b, quais são os valores de (g) p e (h) q?
a x
b
c
y
θ
Figura 2: Problema 16.
Resp.: (a) ax = 3 m; (b) ay = 0; (
) bx = 3, 5 m; (d) by = 2 m; (e) cx = −5 m; (f) cy = 8, 66 m; (g)
p = 6, 7; (h) q = 4, 33
17: Em um en
ontro de atores mími
os, o ator 1 deslo
a-se de
~d1 = (4, 0 m)ˆi + (5, 0 m)jˆ) e o ator 2 de
~d2 = (−3, 0 m)ˆi+ (4, 0 m)jˆ). Quais são (a) ~d1 × ~d2, (b) ~d1 · ~d2, (
) ( ~d1 + ~d2) · ~d2, e (d) a 
omponente de
~d1 ao longo da direção de ~d2?
Resp.: (a)
~d1 × ~d2 = 31kˆ; (b) ~d1 · ~d2 = 8; (
) ( ~d1 + ~d2) · ~d2 = 33; (d) | ~d1| cosφ = 1, 6