MAF105Exerc.VariaveisAleatorias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CAMPUS UFV - FLORESTAL 
Iniciação a Estatística 
Lista de Exercícios – Variáveis Aleatórias 
 
 
1) A função P(x) = x/5, em que x assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de probabilidades? 
Justifique. 
 
2) Encontre a média , a variância 2 e o desvio padrão  de cada uma das seguintes distribuições: 
 
a) b) 
Xi 2 3 8 Xi -1 0 1 2 3 
P(Xi) 1/4 1/2 1/4 P(Xi) 0,3 0,1 0,1 0,3 0,2 
 
3) Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois 
números observados. Encontre a distribuição de probabilidades de X. 
 
4) Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas 
brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X. 
 
5) Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Encontre a 
distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X. 
 
6) Dada a distribuição de probabilidades: 
 
X 0 1 2 3 4 5 
P(X) 0 A
2
 A
2
 A A A
2
 
a) Ache A. 
b) Calcule P(X  4). 
c) Calcule P(X  3). 
d) Calcule P(|X – 3| < 2). 
 
7) Duas cartas são selecionadas aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartas numeradas 1, 1, 2, 2 e 3. 
Seja X a soma e Y o máximo dos dois números obtidos. Encontre a distribuição, a média, a variância e o 
desvio padrão de: 
a) X 
b) Y 
 
8) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num Sábado são, 
respectivamente 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? SE chegam ao 
litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas em 10 horas de contagem? 
 
9) Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. O s pacotes que apresentam mais de 
duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95%. 
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado? 
b) Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados? 
c) Se um pacote é indenizado o produtor tem um prejuízo de R$ 24,50, e se o pacote não é indenizado, tem 
um lucro de R$ 50,40. Qual o lucro esperado por pacote? 
 
 
10) Uma moeda é lançada até que seja observado uma cara ou quatro coroas, o que ocorrer primeiro. 
Encontre o número esperado de lançamentos da moeda. 
 
 
 
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Lista de Exercícios – Variáveis Aleatórias 
 
11) Um caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Um homem seleciona 3 objetos. Encontre o 
número esperado de objetos defeituosos selecionados. 
 
12) A probabilidade do time A vencer qualquer jogo é 1/2. A joga com o time B num torneio. O primeiro 
time que ganhar dois jogos seguidos ou um total de três jogos, vence o torneio. Supondo que não exista a 
possibilidade de empate, encontre o número esperado de jogos do torneio. 
 
13) Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 se 3 caras ocorrerem, R$ 5,00 se 2 caras 
ocorrerem, R$ 3,00 se 1 cara ocorrer e R$ 2,00 se nenhuma cara ocorrer. Supondo o jogo honesto, quanto 
poderia apostar? 
 
14) Sendo P(X = x) = 0,5x, x = 1, 2, 3, ...., calcule E(X). 
 
15) Uma turma de Estatística compreende 3 canhotos e 24 destros. Selecionam-se aleatoriamente dois 
estudantes diferentes para um projeto de coleta de dados, representando-se por X o número de estudantes 
canhotos escolhidos, calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. 
 
 
16) Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: 
 
X\Y -3 2 4 
1 0,1 1,2 0,2 
3 0,3 0,1 0,1 
 
a) Encontre as distribuições de X e Y; 
b) Calcule Cov (X; Y); 
c) Determine (X; Y); 
d) X e Y são independentes? 
 
17) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: 
 
X 1 2 Y 5 10 15 
P(X) 0,6 0,4 P(Y) 0,2 0,5 0,3 
 Distribuição de X Distribuição de Y 
 
Encontre a distribuição conjunta de X e Y. 
 
18) Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, conforme ocorra cara ou coroa no 
primeiro lançamento, e seja Y o número de caras que ocorram. Determine: 
a) as distribuições de X e Y; 
b) a distribuição conjunta de X e Y; 
c) Cov(X;Y). 
 
19) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: N.º de aparelhos de TV em cores. Considere o quadro: 
 
X 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 
Y 2 1 3 1 3 3 2 1 2 3 
 
a) Verificar, usando o coeficiente de correlação, se há dependência entre as duas variáveis; 
 
 
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b) Determinar a renda familiar média de quem possui 2 aparelhos de TV. Use a distribuição de 
probabilidades E(X/Y = 2). 
 
 
20) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: número de carros da família. Considere o quadro: 
 
X 2 3 4 2 3 3 4 2 2 3 
Y 1 2 2 2 1 3 3 1 2 2 
Calcule: 
a) E(2X – 3Y) 
b) Cov(X;Y) 
c) Var(5X – 3Y) 
d)  
 
21) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam: 
X = 0, se a primeira bola for verde, ou X = 1, se a primeira bola for vermelha; e Y = 0, se a segunda bola for 
verde, ou Y = 1, se segunda bola for vermelha. 
a) Determinar a distribuição conjunta para X e Y. 
b) Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y). 
c) Calcular E(X + Y) e V(X + Y). 
d) Calcular o coeficiente de correlação de X e Y. 
 
22) Suponha que (X,Y) tenha uma distribuição de probabilidade: 
 
X\Y 1 2 3 
1 1/18 1/6 0 
2 0 1/9 1/5 
3 1/12 1/4 2/15 
 
a) Mostre que a tabela anterior é realmente uma distribuição de probabilidade. 
b) Calcule E(X/Y = 2). 
c) Calcule V(Y/X = 1) 
 
23) a) Complete o quadro abaixo, supondo que X e Y são independentes. 
b) Calcule a esperança de Y, dado que X = 2. 
 c) Seja Z = 4X – 3Y, calcule E(Z) e V(Z). 
 d) Encontre a distribuição de Z e obtenha através da mesma os valores de E(Z) e V(Z) (observe que esses 
são os mesmos obtidos no item c). 
 
Respostas: 
 
1) Não, pois a soma das probabilidades é diferente de um. 
2) a)  = 4; 2 = 5,5;  = 2,3 
b)  = 1; 2 = 2,4;  = 1,5 
3) 
X 1 2 3 4 5 6 
P(X) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 
  = 2,5; 2 = 2,1;  = 1,4 
 
 
 
 
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4) 
X 0 1 2 3 
P(X) 1/35 12/35 18/35 4/35 
 
5) 
X 0 1 2 3 4 
P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 
  = 2; 2 = 1;  = 1 
 
 
6) a) 01 
 b) 4/9 
 c) 2/9 
 d) 7/9 
7) a) 
X 2 3 4 5 
P(X) 0,1 0,4 0,3 0,2 
  = 3,6; 2 = 0,84;  = 0,9 
 b) 
Y 1 2 3 
P(Y) 0,1 0,5 0,4 
  = 2,3; 2 = 0,41;  = 0,64 
8) 3,15 pessoas e 126.000 pessoas 
9) a) 0,9638 b) 72,4 c) R$ 47,69 
10) 1,875 
11) 0,6 
12) 2,875 
13) R$ 4,50 
14) 02 
15)  = 0,222; 2 = 0,19;  = 0,436 
16) a) 
X 1 3 Y -3 2 4 
P(X) 0,5 0,5 P(Y) 0,4 0,3 0,3 
 
b) –1,2 c) –0,4 d) Não, pois por exemplo, P(X = 1,Y = -3)  P(X = 1).P(Y = -3) 
 
17) 
X\Y -3 2 4 
1 0,1 0,2 0,2 
3 0,3 0,1 0,1 
 
18) a) 
X 0 1 Y 0 1 2 3 
P(X) 1/2 1/2 P(Y) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
b) 
X\Y 0 1 2 3 
0 0 1/8 2/8 1/8 
1 1/8 2/8 1/8 0 
 
 
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c) –0,25 
 
19) a)  = 0,7113, há dependência linear entre X e Y 
b) E(X/Y = 2) = 2 
 
20) a) 0,1 b) 0,28 c) 10,01 d) 0,533 
21) a) 
X\Y 0 1 
0 1/10 3/10 
1 3/10 3/10 
 
b) 0,6; 0,6; 0,24 e 0,24c) 1,2 e 0,36 d) –0,25 
 
22) a) Todos os valores variam de 0 a 1 e a correspondente soma é 1 
 b) 41/19 c) 3/16 
 
23) a) Use p(xi,yj) = p(xi).p(yj),  i, j 
 b) 3,3 c) –2,3 e 16,53 
 
 
Mais exercícios: 
 
1. Sabe-se que a chegada de estudantes a biblioteca, durante intervalos aleatoriamente escolhidos de 10 
minutos, segue uma distribuição de probabilidade dada na tabela abaixo. Calcule o número esperado de 
chegada de estudantes por intervalo de 10 minutos, e calcule também o desvio padrão das chegadas. 
 
2. O número de sementes em uma laranja serra d’água segue uma distribuição de probabilidade dada na 
tabela abaixo. Calcule o valor esperado e a variância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um vendedor determinou as probabilidades referentes a vendas diárias visitando 10 possíveis 
compradores, as probabilidades estão apresentadas na tabela abaixo. Calcule o número esperado de 
vendas e o desvio padrão 
 
Número de chegadas X 0 1 2 3 4 5
Probabilidade p(x) 0,15 0,25 0,25 0,2 0,1 0,05
Respostas E(x) = 2 e Var(x)= 1,9
Número de vendas X 1 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidade p(x) 0,04 0,15 0,2 0,25 0,19 0,1 0,05 0,02
Respostas E(x) = 4 e Var(x)= 2,52
Número sementes X 
probabilidade de X 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1 
Respostas E(x) = 17, 8 e Var(x)= 1, 66 
18 20 19 15 16 17 
 
 
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4. Dada a v.a. 
Calcule a média e o desvio padrão da v.a. Y = 
3 - 
3
4
x
 
 
5. Uma v.a. discreta tem distribuição de probabilidade dada por: 
 
P(x) = 
7 5, 3, 1, x para ,
x
K

 
a) Calcule o valor de K b) Calcule P(x = 5) 
 
 
 
6. Verifique se a função abaixo é uma legítima f.d.p. 
 






.,0
;20,
2
1
)(
contráriocaso
xsex
xf
 
 
7. Verifique se X e Y são independentes para a distribuição conjunta de probabilidade dada abaixo. 
 
 
 
8. Sejam M e N duas v.a. aleatórias independentes com as seguintes distribuições de probabilidade 
 
 
a) Achar a distribuição conjunta de probabilidade de M e N; 
b) Calcular E(m) e E(n) 
c) Calcule a covariância de M e N 
d) Encontre a correlação de M e N 
9. As v.a. X e Y admitem a seguinte distribuição conjunta de probabilidade. 
 
x -1 2 5 8
p(x) 0,2 0,3 0,4 0,1
X
Y
0 0,1 0,2 0,2
1 0,04 0,08 0,08
2 0,06 0,12 0,12
p(x)
0 1 2 p(y)
M 1 3 N 5 10 12
p(m) 0,6 0,4 p(n) 0,3 0,5 0,2
X
Y
4 0,2 0,15 b
5 a 0,15 0,15
p(x)
1 2 3 p(y)
 
 
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Encontre a e b para que as v.a. X e Y sejam independentes. 
 
10. Utilizando a Função Densidade de Probabilidade do exercício 6 encontre a média e a variância. 
 
11. Suponha que X e Y tenha distribuição conjunta dada pela tabela abaixo. 
 
 
a) Encontre a cov(X,Y) 
b) Ache a Correlação de X e Y 
c) Verifique se x e Y são independentes. 
X
Y
-1 0 1/5 0
0 1/5 1/5 1/5
1 0 1/5 0
1-1 0