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Apostila Calculo II - UDESC

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APOSTILA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Autores: Elisandra Bar de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi, Marnei Luis Mandler
Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/
Joinville, fevereiro de 2010.
PLANO DE ENSINO DE CÁLCULO II
Departamento: Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Siglas: CDI-II, CDI2001 Semestre/Ano: 01/2010
Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0
Cursos: Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de
Produção e Sistemas, Licenciatura em Física, Licenciatura em Matemática.
Professores: Carlos Raphael Rocha, Eliane Bihuna de Azevedo, Elisandra Bar de
Figueiredo, Graciela Moro, Jones Corso, Marnei Luis Mandler
Coordenação: Elisandra Bar de Figueiredo.
Objetivo Geral da Disciplina: Proporcionar ao estudante a oportunidade de apropriar-
se dos conhecimentos de cálculo diferencial e integral, bem como aplicar estes conceitos em
sua área de atuação.
Ementa: Integrais de�nidas. Teorema Fundamental do Cálculo. Funções de várias
variáveis reais. Integrais duplas. Integrais triplas. Séries Numéricas. Série de Funções.
Objetivos Especí�cos da Disciplina: Reconhecer e resolver problemas que envolvam
integral de�nida. Reconhecer e resolver problemas que envolvam funções de várias variáveis.
Reconhecer e resolver problemas que envolvam integrais múltiplas. Reconhecer e resolver
problemas que envolvam sequências e séries.
Cronograma de Atividades:
1. Integral De�nida (18 horas aula)
1.1. Integral De�nida (4 h/a)
1.2. Teorema Fundamental do Cálculo e Propriedades (2 h/a)
1.3. Integrais Impróprias (2 h/a)
1.4. Área em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
1.5. Área em Coordenadas Polares (2 h/a)
1.6. Comprimento de Arco (2 h/a)
1.7. Volume de Sólido de Revolução (2 h/a)
1.8. Avaliação (2 h/a)
2. Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial (18 horas aula)
2.1. De�nição e Representação Grá�ca de Funções de Várias Variáveis (2 h/a)
i
2.2. Limite de Funções de várias Variáveis (2 h/a)
2.3. Continuidade de Funções de várias variáveis (1 h/a)
2.4. Derivadas Parciais (1 h/a)
2.5. Derivadas Parciais de Ordem Superior (1 h/a)
2.6. Regra da Cadeia (2 h/a)
2.7. Derivação Implícita (1 h/a)
2.8. Taxas de Variação (2 h/a)
2.9. Diferencial Parcial e Diferencial Total (2 h/a)
2.10. Extremos de Funções de duas variáveis (2 h/a)
2.11. Avaliação (2 h/a)
3. Integrais Duplas (6 horas aula)
3.1. De�nição (1 h/a)
3.2. Interpretação Geométrica (1 h/a)
3.3. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
3.4. Integral Dupla em Coordenadas Polares (2 h/a)
4. Integrais Triplas (12 horas aula)
4.1. De�nição e Interpretação Geométrica (2 h/a)
4.2. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
4.3. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (2 h/a)
4.4. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (2 h/a)
4.5. Apresentação e discussão de Trabalhos (2 h/a)
4.6. Avaliação (2 h/a)
5. Séries Numéricas e Séries de Funções (18 horas aula)
5.1. Sequências (2 h/a)
5.2. Séries Numéricas (2 h/a)
5.3. Série Geométrica e Série Harmônica (1 h/a)
5.4. Critério do Termo Geral, Critério da Integral (1 h/a)
5.5. Critério da Comparação (1 h/a)
ii
5.6. Critério de D'Alembert, Critério de Cauchy (2 h/a)
5.7. Séries Alternadas, Teorema de Leibnitz (1 h/a)
5.8. Convergência Absoluta e Convergência Condicional (1 h/a)
5.9. Séries de Funções, Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências (2 h/a)
5.10. Derivação e Integração de Séries de Funções (1 h/a)
5.11. Séries de Taylor e Séries de MacLaurin (2 h/a)
5.12. Avaliação (2 h/a)
Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição
de conteúdos:
1a Prova: referente ao Capítulo 1: nota x
2a Prova: referente ao Capítulo 2: nota y
3a Prova: referente aos Capítulos 3 e 4: nota z
4a Prova: referente ao Capítulo 5: nota w
Fará parte da terceira avaliação a apresentação oral de um trabalho, valendo até dois
pontos na nota da terceira prova, conforme critério a ser divulgado. No entanto, a soma das
nota das prova e do trabalho não poderá ultrapassar 10.
Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das
quatro avaliações.
Datas das Avaliações:
Todas as Turmas:
1a Prova: 27/03/10 (sábado, entre 09h30min e 12h)
2a Prova: 24/04/10 (sábado, entre 09h30min e 12h)
3a Prova: 22/05/10 (sábado, entre 09h30min e 12h30min)
4a Prova: 28/06/10 (segunda-feira, entre 18h e 20h30min)
O EXAME de todos os cursos será realizado no dia 07/07/2010 (quarta-feira, entre
18h e 20h30min)
Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliação, deverá entrar
com pedido o�cial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias
úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe.
As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização
da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do
DMAT e na página da disciplina.
É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda
chamada.
BIBLIOGRAFIA
• ANTON, H. Cálculo: um novo Horizonte. Bookman, PoA. Volumes 1 e 2
• AYRES, F. J. Cálculo. Coleção Schaum. McGraw-Hill do Brasil. SP.
iii
• GONÇALVES, M. B. and FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias
Variáveis, Integrais Duplas, Integrais Triplas. Makron Books. SP.
• LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra. SP.
• PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Lopes e Silva. Porto.
• STEWART, J. Cálculo, Cengage Learning, SP. Volumes 1 e 2.
• SWOKOWSKI, E. Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books, SP. Vo-
lumes 1 e 2
• THOMAS, G. Cálculo. Addison Wesley, SP. Volumes 1 e 2.
• APOSTILA TEXTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
iv
Horário de Monitoria
Monitor: Heric Dênis Farias
Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
07:30 08:20
08:20 09:10
09:20 10:10
10:10 11:00
11:00 11:50
13:30 14:20
14:20 15:10
15:20 16:10
16:10 17:00
17:00 17:50
18:10 19:00
19:00 19:50
19:50 20:40
Horário de Atendimento dos Professores
Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
07:30 08:20
08:20 09:10
09:20 10:10
10:10 11:00
11:00 11:50
13:30 14:20
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16:10 17:00
17:00 17:50
18:10 19:00
19:00 19:50
19:50 20:40
v
Conteúdo
1 INTEGRAL DEFINIDA 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Função Integrável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão) . . . . . . . . . 17
1.7 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a, b] . . . . . . . . . . . 20
1.9 Aplicações da Integral De�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.1 Área em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas . . . . 28
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares . . . . . . . . . . 29
1.10 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .