Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Capítulo 3 Professor: Luiz Fernando Nunes Geometria Analítica e Álgebra Linear ii Índice 3 Estudo da Reta e do Plano ..................................................................................... 3-1 3.1 A Reta no Espaço ........................................................................................... 3-1 3.1.1 Equação vetorial da reta ........................................................................... 3-1 3.1.2 Equações paramétricas da reta ................................................................. 3-2 3.1.3 Equações da reta na forma simétrica ........................................................ 3-5 3.2 O Plano ........................................................................................................ 3-13 3.2.1 Equação vetorial do plano ...................................................................... 3-13 3.2.2 Equações paramétricas do plano ............................................................ 3-13 3.2.3 Equação geral do plano .......................................................................... 3-14 3.3 Distâncias ..................................................................................................... 3-20 3.3.1 Distância entre pontos ............................................................................ 3-20 3.3.2 Distância entre ponto e reta .................................................................... 3-20 3.3.3 Distância entre ponto e plano ................................................................. 3-20 3.3.4 Distância entre retas ............................................................................... 3-20 3.4 Referências Bibliográficas ........................................................................... 3-20 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-1 3 Estudo da Reta e do Plano 3.1 A Reta no Espaço Trabalharemos sempre com uma base ortonormal dextrógira kjiE ,, . Dado um ponto P do espaço, podemos escrever kzjyixOP . Os números x, y, z são chamados coordenadas de P no sistema onde O é a origem e E é a base. Costuma-se indicar zyxP ,, , ou, num abuso de notação indicamos zyxP ,, . 3.1.1 Equação vetorial da reta Consideremos a reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor 0 v . Se um ponto rX , então vAX // , isto é, vAX . Desta forma temos: vAX vAX . Esta última equação recebe o nome de equação vetorial da reta. O vetor 0 v é chamado de vetor diretor da reta r. Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-2 3.1.2 Equações paramétricas da reta Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos: zyxX ,, , 000 ,, zyxA e cbav ,, , então temos: vAX cbazyxzyx ,,,,,, 000 czbyaxzyx 000 ,,,, czz byy axx 0 0 0 Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas da reta. Exemplos 1. Sendo 1,3,1 A e 5,1,1v , escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e tem como v vetor diretor. czz byy axx 0 0 0 51 13 11 z y x 51 3 1 z y x Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de v como vetor diretor. Desta forma se usarmos como vetor diretor v 2 , temos também: 101 23 21 z y x 2. Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados. Escolhendo 0,0,0O e 0,0,1i para o eixo das abscissa, temos: czz byy axx 0 0 0 00 00 10 z y x 0 0 z y x Analogamente, para o eixo das ordenadas e das cotas temos, respectivamente: 0 0 z y x e z y x 0 0 . 3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e B, sendo 2,1,4A e 3,1,1B . Para vetor diretor, temos ABv . Logo ABv = 3,1,1 1,0,52,1,4 . Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são: czz byy axx 0 0 0 12 01 54 z y x 2 1 54 z y x Utilizando o ponto B, as equações pedidas são: Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-3 czz byy axx 0 0 0 13 01 51 z y x 3 1 51 z y x 4. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC, sendo: 3,0,1A , 8,7,1B e 2,7,1C . O ponto médio do segmento BC e calculado como: 5,0,1 2 28 , 2 77 , 2 11 M . Considere o vetor diretor 2,0,03,0,15,0,1 AMv . Assim, as equações pedidas são: czz byy axx 0 0 0 23 00 01 z y x 23 0 1 z y x 5. Considere as seguintes equações paramétricas da reta r: 10 21 32 z y x a) Encontre dois pontos de r e um vetor diretor. Fazendo 0 nas equações paramétricas, obtemos o ponto 10,1,2 A . Fazendo 1 nas equações paramétricas, obtemos o ponto 9,1,5B . Um vetor diretor pode ser 1,2,3 v . b) Verifique se os pontos 2 19 ,0, 2 7 P e 8,1,5Q pertencem à reta r. Substituindo o ponto 2 19 ,0, 2 7 P nas equações 10 21 32 z y x obtemos: 10 2 19 210 32 2 7 que são todas satisfeitas para 2 1 , logo rP . Substituindo o ponto 8,1,5Q nas equações 10 21 32 z y x obtemos: 108 211 325 que não são todas satisfeitas simultaneamente para nenhum valor de , logo rQ . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-4 6. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A 4,5,1 e é paralela à reta de equações paramétricas: z y x 220 1 . O vetor diretor será: 1,2,1v . Logo as equações pedidas são: czz byy axx 0 0 0 4 25 1 z y x 7. Escreva as equaçõesparamétricas da reta que passa por A 4,5,1 e é paralela à reta que passa pelos pontos B e C, sendo 1,1,1B e 1,1,0 C . Para vetor diretor, temos BCv . Logo BCv = 1,1,0 2,0,11,1,1 . Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são: czz byy axx 0 0 0 24 05 11 z y x 24 5 1 z y x 8. A reta r tem equação vetorial 2,1,11,0,1 X . Obter os pontos de r que distam 6 de A 1,0,1 . 2,1,11,0,1 X czz byy axx 0 0 0 21 0 1 z y x 21 1 z y x 6 AX 6121011 222 1666 2 Logo os pontos são: 3,1,0P e 1,1,2 Q . 9. Dada a reta r tem equação vetorial 1,1,10,0,1 X e os pontos 1,0,0A e 1,1,1B , obter o ponto de r eqüidistante de A e de B. BXAX 222222 101011100001 222222 1111 0 . Logo o ponto procurado é: 0,0,1P . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-5 3.1.3 Equações da reta na forma simétrica Considere agora uma reta dada pelas equações paramétricas: czz byy axx 0 0 0 , sendo a, b, c não nulos. Temos: a xx 0 , b yy 0 e c zz 0 ou a xx 0 b yy 0 c zz 0 , que são chamadas de equações da reta na forma simétrica. Exemplo 10. Dadas as equações 7 23x 4 1 y 1 5 z , mostre que elas representam uma reta, dando um ponto e um vetor diretor da mesma. 7 23x 4 1 y 1 5 z 1 5 4 1 7 3 2 3 zy x 1 5 4 1 3 7 3 2 zy x Assim temos um ponto rP que é 5,1, 3 2 P e um vetor diretor: 1,4, 3 7 v . Retas paralelas aos planos coordenados e aos eixos coordenados Quando apresentamos as equações simétricas de uma reta: a xx 0 b yy 0 c zz 0 , consideramos que as componentes do vetor diretor da mesma são todos diferentes de zero. Assim, temos que a, b, c são não nulos. Agora estudaremos os casos em que uma ou duas destas componentes são nulas. a) Uma das componentes do vetor diretor v é nula: Neste caso, o vetor diretor v é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r é paralela ao plano dos outros eixos. Assim, (i) se a = 0, Oxcbv ,,0 e yOzr // . Neste caso as equações de r ficam: c zz b yy xx 11 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-6 Neste caso, nas coordenadas zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente y e z, conservando-se 1xx constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano coordenado yOz . (ii) se b = 0, Oycav ,0, e xOzr // . Neste caso as equações de r ficam: c zz a xx yy 11 1 Neste caso, nas coordenadas zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e z, conservando-se 1yy constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano coordenado xOz . (iii) se c = 0, Ozbav 0,, e xOyr // . Neste caso as equações de r ficam: b yy a xx zz 11 1 Neste caso, nas coordenadas zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e y, conservando-se 1zz constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano coordenado xOy . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-7 b) Duas das componentes do vetor diretor v são nulas: Neste caso, o vetor diretor v tem a direção de um dos vetores 0,0,1i ou 0,1,0j ou 1,0,0k , e portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de i , j ou k . Assim: (i) se a = b= 0, kcv //,0,0 e Ozr // . Neste caso as equações de r ficam: 1 1 yy xx (ii) se a = c= 0, jbv //0,,0 e Oyr // . Neste caso as equações de r ficam: 1 1 zz xx (iii) se b = c= 0, iav //0,0, e Oxr // . Neste caso as equações de r ficam: 1 1 zz yy Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-8 Condição de alinhamento de três pontos no espaço A condição para que três pontos 1111 ,, zyxA , 2222 ,, zyxA e 3333 ,, zyxA estejam em linha reta é que os vetores 1221 AAAA e 1331 AAAA sejam paralelos, isto é: 1221 AAAA 31AAm , para algum m , ou: 13 12 13 12 13 12 zz zz yy yy xx xx . 11. Os pontos 6,2,51 A , 3,4,12 A e 7,4,73 A estão em linha reta. De fato, substituindo as coordenadas dos pontos nas equações anteriores, obtemos: 67 63 24 24 57 51 . Condição de paralelismo de duas retas A condição de paralelismo das retas r e s é a mesma dos vetores 111 ,, cbau e 222 ,, cbav , que definem estas retas, isto é: vmu ou 2 1 2 1 2 1 c c b b a a . Retas ortogonais e perpendiculares Dadas as retas r e s, sendo u e v seus vetores diretores, respectivamente. Então elas fazem ângulo reto, se e somente se, vu . Indicamos por sr . Retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Caso sejam concorrentes são ditas perpendiculares. 0 vusr Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-9 Exemplos 12. Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais. r : 31 2 z y x e s : 3 1 10 2 z y x Vetor diretor de r 3,1,1 u Vetor diretor de s 3 1 ,1,2v 0 3 1 31121vu Logo r e s são ortogonais. 13. Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais. r : 6 0 22 z y x e s : zy x 2 1 Vetor diretor de r 6,0,2 u Vetor diretor de s 1,1,2 v 02161022vu Logo r e s não são ortogonais. 14. Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s: r : zy x 23 2 12 e s : 1 3 z y mx r : 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 2 2 1 2 23 2 12 zy x zy x zy x Vetor diretor de r 1,1,1 u Vetor diretorde s 1,0, mv 10110110 mmvuvu . Logo r e s são ortogonais se 1m . 15. Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s: r : m z m yx 2 43 2 1 e s : z m y m x 4 12 s : 1 0 2 2 1 1 0 4 2 1 2 4 12 z m y m xz m y m x z m y m x Vetor diretor de r mmu 2,,2 Vetor diretor de s 1,2, mmv 2012220 mmmmmvuvu . Logo r e s são ortogonais se 2m . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-10 16. Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s: r : z yx 2 43 1 23 e s : 1 2 31 z my mx r: 1 0 2 1 4 3 3 1 3 2 12 4 3 4 1 3 2 3 2 43 1 23 z yx z yx z yx Vetor diretor de s 0,2,3 mmu Vetor diretor de r 1, 2 1 , 3 1 v 00010 2 1 2 3 1 30 mmvuvu m qualquer Logo r e s são ortogonais para qualquer valor de m. Ângulo entre retas Sejam r e s não ortogonais, sendo u e v os vetores diretores de r e s, respectivamente. Então vu vu cos , onde é o ângulo agudo entre r e s 2 0 . coscos 17. Calcule a medida do ângulo agudo entre as retas r e s, sendo: r : 6 12 5 12 4 1 zyx e s : z y x 3 42 r : 6 2 1 2 5 2 1 2 4 1 6 12 5 12 4 1 zy xzyx 3 2 1 2 5 2 1 4 1 zy x Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-11 Vetor diretor de r 3, 2 5 ,4u 2 55 2 125 3 2 5 4 2 2 2 u Vetor diretor de s 1,1,4 v 2318114 222 v 2 31 131 2 5 44 vu Logo: vu vu cos 1015 31 23 2 55 2 31 cos o2,49 18. Ache um ponto P da reta r de equações paramétricas: 1 1 z y x , tal que o cosseno do ângulo entre as retas r e AP seja 3 2 , sendo 0,0,1A . 3 2 cos 0,1,1u Vetor diretor de AP 10,0,11 PAv = 1,, . vu vu cos 222222 1011 1011 3 2 122 2 3 2 2 1 . Assim, se 1 x = 0, y = 1 e z = 1. se 1 x = 2, y = 1 e z = 1. Solução: 1,1,0 ou 1,1,2 . Intersecção de retas 19. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: z y x r 42 21 : e 1 1 : z y x s Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-12 Fazendo 1 42 121 Resolvendo, encontramos 3 1 e 3 2 . Assim, o ponto de intersecção é P 3 1 , 3 2 , 3 5 . 20. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: 4 1 2 : z y x r e 64 2 1 1 : zyx s Substituindo os valores de x, y e z de r em s, obtemos: 6 4 4 21 12 2 17 4 3 6 4 8 1 4 3 12 Logo não existe ponto de intersecção entre r e s. 21. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: 1 1 3 1 2 1 : zyx r e zyxs : Substituindo os valores de y e z de r por x, obtemos: 1 1 3 1 2 1 xxx que é satisfeito apenas para x = 1. Logo temos x = y = z = 1 Assim, o ponto de intersecção é P 1,1,1 . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-13 3.2 O Plano 3.2.1 Equação vetorial do plano Consideremos um plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores u e v , não paralelos. Se um ponto X , então vuAX . Desta forma temos: vuAX vuAX . Esta última equação recebe o nome de equação vetorial do plano. Os vetores u e v são chamados de vetores diretores do plano . 3.2.2 Equações paramétricas do plano Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos: zyxX ,, , 000 ,, zyxA , onmu ,, e rqpv ,, , então temos: vuAX rqponmzyxzyx ,,,,,,,, 000 rozqnypmxzyx 000 ,,,, rozz qnyy pmxx 0 0 0 Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas do plano. Exemplos 22. Sendo 1,1,2 A , 5,4,3u e 4,0,1v , escreva as equações paramétricas do plano que passa por A e tem u e v como vetores diretores. rozz qnyy pmxx 0 0 0 451 041 132 z y x 451 41 32 z y x Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de u e v como vetores diretores. 23. Escreva as equações paramétricas dos planos coordenados. Escolhendo 0,0,0O e 0,0,1i e 0,1,0j para vetores diretores do plano xOy, temos: rozz qnyy pmxx 0 0 0 000 100 010 z y x 0z y x Analogamente, para os planos coordenados xOz e yOz temos, respectivamente: z y x 0 e z y x 0 . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-14 24. Escreva as equações paramétricas do plano que passa por 4,2,1A e é paralelo ao plano de equação vetorial 3,1,42,1,12,0,1 X . O plano procurado tem os mesmos vetores diretores do plano dado, logo as equações pedidas são: rozz qnyy pmxx 0 0 0 324 112 411 z y x 324 2 41 z y x 25. Escreva as equaçõesparamétricas do plano que passa pelos pontos 2,1,1A , 1,1,1 B e 4,2,2C . Tomando AB e AC para vetores diretores, temos: 3,0,22,1,11,1,1 ABu 2,1,12,1,14,2,2 ACv . Assim as equações paramétricas ficam: rozz qnyy pmxx 0 0 0 232 101 121 z y x 232 1 21 z y x 26. Obtenha as equações paramétricas do plano determinado pela reta r : 1,1,20,1,1 X e pelo ponto 3,2,1P . Um vetor diretor pode ser 1,1,2u e o outro obtido por APv , onde 0,1,1A . Assim, 3,1,00,1,13,2,1 APv . Assim, as equações paramétricas pedidas são: rozz qnyy pmxx 0 0 0 313 112 021 z y x 33 2 21 z y x 3.2.3 Equação geral do plano Sendo um plano, qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano será chamado de vetor normal a . Seja cban ,, normal a e 000 ,, zyxA , então X se e só se AX é ortogonal a cban ,, . Logo temos: 0 nAX ou 0,,,, 000 cbazzyyxx , ou seja: 0000 czzbyyaxx 0000 zcybxazcybxa Fazendo 000 zcybxad , obtemos: 0 dzcybxa que é chamada de equação geral do plano. Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-15 Observação: os parâmetros a, b, c não podem ser todos nulos simultaneamente, pois 0 n . 27. Obtenha a equação geral do plano 1 que passa por 1,0,3A e tem 3,1,2n como vetor normal. 1 : 0 dzcybxa 0312 dzyx . Como 11,0,3 A , temos 0130132 d 9d . Logo a equação geral de 1 é: 09312 zyx 0932 zyx . 28. Obtenha a equação geral do plano 2 que passa por 1,0,3A e tem 3,1,2u e 1,0,1v como vetores diretores. Primeiro necessitamos obter um vetor normal ao plano 2 . O vetor 0 vu é normal ao plano 2 , logo: kji kji vu 5 101 312det . Assim, 2 : 0 dzcybxa 0151 dzyx . Como 21,0,3 A , temos 0110531 d 2d . Logo a equação geral de 2 é: 02151 zyx 025 zyx . 29. São dadas as equações paramétricas de um plano: 3 22 21 z y x . Encontre uma equação geral. rozz qnyy pmxx 0 0 0 013 212 121 z y x . Isto os vetores 1,1,2u e 0,2,1v são vetores diretores do plano. O vetor 0 vu é normal ao plano, logo: kji kji vu 312 021 112det . Assim, 0 dzcybxa 0312 dzyx . Como 3,2,1A , temos 0332112 d 13d . Logo a equação geral de é: 013312 zyx 01332 zyx . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-16 30. Um plano tem equação geral 02532 zyx . Obter as equações paramétricas deste plano. Fazendo y e z 02532 x z y x 2 5 2 3 1 Outro modo: Primeiro obtemos três pontos do plano : Fazendo 0x e 5 2 0 zy Fazendo 0x e 3 2 0 yz Fazendo 0y e 10 xz , assim, os três pontos procurados são: 5 2 ,0,0A , 0, 3 2 ,0B e 0,0,1C . Agora necessitamos de dois vetores diretores: Fazendo 5 2 , 3 2 ,0 5 2 ,0,00, 3 2 ,0ABu e 5 2 ,0,1 5 2 ,0,00,0,1ACv Agora utilizando o ponto 0,0,1C , obtemos: 5 2 5 2 0 0 3 2 0 101 z y x 5 2 5 2 3 2 1 z y x Planos perpendiculares Sejam os planos 1 e 2 , sendo 1n e 2n os vetores normais a 1 e 2 , respectivamente. Então, 1 e 2 são perpendiculares, se e somente se, 1n e 2n são perpendiculares. Logo 021 nn . Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-17 31. Verifique se os planos 1 e 2 são perpendiculares, nos seguintes casos: a) 01104:1 zyx e 023:2 zyx Resposta: Sim. b) 0:1 yx e 1 :2 z y x Resposta: Não. 32. Determine m de modo que os planos 1 e 2 sejam perpendiculares, nos seguintes casos: a) 0:1 zyxm e 01:2 zmymx Resposta: 0m . b) 013:1 zyxm e 01:2 ymxm Resposta: 0m ou 1m . c) 0:1 mzyx e 0:2 myx Resposta: m qualquer. Ângulo entre planos O ângulo entre os planos 1 e 2 é o ângulo entre duas retas 1r e 2r , perpendiculares a 1 e 2 , respectivamente. Logo 21 21 cos nn nn , sendo 1n e 2n os vetores diretores de 1r e 2r , respectivamente. 33. Encontre o ângulo entre os planos 1 e 2 , sendo: 015114:1 zyx e 0:2 zx 5,11,41 n 1,0,12 n 915011141,0,15,11,421 nn 1625114 2221 n 2101 2222 n Logo 21 21 cos nn nn 32 1 2162 9 cos 34. Encontre o ângulo entre os planos 1 e 2 , sendo: 1:1 zyx e 0:2 z Resposta: 3 3 cosarc Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-18 Intersecção de planos Sejam os planos 1 e 2 , sendo 1n e 2n os vetores normais a 1 e 2 , respectivamente. Se 1n e 2n não forem paralelos (o que equivale a dizer que 021 nn ), então 1 e 2 se intersectam e a intersecção é uma reta r. Temos ainda que 21 nn é um vetor diretor da reta r. Um ponto de r pode ser obtido pelas equações dos planos. 35. Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos: 02:1 zyx e 012:2 zyx 1,1,21 n 1,2,12 n kji kji nn 531 121 112det21Para obter um ponto de r, podemos fazer, por exemplo x = 0 nas equações dos planos. Neste caso obtemos o sistema: 012 0 zy zy cuja solução é y = z = 1 . Assim, um ponto da reta procurada é 1,1,0 P . Desta forma, as equações procuradas são: czz byy axx 0 0 0 51 31 10 z y x 51 31 z y x 36. Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos: 0:1 zyx e 1:2 zyx Resposta: 2 1 2 2 1 2 z y x Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-19 Intersecção entre reta e plano 37. Ache a intersecção da reta r com o plano , sendo: r : z y x 3 22 e 0642: zyx Substituindo x, y e z da reta no plano, obtemos: 0634222 2 . Logo, temos que: z y x 3 22 2 23 222 z y x 2 1 6 z y x Então, o ponto procurado é 2,1,6 P . 38. Ache a intersecção da reta r com o plano , sendo: r : é a intersecção dos planos 0:1 zyx e 12:2 zyx e é dado pela equação geral: 02 yx . O ponto procurado é a intersecção dos três planos, isto é, a solução do sistema: 02 12 0 yx zyx zyx Solução: 7 3 , 7 1 , 7 2 P Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-20 3.3 Distâncias 3.3.1 Distância entre pontos 3.3.2 Distância entre ponto e reta 3.3.3 Distância entre ponto e plano 3.3.4 Distância entre retas 3.4 Referências Bibliográficas 1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1984. 2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997. 4. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 5. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1987.
Compartilhar