GEO ANALITICA

Prévia do material em texto

NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Capítulo 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Luiz Fernando Nunes 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear ii 
Índice 
 
 
 
3 Estudo da Reta e do Plano ..................................................................................... 3-1 
3.1 A Reta no Espaço ........................................................................................... 3-1 
3.1.1 Equação vetorial da reta ........................................................................... 3-1 
3.1.2 Equações paramétricas da reta ................................................................. 3-2 
3.1.3 Equações da reta na forma simétrica ........................................................ 3-5 
3.2 O Plano ........................................................................................................ 3-13 
3.2.1 Equação vetorial do plano ...................................................................... 3-13 
3.2.2 Equações paramétricas do plano ............................................................ 3-13 
3.2.3 Equação geral do plano .......................................................................... 3-14 
3.3 Distâncias ..................................................................................................... 3-20 
3.3.1 Distância entre pontos ............................................................................ 3-20 
3.3.2 Distância entre ponto e reta .................................................................... 3-20 
3.3.3 Distância entre ponto e plano ................................................................. 3-20 
3.3.4 Distância entre retas ............................................................................... 3-20 
3.4 Referências Bibliográficas ........................................................................... 3-20 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-1 
3 Estudo da Reta e do Plano 
3.1 A Reta no Espaço 
Trabalharemos sempre com uma base ortonormal dextrógira 
 kjiE

,,
 . 
Dado um ponto P do espaço, podemos escrever 
kzjyixOP


. Os 
números x, y, z são chamados coordenadas de P no sistema onde O é a origem e E é a base. 
 
Costuma-se indicar 
 zyxP ,,
, ou, num abuso de notação indicamos 
 zyxP ,,
. 
 
 
3.1.1 Equação vetorial da reta 
Consideremos a reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor 
0

v
. Se um ponto 
rX 
, então 
vAX

//
, isto é, 
vAX


. 
 
Desta forma temos: 
vAX


vAX


. 
Esta última equação recebe o nome de equação vetorial da reta. 
O vetor 
0

v
 é chamado de vetor diretor da reta r. 
 
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-2 
3.1.2 Equações paramétricas da reta 
Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos: 
 zyxX ,,
, 
 000 ,, zyxA 
 e 
 cbav ,,

, então temos: 
 vAX

      cbazyxzyx ,,,,,, 000
 
   czbyaxzyx  000 ,,,,

 









czz
byy
axx
0
0
0
 
Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas da reta. 
Exemplos 
1. Sendo 
 1,3,1 A
 e 
 5,1,1v

, escreva as equações paramétricas da reta que passa 
por A e tem como 
v
 vetor diretor. 









czz
byy
axx
0
0
0









51
13
11
z
y
x









51
3
1
z
y
x
 
Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de 
v
 como vetor 
diretor. Desta forma se usarmos como vetor diretor 
v

2
, temos também: 









101
23
21
z
y
x
 
2. Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados. 
Escolhendo 
 0,0,0O
 e 
 0,0,1i
 para o eixo das abscissa, temos: 









czz
byy
axx
0
0
0









00
00
10
z
y
x









0
0
z
y
x
 
Analogamente, para o eixo das ordenadas e das cotas temos, respectivamente: 








0
0
z
y
x
 e 








z
y
x
0
0
. 
3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e B, sendo 
 2,1,4A
 e 
 3,1,1B
. 
Para vetor diretor, temos 
ABv 
 . Logo 
ABv 
 =
 3,1,1    1,0,52,1,4 
. 
Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são: 









czz
byy
axx
0
0
0









12
01
54
z
y
x









2
1
54
z
y
x
 
Utilizando o ponto B, as equações pedidas são: 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-3 









czz
byy
axx
0
0
0









13
01
51
z
y
x









3
1
51
z
y
x
 
4. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e pelo ponto médio do 
segmento BC, sendo: 
 3,0,1A
, 
 8,7,1B
 e 
 2,7,1C
. 
O ponto médio do segmento BC e calculado como: 
 
 5,0,1
2
28
,
2
77
,
2
11





 
M
. 
Considere o vetor diretor 
     2,0,03,0,15,0,1  AMv

. Assim, as equações 
pedidas são: 









czz
byy
axx
0
0
0









23
00
01
z
y
x









23
0
1
z
y
x
 
5. Considere as seguintes equações paramétricas da reta r: 








10
21
32
z
y
x
 
 
a) Encontre dois pontos de r e um vetor diretor. 
Fazendo 
0
 nas equações paramétricas, obtemos o ponto 
 10,1,2 A
. 
Fazendo 
1
 nas equações paramétricas, obtemos o ponto 
 9,1,5B
. 
Um vetor diretor pode ser 
 1,2,3 v

. 
 
b) Verifique se os pontos 







2
19
,0,
2
7
P
 e 
 8,1,5Q
 pertencem à reta r. 
Substituindo o ponto 







2
19
,0,
2
7
P
 nas equações 








10
21
32
z
y
x
 obtemos: 










10
2
19
210
32
2
7
 que são todas satisfeitas para 
2
1

, logo 
rP
. 
Substituindo o ponto 
 8,1,5Q
 nas equações 








10
21
32
z
y
x
 obtemos: 








108
211
325
 que não são todas satisfeitas simultaneamente para nenhum valor de 

, logo 
rQ
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-4 
6. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A
 4,5,1
 e é paralela à reta 
de equações paramétricas: 
 








z
y
x
220
1
. 
 
O vetor diretor será: 
 1,2,1v

. Logo as equações pedidas são: 









czz
byy
axx
0
0
0









4
25
1
z
y
x
 
7. Escreva as equaçõesparamétricas da reta que passa por A
 4,5,1
 e é paralela à reta 
que passa pelos pontos B e C, sendo 
 1,1,1B
 e 
 1,1,0 C
. 
 
Para vetor diretor, temos 
BCv 
 . Logo 
BCv 
 = 
 1,1,0     2,0,11,1,1 
. 
Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são: 









czz
byy
axx
0
0
0  
 







24
05
11
z
y
x









24
5
1
z
y
x
 
8. A reta r tem equação vetorial 
   2,1,11,0,1 X
. Obter os pontos de r que distam 
6
 de A
 1,0,1
. 
 
   2,1,11,0,1 X









czz
byy
axx
0
0
0









21
0
1
z
y
x









21
1
z
y
x
 
6 AX
 
      6121011 222  1666 2 
 
 
Logo os pontos são: 
 3,1,0P
 e 
 1,1,2 Q
. 
9. Dada a reta r tem equação vetorial 
   1,1,10,0,1 X
 e os pontos 
 1,0,0A
 
e 
 1,1,1B
, obter o ponto de r eqüidistante de A e de B. 
 
BXAX 

 
           222222 101011100001  
 
           222222 1111   0
. 
 
Logo o ponto procurado é: 
 0,0,1P
. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-5 
3.1.3 Equações da reta na forma simétrica 
Considere agora uma reta dada pelas equações paramétricas: 








czz
byy
axx
0
0
0
, sendo a, b, c não nulos. Temos: 
a
xx 0
, 
b
yy 0
 e 
c
zz 0
 ou 
 


a
xx 0
b
yy 0
 
c
zz 0
, que são chamadas de equações da reta na forma simétrica. 
Exemplo 
10. Dadas as equações 


7
23x
4
1 y
 
1
5

z
, mostre que elas representam uma reta, 
dando um ponto e um vetor diretor da mesma. 


7
23x
4
1 y
1
5

z 
   
1
5
4
1
7
3
2
3











zy
x
 

 
1
5
4
1
3
7
3
2






zy
x
 
Assim temos um ponto 
rP
 que é 






 5,1,
3
2
P
 e um vetor diretor: 






 1,4,
3
7
v

. 
Retas paralelas aos planos coordenados e aos eixos coordenados 
Quando apresentamos as equações simétricas de uma reta:


a
xx 0
b
yy 0
 
c
zz 0
, 
consideramos que as componentes do vetor diretor da mesma são todos diferentes de zero. 
Assim, temos que a, b, c são não nulos. Agora estudaremos os casos em que uma ou duas 
destas componentes são nulas. 
a) Uma das componentes do vetor diretor 
v
 é nula: 
Neste caso, o vetor diretor 
v
 é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a 
reta r é paralela ao plano dos outros eixos. Assim, 
(i) se a = 0, 
  Oxcbv  ,,0

 e 
yOzr //
. Neste caso as equações de r ficam: 









c
zz
b
yy
xx
11
1 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-6 
Neste caso, nas coordenadas 
 zyx ,,
 de um ponto genérico P da reta r, variam 
somente y e z, conservando-se 
1xx 
 constante. Isto significa que r se acha num plano 
paralelo ao plano coordenado 
yOz
. 
 
 
(ii) se b = 0, 
  Oycav  ,0,

 e 
xOzr //
. Neste caso as equações de r ficam: 









c
zz
a
xx
yy
11
1 
 
 
Neste caso, nas coordenadas 
 zyx ,,
 de um ponto genérico P da reta r, variam 
somente x e z, conservando-se 
1yy 
 constante. Isto significa que r se acha num plano 
paralelo ao plano coordenado 
xOz
. 
 
(iii) se c = 0, 
  Ozbav  0,,

 e 
xOyr //
. Neste caso as equações de r ficam: 









b
yy
a
xx
zz
11
1 
 
 
Neste caso, nas coordenadas 
 zyx ,,
 de um ponto genérico P da reta r, variam 
somente x e y, conservando-se 
1zz 
 constante. Isto significa que r se acha num plano 
paralelo ao plano coordenado 
xOy
. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-7 
b) Duas das componentes do vetor diretor 
v
 são nulas: 
Neste caso, o vetor diretor 
v
 tem a direção de um dos vetores 
 0,0,1i
 ou 
 0,1,0j
 ou 
 1,0,0k
 , e portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de 
i
 , 
j
 ou 
k
 . Assim: 
 
(i) se a = b= 0, 
  kcv

//,0,0
 e 
Ozr //
. Neste caso as equações de r ficam: 





1
1
yy
xx 
 
 
(ii) se a = c= 0, 
  jbv

//0,,0
 e 
Oyr //
. Neste caso as equações de r ficam: 





1
1
zz
xx 
 
(iii) se b = c= 0, 
  iav

//0,0,
 e 
Oxr //
. Neste caso as equações de r ficam: 





1
1
zz
yy 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-8 
 
Condição de alinhamento de três pontos no espaço 
A condição para que três pontos 
 1111 ,, zyxA
, 
 2222 ,, zyxA
 e 
 3333 ,, zyxA
 estejam 
em linha reta é que os vetores 
1221 AAAA 
 e 
1331 AAAA 
 sejam paralelos, isto é: 
1221 AAAA 
 
31AAm 
, para algum 
m
, ou: 
13
12
13
12
13
12
zz
zz
yy
yy
xx
xx








. 
11. Os pontos 
 6,2,51 A
, 
 3,4,12 A
 e 
 7,4,73 A
 estão em linha reta. De fato, 
substituindo as coordenadas dos pontos nas equações anteriores, obtemos: 
67
63
24
24
57
51








. 
Condição de paralelismo de duas retas 
A condição de paralelismo das retas r e s é a mesma dos vetores 
 111 ,, cbau 

 e 
 222 ,, cbav 

, que definem estas retas, isto é: 
vmu


 ou 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a

. 
Retas ortogonais e perpendiculares 
Dadas as retas r e s, sendo 
u
 e 
v
 seus vetores diretores, respectivamente. Então elas 
fazem ângulo reto, se e somente se, 
vu


. Indicamos por 
sr 
. 
Retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Caso sejam concorrentes são ditas 
perpendiculares. 
0 vusr
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-9 
Exemplos 
12. Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais. 
r :








31
2
z
y
x
 e s :










3
1
10
2
z
y
x
 
Vetor diretor de r 
 3,1,1 u

 
Vetor diretor de s 







3
1
,1,2v

 
   0
3
1
31121vu

 Logo r e s são ortogonais. 
13. Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais. 
r :








6
0
22
z
y
x
 e s : 
zy
x


2
1
 
Vetor diretor de r 
 6,0,2 u

 
Vetor diretor de s 
 1,1,2 v

 
   02161022vu

 Logo r e s não são ortogonais. 
14. Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s: 
r : 
zy
x


23
2
12
 e s : 








1
3
z
y
mx
 
r : 
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
3
2
2
1
2
23
2
12






















 zy
x
zy
x
zy
x 
Vetor diretor de r 
 1,1,1  u

 
Vetor diretorde s 
 1,0,  mv

 
      10110110  mmvuvu

. 
Logo r e s são ortogonais se 
1m
. 
15. Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s: 
r : 
m
z
m
yx
2
43
2
1 




 e s : 
z
m
y
m
x



4
12
 
s : 
1
0
2
2
1
1
0
4
2
1
2
4
12 















z
m
y
m
xz
m
y
m
x
z
m
y
m
x 
Vetor diretor de r 
 mmu 2,,2

 
Vetor diretor de s 
 1,2, mmv 

 
2012220  mmmmmvuvu
 . 
Logo r e s são ortogonais se 
2m
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-10 
16. Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s: 
r : 
z
yx




2
43
1
23
 e s : 








1
2
31
z
my
mx
 
r:
1
0
2
1
4
3
3
1
3
2
12
4
3
4
1
3
2
3
2
43
1
23 
























 z
yx
z
yx
z
yx 
Vetor diretor de s 
 0,2,3 mmu 

 
Vetor diretor de r 






 1,
2
1
,
3
1
v

 






 00010
2
1
2
3
1
30 mmvuvu

 m qualquer 
Logo r e s são ortogonais para qualquer valor de m. 
Ângulo entre retas 
Sejam r e s não ortogonais, sendo 
u
 e 
v
 os vetores diretores de r e s, respectivamente. 
Então 
vu
vu




cos
, onde 

 é o ângulo agudo entre r e s 
2
0


. 
 
  coscos
 
17. Calcule a medida do ângulo agudo entre as retas r e s, sendo: 
r : 
6
12
5
12
4
1 



 zyx
 e s : 








z
y
x
3
42
 
r : 
6
2
1
2
5
2
1
2
4
1
6
12
5
12
4
1



































zy
xzyx 
3
2
1
2
5
2
1
4
1


















zy
x 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-11 
Vetor diretor de r 






 3,
2
5
,4u

2
55
2
125
3
2
5
4 2
2
2 





 u
 
Vetor diretor de s 
 1,1,4  v

    2318114 222  v

 
   
2
31
131
2
5
44 vu

 
Logo: 
vu
vu




cos 1015
31
23
2
55
2
31
cos 


 o2,49 
18. Ache um ponto P da reta r de equações paramétricas: 








1
1
z
y
x
, tal que o cosseno do 
ângulo entre as retas r e AP seja 
3
2 , sendo  0,0,1A . 
 
3
2
cos 
 
 0,1,1u

 
Vetor diretor de AP
       10,0,11  PAv

=
 1,, 
. 
vu
vu




cos
      
       222222 1011
1011
3
2




 
122
2
3
2
2 


 1
. 
Assim, se 
 1
x = 0, y = 1 e z = 1. 
se 
 1
x = 2, y = 
1
 e z = 1. 
Solução: 
 1,1,0
 ou 
 1,1,2 
. 
Intersecção de retas 
19. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de 
intersecção: 








z
y
x
r 42
21
:
 e 








1
1
:
z
y
x
s
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-12 
Fazendo 








1
42
121

Resolvendo, encontramos 
3
1

 e 
3
2

. 
Assim, o ponto de intersecção é P






3
1
,
3
2
,
3
5
. 
20. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de 
intersecção: 








4
1
2
:
z
y
x
r
 e 
64
2
1
1
:
zyx
s 



 
Substituindo os valores de x, y e z de r em s, obtemos: 
6
4
4
21
12














2
17
4
3
6
4
8
1
4
3
12
 
Logo não existe ponto de intersecção entre r e s. 
21. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de 
intersecção: 
1
1
3
1
2
1
:




 zyx
r
 e 
zyxs :
 
Substituindo os valores de y e z de r por x, obtemos: 
1
1
3
1
2
1 



 xxx 
que é satisfeito apenas para x = 1. 
Logo temos x = y = z = 1

 Assim, o ponto de intersecção é P
 1,1,1
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-13 
3.2 O Plano 
3.2.1 Equação vetorial do plano 
Consideremos um plano 

 que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores 
u
 e 
v
 , não 
paralelos. Se um ponto 
X
, então 
vuAX


. 
Desta forma temos: 
vuAX



vuAX


. 
Esta última equação recebe o nome de equação vetorial do plano. 
Os vetores 
u
 e 
v
 são chamados de vetores diretores do plano 

. 
3.2.2 Equações paramétricas do plano 
Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos: 
 zyxX ,,
, 
 000 ,, zyxA 
 , 
 onmu ,,

e 
 rqpv ,,

, então temos: 
vuAX


         rqponmzyxzyx ,,,,,,,, 000
 
   rozqnypmxzyx  000 ,,,,

 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0
 
Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas do plano. 
Exemplos 
22. Sendo 
 1,1,2 A
, 
 5,4,3u

 e 
 4,0,1v

, escreva as equações paramétricas do 
plano que passa por A e tem 
u
 e 
v
 como vetores diretores. 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0  









451
041
132
z
y
x









451
41
32
z
y
x
 
 
Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de 
u
 e 
v
 como vetores 
diretores. 
23. Escreva as equações paramétricas dos planos coordenados. 
 
Escolhendo 
 0,0,0O
 e 
 0,0,1i
 e 
 0,1,0j
 para vetores diretores do plano xOy, 
temos: 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0









000
100
010
z
y
x









0z
y
x
 
 
Analogamente, para os planos coordenados xOz e yOz temos, respectivamente: 








z
y
x
0
 e 








z
y
x 0
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-14 
24. Escreva as equações paramétricas do plano que passa por 
 4,2,1A
 e é paralelo ao 
plano de equação vetorial 
     3,1,42,1,12,0,1 X
. 
O plano procurado tem os mesmos vetores diretores do plano dado, logo as equações 
pedidas são: 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0









324
112
411
z
y
x









324
2
41
z
y
x
 
25. Escreva as equaçõesparamétricas do plano que passa pelos pontos 
 2,1,1A
, 
 1,1,1 B
 e 
 4,2,2C
. 
Tomando 
AB 
 e 
AC 
 para vetores diretores, temos: 
     3,0,22,1,11,1,1  ABu

 
     2,1,12,1,14,2,2  ACv

. Assim as equações paramétricas ficam: 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0  
 







232
101
121
z
y
x









232
1
21
z
y
x
 
26. Obtenha as equações paramétricas do plano determinado pela reta 
r : 
   1,1,20,1,1 X
 e pelo ponto 
 3,2,1P
. 
Um vetor diretor pode ser 
 1,1,2u

 e o outro obtido por 
APv 
 , onde 
 0,1,1A
. 
Assim, 
     3,1,00,1,13,2,1  APv

. Assim, as equações paramétricas pedidas são: 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0









313
112
021
z
y
x









33
2
21
z
y
x
 
3.2.3 Equação geral do plano 
Sendo 

 um plano, qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano 

 será chamado de 
vetor normal a 

. Seja 
 cban ,,

 normal a 

 e 
   000 ,, zyxA
, então 
X
 se e só se 
AX 
 é ortogonal a 
 cban ,,

. Logo temos: 
  0 nAX

 ou 
    0,,,, 000  cbazzyyxx
, ou seja: 
      0000  czzbyyaxx 0000  zcybxazcybxa
 
Fazendo 
000 zcybxad 
, obtemos: 
0 dzcybxa
 que é chamada de equação geral do plano. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-15 
Observação: os parâmetros a, b, c não podem ser todos nulos simultaneamente, pois 
0

n
. 
27. Obtenha a equação geral do plano 
1
 que passa por 
 1,0,3A
 e tem 
 3,1,2n

 
como vetor normal. 
1
:
0 dzcybxa

0312  dzyx
. Como 
  11,0,3 A
, 
temos 
  0130132  d 9d
. Logo a equação geral de 
1
 é: 
  09312  zyx  0932  zyx
. 
28. Obtenha a equação geral do plano 
2
 que passa por 
 1,0,3A
 e tem 
 3,1,2u

 e 
 1,0,1v

como vetores diretores. 
 
Primeiro necessitamos obter um vetor normal ao plano 
2
. 
 
O vetor 
0

 vu
 é normal ao plano 
2
, logo: 
kji
kji
vu















 5
101
312det . Assim, 
2
:
0 dzcybxa
   0151  dzyx
. Como 
  21,0,3 A
, 
temos 
  0110531  d 2d
. Logo a equação geral de 
2
 é: 
  02151  zyx  025  zyx
. 
29. São dadas as equações paramétricas de um plano: 
 








3
22
21
z
y
x
. Encontre uma equação geral. 









rozz
qnyy
pmxx
0
0
0









013
212
121
z
y
x
. Isto os vetores 
 1,1,2u

 e 
 0,2,1v

 são vetores diretores do plano. 
 
O vetor 
0

 vu
 é normal ao plano, logo: 
kji
kji
vu















 312
021
112det . 
 
Assim, 
0 dzcybxa

0312  dzyx
. 
 
Como 
   3,2,1A
, temos 
0332112  d 13d
. Logo a equação 
geral de 

 é: 
  013312  zyx  01332  zyx
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-16 
30. Um plano 

tem equação geral 
02532  zyx
. Obter as equações 
paramétricas deste plano. 
Fazendo 
y
 e 
z

02532  x











z
y
x
2
5
2
3
1
 
 
Outro modo: Primeiro obtemos três pontos do plano 

: 
 
Fazendo 
0x
 e 
5
2
0  zy
 
Fazendo 
0x
 e 
3
2
0  yz
 
Fazendo 
0y
 e 
10  xz
, assim, os três pontos procurados são: 







5
2
,0,0A
,






 0,
3
2
,0B
 e 
 0,0,1C
. Agora necessitamos de dois vetores diretores: 
Fazendo 



















5
2
,
3
2
,0
5
2
,0,00,
3
2
,0ABu

 e 
  












5
2
,0,1
5
2
,0,00,0,1ACv

 
Agora utilizando o ponto 
 0,0,1C
, obtemos: 































5
2
5
2
0
0
3
2
0
101
z
y
x































5
2
5
2
3
2
1
z
y
x
 
Planos perpendiculares 
Sejam os planos 
1
 e 
2
, sendo 
1n

 e 
2n

 os vetores normais a 
1
 e 
2
, 
respectivamente. Então, 
1
 e 
2
 são perpendiculares, se e somente se, 
1n

 e 
2n

 são 
perpendiculares. Logo 
021 nn

. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-17 
31. Verifique se os planos 
1
 e 
2
 são perpendiculares, nos seguintes casos: 
a) 
01104:1  zyx
 e 
023:2  zyx
 Resposta: Sim. 
b) 
0:1  yx
 e 









1
:2
z
y
x
 Resposta: Não. 
32. Determine m de modo que os planos 
1
 e 
2
 sejam perpendiculares, nos seguintes 
casos: 
a) 
0:1  zyxm
 e 
01:2  zmymx
 Resposta: 
0m
. 
b) 
013:1  zyxm
 e 
01:2  ymxm
 Resposta: 
0m
 ou 
1m
. 
c) 
0:1  mzyx
 e 
0:2  myx
 Resposta: m qualquer. 
Ângulo entre planos 
O ângulo entre os planos 
1
 e 
2
 é o ângulo entre duas retas 
1r
 e 
2r
, perpendiculares 
a 
1
 e 
2
, respectivamente. Logo 
21
21
cos
nn
nn





, sendo 
1n

 e 
2n

 os vetores diretores de 
1r
 
e 
2r
, respectivamente. 
 
33. Encontre o ângulo entre os planos 
1
 e 
2
, sendo: 
015114:1  zyx
 e 
0:2  zx
 
 5,11,41 n

 
 1,0,12 n

 
      915011141,0,15,11,421 nn

 
  1625114 2221 n

 
2101 2222 n

 
Logo
21
21
cos
nn
nn





32
1
2162
9
cos




 
34. Encontre o ângulo entre os planos 
1
 e 
2
, sendo: 
1:1  zyx
 e 
0:2  z
 Resposta: 
3
3
cosarc
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-18 
Intersecção de planos 
Sejam os planos 
1
 e 
2
, sendo 
1n

 e 
2n

 os vetores normais a 
1
 e 
2
, 
respectivamente. Se 
1n

 e 
2n

 não forem paralelos (o que equivale a dizer que 
021

 nn
), 
então 
1
 e 
2
 se intersectam e a intersecção é uma reta r. 
Temos ainda que 
21 nn


 é um vetor diretor da reta r. Um ponto de r pode ser obtido 
pelas equações dos planos. 
 
35. Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos: 
02:1  zyx
 e 
012:2  zyx
 
 1,1,21 n

 
 1,2,12 n

 
kji
kji
nn















 531
121
112det21Para obter um ponto de r, podemos fazer, por exemplo x = 0 nas equações dos planos. 
Neste caso obtemos o sistema: 





012
0
zy
zy cuja solução é y = z = 1 . 
Assim, um ponto da reta procurada é 
 1,1,0 P
. Desta forma, as equações 
procuradas são: 









czz
byy
axx
0
0
0  
 
 







51
31
10
z
y
x









51
31
z
y
x
 
36. Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos: 
0:1  zyx
 e 
1:2  zyx
 
Resposta: 












2
1
2
2
1
2
z
y
x
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-19 
Intersecção entre reta e plano 
37. Ache a intersecção da reta r com o plano 

, sendo: 
r :








z
y
x
3
22
 e 
0642:  zyx
 
Substituindo x, y e z da reta no plano, obtemos: 
      0634222  2
. 
Logo, temos que: 








z
y
x
3
22  
 
 







2
23
222
z
y
x









2
1
6
z
y
x
 
Então, o ponto procurado é 
 2,1,6 P
. 
38. Ache a intersecção da reta r com o plano 

, sendo: 
r : é a intersecção dos planos 
0:1  zyx
 e 
12:2  zyx
 e 

 é dado pela 
equação geral: 
02  yx
. 
O ponto procurado é a intersecção dos três planos, isto é, a solução do sistema: 








02
12
0
yx
zyx
zyx

Solução: 







7
3
,
7
1
,
7
2
P
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3-20 
3.3 Distâncias 
3.3.1 Distância entre pontos 
3.3.2 Distância entre ponto e reta 
3.3.3 Distância entre ponto e plano 
3.3.4 Distância entre retas 
3.4 Referências Bibliográficas 
 
1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e 
Editora Unificado, 1984. 
2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial. 
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. 
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997. 
4. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 
5. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas 
e Editora Unificado, 1987.