Oscilações mecânicas

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Capítulo 13 
Oscilações mecânicas 
Prof: José Luiz Fernandes Foureaux 
Apresentação 
2 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Energia VIBRANDO em diferentes frequências dá origem às partículas 
elementares que constituem TUDO o que existe no universo! É o que diz a 
Teoria das cordas... (“A teoria das cordas é um modelo físico cujos blocos 
fundamentais são objetos extensos unidimensionais, semelhantes a 
uma corda, e não pontos sem dimensão (partículas), que eram a base da 
física tradicional.” - http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_cordas) 
“O Om (ॐ) é o mantra mais importante do hinduísmo e outras religiões; é 
a vibração primordial que deu origem a tudo que existe. Estar em 
sintonia com este mantra e pratica-lo é estar cada vez mais próximo do 
Criador, da Fonte que Tudo é, Brahman.” (http://www.ladozen.com.br/textos/40) 
Vibração... Oscilação... Desde antigos textos religiosos, passando por 
teorias recentes da Física até chegar à tecnologia que nos cerca em 
nosso dia a dia (corrente alternada, rádio, televisão, celulares, internet, 
wifi, infravermelho, etc) vibrações se fazem presentes em nossa vida. 
Neste capítulo iniciamos o estudo deste assunto na Física. 
Sumário 
Seção 1: Introdução 
Seção 2: Movimento Harmônico Simples 
Seção 3: Oscilador massa-mola 
Seção 4: Pêndulo simples 
Seção 5: Pêndulo de torção 
Seção 6: Pêndulo físico 
Seção 7: Oscilações forçadas - Ressonância 
Seção 8: Composição de oscilações 
Seção 9: Considerações de energia 
3 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Objetivos específicos 
Ao terminar o estudo deste capítulo você deverá ser capaz de: 
1. Definir 
a. movimento periódico 
b. oscilação 
c. período 
d. frequência 
e. elongação 
f. amplitude 
2. Definir MHS 
3. Descrever o MHS como projeção do MCU 
4. Citar a equação do MHS 
5. Calcular 
a. posição 
b. velocidade 
c. aceleração 
d. fase 
e. diferença de fase 
no MHS 
4 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Objetivos específicos 
Ao terminar o estudo deste capítulo você deverá ser capaz de: 
6. Descrever as transformações de energia que ocorrem 
num corpo em MHS 
7. Descrever o comportamento de um oscilador massa-mola 
8. Citar a equação característica do oscilador massa-mola 
9. Calcular os elementos envolvidos 
10.Descrever as transformações de energia no oscilador massa-mola 
11.Descrever o pendulo simples 
12.Citar a equação que permite calcular o período do pendulo simples 
13.Determinar a aceleração da gravidade com o pendulo simples 
14.Descrever o experimento do pendulo de Foucault 
15.Descrever a constituição e o funcionamento do pendulo de torção 
16.Calcular o período do pendulo de torção 
17.Usar o pendulo de torção para determinar o momento de inércia de um 
corpo 
18.Conceituar pendulo físico 
5 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Objetivos específicos 
Ao terminar o estudo deste capítulo você deverá ser capaz de: 
19.Determinar 
a. período 
b. comprimento reduzido 
do pendulo físico 
20.Explicar o que se entende por oscilações forçadas 
21.Conceituar ressonância 
22.Descrever como ocorre a ressonância entre 2 osciladores harmônicos 
23.Citar as leis da ressonância 
24.Descrever como o amortecimento afeta o MHS 
25.Descrever como se dá a composição 
a. de um MHS com um MRU 
b. de 2 MHS de mesmo T, mesma A, em fase, 
c. com diferença de fase T/2, 
d. com A e fases diferentes 
26.Explicar 
a. o que são 
b. quando ocorrem 
as figuras de Lissajous. 
6 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pré-requisitos 
Antes de iniciar o estudo do atual capítulo você já deverá ser capaz 
de lidar satisfatoriamente com os seguintes assuntos: 
 
Capítulo 2: Medidas e unidades 
Capítulo 5: Representação gráfica de funções 
Capítulo 6: Cinemática escalar 
Capítulo 8: Vetores e Cinemática vetorial 
Capítulo 9: Relação entre força e movimento 
Capítulo 11: Trabalho e energia 
 
Funções trigonométricas (seno e coseno) 
Derivada das funções trigonométricas 
7 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Introdução 
Relembrando o MCU 
8 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Estado em que se acha um corpo que, após intervalos iguais de tempo, 
passa pelo mesmo ponto de sua trajetória com velocidade de mesma 
intensidade, mesma direção e mesmo sentido. 
Exemplos: 
MCU 
Movimento de um pêndulo 
Vibrações mecânicas: Lâmina, corda 
 
http://www.youtube.com/watch?v=4cmiFp0Iays (33 s) 
Introdução 
Movimento periódico 
9 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilação 
Movimento periódico que se produz para um lado e para outro de uma 
posição de equilíbrio.. 
Exemplo: 
Massa de ar no interior de um tubo sonoro 
http://www.youtube.com/watch?v=T5o-SAHdlnI (41 s) 
Introdução 
10 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Outros exemplos 
http://www.youtube.com/watch?v=VKtEzKcg6_s (8:17 ) 
Introdução 
11 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Um exemplo final 
http://www.youtube.com/watch?v=RmeZnW8Nc_A (44 s) 
Introdução 
12 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Prédios em Tóquio (Japão) durante um terremoto 
Período e frequência 
Período 
Tempo para descrever uma oscilação completa. 
Unidade SI: segundo (s) 
Frequência 
Número de oscilações descritas na unidade de tempo. 
Unidade SI: s-1 = hertz (Hz) 
A frequência de um movimento oscilatório é 1 Hz quando o objeto 
descreve 1 oscilação por segundo. 
13 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Relação entre a frequência e o período 
 1
1
1
Tf
T
f
f
T
T
f
1
1


1 oscilação = período T 
f oscilações = 1 segundo 
14 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Movimento Harmônico Simples 
MHS 
15 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Conceitos de Trigonometria 
Revisão 
MHS 
Estado em que se acha um corpo que se desloca para um lado e para 
outro de uma posição de equilíbrio pela ação de uma força 
constantemente dirigida para a posição de equilíbrio e cuja intensidade é 
proporcional ao deslocamento do corpo. 
Posição de 
equilíbrio 
d 
2d 
F 2F 
Ver simulação 
MHS 
Definição 
16 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
O movimento de um ponto é MHS quando sua trajetória é uma reta e 
a equação do movimento é da forma 
)
2
(   t
T
senAkx
Onde k, A, T e Φ são constantes. 
(eq. 13.1) 
)
2
cos(   t
T
Akx
(eq. 13.1) 
ou, o que, em se tratando de solução de equação diferencial, é a 
mesma coisa: 
MHS 
Outra definição 
17 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
MHS como projeção do MCU 
Raios luminosos 
paralelos 
Sombra 
projetada 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
K L M N O 
Enquanto o disco vermelho 
percorre a circunferência 
tracejada, descrevendo MCU, sua 
sombra percorre a reta KLMNO, 
descrevendo um MHS. 
Ver simulação 
MHS 
18 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Elongação e amplitude 
Elongação 
De um corpo em MHS é a distância 
que separa o corpo da posição de 
equilíbrio (M) em um determinado 
instante. Por exemplo, MN na figura 
ao lado. Representaremos a 
elongação por “x”. 
Amplitude 
De um corpo em MHS éo maior 
valor da elongação. Por exemplo ME 
na figura ao lado. Representaremos 
a amplitude por “A”. 
I 
B D 
E 
F 
H 
M 
A 
N 
x 
MHS 
19 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Raios luminosos 
paralelos 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
O 
O’ D’ 
D’’ 
α 
α 
x 
)
2
(
2
''''
.
t
T
Asenx
t
T
t
senAx
A
x
sen
OD
DO
OD
OD
sen
hipotenusa
opostocateto
sen











(eq. 13.2) 
A equação do MHS 
MHS 
20 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
x 
t 
A 
-A 
4
T
2
T
4
3T
T
)
2
( t
T
Asenx 

Nos instantes t = 0, t = T/2 e t = T, 
0)
2
(  t
T
sen
 e por isso x = 0. 
Nos instantes t = T/4 e 3T/4, 
1)
2
(  t
T
sen
 e por isso x = ±A. 
Gráfico X x t 
MHS 
21 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
)
2
( t
T
Asenx 

Lembre-se que o gráfico mostra 
COMO A POSIÇÃO VARIA COM O TEMPO. 
O gráfico 
NÃO É 
a trajetória do corpo! 
http://www.youtube.com/watch?v=Eq8XaVH3l1A 
18 s 
Importante! 
MHS 
22 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Um corpo descreve um MHS de amplitude A = 20 cm e período T = 10 s. 
a) Qual a posição do corpo no instante t = 0 s? 
b) Qual a posição do corpo no instante t = 10 s? 
c) Em que instante o corpo passa pela posição x = -20 cm? 
)
2
( t
T
senAx 



cmxsensenx 0020020)0
10
2
(20 

cmxsensenx 0020)2(20)10
10
2
(20  
sttttarcsen
tsentsentsen
5,7
2
155
2
3
2
3
52
3
)1(
1)
5
()
10
2
(
20
20
)
10
2
(2020







a) 
b) 
c) 
Exercício 1 
MHS 
23 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
t = 7,5 
O período (tempo para uma oscilação completa) é T = 10 s. 
A = 20 cm A = 20 cm 
t = 0 t = 2,5 
t = 5 
t = 10 
x = 20 x = -20 x = 0 
Exercício 1 – o porque da resposta 
MHS 
Posição inicial Posição final 
24 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
O 
O’ D’ 
D’’ 
α 
α 
α 
V 
VX 
VX 
)
2
cos(
2
2
)cos(
cos
cos
t
T
A
T
V
T
tAV
t
AV
VV
AVAR
RV
x
x
x
x

















Para o círculo vermelho: 
Essa velocidade é a velocidade do 
corpo em MHS 
Velocidade 
MHS 
(eq. 13.3) 
25 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
)
2
cos(
2
2
)cos(
))((
)(
t
T
A
T
v
T
tAv
tsenA
dt
d
v
dt
dx
v
tsenAx











(eq. 13.3) 
Outra maneira de deduzir a equação da velocidade 
MHS 
26 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
22
2222222
22222
2
222
222
2
2
22
2
22
2
2
2
22
)()(
11
1cos
xAV
xAVxAV
xAV
A
Ax
AV
A
x
A
V
A
V
A
x
sen


















(eq. 13.4) 
Da equação da posição vem: 
Da equação da velocidade vem: 
A
x
tsentsenAxt
T
senAx 

 )()()
2
( 
A
V
ttAV

  )cos()cos(
Como tem-se: 
Velocidade em função da elongação 
MHS 
27 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Qual será a velocidade do corpo do exercício anterior (A = 20 cm e 
T = 10 s) nos instantes t = 0 s, t = 2,5 s e t = 5 s? 
)
2
cos(
2
t
T
A
T
v 

Exercício 2 
MHS 
 414)0cos(4)0
10
2
cos(20
10
2




v
t= 0 s: m/s 
004)
2
cos(4)5,2
10
2
cos(20
10
2




 vt= 2,5 s: m/s 
 4)1(4)cos(4)5
10
2
cos(20
10
2




v
t= 5 s: m/s 
28 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
)
2
cos(
2
t
T
A
T
v 

t = 7,5 
A = 20 cm A = 20 cm 
t = 0 
t = 2,5 t = 5 
t = 10 
x = 20 x = -20 x = 0 
Ponto de partida 
Velocidade (V>0) 
diminui 
Velocidade (V<0) 
aumenta 
Velocidade (V < 0) 
diminui 
Velocidade (V>0) 
aumenta 
Movimento 
inverte 
V = 0 
Movimento 
inverte 
V = 0 
Velocidade 
máxima 
Exercício 2 – o porque da resposta 
MHS 
29 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
O 
O’ D’ 
D’’ 
α 
α 
aC 
ax 
xa
senAx
senAaAa
senaa
a
a
sen
x
xc
cx
c
x




2
22




Como a variação da elongação é 
sempre oposta à velocidade (x 
diminui quando Vx aumenta e vice-
versa) “x” e “ω” têm sinais contrários. 
Por isso 
xax 
2
Aceleração 
MHS 
(eq. 13.5) 
30 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
xa
xtsenA
tsenAa
tsenA
dt
dv
a
tAv





2
2
)(
)(
)()(
)cos(





Como 
(Eq. 13-5) 
Outra maneira de deduzir a equação da aceleração 
MHS 
31 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
O 
O’ D’ 
D’’ 
α 
α 
aC 
ax 
Pela segunda lei de Newton a força 
resultante é proporcional à 
aceleração e tem a mesma direção e 
sentido que ela, logo: 
xmF
xmF
amF
amF
x
x
xx




2
2 )(


A força “Fx” é proporcional à 
elongação “x” e sempre dirigida 
para a posição de equilíbrio. 
(Eq.13-6) 
Força 
MHS 
32 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Raios luminosos 
paralelos 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
O D’’ 
α 
x 
No MCU “fase” é o ângulo “α” que o 
raio vetor do ponto faz com o eixo 
tomado como referência. 
Considerando o MHS da sombra do 
ponto, desse ângulo dependerá o 
“estado de movimento” da sombra, 
ou seja, a posição que ela ocupa e o 
sinal de sua velocidade. Como 
t
T
t







2
é a fase do MHS. 
(Eq. 13-7) 
Fase 
MHS 
33 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Se dois MHS têm mesmo período “T”, eles são “síncronos”. Se eles 
começam juntos eles estão “em fase”, ou “em concordância de fase”. Se 
não começam juntos, existe entre eles uma “defasagem”, ou “diferença 
de fase”. A “diferença de fase” é o atraso (ou adiantamento) de um 
movimento em relação ao outro. 
1
2
1
1
2
1
1
1
)cos(
)(
xmF
xa
tAv
tsenAx








2
2
2
2
2
2
2
2
)cos(
)(
xmF
xa
tAv
tsenAx








Ver 
simulação 
Diferença de fase 
MHS 
34 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilador massa-mola 
35 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
http://pt.wikipedia.
org/wiki/Oscilador_
harm%C3%B4nico 
A força restauradora (resultante) é dada pela lei de Hooke: 
A equação do oscilador massa-mola fica: 
XkF 
0
2
2
 kX
dt
xd
m
)cos(   tAx
(Eq. 13.8) 
(Eq. 13.9) 
Equação do OMM e sua solução 
Oscilador massa-mola 
36 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações- prof. Foureaux 
Funções matemáticas periódicas para as quais a derivada segunda é a 
própria função com o sinal trocado são o seno e o coseno. Por isso a 
solução da equação acima é 
Ver simulação 
A velocidade é 
)(   tAsenV
dt
dx
v
e a aceleração 
)cos(2
2
2
  tAa
dt
xd
dt
dV
a
(Eq. 13.10) 
(Eq. 13.11) 
Velocidade e aceleração 
Oscilador massa-mola 
37 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
k
m
TT
m
k
m
k
tA
m
k
tA
x
m
k
akxamkxF





2
2
)cos()cos(
.
2
2






Substituindo a expressão da aceleração na lei de Hooke: 
(Eq. 13.12) 
(Eq. 13.13) 
Outras relações 
Oscilador massa-mola 
38 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
f
TT
m
k
f
T
f






2
1
2
2
2
11
(Eq. 13.14) 
(Eq. 13.15) 
Outras relações 
Oscilador massa-mola 
39 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico 
Para saber mais 
Um corpo oscila com MHS de acordo com a equação 
)
3
3cos(6
  tx
m 
Quais são, no instante t = 2 s: 
a) A elongação 
b) A velocidade 
c) A aceleração 
Achar também: 
d) A fase inicial 
e) A pulsação 
f) O período do movimento 
mx 35,06)
3
19
cos(6)
3
23cos(6 

s
m
sensenV   39)
3
19
(18)
3
23(63
2
222 273)3(
s
m
xa  
rad
3

 
s
rad
  3
sT
T
67,0
3
222







 



Fonte: Física – Resnick.Halliday – parte 1 – cap. 15 – prob. 3 
Exercício 3 
Oscilador massa-mola 
40 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Quando forças de resistência (atrito) estão presentes, o movimento é 
amortecido. 
A força de resistência geralmente é proporcional à velocidade (FR = b x V, 
onde “b” é uma constante), e SEMPRE SE OPÕE AO MOVIMENTO! 
A força de resistência atua simultâneamente com a força restauradora (que 
SEMPRE APONTA PARA A POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO): 
 
FR 
FR 
Movimento Harmônico amortecido 
Oscilador massa-mola 
41 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
A equação do movimento fica 
)'(2  

tseneAx
t
m
b
(Eq. 13.16) 
Nessa equação: 
“X” é a elongação 
“A” é a amplitude (sem amortecimento) 
“e” é a base dos logaritmos naturais 
(e = 2,71828...) 
“b” depende do atrito e caracteriza o 
amortecimento 
“m” é a massa do corpo 
“ω’ ” é a pulsação 
“t” é o tempo 
Θ é a fase inicial 
0
2
2
2
2


kX
dt
dX
b
dt
Xd
m
kX
dt
dX
b
dt
Xd
mXkVbamamF
Movimento Harmônico amortecido - Equação 
Oscilador massa-mola 
42 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Se “b” é pequeno a solução é: 
Comparando a equação 
com a equação do MHS 
)( tsenAx  
é fácil perceber que a amplitude do movimento amortecido 
t
m
b
eAA 2'


diminui à medida que o tempo aumenta, tendendo para 0. 
A frequência natural do sistema, ω’, também diminui: 
2)
2
('
m
b
m
k

e o período (T = 1/f ) aumenta. 
Se “b” for grande a solução não vale. O corpo não oscila. 
(Eq. 13.17) 
(Eq. 13.18) 
Movimento Harmônico amortecido – Análise da equação 
Oscilador massa-mola 
A Matemática 
permite prever 
que o oscilador 
irá parar! 
43 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
)'(2  

tseneAx
t
m
b
http://www.youtube.com/watch?v=7NBlrmSx4EU (33 s) 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream
/handle/mec/10642/amortecido.swf?sequence=1 
Versão original (em Flash) 
Comparação MHS com MHA 
Oscilador massa-mola 
44 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Supercrítico 
 
As duas forças se equivalem. O 
amortecimento fica entre os dois anteriores. 
Amortecimento crítico. 
subcrítico 
Supercrítico 
 
crítico 
Ver simulação 
Força restauradora x força de atrito 
Oscilador massa-mola 
Como o corpo irá se mover depende da relação entre a força 
restauradora (força que faz o corpo voltar para a posição de equilíbrio – 
é a responsável pela oscilação) e a força de atrito. Três situações podem 
ocorrer: 
A força restauradora tem mais influência 
que o atrito – amortecimento fraco ou 
subcrítico. A amplitude diminui 
gradativamente até o corpo parar. 
A força de atrito prevalece sobre a 
força restauradora. Não há oscilação 
e o corpo tende lentamente para a 
posição de equilíbrio. Amortecimento 
forte ou supercrítico. 
45 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pêndulo simples 
46 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
http://es.wikipedia.org/
wiki/P%C3%A9ndulo 
Pêndulo 
Relógio de 
pendulo 
O nome vem do latim “pendulus” = pendente. 
Existem muitos tipos... 
Pêndulos usados 
no Esoterismo 
Metrônomo 
Pêndulo de Newton 
47 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pêndulo simples ou pêndulo matemático 
Corpo de massa “m” e tamanho desprezível (massa puntiforme) 
suspenso por um fio inextensível e sem massa a um ponto fixo “O”, 
chamado centro de suspensão. 
A distância entre “m” e “O” é o comprimento “L” do pendulo. 
m 
L 
O 
48 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pêndulo simples em repouso 
P 
As forças que atuam sobre o corpo são o peso 
(P = m.g) e a tração do fio. Como T = P a resultante é zero. 
Essa posição é chamada “posição de equilíbrio” do pêndulo. 
Na posição de equilíbrio o prumo indica a direção vertical. (O que 
é vertical de um lugar? Por que o prumo mostra a vertical?) 
T 
É o “fio de prumo” do pedreiro. 
49 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Escolhendo o eixo y na direção do fio, e o eixo 
x tangente ao arco descrito pelo pêndulo, o 
peso pode ser decomposto em 2 componentes: 
• A radial, N, igual à tensão no fio, 
responsável pela mudança da direção da 
velocidade, 
• A tangencial, F, que é a força restauradora, 
sempre dirigida para a posição de 
equilíbrio. 
Para valores pequenos de Ө (medido em rad!) 
podemos fazer senӨ = Ө. 
 
 
 
A força F fica proporcional ao deslocamento e 
o movimento pode ser considerado MHS. 
PF ~Posição de 
equilíbrio 
A 
B 
C 
P 
F 
θ 
θ P 
F 
θ 
θ N N 
T T 
cos PTN
(Eq. 13.19) 
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo 
Animação copiada de 
Pêndulo simples oscilando 
senPF 
50 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Sendo MHS, as equações são as mesmas anteriores, em “formato” 
angular, ou seja: 
)(max tsen  
)cos(max tV
dt
d
v  
  2max2 )( atsen
dt
dv
a
(Eq. 13.20) 
(Eq. 13.21) 
(Eq. 13.22) 
Pêndulo simples oscilando 
As mesmas equações do MHS 
51 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Lei do isocronismo das pequenas oscilações 
Para oscilações de pequena amplitude (<5º) o período de 
oscilação é constante e independente da amplitude. 
g
L
T  2
Essa lei foi descoberta por Galileu 
Galilei por volta de 1640. 
Ver simulação 
(Eq. 13.23) 
O valor do período é dado por 
Pêndulo simples 
Para pêndulos de mesmo comprimento, situados no mesmo local, 
a duração da oscilação independe da massa e da substância de 
que o pendulo é feito. 
52 Curso de Física - capítulo13 - Oscilações - prof. Foureaux 
g
L
T
mg
mL
L
mg
m
T


2
22


Dedução da equação do período 
x
L
mg
P
L
x
mgP
L
x
mgP
sen
mgP
mgsenP
mgP
xx
x
y
x











cos
P 
PX 
PY 
Ө 
(só quando Ө é pequeno!) 
O período do oscilador harmônico é 
k
m
T  2
(A força não é proporcional ao deslocamento. O 
movimento não é MHS!) 
(O movimento passou a ser MHS! O pêndulo é um OHS) 
Por isso a massa 
não influi! 
Pêndulo simples 
(Tipo F = k.X) 
(Eq. 13.23) 
53 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Em 1656 o holandês Christian Huyghens construiu 
o primeiro relógio de pêndulo. Isso melhorou a 
precisão na medida do tempo de 15 minutos por 
dia para 15 segundos por dia, com inúmeras 
conseqüências. 
O relógio de pendulo passou por sucessivos 
melhoramentos, desde o uso da ciclóide para 
tornar o período realmente independente da 
amplitude, o mecanismo de escape de âncora, 
artifícios para tornar o período independente 
da temperatura (dilatação térmica), etc. 
Foi o dispositivo mais preciso para se medir 
tempo até a 2ª guerra mundial, só foi superado 
após a invenção (em 1927) do oscilador 
controlado a cristal de quartzo. 
Aplicação: Medição do tempo 
Pêndulo simples 
54 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Quem pela primeira vez sugeriu que o pêndulo poderia ser usado para 
medir a força da gravidade foi Robert Hooke, em 1666. 
Em 1671 Jean Richer descobriu que um relógio de pêndulo atrasava 2 
minutos e meio por dia quando levado de Paris para Caiena. Issac Newton 
mostrou em 1687 que isso acontecia por que a Terra não é uma esfera 
perfeita, sendo achatada nos pólos por causa da força centrípeta, e que 
por isso a gravidade aumenta com a latitude. Isso fez com que o pendulo 
passasse a ser usado como gravímetro de precisão, e resultou em 
diversos modelos para a forma da Terra. 
Usando um pêndulo simples a aceleração da gravidade pode ser 
calculada por 
2
24
T
L
g



(Eq. 13.24) 
Aplicação: Gravimetria 
Pêndulo simples 
55 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
O experimento de Foucault fundamenta-se no fato de que o plano de 
oscilação do pêndulo permanece constante no espaço. 
O tempo para uma volta completa é 
 
 
 
onde q é a latitude. No polo t é 24 h, no equador t é infinito. 
O experimento foi realizado em 1851. A massa do pêndulo era 28 kg, 
tinha 67 m de comprimento , período de 17 s. Em 1 h o plano de oscilação 
girou 11º, e em 32 h completaria a circunferência (oscilou durante 6 h) 
Jean Bernard Léon Foucault(1819-1868). Além do 
experimento com o pêndulo propôs um método para medir a 
velocidade da luz, descobriu as “correntes de Foucault” no 
eletromagnetismo e inventou o giroscópio (1852). Uma das 
crateras da Lua tem o seu nome. 
Demonstração experimental da rotação da Terra 
Pêndulo simples 
56 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
)(
24
qsen
t 
Pêndulo de Foucault – Museu de Valencia 
http://www.youtube.com/watch?v=fv_FD5lCwUA 
Pêndulo simples 
57 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 4 
Qual é o comprimento de um pêndulo que “bate o segundo” (o período 
T = 1 s) num local onde g = 9,8 m/s2 ? 
mL
L
gT
L
g
L
T
g
L
T
25,0
4,39
8,9
)14,3(4
8,91
4
42
2
2
2
22







g
L
T 2
Pêndulo simples 
58 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Um pendulo está suspenso no teto de um elevador parado e seu 
período é determinado. Descreva as mudanças do período, se houver, 
quando: 
a) O elevador acelera para cima 
b) O elevador acelera para baixo 
c) O elevador se move com velocidade constante. 
g
L
T 2
).(.... gamTgmamTgmTam 
a) Aceleração > g. T diminui (pêndulo oscila mais rápido) 
).(.... agmTamgmTTgmam 
b) Aceleração < g. T aumenta (pêndulo mais lento) 
gmTam .0. 
c) Aceleração = g. T não varia. 
59 
Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - 
prof. Foureaux 
Exercício 5 
Pêndulo simples 
Um homem trabalha numa torre muito alta e precisa saber sua altura. 
Ele observa que um pêndulo longo se estende do teto até o chão e o 
seu período é 12 s. Qual a altura da torre? 
mL
L
gT
L
g
L
T
g
L
T
8,35
4,39
2,1411
)14,3(4
8,9)12(
4
42
2
2
2
2
22







60 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 6 
Pêndulo simples 
g
L
T 2
(UFRS) A figura a seguir representa seis pêndulos simples, que estão 
oscilando num mesmo local. 
O pêndulo P executa uma oscilação completa em 2 s. Qual dos outros 
pêndulos executa uma oscilação completa em 1 s? 
mL
L
gT
L
g
L
T
g
L
T
25,0
4,39
8,9
)14,3(4
8,91
4
42
2
2
2
22








61 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 7 
Pêndulo simples 
g
L
T 2
Pêndulo de torção 
62 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
(http://scienceblogs.com.br/caderno/) 
Ver simulação 
Consiste de um fio de seção reta circular suspenso verticalmente, com 
a extremidade superior fixa e a extremidade inferior presa a um corpo 
de momento de inércia conhecido 
I
k

k
I
T  2
Frequência angular 
Período 
K – coeficiente de torção do 
fio 
I – momento de inércia 
(Eq. 13.25) 
(Eq. 13.26) 
m
k

Para comparar 
Oscilador massa-mola 
Conhecido “k” e medido “T” pode-se determinar experimentalmente “I” 
para qualquer corpo! 
63 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pêndulo de torção 
Coeficiente de torção e momentos de inércia 
L
D
Gk
4
32


D – diâmetro da haste 
L – comprimento 
G – Módulo de rigidez (ou de elasticidade) 
2
2MR
I 
12
2ML
I 
5
2 2MR
I 
Momento de inércia de um cilindro 
maciço em torno do eixo do cilindro 
Momento de inércia de uma vareta delgada em 
torno da perpendicular ao eixo (ponto médio) 
Momento de inércia de uma esfera 
maciça em torno de qualquer diametro 
(Eq. 13.27) 
64 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pêndulo de torção 
Pêndulo físico 
65 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Pêndulo físico ou pêndulo composto 
Qualquer corpo rígido capaz de oscilar num plano vertical em torno de 
algum eixo que passe por ele. 
O período, para oscilações de pequena amplitude é 
Mgd
I
T 2
onde: 
I = momento de inércia do corpo 
M = massa do corpo 
g = aceleração da gravidade 
d = distância do centro de massa ao eixo de oscilação 
A posição de equilíbrio é aquela em que a vertical que passa pelo centro 
de massa passa pelo eixo. 
(Eq. 13.28) 
66 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilações forçadas 
Ressonância 
67 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilações livres e oscilações forçadas 
Oscilação livre é aquela que ocorre quando o corpo é afastado da 
posição de equilíbrio e solto, deixado sob a ação da força restauradora (e 
de eventual força de amortecimento). 
Oscilação forçada é aquela que tem lugar quando uma força oscilatória 
externa atua. Como o corpo irá responder depende da relação entre sua 
frequência natural deoscilação e a frequência da força. 
Admitindo que sobre um corpo capaz de oscilar atue uma força 
restauradora Frest = -kx, uma força amortecedora Famort = -bv, e uma força 
oscilatória Fosc = Fm cos(ω’’.t), onde Fm é o valor máximo da força externa 
e ω’’ a frequência angular, tem-se: 
)''cos(
2
2
tF
dt
dx
bkx
dt
xd
m m 
68 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Quando as duas frequências ω’’ e ω são muito diferentes, o fator “G” é 
grande e a elongação resultante é pequena. 
Quando as frequências ω’’ e ω tem valores próximos, “G” e pequeno e a 
elongação aumenta. 
Quando as duas frequências são quase iguais a elongação atinge um valor 
máximo. O fenômeno é chamado ressonância, e a frequência ω’’ recebe o 
nome de frequência de ressonância. 
Quem limita a elongação, nesse caso, passa a ser o atrito. Se este for 
pequeno, a elongação atinge valores muito altos, podendo originar situações 
perigosas. 
)''(   tsen
G
F
x m
222222 '')''(  bmG 
G
b ''
arccos

 
69 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
ω = frequência natural do oscilador 
ω’’ = frequência da força 
Oscilações livres e oscilações forçadas 
Ressonância 
http://www.youtube.com/watch?v=tnS
0SYF4pYE 
(24s) 
http://www.youtube.com/watch?v=LV_UuzEznHs 
(3:43) 
70 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilações livres e oscilações forçadas 
Frequência natural de oscilação e ressonância 
 Ressonância pode significar perigo! 
http://www.youtube.com/watch?v=3CMlXyV2XnE 
http://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc 
13s 
Ponte de Tacoma (4:25) 
71 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
 Ressonância pode significar perigo! 
http://www.youtube.com/watch?v=fQJry_tQL4E 
(33 s) 
http://www.youtube.com/watch?v=qy1c5_vYTVo 
(40 s) 
72 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Composição de oscilações 
73 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Se as duas frequências (ωx e ωy ) forem iguais e as duas fases iniciais (Өx 
e Өy ) também forem iguais a trajetória resultante será reta. 
Dois MHS simultâneos de mesma frequência e em fase 
Um mesmo corpo pode estar animado de 2 MHS ortogonais simultâneos: 
)cos( xxx tAx  
)cos( yyy tAy  
Se ωx = ωy e Өx = Өy 
x
xxxxx
A
x
ttAx  )cos()cos( 
y
yyyyy
A
y
ttAy  )cos()cos( 
x
A
A
y
A
x
A
y
x
y
xy

que é equação de uma reta (y=k.x) 
74 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Composição de oscilações 
)cos( xxx tAx  
)cos( yyy tAy  
Se as duas frequências (ωx e ωy ) forem iguais e houver uma diferença 
de fase de 90º entre x e y é como se a equação de uma das 
coordenadas (x ou y) fosse função do seno e a outra coordenada fosse 
função do coseno. 
)cos( tAx x  
)( tsenAy y  
75 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Dois MHS simultâneos de mesma frequência e com dif. fase 90º 
Composição de oscilações 
As duas constituiriam as equações paramétricas de uma elipse que, no 
caso de as amplitudes serem iguais, resultariam numa circunferência. 
Ver simulação 
Se as duas frequências forem diferentes o movimento resultante só 
será periódico se uma das frequências for múltiplo inteiro da outra. 
As trajetórias resultantes da composição de 2 MHS constituem as 
figuras de Lissajous. 
76 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Dois MHS simultâneos de frequências diferentes 
Composição de oscilações 
Figuras de Lissajous no osciloscópio 
http://www.youtube.com/watch?v=2_VLdkaXg4I (2:46) 
77 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Composição de oscilações 
(1:50) http://www.youtube.com/watch?v=KYDUUFwtyMM 
78 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Figuras de Lissajous desenhadas com areia 
Composição de oscilações 
Pêndulo duplo de 
Airy-Blackburn 
Considerações de energia 
79 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Conservação da energia no movimento oscilatório 
80 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilador massa-mola 
O trabalho realizado para afastar a massa da posição de equilíbrio fica 
armazenado sob forma de energia potencial elástica na mola deformada. 
Quando a massa é solta essa energia transforma-se em energia cinética, 
em seguida volta a ser potencial elástica, e assim por diante. 
Pêndulos 
O trabalho realizado para afastar a massa pendular da posição de 
equilíbrio fica armazenado sob forma de energia potencial gravitacional. 
Quando a massa é solta essa energia transforma-se em cinética, volta a 
ser potencial gravitacional, e assim por diante. 
2
2
1
mvEc 
mghE
gp
 2
2
1
kxE
Ep

81 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Oscilador Harmônico Amortecido 
A energia cinética vai sendo gradativamente dissipada na forma de calor 
para o ambiente. A energia mecânica diminui gradualmente e por isso a 
amplitude diminui, fazendo o corpo voltar ao repouso. 
Oscilações forçadas 
A força externa realiza trabalho extra, repondo a energia perdida pela 
ação do amortecimento. Em alguns casos (ressonância) a energia 
mecânica aumenta.. 
Na ausência de forças dissipativas a energia mecânica (soma da energia 
cinética com a potencial) é sempre a mesma, em todos os pontos da 
trajetória. 
Conservação da energia no movimento oscilatório 
pcM EEE 
Glossário 
Termos introduzidos neste capítulo. 
Movimento periódico Pêndulo Oscilador amortecido 
Oscilação Pêndulo simples Figura de Lissajous 
Período Pêndulo de torção Força restauradora 
Frequência Pêndulo de Foucault Gravímetro 
Elongação Pêndulo físico Giroscópio 
Amplitude Momento de inércia Módulo de elasticidade 
Movimento harmônico simples Comprimento reduzido Aceleração da gravidade 
Fase Oscilação livre Centro de massa 
Diferença de fase Oscilação forçada Equilíbrio 
Oscilador massa-mola Ressonância Trabalho 
Energia potencial elástica Energia mecânica Energia cinética 
Energia potencial gravitacional Movimento Circular Uniforme Velocidade linear 
Velocidade angular Aceleração centrípeta Movimentos síncronos 
82 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Equações 
Equações introduzidas neste capítulo. 
m
k
f
T
xmF
xa
xAV
tAV
tAsenx
T
f


















2
2
)cos(
)(
1
2
2
22
)cos(
)(
2
2
1
2
0max
0max













tV
tsen
g
L
T
m
k
f
k
m
T
kxF
t
2
2
0
2
2
)
2
('
'
)'(
m
b
m
k
AeA
tsenAex
a
t
m
b
t
m
b









83 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Biografias 
Pessoas mencionadas no capítulo 
Galileu Galilei 
Christian Huyghens 
Robert Hooke 
Jean Richer 
Isaac Newton 
Jean Bernard Leon Foucault 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Galileu_Galilei 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke 
http://es.wikipedia.org/wiki/Jean_Richer 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jean_Bernard 
_L%C3%A9on_Foucault 
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton 
http://www.mcnbiografias.com/app-
bio/do/show?key=lissajous-jules-antoine 
JulesAntoine Lissajous 
84 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Atividades propostas 
As atividades a seguir apresentam situações que devem ser resolvidas 
aplicando a teoria estudada. 
 
Destinam-se, além de ilustrar onde e como a teoria pode ser usada, a 
oferecer oportunidade de fixar os conhecimentos adquiridos. 
 
Sugerimos que você leia primeiro o enunciado, procurando entender a 
situação descrita. 
Em seguida procure identificar as grandezas que são conhecidas e, após, 
o que se quer determinar. Assim você conseguirá descobrir (se for o 
caso), qual(is) equação(ões) deve(m) ser usada(s). 
 
Consulte o texto, as fontes indicadas, discuta com seus colegas, verifique 
se não se trata de dúvidas frequentes... Em último caso procure o 
professor, em sala de aula ou através do fórum. 
85 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Atividades propostas 
Exercícios do livro Sears: 
Capítulo 13 
Exercícios 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 30, 33, 42, 43, 44, 45, 47 
Capítulo 13 do livro Sears (em espanhol) 
http://www.slideshare.net/joseantonio2809/capitulo-13-sears 
86 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 8 
Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma 
amplitude de 2,2 cm e uma frequência de 6,6 Hz? 
2
22 8,37022,0)47,41(
47,416,614,322
s
m
Aa
s
rad
f




87 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 9 
Uma partícula com uma massa de 1,0 × 10-20 kg descreve um movimento 
harmônico simples com um período de 1,0×10-5 s e uma velocidade 
máxima de 1,0 × 103 m/s. Calcule 
(a) a frequência angular 
(b) o deslocamento máximo da partícula. 
m
v
AAv
s
rad
T
3
5
3
5
5
106,1
102
101
102
101
22












88 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 10 
Em um barbeador elétrico a lâmina se move para frente e para trás, ao 
longo de uma distância de 2 mm, em um movimento harmônico simples 
com uma frequência de 120 Hz. Determine 
(a) a amplitude 
(b) a velocidade máxima da lâmina 
(c) o módulo da aceleração máxima da lâmina. 
s
m
Aa
s
m
Av
s
rad
f
mmm
mm
A
5,568101)240(
75,010124024012022
1011
2
2
322
3
3








89 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 11 
Um sistema oscilatório bloco-mola oscilante leva 
0,75 s para começar a repetir seu movimento. Determine 
(a) o período 
(b) a frequência em Hertz 
(c) a frequência angular em radianos por segundo. 
s
rad
f
Hz
T
f
sT
35,833,122
33,1
75,0
11
75,0




90 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 12 
Um alto-falante produz um som musical através das oscilações de um 
diafragma cuja amplitude é limitada a 1 µm. 
(a) Para que frequência o módulo da aceleração do diafragma é igual a 
“g”? 
(b) Para frequências maiores, “a” é maior ou menor que “g”? 
Hzff
s
rad
gRa
500
2
1013,3
2
2
1013,3
101
8,9
101
3
3
6
622














b) Maior, por que “f” é proporcional a ω e ω é proporcional a “g” 
91 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 13 
Na figura duas molas iguais, de constantes elásticas 7580 N/m, estão 
ligadas a um bloco de massa 0,245 kg. Qual é a frequência de oscilação 
no piso sem atrito? 
Hzff
m
k
f
f
m
k
m
N
k
XkF
8,39
245,0
15160
2
1
2
2
160.1575802









92 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 14 
Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em 
um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do 
sistema), a velocidade e a aceleração são x = 0,1 m, 
v = −13,6 m/s e a = −123 m/s2. Calcule 
(a) a frequência de oscilação, 
(b) a massa do bloco 
(c) a amplitude do movimento. 
kg
k
m
m
k
Hzf
s
rad
Xa
33,0
1230
400
6,5
2
1,35
2
1,35
1,0
123
2
2








93 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 14 (continuação) 
mA
AAA
AA
ttsen
A
tsentAsenv
A
ttAx
4,0
01,1232
28,197
1
01,1232
32,1296,184
1
01,1232
96,18401,0
1)
1,35
6,13
()
1,0
(1cos
6,13
1,0
coscos
222
2222











94 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 15 
Determine a energia mecânica de um sistema bloco-mola com uma 
constante elástica de 1,3 N/cm e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm. 
JE
XkEE
mcmx
m
N
cm
N
k
m
pm
2
222
2
1074,3
)104,2(130
2
1
2
1
104,24,2
1303,1







95 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 16 
Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,0 J, 
uma amplitude de 10 cm e uma velocidade máxima de 1,2 m/s. Determine 
(a) a constante elástica, 
(b) a massa do bloco 
(c) a frequência de oscilação 
Hzfff
m
k
kgmmVmE
m
N
kkXkE
c
p
9,1
2
39,1
200
2
39,1)2,1(
2
1
1
2
1
200)1,0(
2
1
1
2
1
22
22







96 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 17 
Suponha que um pêndulo simples consiste em um pequeno peso de 60,0 g 
na extremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo θ entre a 
corda e a vertical é dado por 
θ = (0,0800 rad)cos[(4,43 rad/s)t + φ] 
quais são 
(a) o comprimento do pêndulo 
(b) sua energia cinética máxima? 
mL
g
L
T
sT
T
5,0
4
8,9)42,1(
2
42,1
43,4
22
2
2









97 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Exercício 17 (continuação) 
L d 
h 
d + h = L 
 
d = L.cosӨ = 0,5.cos0,08 
 =0,5.0,9968 = 0,4984 m 
 
h= 0,5 – 0,4984 = 0,0016 m 
 
Ep = m.g.h = 60 x 10
-3 . 10 .0,0016 
 = 9,6 x 10-4 J 
98 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
Para ir além 
É evidente que esse capítulo não esgota completamente o assunto 
tratado. Caso você deseje aprofundar o estudo, indicamos abaixo outras 
fontes que você pode consultar. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous 
Gravimetria 
http://www.ufrgs.br/museudetopografia/artigos/gravimetria.pdf 
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Foucault0.html 
Animação mostrando o princípio do Pendulo de Foucault 
99 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
http://www.fis.unb.br/gefis/index.php?option=com_content&view=article&id=124&Itemid
=237&lang=pt 
http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_28.asp 
http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Systemes/pendule_double.html 
Figuras de Lissajous 
Pêndulo duplo de Airy-Blackburn 
Pêndulo duplo (animação em Flash) 
Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 100 
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_de_torsi%C3%B3n 
Pêndulo de torção 
http://www.youtube.com/watch?v=VIlBI6nrnRc 
Vibrações (3:59 - inglês) 
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html#c3Oscilador amortecido (inglês) 
http://www.youtube.com/watch?v=4vw31Il22pI 
Pendulo de Foucault – Panteão de Paris 
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico 
Pêndulo físico 
https://www.youtube.com/watch?v=EE9TMwXnx-s 
Animação – balança de torção de Cavendish 
Para ir além 
O seno é aproximadamente igual ao ângulo 
para ângulos pequenos medidos em radianos 
Grau Radiano seno 
1 0,017453 0,017452 
2 0,034907 0,034899 
3 0,05236 0,052336 
4 0,069813 0,069756 
5 0,087266 0,087156 
6 0,10472 0,104528 
7 0,122173 0,121869 
8 0,139626 0,139173 
9 0,15708 0,156434 
10 0,174533 0,173648 
Grau Radiano seno 
11 0,191986 0,190809 
12 0,209439 0,207912 
13 0,226893 0,224951 
14 0,244346 0,241922 
15 0,261799 0,258819 
16 0,279253 0,275637 
17 0,296706 0,292372 
18 0,314159 0,309017 
19 0,331612 0,325568 
20 0,349066 0,34202 
101 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 
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