Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace

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Larissa Cristina

08.07.2015

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Equações Diferenciais I

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Formulário - Equações diferenciais 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑦) → �ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = �𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
 
𝑦´ = 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘𝑦 
 
𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒𝑘𝑡 𝑦(0) = 𝑦0 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 �1 − 𝑃
𝐾
� 
 
𝑃(𝑡) = 𝐾1 + 𝐴𝑒−𝑘𝑡 𝐴 = 𝐾 − 𝑃0𝑃0 𝑦(0) = 𝑦0 
 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑠) 
 
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑠 + (𝑇0 − 𝑇𝑠)𝑒𝑘𝑡 
 
 
𝑦´ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 
 
𝐼(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0 
 
Sejam 𝑐1𝑒 𝑐2 constantes 
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒𝑟𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos𝛽𝑥 + 𝑐2 sen𝛽𝑥) 
 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 𝐺(𝑥) 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑢1(𝑥)𝑦1(𝑥) + 𝑢2(𝑥)𝑦2(𝑥) 
𝑢1´𝑦1 + 𝑢2´𝑦2 = 0 𝑎(𝑢1ý1´ + 𝑢2´𝑦2´) = 𝐺 
 
𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥) 
𝐺(𝑥) = 𝐶𝑒𝑘𝑥 → 𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑒𝑘𝑥 
𝐺(𝑥) = 𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝑜𝑢 𝐺(𝑥) = 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 → 𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 
 
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
𝒚 = 𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) = 𝓛(𝒇(𝒕)) 𝒚 = 𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) = 𝓛(𝒇(𝒕)) 1 1
𝑠
 
𝑓´(𝑡) 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 𝑓´´(𝑡) 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓´(0) 
𝑒𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎
 𝑒
𝑎𝑡𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 − 𝑎) cos (𝑎𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑎2 t cos (𝑎𝑡) 𝑠2 − 𝑎2(𝑠2 + 𝑎2)2 sen (𝑎𝑡) 𝑎
𝑠2 + 𝑎2 t sen (𝑎𝑡) 2𝑎𝑠(𝑠2 + 𝑎2)2 
𝑒𝑏𝑡cos (𝑎𝑡) 𝑠 − 𝑏(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2 𝑒𝑏𝑡t cos (𝑎𝑡) (𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2((𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2)2 
𝑒𝑏𝑡sen (𝑎𝑡) 𝑎(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2 𝑒𝑏𝑡t sen (𝑎𝑡) 2𝑎(𝑠 − 𝑏)((𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2)2 
𝑡𝑛 𝑛!
𝑠𝑛+1
 𝑒
𝑎𝑡𝑡𝑛 𝑛!(𝑠 − 𝑎)𝑛+1