ExerciciosRelacoes (1)

Prévia do material em texto

Relações
Em Matemática, uma relação binária é uma correspondência existente entre dois conjuntos não vazios A e B. O conjunto A é denominado conjunto de partida (domínio) e o conjunto B é denominado conjunto de chegada (imagem). A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos de pares ordenados. Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico. Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções. 
��� Relação binária:
Seja Z* o conjunto dos inteiros não nulos e seja ≡ a relação em Z*×Z* definida por (a,b)≡(c,d) sempre que ad = bc. Demonstra-se que ≡ é uma relação de equivalência:
(i) Refletividade: temos (a,b)≡(a,b), já que ab = ba. Portanto, ≡ é reflexiva.
(ii) Simetria: temos (a,b)≡(c,d). Então ad = bc. Por conseguinte, cb = da e, portanto, (a,b)≡(c,d). 
Assim, ≡ é simétrica.
(iii) Transitividade: suponha (a,b)≡(c,d) e (c,d)≡(e,f). Então, ad = bc e cf = de. 
A multiplicação dos termos correspondentes da equação leva a (ad)(cf) = (bc)(de). 
Cancelando c ≠ 0 e d ≠ 0 dos dois lados da equação, obtém-se af = be, e portanto (a,b)≡(e,f). 
Logo, ≡ é transitiva. 
�
1-Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico. Qual resposta mostra a relação R de forma explicita? 
a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}
b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}
c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}
d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}
 E qual a relação inversa R-1?
R-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}
R-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}
R-1={(4,a),(2,c),(3,b)}
R-1={(1,a),(2,c)}
 
 2- Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construa o gráfico cartesiano desta relação.
 
3- Dados A={1,2,3} e B= {a,b} ache:
A x B=
B x A=
B x B=
R-1= A x B
R-1= B x A
R-1= B x B
4- Ache x e y, dado (2x, x+y) = (6,2)
5- Sejam A= {1,2}, B= {a, b, c} e C= {c, d}
Ache: ( A x B) ∩ (A x C)
Seja A={1,3,8} e as relações abaixo, definidas sobre A. Quais das alternativas indicam a ocorrência da propriedade reflexiva?
a. R1={(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(8,1)}
b. R2={(1,1),(3,1),(1,8),(3,3),(8,8)}
c. R3={(3,1),(3,3),(5,8),(1,1),(8,8)}
d. R4={(8,8),(3,3),(1,8),(3,1),(1,1)}
e. R5={(8,8),(3,3)}
 Parte superior do formulário
Parte inferior do formulário
Dadas as relações definidas sobre C={1,3,5}, qual delas alternativas mostra uma relação simétrica?
a. R1={(1,3),(5,3),(5,5),(3,5)}
b. R2={(1,3),(3,1),(5,5),(1,5)}
c. R={(3,1),(3,3),(5,5),(5,1)}
d. R4={(1,1),(3,3),(5,5)}Parte superior do formulário