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Relação Fundamental da trigonometria. 12 = sen2x + cos2 x 1.ª) sen2x +cos2 x = 1 ou sen2x = 1- cos2 x Ou cos2 x = 1 - sen2x x xsen xtga cos )2 = xsen x xga coscot)3 = 1 –Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos. a) 4 3pi b) 6 7pi c) 6 pi − d) 3 16pi e) 1 rad f) 3 2pi g) 4 7pi 2 –Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. a) 30º b) 300º c) 1080º d) 135º e) 330º f) 20º g) 150º 3– Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes. 4–Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos a) 6 5pi b) 5 6pi c) 4 pi − d) 2 3pi − 1 5 – Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e que sen x = 0,8 , determine cos x e tg x. 6 – Sabendo que 00 270180 << x e que sen x = 0,6 , determine cos x e tg x. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ARCOS E ÂNGULOS: Medindo arcos de circunferência: A medida do comprimento de um arco de circunferência pode ser feita utilizando-se qualquer das unidades usadas para medir seu raio, como o metro, o centímetro, etc. No entanto, as unidades mais comumente usadas são o grau e o radiano. A unidade grau: Um grau (1º) corresponde a 360 1 da circunferência onde está o arco a ser medido. Portanto a circunferência tem 360º. Conhecemos também os submúltiplos do grau, estabelecidos no sistema de base 60: minuto (de arco) e segundo (de arco). Então: A unidade radianos: Chama-se radiano o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Relembrando; o comprimento da circunferência mede rC pipipipi2= onde r é o raio. Uma vez que o raio (r) de uma circunferência é tomado como instrumento de medida, r é tomado como 1 unidade de medida (raio=1) e denominado raio unitário. Logo: rC pipipipi2= radCC 212 pipipipipipipipi =⇒= assim: CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Um grau tem 60 minutos 1º = 60’ Um minuto tem 60 segundos 1’= 60’’ 1 radiano = 1 rad ___ 180º rad 2___360 pipipipi pipipipio 2 Consideremos uma circunferência de raio unitário (r=1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. Esta estrutura, juntamente com as convenções a seguir, é chamada de circunferência trigonométrica. Convenções : (I) O ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência. (II) Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-). (III) Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+). (IV) Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti- horário, a partir do ponto A. Como a circunferência tem 360º ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90º ou π/2 rad. OBS: Se temos um arco de origem A e extremidade E, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (-). 3 Seno e Co-seno na Circunferência Trigonométrica Definição: Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de co-seno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M. Valores notáveis de seno e co-seno: 0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Variação de sinal do seno e do co-seno. Tangente na Circunferência Trigonométrica Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. 1 O prolongamento do raio OM intercepta a reta t no ponto T. Chamaremos a reta t de eixo das tangentes; assim: Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio OM com o eixo das tangentes. OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios ' e OBOB , não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’. Variação do sinal da tangente: Alguns valores de seno, co-seno e tangente: 30º 45º 60º Se n 2 1 2 2 2 3 Cos 2 3 2 2 2 1 Tg 3 3 1 3 Secante, cossecante e cotangente Definições: Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: � Secante de α (sec α) é o inverso do cos α. αααα αααα cos 1 sec = 1 � Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α. � Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α. , tg α ≠ 0 ou sen α ≠ 0 Outras identidade importantes: xtgx x x xtgxx 2222 ;1sec ; cos sen ;1cossen +===+ FUNÇÃO SENO Definição: Chama-se função seno a função definida de ℜ em ℜ por xxf sen)( = . Gráfico: D(f)= Im(f)= O gráfico de f(x)= sen x é chamado senóide. Podemos dizer que a função f(x)=sen x repete-se periodicamente de 2π em 2π, isto é, é uma função periódica de período igual a 2π, ou seja, Ζ∈+==+=+= kkxxxx )2.sen(...)4sen()2sen(sen pipipi . FUNÇÃO COSSENO αααα αααα sen 1 seccos = αααα αααα tg g 1 cot = αααα αααα αααα sen cos cot =g 2 Definição: Chama-se função cosseno a função definida de ℜ em ℜ por xxf cos)( = . Gráfico: D(f)= Im(f)= O gráfico de f(x)= cos x é chamado cossenóide. Podemos dizer que a função f(x)=cos x repete-se periodicamente de 2π em 2π, isto é, é uma função periódica de período igual a 2π. FUNÇÃO TANGENTE Definição: Chama-se função tangente a função definida para Ζ∈+≠ kkx , 2 pi pi por xxf tg)( = . Gráfico: D(f)= Im(f)= A função f(x)=tg x tem período igual a π..
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