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Trigonometria: Medição de Arcos e Funções Trigonométricas

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Relação Fundamental da trigonometria. 
12 = sen2x + cos2 x 
 
1.ª) sen2x +cos2 x = 1 ou sen2x = 1- cos2 x 
Ou cos2 x = 1 - sen2x 
x
xsen
xtga
cos
)2 = 
xsen
x
xga coscot)3 = 
 
1 –Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos. 
a) 
4
3pi
 b) 
6
7pi
 c) 
6
pi
− d) 
3
16pi
 e) 1 rad f) 
3
2pi
 g) 
4
7pi
 
 
2 –Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. 
a) 30º b) 300º c) 1080º d) 135º e) 330º f) 20º g) 150º 
 
3– Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes. 
 
 
 
4–Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na 
circunferência aos seguintes arcos 
a) 
6
5pi
 b) 
5
6pi
 c) 
4
pi
− d) 
2
3pi
− 
 1
5 – Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e que sen x = 0,8 , determine 
cos x e tg x. 
 
6 – Sabendo que 00 270180 << x e que sen x = 0,6 , determine cos x e tg x. 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
ARCOS E ÂNGULOS: 
 
 Medindo arcos de circunferência: A medida do comprimento de um arco de 
circunferência pode ser feita utilizando-se qualquer das unidades usadas para 
medir seu raio, como o metro, o centímetro, etc. No entanto, as unidades mais 
comumente usadas são o grau e o radiano. 
 
A unidade grau: 
 Um grau (1º) corresponde a 
360
1 da circunferência onde está o arco a ser 
medido. Portanto a circunferência tem 360º. 
 Conhecemos também os submúltiplos do grau, estabelecidos no sistema de 
base 60: minuto (de arco) e segundo (de arco). Então: 
 
 
 
 
 
A unidade radianos: 
 
 Chama-se radiano o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que o contém. 
 
 
Relembrando; o comprimento da circunferência mede rC pipipipi2= onde r é o raio. 
 Uma vez que o raio (r) de uma circunferência é tomado como instrumento 
de medida, r é tomado como 1 unidade de medida (raio=1) e denominado raio 
unitário. 
 Logo: rC pipipipi2= 
 radCC 212 pipipipipipipipi =⇒= 
 assim: 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
 
Um grau tem 60 minutos 
 1º = 60’ 
Um minuto tem 60 
segundos 
 1’= 60’’ 
1 radiano = 1 
rad ___ 180º
rad 2___360
pipipipi
pipipipio
 
 2
 Consideremos uma circunferência de raio unitário (r=1), cujo centro 
coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. 
 
 
 Esta estrutura, juntamente com as convenções a seguir, é chamada de 
circunferência trigonométrica. 
Convenções : 
(I) O ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na 
circunferência. 
(II) Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será 
atribuído o sinal negativo (-). 
(III) Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida 
será atribuído o sinal positivo (+). 
(IV) Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões 
chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-
horário, a partir do ponto A. 
 
 
 Como a circunferência tem 360º ou 2π rad, cada um desses arcos medem 
90º ou π/2 rad. 
 
OBS: Se temos um arco de origem A e extremidade E, ele pode assumir infinitos 
valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no 
sentido horário (-). 
 3
 
 
Seno e Co-seno na Circunferência Trigonométrica 
 
Definição: 
 Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de co-seno de α a 
abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores notáveis de seno e co-seno: 
 
 0º 90º 180º 270º 360º 
Sen 0 1 0 -1 0 
Cos 1 0 -1 0 1 
 
 
Variação de sinal do seno e do co-seno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tangente na Circunferência Trigonométrica 
 
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. 
 1
O prolongamento do raio OM intercepta a reta t no ponto T. 
 
 Chamaremos a reta t de eixo das tangentes; assim: 
 Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se 
tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do 
prolongamento do raio OM com o eixo das tangentes. 
 
OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos 
dos raios ' e OBOB , não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que 
não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’. 
 
Variação do sinal da tangente: 
 
 
 
 
 
Alguns valores de seno, co-seno e tangente: 
 30º 45º 60º 
Se
n 
 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
Cos 
 
2
3
 
2
2
 
 
2
1
 
Tg 
 
3
3
 
 1 
 3 
 
 
Secante, cossecante e cotangente 
Definições: 
 Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: 
� Secante de α (sec α) é o inverso do cos α. 
 
 
αααα
αααα
cos
1
sec = 
 1
 
 
� Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α. 
 
 
 
 
� Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α. 
 
 
, tg α ≠ 0 ou sen α ≠ 0 
 
 
Outras identidade importantes: 
 
xtgx
x
x
xtgxx 2222 ;1sec ;
cos
sen
 ;1cossen +===+
 
FUNÇÃO SENO 
 
 Definição: Chama-se função seno a função definida de ℜ em ℜ por 
xxf sen)( =
. 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D(f)= 
 Im(f)= 
O gráfico de f(x)= sen x é chamado senóide. 
Podemos dizer que a função f(x)=sen x repete-se periodicamente de 2π 
em 2π, isto é, é uma função periódica de período igual a 2π, ou seja, 
Ζ∈+==+=+= kkxxxx )2.sen(...)4sen()2sen(sen pipipi
. 
 
 
FUNÇÃO COSSENO 
 
 
αααα
αααα
sen
1
seccos =
αααα
αααα
tg
g
1
cot = 
αααα
αααα
αααα
sen
cos
cot =g 
 2
 Definição: Chama-se função cosseno a função definida de ℜ em ℜ por 
xxf cos)( =
. 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D(f)= 
 Im(f)= 
O gráfico de f(x)= cos x é chamado cossenóide. 
Podemos dizer que a função f(x)=cos x repete-se periodicamente de 2π em 
2π, isto é, é uma função periódica de período igual a 2π. 
 
 
FUNÇÃO TANGENTE 
 
 Definição: Chama-se função tangente a função definida para Ζ∈+≠ kkx ,
2
pi
pi
 
por xxf tg)( = . 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D(f)= 
 Im(f)= 
A função f(x)=tg x tem período igual a π..

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