RevisaoExerciciosFuncoes5

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t f(t) = 36 + t2 g(t) = 10.2t
0 36 10
1 37 20
2 40 40
3 45 80
Interseção das funções f(t) e g(t)
0
20
40
60
80
100
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
 t
f (t)
g(t)
 
LISTA DE EXPONENCIAIS E LOGARITMOS – FUNÇÕES E APLICAÇÕES 
GABARITO 
 
1) Duas populações designadas por F e G, têm os respectivos crescimentos expressos pelas funções 
f(t) = 36 + t2 e g(t) = 10(2t), sendo t número não negativo que expressa o tempo em meses. 
 
a) A população G duplica a cada mês? Justifique. 
Solução. A variável “t” refere-se a um tempo qualquer contado em meses. O mês seguinte é 
representado por “t + 1”. Logo, g(t + 1) = 10.2t+1 = 10.2t.2 = 2(10.2t) = 2.g(t). Dobrou. 
b) Verifique se g(51) – g(50) = g(50) 
Solução. Calculando os valores na função, temos: 
g(51) – g(50) =10.251 – 10.250 = 10.250.2 – 10.250 = 10.250(2 – 1) = 10.250.(1) = 10.250 = g(50). 
c) Esboce os gráficos com intervalo t ∈ [0 3] e verifique em que ponto f(t) = g(t). 
Solução. Observe a tabela e o gráfico. As funções assumem o mesmo valor em t = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Curva de aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente 
entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por esse 
indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q = 700 – 400e- 0,5t, em 
que: 
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; 
t = meses de experiência; 
e = 2,7183 
a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência 
deverá produzir mensalmente? 
Solução. Substituindo na expressão o valor de t = 2, temos: Q(2) = 700 – 400e- 0,5(2). 
Q(2) = 700 – 400e-1 ≈≈≈≈ 700 – 400(0,368) ≈≈≈≈ 552 peças. 
 
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? 
Compare com o resultado do item (a). Há coerência entre eles? 
Solução. Substituindo na expressão o valor de t = 0, temos: Q(0) = 700 – 400e- 0,5(0). 
Q(2) = 700 – 400 = 300 peças. Há coerência. Menos experiência, menos peças produzidas. 
 
3) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções. 
Solução. Lembrando que, dado um número real a (com 0 < a ≠ 1) temos que:
xxf
IRIRf
alog)(
: *
=
→+
 
a) f(x) = log3(4 – x) b) f(x) = log (5x – 4) 
x f(t) = log3x
1/9 -2
1/3 -1
1 0
2 0,63092975
3 1
9 2
f(x) = log3x
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 x
t f(t) = log2(x-1)
1,5 -1
2 0
3 1
4 1,584962501
5 2
6 2,321928095
}4/{
44
04
<∈=
<⇒−>−
>−
xIRxD
xx
x
f
 
}
5
4/{
5
445
045
>∈=
>⇒>
>−
xIRxD
xx
x
f
 
c) f(x) = log(2 – x) (x + 1) d) f(x) = log(2x – 3) (- x2 + 2x + 3) 
}1;21/{
101)
121
2202120)
≠<<−∈=
−>⇒>+
≠⇒−≠−
<⇒−>−⇒>−⇒≠−<
xxIRxD
xxii
xx
e
xxxxi
f
 
}2;3
2
3/{
310)1)(3(
032032)
242132
2
30321320)
22
≠<<∈=
<<−⇒<+−⇒
<−−⇒>++−
≠⇒≠⇒+≠
>⇒>−⇒≠−<
xxIRxD
xxx
xxxxii
xxx
e
xxxi
f
 
4) Construa o gráfico das funções. 
Solução. Atribuindo alguns valores para x > 0 em (a) e x > 1 em (b), temos: 
a) f(x) = log3 x b) f(x) = log2 (x – 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1) O 1º gráfico NÃO intercepta o eixo Y. Isto é, não há valores de “x” tal que f(x) = 0. 
2) O 2º gráfico NÃO intercepta o eixo Y. Mais que isso! A condição (x – 1) > 0 indica que a 
curva margeia a reta vertical x = 1, sem tocá-la. 
 
5) Resolva as equações. 
Solução. Depois de encontradas as soluções devem obedecer às condições de existência dos 
logaritmos. (logaN existe se: 0 < a ≠ 1 e N > 0). 
 
a) log2 (2x – 5) = log23 b) log3 (3 – x) = log3 (3x + 7) c) log5 (2x – 3) = 2 
f(x) = log2(x-1)
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 1 2 3 4 5 6 7
 x
 
}4{
482
352
352
=
=⇒=
+=
=−
S
xx
x
x
 
}1{
)(047)1(3)
303)
144
374
733
−=
>=+−
<⇒>−
−=⇒=−
−=−
+=−
S
satisfazii
xxi
xx
x
xx
 
}14{
)(0253)14(2)
2
332032)
14
2822532
532 2
=
>=−
>⇒>⇒>−
=
=⇒=−
=−
S
satisfazii
xxxi
x
xx
x
 
d) log2 (x2 + x – 4) = 3 e) (log3 x)2 – 2.log3 x = 3 
}3,4{
)(084)4()4)(
024)3()3)(
4;30)4)(3(
012
84
24
2
2
2
2
32
−=
>=−−+−
>=−−+−
−==⇒=+−
=−+
=−+
=−+
S
satisfazii
i
xxxx
xx
xx
xx
 
}27,
3
1{
0
3
11log1)
0273log3)
1;30)1)(3(
32
log
3
3
2
3
=
>=⇒−=⇒−=
>=⇒=⇒=
−==⇒=+−
=−
=
S
xxyb
xxya
yyyy
yy
yx
 
 
f) 2.log x = log (2x – 3) + log (x + 2) g) log4 x + logx 4 = 2 
}2{
;02)
;03)
2;30)2)(3(
06
6342
)2)(32(
)2)(32log(log
2
22
2
2
=
>
<−
=−=⇒=−+
=−+
−−+=
+−=
+−=
S
satisfazii
indefinidoi
xxxx
xx
xxxx
xxx
xxx
 
}4{
;04)
.41loglog
10)1(012
2121
2
log
4loglog
log
44
22
2
4
4
4
4
=
>
=⇒=⇒=
=⇒=−⇒=+−
=+⇒=+
=+
=
S
satisfazi
xxyx
yyyy
yy
y
y
x
x
yx
 
 
h) log3 (x + 2) – log1/3 (x – 6) = log3 (2x – 5) 
}7{
)(7)
;0)61(1)
0)1)(7(0765212452)6)(2(
)52(log)6)(2(log)52(log)6(log)2(log
)6(log3)6()3/1()6()6(log)
22
33333
33/1
=
=
<−−⇒−=
=+−⇒=−−⇒−=−−⇒−=−+
−=−+⇒−=−++
−=−⇒=−⇒=−⇒=− −
S
satisfazxii
indefinidoxi
xxxxxxxxxx
xxxxxx
xyxxyxi yy
 
6) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças. 
Solução. Para resolver essas questões é necessário lembrar. 
a) Se a > 1, então a função logarítmica f(x) = logax é crescente: x1 < x2 então f(x1) < f(x2). 
b) Se 0 < a < 1, então a função logarítmica f(x) = logax é decrescente: x1 < x2 então os valores 
são f(x1) > f(x2). 
6,1log3log > ( V ) 2log
10
1 é negativo ( V ) 03log
3
1 > ( F ) 
 
1
6,13
>
>
Base
 
10
12
<<
>
Base
 
10
13
<<
>
Base
 
 
5
3log2,0log
3
1
3
1 > ( V ) 2log1,0log 2,02,0 > ( V ) 05log8 > ( V ) 
 
10
5
32,0
<<
<
Base
 
10
21,0
<<
<
Base
 
1
15
>
>
Base
 
 
 
II) EXERCÍCIOS DO LIVRO DE MATEMÁTICA: DANTE VOL2 
 
7) O pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H3O+. Qual o pH de 
uma solução cuja concentração de H3O+ é 4,5.10-5 mol /l ? 
 
Solução. Substituindo os valores indicados, temos: 
357,4653,0)1(55,4log10log55,4log10log
5,4
10log
10.5,4
1log 5
5
5 =−≈−=−=== −pH 
 
8) Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano. 
(Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma 
substância radioativa se desintegre.) 
 
Solução. A expressão para a situação descrita pode ser representada por: Q(t) = Q0.e- rt. 
.3,17
04,0
6931,06931,004,0
2
1ln04,0
2
1
.
2
04,004,0
0
0 anosttteeQQtt ≈
−
−
≈⇒−=−⇒=−⇒=⇒= −−
 
 
9) Uma pessoa coloca R$ 1000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% a.m. Em 
quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1300,00? (Use a calculadora) 
 
Solução. Utilizando a teoria de matemática financeira, temos: 
mesest
tM
C
ttt
6,17
015,1log
3,1log
10
13log
10
13)015,1()015,01(10001300%)5,11(1000
1000
015,1
≈=
=⇒=⇒+=⇒+=
=
 
10) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que possui variação 
entre I = 8 até I = 8,9 para maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: 
0
10log3
2
E
EI = na qual 
E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7.10-3 kwh. 
 
a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 
 
Solução. Substituindo os valores, temos: 
.10.710.7.1010
10.710.7
log12
10.7
log
2
24
10.7
log
3
28
931212
3310310
310
kwhEEEE
E
==⇒=⇒=⇒=
=
−
−−−
−
 
 
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia 
liberada? 
 
Solução. Substituindo os valores com I = 9, temos: 
1010.'10101010
10.7
10.7'
.10.710.7.10'10
10.7
'
10.7
'log
2
27
10.7
'log
2
27
10.7
'log
3
29
32
3
9
2
21
2
21
32
27
2
27
3310310
310
EE
E
E
kwhEEEE
E
=⇒====
==⇒=⇒=⇒=
=
−
−−−
−
 
 
11) São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca a metade de sua radioatividade. Qual é a 
porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos? 
Solução. A função será: 
5
0 2
1)(
t
NtN 





= . Repare que N(5) = N0/2. Ao longo de 20 anos, temos: 
0
0
0
4
0
5
20
0
%25,6)20(
0625,0)20(
162
1
2
1)20(
NN
NN
NNNN
=
=
=





=





=
 
 
 
II) EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
 
12. (PUC - SP) Se log8 x = m e x > 0 então log4 x é igual a: 
Solução. 
.
2
3
3
2log
3
23222)2(2844log)
4log4log
loglog
4
3232
8
88
8
4
mm
x
yyyi
mx
x
yyy
==⇒
=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
==
 
13. (FUVEST - SP) Se x = log4 7 e y = log16 49, verifique que x - y = 0. 
Solução. 
0
1
7log7log
4log2
7log27log
4log
7log7log
16log
49log7log 44
4
4
42
4
2
4
4
4
4
4 =−=−=−=−=− yx 
 
14. (UEPG - PR) Sendo log5 = a e log 7 = b, expresse log50175 em função de a e b. 
Solução. 
1
2
10log5log
7log5log2
10.5log
7.5log
50log
175log175log
2
50 +
+
=
+
+
===
a
ba
 
15. (PUC - SP) Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 
unidades. Então x é: 
Solução. 
2)2(log)162(log
229log
2
18log2log18log
18log)162(log)
2log)
.
.2168916916316216log
2log)16(log
2log)16(log
2)16(log16)
log)
33
3333
33
3
2
3
33
33
3
3
+=+
+=⇒===−=−
==+
=
=⇒=⇒=+⇒=
+
⇒=
+
⇒=
+
=−+
+=+
+=+⇒+
=⇒
yzyz
zii
yi
OVERFIFCAÇÃ
xxxx
x
x
x
x
x
x
xx
xx
axxii
axxi