Equilíbrio de Nash - Conceitos, Definição e Exemplos
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Equilíbrio de Nash - Conceitos, Definição e Exemplos


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Equil í bri o de Nash
Equilíbrio de Nash, nome ado por Jo hn Nash, que ganhou um p rêmio No be l e m 1994
por su a descobe rta q ue pe rmi te de scobri r como as empre sas concorre nte s de fi ne m s eus
pre ços, como os gove rnos de ve m proj etar leil õe s para e spre me r o xi mo de l i ci tante s e
como ex pl icar as d e ci s õe s, às v eze s, autode strutivas q ue os grupos faze m.
Uma das i l ustraçõe s mai s conhe cidas é o d ilema do pris ione i ro: doi s crimi no sos em
ce l as de pri são s eparadas e nf re ntam a mesma of e rta do Mi ni sté ri o Público. Se ambos
confe s sare m um as sassinato, cada um dele s é condenado a d e z anos de pri são. Se al gué m f i car
quieto e nquanto o outro conf es sa, e ntão o d el ator vai fi car li v re , e nquanto o outro vai
e nf re ntar u ma vi da n a pri são. E se ambos fi care m cal ados , cad a um de les enfre ntará ap enas
um ano na cade i a. Cole ti v ame nte, s e ri a me lhor para ambos fi care m quieto s. Mas, dada a
confi guração, um e cono mi sta armado com o conce i to de equilíbrio de Nash pre ve ri a o oposto :
o úni co resul tado e stável se ri a se ambo s confessasse m.
Em um eq uilíbrio de Nash, cad a pe ssoa e m um grup o toma a mel ho r de cis ão para si
me sma, com base n o q ue el a pens a que os o utros f arão. E ni n gué m pode mel horar mudando
de e s traté gi a: todos os membros do grupo estão f azendo o me l hor que podem. N o caso do
dil ema dos prisi onei ros, mante r a cal ma nunca é u ma bo a i de i a, sej a qual for a e scolh a do
outro mafi oso. Uma ve z que um su spei to pode ter e ntre gue o o uro, de l atar evi tari a uma vi da
na prisão p ara o outro. E se o outro fi car quie to, então confe s sar o dei x ari a l ivre . Aplicando ao
mundo re al , o s e conomi stas us am o e quilíbrio de Nash p ara p rev e r como as e mp resas
res pon de rão aos pre ços do s concorre n te s. Duas grande s e mpre sas q ue es tabe le ce m
e straté gi as de pre ços, para compe ti r umas contra as outras, provavel me nte i ri am e spre itar os
cl ie n te s mai s do que pode ri am se e nf re ntasse m mil h ares de con co rre nte s.
O e quilíbrio de N ash aj uda os e con omistas a e nte n de r como as de cisõe s que s ão boas
para o in di v íduo podem se r te rrívei s para o grup o. Esta tragé di a do be m comum expl i ca por
que atacamos os mare s e por que e mi timos mui to carbono para a atmosfe ra. Todo o mu ndo
se ri a mel hor se pudé s se mos concordar e m mostrar n oss as limi tações. Mas, dado o que todos
os o utros es o faze ndo, se j a a pe sca ou o cons umo de gás parte da cons c nci a pe ssoal . Além
de e xpli car a de sgraça e a tri ste z a, també m ajud a os le gisl adores a e ncontrar so luçõe s p ara
proble mas d if íce is .
Uti li zando o e quil íbri o de N ash, os e conomistas afi rmam te r arre cadado bil hões para a
bol s a p úbli ca. Em 2000, o gov e rno bri tâni co usou su a aj ud a p ara proj e tar um l eil ão e spe ci al
que ven de u su as l i ce nças de ope ração de cel ul ares móvei s co m 3G p ara 22, 5 b il h õe s de e uro s
( 35, 4 bi l hões de l are s ). Se u truq ue era tratar o le ilão como um j ogo e aj ustar as regras para
que a mel hor e s traté gi a para os li ci tan tes f os se f aze r l ances al tos ( os l i ci tante s ve n cedore s
f i caram me nos sati sf ei tos com o re sul tado) . Hoj e, o e q uilíbrio de N ash s uste n ta a
mi croe conomi a mo de rna (e mbora com al guns ref iname ntos) . Dad o que prome te aos
e conomi stas o pode r de e s col he r vencedores e pe rde do re s , é f ácil ve r porquê .
Concei tos
Equil íbri o de Nash: si tu ão e straté gi ca em que a de ci são tomada por um jogador é a
mel h or re sposta f re nte à de cis ão to mada pel os demai s, e i s to é v áli d o para tod os o s
agen te s. Ex emplifi cando p ara um jo go e ntre doi s jo gadore s A e B, sabe ndo que A tomou uma
ce rta de cisão, B toma aqu el a que max imiza sua re co mpe ns a. Porém, a de cis ão tomada p or A é
aquel a que max i mi za s ua re compe nsa, dado q ue B tomo u a sua ref e ri da e scol ha. Este
f e me no pode oco rre r tanto em j ogos seque n ci ai s quan to si mul tâne os, have ndo ou n ão
i nfo rmação compl eta, e não é ne ce ssári o que haj a ape n as u m e quil íbrio de N ash, pode nd o
have r v ári os possíve i s. Em d ada si tu ão, cada j ogador não p oss ui esmu lo para se de sv i ar do
e quil íbrio de Nash, e se co nhe ce m vários e pi sódi os hi stóri cos e m que jogos cami nh aram
e spontane ame n te para o e quil íbrio de Nash .
Todo e quilíbrio com es traté gi as do mi nante s é um e qui l íb ri o de N ash mas ne m todo
e quil íbrio de Nash é um e quilíbri o com e straté gi as domi n ante s.
Não ne ce s sari ame n te um e qui l íbri o de Nash é ef i cie n te no se nti d o de Pareto.
Defi ni ção form al
Doi s j ogadores A e B e s tão em um Equi l íbri o de Nas h se a estraté gi a adotada por A é a
mel h or dada à e straté gi a ad otada por B e a es traté gi a ad otada por B é a estratégi a óti ma dada
a adotada p or A . Ou se j a, ne nhum d os j ogadores pode aume ntar seu ganh o al te ran do, de
f orma uni late ral , sua e straté gi a.
Dize mos que um pe rf il de es traté gi a s * = { s 1*, ... ., si*, .. ., s n*} S é um e quil íb rio de Nash se :
ui(s
i*, s -i*) ui(s iji, s-i*)
para todo i = 1, . .., n e para todo j i = 1, .. .., mi, com mi 2.
Exem pl os
1)
N o Jogo dos T s Clie n te s:
( A, A) está e m Equilíbrio de Nash e (A, A ) é o úni co Eq uilíbrio de Nash ne ste jogo ( ve rif ique ( B,
C) , por e xe mpl o)
O exempl o suge re duas maneiras de encontrar e quil íb rios de Nash :
1. V e ri fi car tod os os p are s de e straté gi as, e te star para cad a um de le s se as e s tra té gi as
i ndi vi duai s s ão melh ore s respostas para o outro
2. Comp utar a mel ho r re sposta de cada jogador p ara cada e stratégi a do outro j ogador, e
e ntão e n con trar e s traté gi as que o mel hore s re s pos tas entre si
2) A batalha do s sex os de scre ve a se gui nte si tuação: um casal de se j a s ai r. El e gos ta mai s de
f ute bol e ela gosta mais de i r ao cinema. Se e le s vão j un tos ao fu te bol, e le tem sati sf ão
mai or q ue ela. Se f ore m ao cinema, ela tem s ati sf ão mai or que ele . Fi n al me nte , se ambos
saíre m s ozi n hos , fi carão i gu alme nte i ns ati sf ei tos
Ne sse jo go, te mos dois equi l íbri os de N ash. Os pon tos ( Fu te bo l, Fute b ol) e ( Cinema,
Ci ne ma) satisf aze m a def inição f ormal di scuti da ante ri orme n te . O que mais imp orta p ara e ste
casal é estar ju nto. Se for n o p rograma de sua p re ferê nci a, tanto me lho r .
3) “Combinando moe das ”: ne sse jo go os compe ti do re s e xi be m, si mul tane ame nte, as moedas
que cada um te m em sua mão. Se amb as as moe das apres entam cara ou coroa, o jo gador 2
sua moe da para o jogador 1. Se uma moe da ap rese nta cara e a outra apre senta coroa, o
j ogador 1 é que de ve dar sua moe da para o jogador 2.
Ne sse jogo, os i nte resse s dos j ogadore s são compl etamente op ostos . O ganh o de um
é , se mpre e na mesma medida, a pe rda do outro. I sso dif i cul ta a ex i snci a d e um e quil íbrio,
ao me n os e m estraté gi as di scretas, como ve re mos mai s adi ante . Assi m, o combin ando moed as
com estraté gi as puras é um jogo e m que n ão um e quil íbri o de Nash.