Guia de Transição - Matemática - Ensino Fundamental - 2º Bimestre

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Guia do Professor - Matemática 
 
2 
 
 
 
 
 
Governador 
João Doria 
 
Secretário da Educação 
Rossieli Soares 
 
Secretário Executivo 
Haroldo Corrêa Rocha 
 
Coordenadoria Pedagógica - COPED 
Caetano Siqueira 
 
Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão Pedagógica 
DECEGEP 
Valéria Arcari Muhi 
Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, do Ensino Fundamental 
 CEFAF 
Carolina dos Santos Batista Marauskas 
 
Centro de Ensino Médio - CEM 
Ana Joaquina Simões Sallares de Mattos Carvalho 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
3 
 
 
 
Sumário 
6º ano do Ensino Fundamental .......................................................................................... 6 
1. Organização das grades curriculares. ............................................................................... 7 
1.1. Grade curricular do 6º ano do Ensino Fundamental. ................................................... 8 
1.1.1 – Operações com frações .......................................................................................... 9 
Considerações sobre a avaliação ....................................................................................... 9 
Orientações para a recuperação ........................................................................................ 9 
1.1.2 – Sistemas de Medida ............................................................................................... 11 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 11 
Orientações para a recuperação ...................................................................................... 12 
1.2 – Atividades ...................................................................................................................... 13 
1. Números Decimais ................................................................................................... 13 
2. Transformação em fração decimal ....................................................................... 19 
3. Operações com decimais. ...................................................................................... 22 
Desafios ............................................................................................................................... 24 
4. Sistemas de medidas convencionais e não convencionais. .................................. 25 
5. Características do Sistema Métrico Decimal. .......................................................... 29 
7º ano do Ensino Fundamental ........................................................................................ 37 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. ......................................................................... 38 
1.1. GRADE CURRICULAR DO 7º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. ............................................. 38 
1.1.1 – Ângulos: noção, usos e medidas ......................................................................... 40 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 40 
Orientações para a recuperação ...................................................................................... 40 
1.1.2 – Construções geométricas ..................................................................................... 42 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 44 
Orientação para a Recuperação ....................................................................................... 44 
1.1.3 – Transformações Geométricas ............................................................................... 46 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 46 
Orientação para a Recuperação ....................................................................................... 46 
Guia do Professor - Matemática 
 
4 
 
1.1.4 – Polígonos regulares e ladrilhamento ................................................................... 48 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 49 
Orientação para a recuperação ........................................................................................ 49 
1.2.5 – Projeções e vistas ortogonais. .............................................................................. 51 
1.2 – ATIVIDADES ....................................................................................................................... 54 
1.2.1. Ângulos ..................................................................................................................... 54 
1.2.2 Simetria ...................................................................................................................... 58 
1.2.3 Polígonos e ladrilhamento no plano. ..................................................................... 62 
8º ano do Ensino Fundamental ........................................................................................ 74 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. ......................................................................... 75 
1.1. GRADE CURRICULAR DO 8º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. ............................................. 76 
1.1.1 Sequências recursivas e não recursivas. ................................................................ 77 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 77 
Orientações para a recuperação. ..................................................................................... 77 
1.1.2 Produtos Notáveis e Fatoração ............................................................................... 79 
Considerações sobre avaliação ........................................................................................ 79 
Orientação para a recuperação ........................................................................................ 80 
1.2 - ATIVIDADES ...................................................................................................................... 81 
1.2.1 - Equivalências e transformações algébricas. .................................................... 81 
1.2.2 - Produtos Notáveis ............................................................................................. 87 
1.2.3 - Fatorações ........................................................................................................... 88 
9º ano do Ensino Fundamental ........................................................................................ 92 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. ......................................................................... 93 
1.1. Grade curricular do 9º ano do Ensino Fundamental. ............................................. 94 
1.1.1 Equação polinomial do 2º grau........................................................................... 94 
Considerações sobre a avaliação ..................................................................................... 94 
Orientações para a recuperação ...................................................................................... 95 
1.1.2 Ideia de variação e funções ................................................................................. 96 
Considerações sobre a avaliação ..................................................................................... 97 
Orientação para a recuperação ........................................................................................97 
1.2 - ATIVIDADES .................................................................................................................. 98 
Guia do Professor - Matemática 
 
5 
 
1. Equações do 2º grau: Resolução e problemas. ...................................................... 98 
2. Resolução de equações polinomiais de grau 2.................................................... 102 
3. Relações de Proporcionalidade ............................................................................. 110 
4. Situações de interdependência. ............................................................................. 114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
6 
 
 
 
 
 
 
6º ano do Ensino Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
7 
 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. 
Apresentamos a seguir uma grade curricular para a transição do material de apoio do 
Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Cur-
rículo Oficial de Matemática, vigente e sua respectiva relação com o Currículo Paulista, além 
de algumas orientações pedagógicas, para os quatro anos finais do Ensino Fundamental. 
A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexí-
vel. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e 
medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que funda-
mentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pes-
soais, a abordagem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do trabalho, a carac-
terização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também 
aprende com as circunstâncias. 
Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em 
mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As 
disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos conteúdos é que 
eles realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competên-
cias pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação 
etc. 
Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas 
pelos estudantes em cada unidade. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as 
ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio de 
aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
8 
 
1.1. GRADE CURRICULAR DO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números 
e opera-
ções. 
 
 Números 
racionais. 
 
o Repre-
sentação. 
 
o Transfor-
mação 
em fra-
ção deci-
mal. 
 
o Opera-
ções 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compreender o uso da 
notação decimal para 
representar quantida-
des não inteiras, bem 
como a ideia de valor 
posicional. 
Saber realizar e com-
preender o significado 
das operações de adi-
ção e subtração de nú-
meros decimais. 
Saber transformar fra-
ções em números deci-
mais e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Números 
 
 Opera-
ções (adi-
ção, sub-
tração, 
multipli-
cação, di-
visão e 
potencia-
ção) com 
números 
racionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(EF06MA08) Reco-
nhecer que os núme-
ros racionais positivos 
podem ser expressos 
na forma fracionária e 
decimal, estabelecer 
relações entre essas 
representações, pas-
sando de uma repre-
sentação para outra, e 
relacioná-los a pontos 
na reta numérica. 
(EF06MA01) Identifi-
car, comparar, orde-
nar, números naturais 
e números racionais 
cuja representação 
decimal é finita, di-
zendo quais são, fa-
zendo uso da reta nu-
mérica, para localizar 
os n números. 
(EF06MA11) Resolver 
e elaborar situações- 
problema com núme-
ros racionais positivos 
na representação de-
cimal, envolvendo as 
quatro operações fun-
damentais e a potenci-
ação, por meio de es-
tratégias diversas, utili-
zando estimativas e ar-
redondamentos para 
verificar a razoabili-
dade de respostas, 
com e sem uso de cal-
culadora. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
9 
 
1.1.1 – Operações com frações 
Um fator norteador a ser utilizado na re-
presentação dos números decimais é a lín-
gua materna. Por exemplo, a correspondên-
cia da fração 3
10
 que corresponde a 3 déci-
mos, pois indica a existência de um opera-
dor multiplicativo, ou seja, 3∙ 1
10
 ou 1
10
∙3. Por 
essa razão, o número 3 ocupa a casa dos dé-
cimos na notação decimal. 
A equivalência entre frações e números 
decimais é a base para fundamentar os prin-
cípios das operações com decimais. A ideia 
que se pretende desenvolver é a de que as 
operações de adição e subtração entre nú-
meros racionais, pode ser realizada de 
forma análoga às operações com números 
inteiros, desde que a parte decimal das par-
celas sejam equivalentes, ou seja, frações 
com o mesmo denominador ou números 
decimais com o mesmo número de casas. 
 
Considerações sobre a avaliação 
No decorrer dos trabalhos referentes às 
habilidades mencionadas, o professor após 
retomar os conceitos trabalhados nos Anos 
Iniciais1, quanto a ordem das casas deci-
mais, deve chamar a atenção dos alunos 
para as regularidades presentes na escrita 
de um número decimal, por exemplo, à es-
querda da unidade, as três primeiras casas 
 
1 Para a realização da sondagem inicial do conhecimento prévio dos alunos, sugerimos a utili-
zação de atividades selecionadas da Sequência 10 e 28 do EMAI- 5º ano (material do professor). 
são dezena, centena e milhar; cujos prefixos 
remetem à ideia de 10, 100 e 1000; o 
mesmo acontece à direita da unidade, em 
que as três primeiras casas são décimos, 
centésimos e milésimos. Portanto, convém 
mostrar aos alunos que essa similaridade 
continua na nomenclatura das casas, tanto à 
direita como à esquerda, por exemplo, de-
zena de milhar e décimos de milésimos etc. 
Desta forma, objetiva-se que o aluno 
consiga no decorrer das aulas, compreen-
der os seguintes conceitos: 
 Relacionar as representações deci-
mais e fracionárias de um número ra-
cional. 
 Resolver operações com números 
racionais, em diferentes situações 
problemas. 
Orientações para a recuperação 
Caso os alunos tenham dificuldades em 
comparar números decimais, pode-se pro-
por uma atividade prática, que consiste na 
manipulação das peças do material dou-
rado. 
O professor pode escrever na lousa dois 
números decimais diferentes, por exemplo, 
2,03 e 2,3. Em seguida, solicitar aos alunos 
que, em dupla, representem esses números 
utilizando as peças do material apresen-
tado. Assim, eles devem dizer qual número 
é maior, o que possibilita o confronto de 
Guia do Professor - Matemática 
 
10 
 
seus saberes. Por exemplo: quanto aos nú-
meros 2,03 e 2,3, teremos a seguinte situa-
ção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando as figuras, eles devem ob-
servar as representações e concluir que 2,3 
é maior que 2,03. Essa é uma sugestão de 
estratégia que pode ajudar na compreen-
são do sistema decimal e na leitura e com-
paração de números decimais.Ainda com relação às atividades de re-
cuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de apren-
dizagem constantes na Plataforma Currículo 
+ bem como as aventuras do currículo mais, 
relativos aos conceitos essenciais propostos 
nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: 
http://cur-
riculo-
mais.edu-
ca-
cao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: 
 
http://curri-
culo-
mais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ (Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo +: 
http://curri-
culo-
mais.educa-
cao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 
06/12/2018) 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
11 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números / 
Relações. 
 
 Sistemas de 
Medidas. 
 
o Medidas de 
compri-
mento, 
massa e ca-
pacidade. 
 
o Sistema mé-
trico deci-
mal: múlti-
plos e sub-
múltiplos da 
unidade. 
 
Saber realizar medi-
das usando padrões 
e unidades não con-
vencionais, conhecer 
diversos sistemas de 
medidas; 
 
Conhecer as princi-
pais características 
do sistema métrico 
decimal: unidades 
de medida (compri-
mento, massa, capa-
cidade) e transfor-
mações de unidades. 
 Grandezas 
e medidas. 
 
 Problemas 
sobre me-
didas en-
volvendo 
grandezas 
como com-
primento, 
massa, 
tempo, 
tempera-
tura, área, 
capacidade 
e volume. 
(EF06MA24) Resolver 
e elaborar situações-
problema que envol-
vam as grandezas com-
primento, massa, 
tempo, temperatura, 
área (triângulos e re-
tângulos), capacidade e 
volume (sólidos forma-
dos por blocos retan-
gulares), sem uso de 
fórmulas, inseridos, 
sempre que possível, 
em contextos oriundos 
de situações reais e/ou 
relacionadas às outras 
áreas do conheci-
mento. 
1.1.2 – Sistemas de Medida 
Para o desenvolvimento da habilidade 
descrita (MAT_EF6_12), orientamos duas 
etapas. A primeira, retomando as grandezas 
de comprimento, massa e capacidade, com 
ênfase nas relações com o sistema métrico 
decimal e as respectivas transformações de 
unidades já desenvolvidos nos Anos Inici-
ais2, A segunda etapa, com destaque ao tra-
balho com as formas geométricas, 
 
2 Para a realização da sondagem inicial do conhecimento prévio dos alunos, sugerimos a utili-
zação de atividades selecionadas da Sequência 9 e 25 do EMAI- 5º ano (material do professor). 
inicialmente com s figuras planas seguida 
da contextualização sobre a área das mes-
mas. O trabalho com o volume de sólidos 
geométricos deve ser desenvolvido após os 
estudos da Geometria acima citado. 
Considerações sobre avaliação 
Ao final do desenvolvimento das ativida-
des referentes à habilidade descrita, espera-
se que os alunos tenham compreendido as 
principais características do sistema métrico 
Guia do Professor - Matemática 
 
12 
 
decimal e das unidades de medida do Sis-
tema Internacional (SI) para comprimento, 
massa e volume. 
Desta forma, as expectativas mínimas de 
aprendizagem em relação aos conceitos es-
senciais são: Compreender a necessidade 
da adoção de unidades padronizadas para 
estabelecer medidas precisas e preferenci-
almente a adoção de referenciais do SI; 
 Conhecer os múltiplos e submúlti-
plos do metro, do grama e do litro; 
 Estimar as dimensões de um objeto 
pela escolha de uma unidade ade-
quada (quilometro, metro, centíme-
tro etc.); 
 Efetuar transformações de unidades 
para expressar uma medida adequa-
damente. 
Orientações para a recuperação 
Com relação aos sistemas de medidas, 
recomenda-se trabalhar com situações-pro-
blemas práticas envolvendo unidades de 
medidas conhecidas que podem ser encon-
tradas facilmente nos livros didáticos. Além 
disso, o professor pode solicitar uma ativi-
dade prática que envolva pesquisa das uni-
dades de medidas de massa ou volume 
existentes em embalagens de alimentos, as-
sim como tempo e temperatura existentes 
nas sugestões de preparo. 
Ainda com relação às atividades de re-
cuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de apren-
dizagem constantes na Plataforma Currículo 
+ bem como as aventuras do currículo mais, 
relativos aos conceitos essenciais propostos 
nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: 
http://curri-
culo-
mais.educa-
cao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: 
 
http://curri-
culo-
mais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ (Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo +: 
http://curri-
culo-
mais.educa-
cao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 
06/12/2018) 
 
A seguir, disponibilizamos as atividades 
contidas no Caderno do Aluno, referentes 
às habilidades descritas neste tópico. 
 
13 
 
1.2 – ATIVIDADES 
1. Números Decimais 
 
ATIVIDADE 1 
Em nosso cotidiano, é possível observar escritas de números como os representados 
abaixo: 
2,2 m R$ 5,99 2,250 kg 2,5 L 37,6º 
 
Observe essas escritas e diga a que elas se referem: 
 
 
 
 
Na Matemática, esses números são chamados de Números Racionais e estão escritos 
na forma decimal. Muitas pessoas costumam dizer que são “números com vírgulas”. 
a) Vamos supor que você comprou um chocolate e pagou por ele R$ 2, 49. Observe 
o valor posicional de cada um dos algarismos: 
 O que é valor posicional? 
 
 
 Que número vem antes e que número vem depois da vírgula? Por quê? 
 
 
 
 Qual o valor representado pelo algarismo 2? E pelo 4? 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
14 
 
b) Represente os números abaixo no quadro de valor posicional 
 
2,49 5,7 12,89 2,5 2,257 45,9 7,98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Agora escreva como se lê cada um desses números: 
 
2,49 
5,7 
12,89 
2,5 
ATIVIDADE 2 
Considere as figuras a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
15 
 
a) Considerando a representação dada pelas figuras acima, preencha o quadro abaixo 
de acordo com o exemplo: 
Figura Língua Ma-terna 
Notação 
decimal 
Notação 
fracionária 
 
2 inteiros, 5 dé-
cimos e 2 cen-
tésimos 
2,52 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
16 
 
ATIVIDADE 3 
Observe as relações de equivalências entre submúltiplos da unidade que estão repre-
sentadas nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Agora é sua vez! Complete o quadro a seguir de acordo com a equivalência entre 
os submúltiplos da unidade. 
Quanto vale ↓ em unidades ↓ em décimos ↓ 
em centési-
mos ↓ 
em milésimos 
↓ 
1 unidade 1 10 100 
1 décimo 
1
10
 1 
1 centésimo 
1
10
 
1 milésimo 
1
1 000
 
Guia do Professor - Matemática 
 
17 
 
 
b) Faça as transformações conforme solicitado: 
 
 45 décimos = 450 centésimos 
 8 unidades = ________ décimos 
 2 unidades = ________ centésimos 
 30 centésimos = ________ décimos 
 2 500 centésimos = _______ unidades 
 5 dezenas = _________ décimos 
 1200 décimos = __________ unidades 
 
ATIVIDADE 4 
Localização de números na reta. Considere a semirreta numérica representada abaixo, 
observe que entre os números há pontos identificados pelas letras A, B, C e D: 
 
 
 
 
a) Com a ajuda do seu colega, você seria capaz de dizer quais são osnúmeros repre-
sentados por essas letras? 
A = __________ 
B = __________ 
C = __________ 
D = __________ 
 
b) Desafio: Localizem na semirreta a seguir, os pontos correspondentes a: 
0,3; 1,1; 0,9; 2,2; 3,8; 1,8; 4,3; 2,9. 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
18 
 
c) A ilustração a seguir, mostrar como os alunos do 6º ano B, mediram e cortaram 
fitas decorativas para o cartaz dos aniversariantes do mês. Represente como deve 
ser indicada cada medida encontrada com seu respectivo valor numérico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio 
 
 (OBMEP2010-Fase1-nivel1)Cláudia inverteu as posições de dois algarismos vizi-
nhos no número 682479 e obteve um número menor. Quais foram esses algaris-
mos? 
 6 e 8 
 8 e 2 
 2 e 4 
 4 e 7 
 7 e 9 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
19 
 
 (OBMEP2005-Fase1-nivel1) Guilherme está medindo o comprimento de um selo 
com um pedaço de uma régua, graduada em centímetros, como mostra a figura. 
Qual é o comprimento do selo? 
 
 
 
 
 
 
 
 3 cm 
 3,4 cm 
 3,6 cm 
 4 cm 
 4,4 cm 
 
2. Transformação em fração decimal 
 
ATIVIDADE 1 
Utilizando a calculadora, realize as divi-
sões indicadas e complete o quadro abaixo 
com a representação decimal e a represen-
tação fracionária. 
 
 Representa-ção decimal 
Representação 
fracionária 1 ÷ 2 0,5 12 1 ÷ 3 
1 ÷ 4 
1 ÷ 5 
1 ÷ 6 
1 ÷ 7 
1 ÷ 8 
1 ÷ 9 
1 ÷ 10 
 
Observe os resultados do quadro e res-
ponda: 
 
a) Qual dos números registrados é o 
maior? 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
20 
 
b) Qual dos números é o menor? 
 
 
c) Qual é o maior 1
2
 ou 1
10
 
 
 
d) Qual é o maior 0,25 ou 1
4
? 
 
 
e) O que você percebeu nos resulta-
dos das divisões de 1 por outro nú-
mero natural? 
 
 
f) Como podemos fazer para compa-
rar dois números racionais na re-
presentação decimal? 
 
 
 
Discuta com seus colegas e registre suas 
conclusões. 
 
 
 
 
ATIVIDADE 2 
Observe a imagem: 
 
 
 
 
a) Circule os números racionais abaixo 
que podem ser utilizados para repre-
sentar a parte da figura colorida. 
 
0,2 0,4 0,5 
1
2
 
2
5
 
5
10
 
4
10
 
 
b) Quais critérios você utilizou para 
circular os números acima? 
 
 
c) Os números 1
2
 e 0,5 são diferentes? 
Em quê? O que eles representam 
de um inteiro? 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 3 
Observe os seguintes números deci-
mais: 
 0,6 (lê-se “seis décimos”), ou seja, 6
10
. 
 0,85 (lê-se “oitenta e cinco centési-
mos”), ou seja, 85
100
 
 2,47 (lê-se "duzentos e quarenta e 
sete centésimos"), ou seja, 247
100
, tam-
bém dizemos dois inteiros e qua-
renta e sete centésimo. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
21 
 
 0,023 (lê-se "vinte e três milésimos"), 
ou seja, 23
1000
. 
a) A partir das observações acima, 
complete o quadro: 
Representação 
decimal 
Como se 
lê 
Representação 
fracionária 
0,8 
1,3 
29,5 
 Três déci-mos 
0,041 
 
 8 milési-mos 
 
b) Discuta com seu colega: 
 
O que é possível observar quando pas-
samos da representação decimal de um nú-
mero para a representação fracionária? 
 
 
 
 
O que podemos concluir que é necessá-
rio realizar para passar de uma representa-
ção fracionária para uma representação de-
cimal? 
 
 
 
c) Transforme as frações abaixo em 
numeral decimal e vice-versa: 
Fração Decimal 
 
49582
100
 
23
10
 
25
10
 
70
100
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
22 
 
Fração Decimal 
 
49582
100
 
23
10
 
25
10
 
70
100
 
ATIVIDADE 4 
Situações-problema com números fracioná-
rios e decimais. 
 
a) O marcador do tanque de gasolina 
do carro de Paulo está marcando 
que tem, aproximadamente, a 
quarta parte de combustível no tan-
que. Como ele pode representar 
essa quantidade de gasolina usando 
números na representação fracioná-
ria? E na representação decimal? 
 
 
 
b) Carlos está ajudando seu pai na 
pintura de sua casa. Até o mo-
mento já pintaram 2
5
 da fachada da 
casa. Represente em forma deci-
mal a parte da fachada que ainda 
falta para pintar. 
 
3. Operações com decimais. 
 
ATIVIDADE 1 
Operando com números racionais positivos 
na representação decimal. 
Carlos, Ana, João e Maria estão partici-
pando de um campeonato de atletismo. O 
critério de classificação para a próxima 
etapa exige que as duplas inscritas corram, 
ao total, a pista inteira em até 20 segundos. 
Eles formaram duas duplas e obtiveram os 
seguintes tempos: 
Dupla A Dupla B 
Carlos: 11,903 segun-
dos João: 10,14 segundos 
Ana: 8,098 segundos Maria: 9,859 segun-dos 
 
a) Calcule o tempo de cada dupla e 
preencha a tabela abaixo de acordo 
com o que se pede: 
 Dupla A Dupla B 
Estimativa so-
mente com as 
partes inteiras 
 
Estimativa com 
uma casa deci-
mal. 
 
Estimativa com 
duas casas deci-
mais. 
 
Estimativa com 
três casas deci-
mais. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
23 
 
b) Em quais situações preenchidas na 
tabela as duplas se classificaram 
para próxima etapa? 
 
 
 
c) Em alguma situação, alguma dupla 
não se classificou? Justifique: 
 
 
 
d) Como você explicaria a diferença 
encontrada nos itens acima? 
 
ATIVIDADE 2 
O pai de Carlos, seu José, recebeu seu 
salário mensal de R$ 1 575,70 decidiu pagar 
algumas contas: 
 R$ 146,75 – luz 
 R$ 500,00 – aluguel 
 R$ 90,35 – água 
 R$ 400,89 – supermercado 
Após pagar todas as contas, qual valor 
sobrou do salário mensal de seu José? 
ATIVIDADE 3 
(AAP – 20ª edição) – O resultado da adi-
ção dos números abaixo é: 
12,45 25,3 37,44 
 52,42 
 74,14 
 74,92 
 75,19 
 
ATIVIDADE 4 
(AAP – 20ª edição) – O resultado desta 
subtração 129,3 – 42,82 é: 
 87,52 
 87,21 
 86,52 
 86,48 
 
 
 
ATIVIDADE 5 
(AAP – 16ª edição) – Veja o quadro de ofer-
tas do dia de um supermercado: 
 
 
 
 
 
 
 
Ao comprar uma unidade de cada pro-
duto, a economia será de: 
 R$ 9,00 
 R$ 7,88 
 R$ 1,12 
 R$ 0,12 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
24 
 
ATIVIDADE 6 
(AAP – 16ª edição) – O Sr. João precisa fazer 
um pequeno reparo em sua casa e para isso 
comprou 5 kg de cimento. Ao realizar o tra-
balho, percebeu que precisava de mais 0,5 
kg. No final sobraram 0,09 kg de cimento. 
Quanto de cimento foi utilizado no reparo? 
 4,60 kg de cimento. 
 5,41 kg de cimento. 
 5,41 kg de cimento. 
 6,40 kg de cimento. 
 
Desafios 
 (OBMEP - 2014 Fase1-Nível1) - Mi-
lena começou a estudar quando seu 
relógio digital marcava 20 horas e 
14 minutos, e só parou quando o re-
lógio voltou a mostrar os mesmos al-
garismos pela última vez antes da 
meia noite. Quanto tempo ela estu-
dou? (No relógio digital aparece as-
sim 20:14) 
 
 
 
 
 
 (OBMEP - 2012 Fase1- Nível1) - Mar-
cos tem R$ 4,30 em moedas de 10 e 
25 centavos. Dez dessas moedas 
são de 25 centavos. Quantas moe-
das de 10 centavos Marcos têm? 
 
 
 
 (OBMEP-2005-Fase1-Nível1) 
A capacidade do tanque de gaso-
lina do carro de João é de 50 litros. 
As figuras mostram o medidor de 
gasolina do carro no momento de 
partida e no momento de chegada 
de uma viagem feita por João. 
Quantos litros de gasolina João gas-
tou nesta viagem?10 
 15 
 18 
 25 
 30 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
25 
 
4. Sistemas de medidas convencionais e 
não convencionais. 
 
ATIVIDADE 1 
Medindo com palmos, pés e passos 
Quando o homem começou a construir suas habitações e a desenvolver a agricultura, 
precisou criar meios de efetuar medições. Para medir comprimentos, o homem tomava o 
seu próprio corpo como referência. Usava como padrões determinadas partes de seu 
corpo. Foi assim que surgiram: a polegada, o palmo, o pé, a jarda, a braça, o passo. Alguns 
desses padrões são usados até hoje. 
a) Usando partes do seu corpo como unidades de medida, realize as medições pedi-
das no quadro a seguir: 
Objeto O que vamos medir Unidade de me-
dida 
Medida 
Carteira Altura Palmos 
Lousa Comprimento Palmos 
Sala de Aula Largura Pés 
Sala de Aula Comprimento Passos 
b) Compare os resultados com um co-
lega e responda: 
 Quem usou o menor número de pal-
mos? Por que isso aconteceu? 
 
 
 Quem usou a maior quantidade de 
pés? Por que isso aconteceu? 
 
 Quem deu o menor número de pas-
sos? Por que isso aconteceu? 
 
ATIVIDADE 2 
A unidade de medida polegada foi cri-
ada pelo rei Eduardo I, da Inglaterra, du-
rante o século XVI. Consiste na utilização o 
próprio polegar para medir. A média do po-
legar de um humano adulto corresponde a 
aproximadamente 2,54 centímetros. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
26 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do Professor/Aluno – 6 
ano Vol 1- edição 2014/2017 
Atualmente, a medida polegada ainda é 
utilizada em situações cotidianas, como re-
ferencial para o tamanho da tela de televiso-
res e monitores de computador, por exem-
plo. Quando nos deparamos com uma pro-
moção informando que a televisão possui 
32 polegadas de tela, estamos diante de um 
aparelho que possui a medida da diagonal 
da tela de 81,28 centímetros aproximada-
mente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do Professor/Aluno – 
Vol 1- edição 2014/2017 
a) No quadro a seguir, temos algumas 
medidas de televisores e monitores 
de computador vendidos atual-
mente. Preencha o quadro relacio-
nando polegadas e centímetros e 
vice-versa: 
 
Polegada Centímetros 
17 
 38,10 
21,5 
 50,80 
32 
49 
 152,40 
b) Uma smart tv de 50 polegadas 
possui uma diagonal de quantos 
metros? 
 
 
ATIVIDADE 3 
No passado, o pé como medida foi 
usado em quase todas as culturas, e geral-
mente corresponde a 12 polegadas. Três 
pés correspondem a uma Jarda (36 polega-
das) e duas jardas correspondem a 1 braça, 
outro submúltiplo da jarda é o palmo que 
corresponde a 9 polegadas, ou seja, uma 
jarda é igual 4 palmos ou 3 pés. O primeiro 
padrão de medida originou-se na Suméria, 
onde uma definição foi gravada na estátua 
de Gudéia da cidade de Lagash, por volta 
de 2575 a.C. Certos metrologistas especu-
lam; que a unidade imperial foi adaptada 
de uma medida egípcia pelos gregos e, 
posteriormente um pouco maior, pelos 
Guia do Professor - Matemática 
 
27 
 
romanos. Esse sistema de medida é utili-
zado atualmente para medir comprimento 
no Reino Unido, nos Estados Unidos e, com 
menor frequência, no Canadá. 
a) Com base no texto, um pé corres-
ponde a _____ centímetros ou 
 ______ metros. 
b) Um avião comercial voa entre 35 mil 
e 42 mil pés de altura. Assim sendo, 
a quantos metros de altura voa um 
avião comercial? 
c) No futebol americano, o Tou-
chdown, é conquistado quando 
um jogador tem a posse legal da 
bola dentro da zona de finalização 
(endzone, uma parte de 10 jardas 
colorida no final de campo) do ad-
versário. Conquistar um tou-
chdown é o principal objetivo da 
equipe que ataca. Complete o qua-
dro abaixo com as medidas equiva-
lentes a 10 Jardas: 
 
jardas pés palmos polega-das 
centíme-
tros metros 
10 
 
 
ATIVIDADE 4 
Arroba do boi. 
A arroba também é uma unidade de me-
dida utilizada no Brasil para sinalizar o peso 
de um boi. 
Uma arroba, no Brasil e em Portugal, 
equivale a 15 kg. Na Espanha é utilizada 
para medir litros, sendo diferente a arroba 
para líquidos como o vinho ou o azeite. A 
medida em arrobas foi deixando de ser 
usada gradativamente desde que foi assu-
mido o Sistema Internacional de Unidades, 
mas ainda é negociada no mercado do 
agronegócio. 
 
Arroba do Boi- Preço à vista 
Nova Canaã do 
Norte - MT 
R$ 134,00 
Arapongas - PR R$ 150,00 
Sertãozinho - SP R$ 153,00 
Fonte: Globo Rural – março de 2019 
 
A tabela apresenta o preço comerciali-
zado da arroba do boi gordo em três regi-
ões brasileiras no mês de março de 2019. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
28 
 
a) Qual foi o preço da arroba do boi 
no Estado do Paraná? 
 
 
 
b) Qual a cidade que apresenta o me-
lhor preço para a compra? Justifi-
que. 
 
 
 
c) Qual a cidade que apresenta o me-
lhor preço para a venda? Justifi-
que. 
 
 
 
d) Quantas arrobas tem um boi que 
pesa 720 kg? 
 
 
 
e) Se esse boi de 720 kg estiver em 
Sertãozinho-SP, quanto seu dono 
irá lucrar com a sua venda? 
 
 
 
f) Qual a diferença de preços entre a 
cidade com o maior e menor valor 
da arroba do boi gordo? Em quais 
cidades? 
 
ATIVIDADE 5 
Medidas agrárias. As medidas agrárias 
são utilizadas para medir áreas rurais. Co-
mumente ouvimos dizer que alguém com-
prou uma fazenda de 10 hectares, mas 
como será essa medida? Vejamos: As unida-
des agrárias se relacionam com as unidades 
de medida de superfície da seguinte forma: 
 1 are é equivalente a 100 metros 
quadrados 
 1 hectare é equivalente a 100 ares ou 
10 000 metros quadrados 
 1 centiare é equivalente a 1 centé-
simo do are ou 1 metro quadrado. 
Resumindo 
 1 a = 100 m 
 1 ha = 100 ares = 10 000 m2 
 1 ce = 1 m2 
 
Agora responda: 
a) Quantos metros quadrados equiva-
lem a 15 hectares? 
 
b) Quantos hectares tem uma fazenda 
com 200 000 metros quadrados? 
 
c) 4,5 hectares equivalem a quantos 
ares? E a quantos metros quadra-
dos? 
 
 
29 
 
 
Outra medida agrária é o alqueire. Dependendo da região do nosso país, essa medida 
sofre variações. Vejamos: 
 1 alqueire paulista equivale a 24 200 metros quadrados 
 1 alqueire do norte equivale a 27 225 metros quadrados 
 1 alqueire mineiro equivale a 48 400 metros quadrados 
 1 alqueire baiano equivale a 96 800 metros quadrados. 
5. Características do Sistema Métrico Decimal.
ATIVIDADE 1 
A criação do metro. 
Antigamente, a utilização de unidades de medida como o palmo ou o passo causava 
uma série de problemas para as pessoas, principalmente no comércio. Como determinar a 
medida exata de um produto se a unidade-padrão variava de tamanho? O desenvolvi-
mento das grandes cidades e o consequente aumento de intercâmbio entre os povos ge-
raram a necessidade de estabelecer padrões estáveis e confiáveis para as medidas. 
Um desses padrões foi o metro. A palavra “metro” vem do grego métron, que significa 
medida. O metro foi criado no final do século XVIII por uma comissão de cientistas, da qual 
faziam parte os matemáticos Pierre Simon Laplace e Joseph-Louis Lagrange. Ao contrário 
dos outros padrões de medida, que tinham o corpo humano como referência, o metro foi 
definido com base no meridiano terrestre. Assim a definição do metro foi a seguinte: a dé-
cima milionésima parte da distância entre o Polo Norte e o Equador, ao longo do meridiano 
que passava por Paris. Imagine a quarta parte do meridiano terrestre dividida em 10 mi-
lhõesde partes iguais. Cada uma dessas partes mede 1 metro. 
Porém, em virtude da pouca praticidade em se determinar tal distância, o comprimento 
do metro foi registrado em uma barra metálica de platina e irídio, que está guardada na 
cidade de Sèvres, na França. Construído o padrão, cópias exatas foram distribuídas para 
diversos países, que passaram a adotar o metro como unidade-padrão de medida. 
Em 1960, foi criado o Sistema Internacional de Unidades (SI), que definiu os prefixos 
para os múltiplos e submúltiplos das principais unidades de medida: metro (comprimento), 
quilograma (massa), segundo (tempo) etc. Essas divisões seguiram o mesmo princípio do 
sistema decimal, em que cada unidade corresponde a dez unidades da posição anterior. 
Guia do Professor - Matemática 
 
30 
 
Não é por acaso que os três primeiros submúltiplos do metro possuem o mesmo prefixo 
das primeiras casas decimais: decímetro, centímetro e milímetro. 
A Tabela a seguir mostra os principais múltiplos e submúltiplos do metro. 
 
Múltiplos do metro Submúltiplos do metro 
quilo-
metro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro 
(m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(mm) 
 
1000 m 
 
 
100 m 
 
10 m 
 
1 m 
1
10
 m 
 
ou 0,1 m 
1
100
 m 
 
ou 0,01 m 
1
1000
 m 
 
ou 0,001 
m 
 
Responda às questões a seguir, utili-
zando a notação fracionária ou decimal: 
a) Quantos centímetros equivalem a 1 
metro? 
 
b) Quantos metros equivalem a 1 mi-
límetro? 
 
c) Quantos metros equivalem a 1 mi-
límetro? 
 
d) Quantos metros equivalem a 1 mi-
límetro? 
 
e) Quantos centímetros equivalem a 1 
milímetro? 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
31 
 
ATIVIDADE 2 
Complete o quadro a seguir que relaciona comprimentos expressos em metros e em 
centímetros. 
Comprimento 
em metros 2,3 2,03 2,003 2,33 
Comprimento 
em centíme-
tros 
 5 12 102 1 0,5 
 
a) Que cálculos você fez para transformar metros em centímetros e centímetros em 
metros? 
 
 
b) Registre os cálculos que você fez de multiplicar por 100 e por 0,01 que surgiram 
na tabela. 
 
 
c) Agora complete os quadros: 
 
Comprimento 
em centímetros 0,4 0,02 0,42 
Comprimento 
em milímetros 30 5 35 3 1 0,5 3,5 
 
Comprimento 
em metros 1 10 0,1 0,01 10,11 
Comprimento 
em milímetros 1 10 100 11 0,5 0,05 
 
d) Que cálculos você fez para transformar centímetros em milímetros e milímetros em 
centímetros? 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
32 
 
e) Que cálculos você fez para transformar metros em milímetros e milímetros em me-
tros? 
 
 
 
ATIVIDADE 3 
As unidades mais usadas para medir comprimento são o centímetro (cm), o metro (m) 
e quilômetro (km). Pegue uma trena ou uma fita métrica e verifique o comprimento de 1 m, 
1 cm e 1 mm. Confira a seguir, as correspondências entre o m, o cm, o mm e o km. 
1 m = 100 cm 
1 cm = 10 mm 
1 m = 1000 mm 
1 km = 1000 m 
 
Analise a régua ilustrada a seguir: 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do Professor/Aluno – Vol 1- edição 2014/2017 
Agora responda: 
a) Quantos cm tem essa régua? 
 
b) Quantos mm tem essa régua? 
 
c) É preciso quantas réguas iguais a 
esta para compor um metro? 
 
d) Quantos centímetros tem a régua 
que você usa? Quantas vezes o ta-
manho da sua régua cabe em um 
pedaço de barbante de um metro? 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
33 
 
 Quantos centímetros há em:: 
a) Um metro e meio: 
 
b) Dois metros: 
 
c) Quinze metros: 
 
 Quantos milímetros há em: 
a) Cinco centímetros e meio: 
 
b) Trinta centímetros: 
 
c) Quinze centímetros: 
 
 Quantos metros há em: 
 
a) Dois quilômetros: 
 
b) Um quilômetro e meio: 
 
c) Cem quilometros: 
 
 A distância percorrida por um carro 
da cidade de São Paulo até a cidade 
do Rio de Janeiro via BR-116, é de 
434,5 km. Essa distância em metros 
é de: 
 
ATIVIDADE 4 
Faça uma pesquisa e descubra qual é a 
diferença de significado entre as palavras 
peso e massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
34 
 
ATIVIDADE 5 
Com base na tabela dos múltiplos e submúltiplos do metro, complete a tabela a seguir 
com o valor de cada múltiplo e submúltiplo das unidades de massa. 
 
Múltiplos do grama Submúltiplos do grama 
quilograma 
(kg) 
hectograma 
(hg) 
decagrama 
(dag) 
grama 
(g) 
decigrama 
(dg) 
centigrama 
(cg) 
miligrama 
(mg) 
 1 g 
 
ATIVIDADE 6 
As unidades mais usadas para medir 
massa são o quilograma (kg), o grama (g), o 
miligrama (mg) e a tonelada (t) que equivale 
a 1000 kg. Agora, com base no quadro que 
você preencheu, responda: 
 Quantos gramas há em: 
a) Meio quilograma: 
b) Dois quilogramas e meio: 
c) Quinze quilogramas: 
d) Dez toneladas: 
 Quantos miligramas há em: 
a) Um grama: 
b) Meio grama: 
c) Meio grama: 
 Quantos quilogramas equivalem a 
2 gramas? 
 
 O maior rinoceronte branco pesa 
aproximadamente 2300 kg. Ex-
presse essa medida em: 
a) Toneladas: 
b) Gramas: 
c) Qual dessas unidades você acha 
mais apropriada para expressar a 
massa desse rinoceronte? 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 Observe na tabela 1, a lista de alguns animais mais pesados do mundo. 
a) Associe estes animais com as massas que você julgar mais adequadas e registre no 
espaço em branco da tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Agora, faça uma pesquisa para va-
lidar as suas respostas. 
 
 
 
 
 
 
c) Quanto equivale em quilogramas a 
massa de cada anima? 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 7 
Medida de capacidade 
Agora vamos falar de outras unidades de medida que você conhece, o litro ( l ) e o 
mililitro ( ml ). As unidades litro ( l ) e mililitro ( ml ) costumam aparecer em embalagens de 
leite, refrigerante, água etc. São chamadas de medidas de capacidade e nesses casos elas 
indicam a quantidade de líquido que há dentro da embalagem, o litro para embalagens 
maiores e o mililitro para as menores. O litro equivale a 1000 ml, no caso das embalagens 
Tabela 2 
Massa (em toneladas) Animal 
1,2 t 
200 t 
5 t 
3 t 
Tabela 1 
Animal 
Elefante asiático 
Baleia azul 
Hipopótamo 
Girafa 
Guia do Professor - Matemática 
 
36 
 
de leite, por exemplo. Mas temos ainda embalagens de 500 ml, 900ml, 600 ml e 350 ml, 
entre outras.
Com base na leitura e discussão do texto 
com o seu professor, responda: 
a) Em meio litro há quantos mililitros? 
 
b) Quantos litros há em 2000 milili-
tros? 
 
c) Em 1500 mililitros há quantos li-
tros? 
 
d) Quantos mililitros há em uma gar-
rafa de refrigerante de 2 litros e 
meio? 
 
e) Com um litro de leite, quantos co-
pos de 200 ml se consegue en-
cher? 
 
f) Dois litros e meio de refrigerante 
são suficientes para encher 6 copos 
de 300 ml cada? Justifique a sua 
resposta. 
 
g) Carina comprou uma garrafa com 
capacidade para 1 litro. Ela já colo-
cou água, mas ainda falta um 
quarto para que a garrafa esteja 
completamente cheia. Quantos ml 
de água Carina ainda pode colocar 
nessa garrafa? 
 
h) O automóvel do Seu Pedro pai da 
Alice, tem um tanque com capaci-
dade para 50 litros de combustível. 
Sabendo que seu carro percorre 8 
km com um litro de combustível, 
será que ele o tanque completo, 
percorrer uma distância de 500 
km? Justifique a sua resposta 
 
i) Na semana passada, o carro do Seu 
Pedropercorreu 240 km. Sabendo 
que o seu carro faz 8 km com um 
litro de combustível. Quantos litros 
de combustível foram gastos para 
fazer esse percurso? 
Guia do Professor - Matemática 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7º ano do Ensino Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
38 
 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. 
Apresentamos a seguir, uma grade curricular para a transição do material de apoio do 
Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Cur-
rículo Oficial de Matemática vigente e sua respectiva relação com o Currículo Paulista, além 
de algumas orientações pedagógicas, para os quatro anos finais do Ensino Fundamental. 
A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexí-
vel. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e 
medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que funda-
mentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pes-
soais, a abordagem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do trabalho, a carac-
terização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também 
aprende com as circunstâncias. 
Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em 
mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As 
disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos conteúdos é que 
realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competências 
pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação etc. 
Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas 
pelos estudantes em cada unidade. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as 
ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio de 
aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. GRADE CURRICULAR DO 7º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. 
Guia do Professor - Matemática 
 
39 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números/Rela-
ções 
 
 Geometria mé-
trica 
 
o Medidas de ân-
gulos. 
 
 
 
 
Compreender a ideia 
de medida de um 
ângulo (em grau), 
sabendo operar com 
medidas de ângulos 
e usar instrumentos 
geométricos para 
construir e medir ân-
gulos. 
 Geometria. 
 
 Ângulos: 
noção, 
usos e me-
didas. 
 
 
 
(EF06MA25) Reco-
nhecer a abertura 
do ângulo como 
grandeza associada 
às figuras geométri-
cas. 
(EF06MA26) Solu-
cionar situações-
problema que en-
volvam a noção de 
ângulo em diferen-
tes contextos e em 
situações reais, 
como ângulo de vi-
são. 
(EF06MA27) Deter-
minar medidas de 
abertura de ângu-
los, por meio de 
transferidor e/ou 
tecnologias digitais. 
 
 
40 
 
1.1.1 – Ângulos: noção, usos e medidas 
Na continuidade dos estudos referentes 
à Geometria Métrica, introduzimos a noção 
de medida de um ângulo, aprofundando a 
ideia de giros e favorecendo a construção 
de referenciais para a estimativa visual da 
medida dos ângulos, bem como a manipu-
lação do transferidor para se medir e cons-
truir ângulos. Outra ideia explorada é a do 
uso dos ângulos como referência de locali-
zação. Definido um ângulo, o sentido de 
giro e a distância a ser percorrida em certa 
direção, podemos nos orientar e locomover 
com precisão. Neste contexto, a proposta 
de construção de polígonos por meio de co-
mandos, construindo algoritmos ou em am-
biente computacional (geometria dinâmica) 
é uma importante aplicação das noções 
apresentadas. 
Considerações sobre avaliação 
Com relação aos saberes elencados 
para o desenvolvimento da habilidade des-
crita, espera-se que o aluno consiga estimar 
visualmente a medida de um ângulo, utilizar 
o transferidor e outros instrumentos geomé-
tricos para construir e medir ângulos em si-
tuações-problema significativas e, se possí-
vel, que tenha ampliado de forma significa-
tiva seu vocabulário geométrico com 
palavras como ângulo agudo, obtuso, reto, 
raso, ângulos complementares, suplemen-
tares etc. 
Quanto ao uso de instrumentos geomé-
tricos para construir e medir ângulos, é im-
portante que o professor esteja atento espe-
cialmente ao uso correto do transferidor 
com o vértice do ângulo, e na leitura correta 
das indicações marcadas nesse instru-
mento. 
 Seria interessante a utilização de softwa-
res de geometria dinâmica para validar se 
os procedimentos realizados com instru-
mentos geométricos estão corretos. 
Orientações para a recuperação 
A orientação geral para a recuperação 
das aprendizagens dos alunos que não atin-
giram as expectativas, remete à organização 
de novas sequências de atividades, que 
possibilitem a utilização de recursos didáti-
cos ou computacionais. Sugerimos a cons-
trução de um transferidor não convencional, 
o “transferidor tuti”, conforme orientações 
da Situação de Aprendizagem 5 “A geome-
tria dos ângulos”, do Caderno de Matemá-
tica do 7º ano – volume 1, que favorece a fa-
miliarização gradativa do aluno com as me-
didas do ângulo, em graus utilizada no 
transferidor convencional. 
 
41 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Geometria 
 
o Ângulos. 
Compreender a ideia 
de medida de um ân-
gulo (em grau), sa-
bendo operar com me-
didas de ângulos e usar 
instrumentos geomé-
tricos para construir e 
medir ângulos. 
 Geometria 
 Constru-
ções geo-
métricas: 
ângulos 
de 90º, 
60º, 45º e 
30º e polí-
gonos re-
gulares. 
 
 Mediatriz 
e bissetriz 
como lu-
gares geo-
métricos e 
proble-
mas. 
(EF08MA15) Construir, 
utilizando instrumentos 
de desenho ou softwares 
de geometria dinâmica, 
mediatriz, bissetriz, ângu-
los de 90º, 60º, 45º e 30º 
e polígonos regulares. 
 
 
(EF08MA16) Descrever, 
por escrito e por meio de 
um fluxograma, um algo-
ritmo para a construção 
de um hexágono regular 
de qualquer área, a partir 
da medida do ângulo cen-
tral e da utilização de es-
quadros e compassos. 
 
(EF08MA17) Aplicar os 
conceitos de mediatriz e 
bissetriz como lugares ge-
ométricos na resolução de 
problemas. 
 
42 
 
1.1.2 – Construções geométricas 
Formalmente chamamos de ângulo a fi-
gura formada por duas semirretas com 
mesma origem. Existem muitas maneiras 
distintas de representar um ângulo, e a in-
trodução ao seu estudo não deve se preo-
cupar, no primeiro momento, essencial-
mente com a formalização matemática de 
seu conceito, mas sim com a construção do 
seu significado. A ideia de ângulo associada 
a um giro pode ser o ponto de partida para 
o trabalho, por exemplo, 1
2
 giro, 1
4
 de giro, 
3
4
 de giro etc. 
Ressaltamos que a apresentação do 
transferidor como instrumento para medir e 
construir ângulos deve ser feita de forma 
cuidadosa, especialmente pelo fato de que 
o aluno costuma enfrentar dificuldades para 
utilizá-lo de maneira apropriada. Parte das 
dificuldades dos alunos está relacionada ao 
fato de que a unidade grau é bem pequena, 
ou seja, ela não pode ser manipulada fisica-
mente. 
Com relação ao uso de instrumentos ge-
ométricos, o estudo de ângulos oferece, 
alémdo transferidor, uma rica oportuni-
dade para o manuseio de esquadros e com-
passo. As construções dos ângulos de me-
didas 30º, 45º, 60º e 90º, podem ser feitas 
também com o compasso, a régua e os es-
quadros. Outras construções como 15º, 22º, 
30º, 75, 105º, 120º, 135º etc., podem ser fei-
tas com o uso simultâneo de dois esqua-
dros, e algumas delas também com o uso de 
compasso e régua por meio da construção 
da bissetriz. Nos casos em que a construção 
pode ser feita com diferentes instrumentos 
geométricos, é importante que o aluno per-
ceba que o uso do compasso é preferível ao 
dos demais instrumentos, pois, na maior 
parte dos casos, o compasso usado correta-
mente, permite melhor precisão do dese-
nho. 
Atrelado a utilização dos instrumentos 
geométricos seria importante também a 
transposição destes procedimentos para 
um ambiente de geometria dinâmica, com o 
pressuposto de que o aluno valide todas as 
construções no concreto em um ambiente 
computacional. 
A seguir propomos um algoritmo para a 
construção de um hexágono regular. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
43 
 
 Algoritmo para construção de um hexá-
gono regular. 
1º Passo: Trace um segmento de reta. 
 
 
 
2º Passo: Obter o ponto médio do seg-
mento AD 
 
 
 
 
3º Passo: Com a ponta do compasso em O, 
traçar a circunferência com diâmetro AD����� e 
raio OD�����. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Passo: Com a ponta seca do compasso 
em O, traçar a circunferência com diâmetro 
AD����� e raio OA����� . 
 
 
 
 
 
5º Passo: Marcar os pontos de interseção 
das circunferências e nomeie por B e F; 
 
 
 
 
 
 
 
6º Passo: Com a ponta seca do compasso 
em O, traçar a circunferência com diâmetro 
AD����� e raio OD����� . 
 
 
 
 
 
 
 
7º Passo: Marcar os pontos de interseção 
das circunferências e nomeie por C e E; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
44 
 
8º Passo: Trace o polígono formado pelos 
pontos: A, B, C, D, E e F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações sobre avaliação 
A habilidade em referência tem como 
foco central aos procedimentos referentes à 
construção de ângulos, neste sentido é im-
portante que o professor esteja atento à uti-
lização de transferidores e compassos, es-
pecialmente ao uso correto do transferidor, 
já que os alunos costumam cometer erros 
no ajuste do centro do transferidor com o 
vértice do ângulo, e na leitura correta das in-
dicações marcadas nesse instrumento. Su-
gere-se que a avaliação de aprendizagem 
dessa etapa que o professor proponha ativi-
dades de construção e medidas de ângulos, 
utilizando diversos instrumentos, bem 
como, o transferidor, o compasso, a régua e 
também a utilização de recursos de geome-
tria dinâmica, caso a Unidade Escolar dispo-
nha de um ambiente propício na utilização 
desse recurso. 
Orientação para a Recuperação 
Neste caso, a recuperação da aprendi-
zagem estará ligada à retomada da constru-
ção considerando o entendimento de uma 
etapa anterior, por exemplo, a construção 
de um ângulo de 15º, e assim procurar esta-
belecer as etapas que permitem a constru-
ção do ângulo de 75º, desta forma haverá 
uma ligação entre os algoritmos/fluxogra-
mas, estabelecidos pelo professor. 
 
45 
 
 Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Geometria 
 
 Simetria 
 
o transla-
ção, rota-
ção e re-
flexão. 
 
Compreender e iden-
tificar simetria axial e 
de rotação nas figuras 
geométricas e nos 
objetos do dia a dia 
 Geometria 
 
 Transfor-
mações ge-
ométricas 
de polígo-
nos no 
plano carte-
siano: mul-
tiplicação 
das coorde-
nadas por 
um número 
inteiro e 
obtenção 
de simétri-
cos em re-
lação aos 
eixos e à 
origem. 
 Simetrias 
de transla-
ção, rota-
ção e refle-
xão. 
 
 
 
 
(EF07MA19) Localizar 
no plano cartesiano 
pontos (coordenadas) 
que representam os vér-
tices de um polígono e 
realizar transformações 
desses polígonos, decor-
rentes da multiplicação 
das coordenadas de seus 
vértices por um número 
inteiro. 
(EF07MA20) Reconhe-
cer e representar, no 
plano cartesiano, o simé-
trico de figuras em rela-
ção aos eixos e à origem. 
(EF07MA21) Reconhe-
cer e construir figuras 
obtidas por simetrias de 
translação, rotação e re-
flexão, usando instru-
mentos de desenho ou 
softwares de geometria 
dinâmica e vincular esse 
estudo a representação 
planas de obras de arte, 
elementos arquitetôni-
cos, entre outros. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
46 
 
1.1.3 – Transformações Geométricas 
Seja na natureza ou nos objetos e cons-
truções criados pelo homem, nosso mundo 
é repleto de simetria. A palavra simetria é 
usada na linguagem coloquial em dois sen-
tidos. Um deles indica algo em boas propor-
ções, equilibrado e harmonioso, muitas ve-
zes associado a ideia de beleza. O segundo 
é aquele que aproxima simetria da ideia de 
equilíbrio, ou seja, da ideia de que há ele-
mentos idênticos dos dois lados de um refe-
rencial por exemplo, à esquerda e à direita 
de uma linha reta. Neste sentido, a ideia de 
reflexão desempenha papel importante 
porque a ela associamos o “espelhamento” 
perfeito e sem distorção. 
Há diversas possibilidades de tratar o as-
sunto, tanto o estudo de ângulos e simetrias 
explorando objetos do dia a dia, como em 
figuras, malhas geométricas e explorando 
softwares de geometria dinâmica. 
Sugerimos por exemplo, a Situação de 
Aprendizagem 6, disponibilizada no mate-
rial de apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Vol. 1, 7º ano, pg. 58 a 66 e também 
indicamos um artigo que trata de um dos ex-
poentes das artes gráficas, Maurits Cornelis 
Escher, na qual frequentemente utilizou a si-
metria para compor seus trabalhos: 
http://www.ipv.pt/millenium/Mille-
nium42/4.pdf, acesso em 12/11/2018. 
 
 
Considerações sobre avaliação 
Com os conteúdos referentes à habili-
dade, espera-se que o aluno familiarize com 
a simetria axial e rotacional, bem como as 
principais transformações do plano (refle-
xão, rotação e translação). Vale lembrar que 
as transformações do plano serão aprofun-
dadas posteriormente, o objetivo neste mo-
mento da aprendizagem é estabelecer o 
primeiro contato com a percepção visual de 
simetrias e movimentos no plano. 
Sugerimos, se possível, a apresentação 
de uma vasta diversidade de situações em 
que o aluno possa identificar simetrias, favo-
recendo a ampliação de repertório para a 
análise, interpretação e apreciação de figu-
ras e imagens. 
Orientação para a Recuperação 
Com relação à recuperação das aprendi-
zagens referente os conteúdos de transfor-
mações no plano, o professor pode diversi-
ficar o refinamento da observação em dife-
rentes objetos, obras de arte, construções 
arquitetônicas, mosaicos etc. Além desse 
aspecto relacionado à estética, o conheci-
mento de simetria também constitui uma va-
liosa ferramenta para a investigação de al-
gumas propriedades geométricas. 
47 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Geometria 
 
 Polígo-
nos 
 
o Ângulos 
internos e 
externos. 
 
Saber calcular a soma 
das medidas dos ân-
gulos internos de um 
triângulo e estendertal cálculo para polí-
gonos de n lados. 
Saber aplicar os co-
nhecimentos sobre a 
soma das medidas 
dos ângulos de um 
triângulo e de um po-
lígono em situações 
práticas. 
 
 Geometria 
 
 Polígonos 
regulares: 
quadrado 
e triân-
gulo equi-
látero 
 
 
 
(EF07MA27) Calcular me-
didas de ângulos internos 
de polígonos regulares, 
sem uso de fórmulas, e es-
tabelecer relações entre 
ângulos internos e exter-
nos de polígonos, prefe-
rencialmente vinculadas à 
construção de mosaicos e 
de ladrilhamento. 
 
(EF07MA28) Descrever, 
por escrito e por meio de 
fluxograma, um algoritmo 
para a construção de um 
polígono regular (como 
quadrado e triângulo 
equilátero), conhecida a 
medida de seu lado. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
48 
 
1.1.4 – Polígonos regulares e ladrilha-
mento 
A priori, podemos dizer que um polí-
gono é uma figura geométrica plana com 
vários ângulos. Uma região poligonal trian-
gular é a reunião de um triângulo e seu inte-
rior. Em geral, uma região poligonal con-
siste em uma figura formada pela justaposi-
ção de um número finito de regiões triangu-
lares. É comum o uso da palavra polígono 
quando nos referimos à região poligonal, o 
que não representa um problema desde 
que seja convencionado. 
No 7º ano, os alunos são apresentados a 
essas definições, mas, muito além do forma-
lismo e rigor de linguagem, o que deve in-
teressar nesse momento é que o aluno saiba 
distinguir regiões poligonais de regiões que 
não sejam poligonais. 
Partindo da soma dos ângulos internos 
de um triângulo igual a dois retos, a genera-
lização pode ser efetuada recorrendo à ob-
servação de regularidade padrão. 
Por fim, uma recorrência, deste assunto, 
está ligada à pavimentação de superfícies, 
ou “ladrilhamento de planos”, que é a apli-
cação de certo número de polígonos idênti-
cos ao redor de um vértice de tal forma que 
não haja sobreposição dos polígonos nem 
espaços em relação a um giro de 360º. 
O uso de polígonos diferentes também 
constitui um problema interessante, que po-
derá ser utilizado para um aprofundamento 
das discussões. 
Podemos afirmar que existem várias tec-
nologias que podem ser utilizadas para o 
desenvolvimento dos conceitos geométri-
cos, dentre elas destacam-se a utilização de 
softwares educacionais que potencializam o 
ensino e aprendizagem da matemática, pois 
proporciona ao aluno a criação de um cená-
rio diferente da disciplina, bem como o en-
riquecimento de práticas pedagógicas que 
desenvolvem a exploração, a criatividade, a 
ludicidade, o raciocínio lógico, a interativi-
dade, a socialização, a afetividade e a refle-
xão crítica. 
Neste contexto, existem alguns ambien-
tes de aprendizagem virtuais, que proporci-
onam a construção de conceitos geométri-
cos, por exemplo, sugerimos o software Su-
perLogo. 
O SuperLogo é uma linguagem de pro-
gramação que permite deslocar o desenho 
de uma tartaruga pela tela do computador, 
de tal forma que por meio de comandos a 
tartaruga deixa um rastro colorido, permi-
tindo assim, desenhar diversas figuras geo-
métricas e ser utilizado no ensino da Mate-
mática. 
O link a seguir disponibiliza o download 
do programa: 
https://www.nied.unicamp.br/biblio-
teca/super-logo-30/, (acesso em 
07/12/2018) 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
49 
 
E o link, apresenta algumas sugestões 
de utilização do programa computacional: 
http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Logo/Su-
perlogo.pdf, (acesso em 07/12/2018). 
Considerações sobre avaliação 
Como parte da avaliação, sugerimos 
que o professor proponha situações-pro-
blema para que os alunos as resolvam indi-
vidualmente ou em grupos, de preferência 
com a produção de relatórios/fluxogramas 
ou algoritmos, em que todos tenham de se 
expressar de forma clara e utilizando ade-
quadamente a linguagem matemática ao 
justificar procedimentos, resultados e/ou ra-
ciocínios. 
Orientação para a recuperação 
Em linhas gerais, para a recuperação das 
aprendizagens, o professor pode propor 
novas linhas de abordagem dos conceitos. 
Para isso, pode apoiar-se também em livros 
didáticos que apresentem propostas dife-
renciadas sobre o assunto e, portanto, pos-
sam ser utilizadas como recurso para a pre-
paração de atividades e para alunos em pro-
cesso de recuperação das aprendizagens. 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Geometria 
 
 
 
 
o Poliedros 
(vistas orto-
gonais) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saber identificar ele-
mentos de poliedros 
segundo diversos 
pontos de vista. 
 
Saber planificar e re-
presentar (em vistas) 
figuras espaciais. 
 Geometria 
 
 Polígonos 
regulares. 
 
 Vistas orto-
gonais de 
figuras es-
paciais. 
 
 
(EF09MA15) Descrever 
por escrito e por meio 
de um fluxograma, um 
algoritmo para a cons-
trução de um polígono 
regular cuja medida do 
lado é conhecida, utili-
zando régua e com-
passo, como também 
softwares. 
 
(EF09MA17) Reconhe-
cer vistas ortogonais de 
figuras espaciais e apli-
car esse conhecimento 
para desenhar objetos 
em perspectiva. 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
51 
 
1.2.5 – Projeções e vistas ortogonais. 
Para o desenvolvimento da habilidade 
descrita, é importante resgatar a ideia de 
projeção ortogonal, que é definida como a 
extremidade (P’) do segmento de reta per-
pendicular ao plano cuja outra extremidade 
seja o ponto P, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, projeção ortogonal é uma re-
presentação num hiperplano de k dimen-
sões de um objeto que tem n dimensões, 
considerando k < n. 
O estudo das projeções ortogonais 
compreende as projeções em malhas iso-
métricas e as vistas ortogonais, que detalha-
remos a seguir. 
Projeção isométrica: é uma maneira es-
pecífica de representar uma imagem tridi-
mensional. O uso do papel reticulado sim-
plifica o aprendizado, como apresentare-
mos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
52 
 
 
Face Lateral Face superior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vistas ortográficas 
Diedro é definido como o espaço entre dois semiplanos não contidos num mesmo 
plano com origem numa aresta comum, as figuras a seguir mostram a disposição dos die-
dros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas Face frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Projeção isométrica - Medidas 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
54 
 
1.2 – ATIVIDADES 
1.2.1. Ângulos 
ATIVIDADE 13 
Medida de um ângulo. 
Formalmente chamamos de ângulo a fi-
gura formada por duas semirretas com a 
mesma origem. Existem muitas maneiras 
distintas de se representar um ângulo, e a 
introdução ao seu estudo nesse momento é 
a construção do seu significado. Seguindo 
as orientações abaixo, construa um transfe-
ridor de papel com 16 subdivisões: 
a) Em uma folha em branco e utilizando 
régua, compasso, esquadros ou 
transferidor, construa um quadrado 
nessa folha. 
b) Dobre o quadrado ao meio por la-
dos opostos e pelas diagonais de-
forma a fazer vincos visíveis. 
c) Considere os pontos de A até H, con-
forme a Figura 1. Em seguida, dobre 
OA sobre OB, depois OB sobre OC, 
depois OC sobre OD, e assim por di-
ante atéOH sobre AO, obtendo as 
marcas conforme indicado na Figura 
2. 
 
 
3 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 5 – “A 
Geometria dos Ângulos”. 
 
 
 
 
 
 
d) Marque com um lápis as linhas dos 
ângulos e faça uma circunferência 
no quadrado utilizando o com-
passo ou um CD e recorte-a. 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 24 
O transferidor construído na atividade 
anterior possui unidade de medida igual a 
1/16 da circunferência. Chamaremos cada 
uma das 16 subdivisões do transferidor de 1 
tuti, cuja abreviação será 1 t. 
a) Meça cada um dos ângulos indica-
dos nas figuras a seguir com seu 
transferidor e indique as medidas 
em tutis. 
 
 _________ 
 
 
 
4 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 5 – “A 
Geometria dos Ângulos”. 
Guia do Professor - Matemática 
 
55 
 
 
 
 _________ 
 
 
 
 
 _________ 
 
 
b) Construa um ângulo de medida 5 t. 
 
c) Construa um ângulo de medida 
aproximadamente igual a 3,5 t. 
 
ATIVIDADE 35 
a) Sabendo que cada subdivisão indi-
cada no transferidor convencional 
recebe o nome de 1 grau, cuja abre-
viação é 1º, Ricardo resolveu compa-
rar o transferidor convencional com 
o transferidor de 16 subdivisões (o 
mesmo que você construiu). Obser-
vando e comparando os dois transfe-
ridores, ele precisa completar a ta-
bela a seguir. Ajude Ricardo a encon-
trar os valores faltantes na tabela. 
 
5 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 5 – “A 
Geometria dos Ângulos”. 
 
Transferidor - 
Convencional 
Transferidor - Tuti 
 4t 
45º 
 6t 
22,5º 
 (4/3) t 
112,5º 
 0,2t 
 
b) Relacione as figuras com suas carac-
terísticas geométricas. 
Figura Característica geomé-trica 
1) 
 
 
( ) 
Quadrilátero com qua-
tro ângulos retos. 
2) 
 
 
( ) 
Polígono de cinco la-
dos (pentágonos) com 
um ângulo maior do 
que 180º e menor que 
360º (chamado ângulo 
reflexo), dois ângulos 
agudos e dois obtu-
sos. 
 
3) 
 
 
( ) 
Quadrilátero com dois 
ângulos agudos e dois 
ângulos obtusos. 
4) 
 
( ) 
Quadrilátero com exa-
tamente três ângulos 
agudos. 
5) 
 
 
( ) 
Triângulo com três ân-
gulos agudos. 
ATIVIDADE 46 
6 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 5 – “A 
Geometria dos Ângulos”. 
Guia do Professor - Matemática 
 
56 
 
Nos itens a seguir, construiremos alguns 
ângulos utilizando diferentes instrumentos 
geométricos. 
a) Com o uso de esquadros, construa o 
ângulo SÔL medindo 135º. 
b) Utilizando o compasso e a régua 
construa o ângulo MÂR medindo 
15º. 
c) Com o transferidor, construa o ân-
gulo LÛA medindo 285º. 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 57 
O uso dos instrumentos geométricos no 
estudo de ângulos, bem como a contextua-
lização do estudo em uma situação prática, 
pode ser explorado por meio de atividades 
com ângulos para a localização de rotas de 
navios e aviões. a rota do barco segue a di-
reção de um ângulo em sentido horário de-
finido com base no norte da rosa dos ven-
tos. 
Nesse caso, se um barco está nave-
gando na rota 60, significa que ele está se-
guindo a direção de 60º no sentido horário 
em relação ao norte, como se vê na figura a 
seguir: 
 
7 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 5 – “A 
Geometria dos Ângulos”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a escala de 1 cm para 10 km, 
construa a seguinte rota de um barco: 
a) inicie na rota 40 e navegue 50 km; 
b) gire 10º, pegando a rota 50, e nave-
gue 40 km; 
c) pegue a rota 150 e navegue 30 km. 
ATIVIDADE 68 
Alguns programas de computador, que 
fazem construções geométricas de ângulos 
e polígonos, exigem dois tipos de comando 
do programador: 
 avance “tantos centímetros” 
 gire “tantos graus” para a direita (ou 
para a esquerda). 
 
8 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 5 – “A 
Geometria dos Ângulos”. 
Para as construções das figuras, 
utilize uma folha sem pauta e ao fi-
nal cole-a no seu caderno. 
Guia do Professor - Matemática 
 
57 
 
Neste contexto, sugerimos o software 
SuperLogo. O SuperLogo é uma linguagem 
de programação que permite deslocar o de-
senho de uma tartaruga pela tela do compu-
tador, de tal forma que por meio de coman-
dos a tartaruga deixa um rastro colorido, 
permitindo assim, desenhar diversas figuras 
geométricas e ser utilizado no ensino da Ma-
temática. 
O link a seguir disponibiliza o download 
do programa: 
https://www.nied.unicamp.br/biblio-
teca/super-logo-30/ (acesso em 
12/04/2019) 
E o link apresenta algumas sugestões de 
utilização do programa computacional: 
http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Logo/
Superlogo.pdf: (acesso em 
12/04/2019) 
 
Para que o usuário do programa do Su-
perLogo possa construir a figura desejada, 
é necessário que saiba planejar uma se-
quência correta de instruções, o que é uma 
competência muito explorada no estudo da 
programação de computadores. 
A seguir temos duas sequências de co-
mandos para a construção de um triângulo 
equilátero de lado 5 cm. Utilizando o Super-
Logo, faça as atividades propostas: 
d) Primeira sequência 
 Avance 5 cm; 
 Gire 120º para a esquerda; 
 Avance 5 cm; 
 Gire 120º para a esquerda; 
 Avance 5 cm. 
 
e) Segunda sequência. 
 Avance 5 cm; 
 Gire 120º para a esquerda; 
 Repita os comandos 1 e 2, duas ve-
zes. 
 
ATIVIDADE 7 
Usando o software SuperLogo, construa 
a figura determinada pelo seguinte pro-
grama de computador: 
 Gire 144º para a direita; 
 Avance 2 cm; 
 Gire 72º para a esquerda; 
 Repita quatro vezes os comandos 
de 1 a 3. 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
58 
 
ATIVIDADE 8 
Apresente uma sequência de comandos 
para a construção da figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do aluno – Matemática – 7º 
Ano – Volume 1 – Edição 2014 
1.2.2 Simetria 
ATIVIDADE 1 
A palavra simetria é usada na linguagem 
coloquial em dois sentidos. Um deles indica 
algo em boas proporções, equilibrado e 
harmonioso, muitas vezes associado à ideia 
de beleza. O segundo é aquele que apro-
xima simetria da ideia de equilíbrio, ou seja, 
da ideia de que há elementos idênticos dos 
dois lados de um referencial. 
Em termos geométricos, a simetria axial 
é uma transformação em que a todo ponto 
P do plano se faz corresponder um ponto P’ 
desse mesmo plano, tal que a reta que une 
ambos os pontos seja perpendicular a uma 
reta fixa r, e que as distâncias de P a r, e de 
P’ a r sejam iguais: 
 
 
 
a) A partir da explicação sobre simetria 
axial, verifique quais das figuras 
abaixo não apresentam simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Utilizando um espelho em determi-
nada posição você pode formar, a 
partir dos desenhos a seguir, uma 
forma geométrica fechada. Com-
pleteas figuras a partir da simetria 
observada no espelho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
59 
 
ATIVIDADE 29 
Um recurso muito utilizado no trabalho 
com simetria são as malhas quadriculadas 
ou malhas de pontos. Com esse material é 
possível exercitar movimentos de reflexão, 
translação e rotação de figuras no plano. A 
seguir são apresentadas algumas atividades 
que cumprem esses objetivos. 
a) Em cada um dos itens a seguir, com-
plete as figuras de forma que haja si-
metria em relação ao eixo indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 6 – 
“Refletindo e Girando com simetria”. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
60 
 
b) Complete as figuras apresentadas a seguir para que tenham simetria rotacional de 
180º (com centro de rotação marcado no ponto azul). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Translade em 3 unidades as figuras na direção e no sentido indicados pela(s) 
seta(s) na malha de pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
61 
 
ATIVIDADE 3 
a) A professora Ilana, do 7º Ano, pro-
pôs aos seus alunos uma atividade 
interativa sobre “Simetrias”. Ao aces-
sar o link https://www.geoge-
bra.org/m/bghAFVPw encontrou a 
página “Simetrias” contendo algu-
mas figuras e pediu que os alunos 
respondessem as seguintes pergun-
tas: 
 A figura 1 possui quantos eixos de si-
metria axial? 
 
 A figura 5 possui Simetria de Rota-
ção? Qual o valor do ângulo de sime-
tria? 
 
 Quais figuras possuem Simetria Cen-
tral? 
 
 
b) Determine as coordenadas dos vértices dos polígonos simétricos ABCDE em rela-
ção ao eixo vertical, ao eixo horizontal e à origem O, para que a figura indicada 
translade de forma simétrica para os demais quadrantes do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
1.2.3 Polígonos e ladrilhamento no 
plano. 
Informalmente, dizemos que um polí-
gono é uma figura geométrica plana com 
vários ângulos. Uma região poligonal trian-
gular é a reunião de um triângulo e seu inte-
rior. Em geral, uma região poligonal con-
siste em uma figura formada pela justaposi-
ção de um número finito de regiões triangu-
lares. É comum o uso da palavra polígono 
quando nos referimos à região poligonal, o 
que não representa um problema desde 
que isso seja convencionado. 
Partindo de que a soma dos ângulos in-
ternos de um triângulo é igual à soma de 
dois ângulos retos, a verificação da fórmula 
da soma dos ângulos internos de um polí-
gono pode ser feita recorrendo-se à obser-
vação de regularidade e padrão. 
ATIVIDADE 1 
Em cada um dos polígonos a seguir, es-
colha um vértice e trace todos os triângulos 
possíveis ligando o vértice com outros vérti-
ces do polígono. Depois de traçar os triân-
gulos, marque os ângulos internos de um 
triângulo com lápis de cor azul, os ângulos 
internos de outro triângulo com lápis de cor 
vermelho, e assim por diante, usando outras 
cores. Em seguida, preencha a tabela indi-
cada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura Nome do Polígono 
Número de la-
dos 
Número de triân-
gulo a partir de um 
vértice 
Soma dos ângulos 
internos 
A 
B 
C 
D 
E 
Após preenchimento responda a se-
guinte pergunta: “Qual é a regularidade 
existente em relação à soma dos ângulos in-
ternos de um polígono de n lados?”. 
Guia do Professor - Matemática 
 
63 
 
ATIVIDADE 210 
Polígonos regulares são aqueles que 
possuem lados de mesma medida e ângu-
los de mesma medida. A medida do ângulo 
externo de um polígono é o suplemento da 
medida do ângulo interno correspondente. 
Como um pentágono tem 540º de soma dos 
ângulos internos, um pentágono regular 
terá ângulos internos de medida 540º ÷ 5 = 
108º e ângulos externos de medida (180º– 
108º = 72º). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do aluno – Matemática 
– 7º Ano – Volume 1 – Edição 2014 
 
 
 
 
 
a) Usando os dados obtidos na atividade anterior, complete a tabela a seguir: 
Polígono regular Medida de cada ângulo in-terno 
Medida de cada ângulo ex-
terno 
Triângulo 180° ÷ 3 = 60° 180° – 60° = 120° 
Quadrado 
Pentágono regular 540º ÷ 5 = 108º 180º – 108º = 72º 
Hexágono regular 
Heptágono regular 
Octógono regular 
 
 
 
 
10 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 7 – 
“Polígonos e ladrilhamento do Plano”. 
 
64 
 
b) Observe atentamente o padrão nas 
tabelas apresentadas anterior-
mente e responda a seguinte per-
gunta: “Qual é a fórmula para cal-
cular a medida do ângulo interno 
de um polígono regular de n la-
dos?”. 
 
ATIVIDADE 3 
Atividade experimental 
Agora vamos fazer uma investigação 
matemática sobre os ângulos internos de 
um polígono regular e a pavimentação do 
plano. 
Recorte os polígonos a seguir e agrupe 
de acordo com seus tipos. Em seguida, cole 
em seu caderno os polígonos de mesmo 
tipo tentando pavimentar (cobrir) uma re-
gião do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quais dos polígonos que você rece-
beu preenchem completamente o 
plano, sem sobreposições e sem dei-
xar buracos? 
b) O que você observa quando reúne 
os triângulos equiláteros ao redor 
de um vértice em comum? 
 
c) Os triângulos equiláteros pavimen-
tam o plano? Por que você acha 
que isto acontece? 
 
d) Quanto você acha que é a soma 
das medidas dos ângulos ao redor 
de um único vértice na pavimenta-
ção? 
 
e) Você conseguiria determinar a me-
dida de cada ângulo interno de um 
triângulo equilátero usado na pavi-
mentação? Explique como você 
chegou a esta conclusão. 
 
f) É possível pavimentar totalmente o 
plano usando apenas pentágonos 
regulares? Porquê? 
 
g) Determine a medida de cada ân-
gulo interno de um pentágono re-
gular. 
 
h) A soma das medidas dos ângulos 
ao redor de um único vértice pode-
ria ser 360º? Explique como você 
chegou a esta conclusão. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
65 
 
ATIVIDADE 411 
Para haver um encaixe perfeito dos polí-
gonos regulares em torno de um vértice, é 
necessário que a soma das medidas dos ân-
gulos agrupados nele seja igual a 360º (ân-
gulos replementares). Dessa forma, só ha-
verá um encaixe perfeito se a medida do ân-
gulo interno de um polígono regular dividir 
360º. Considerando isso, faça o que se 
pede: 
a) Liste todos os divisores positivos de 
360º; 
 
b) Os divisores que você listou são os 
“candidatos” à medida do ângulo 
interno do polígono regular que 
estamos procurando. Substitua a 
letra n na fórmula indicada na ta-
bela a seguir, pelos valores listados 
e, em seguida, determine quais são 
os polígonos regulares que ladri-
lham o plano. Liste quais valores de 
n indicam os lados dos polígonos 
que ladrilham o plano. (Dica: se ne-
cessário, utilize a calculadora.). 
 
n [(n – 2) ∙ 180°]÷n 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
1211 A atividade aqui inserida, consta do Material de 
Apoio ao Currículo, edição 2014/2017, Caderno do 
Professor/Aluno, Situação de Aprendizagem 7 – 
“Polígonos e ladrilhamento do Plano”. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
66 
 
ATIVIDADE 5 
As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que 
são divididos em: poliedros e corpos redondos. 
 
 
Fonte: Michel ET. (s/d), p.13 
 
 
 
 
 
Nas atividades a seguir, utilizando malhas pontilhadas desenvolveremos algumas habi-
lidades e perspectivas através de desenhos. 
a) Com base nas figuras indicadas a seguir, desenhe na malha de pontos, os sólidos 
formados quando se eliminam os blocos cor-de-rosa da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do aluno – Matemática – 7º Ano – Volume 1 – Edição 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
67 
 
b) Os sólidos que serão representados ao acrescentarmos um bloco junto às faces 
indicada sem cor-de-rosa. 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do aluno – Matemática – 7º Ano – Volume 1 – Edição 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Desenhe as vistas: laterais esquerda, direita, frontal e superior do sólido indicado 
na malha: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Caderno do aluno – Matemática – 7º Ano – Volume 1 – Edição 2014 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
68 
 
 
ATIVIDADE 6 
Os Poliedros são formados por três elementos básicos: os vértices, as faces e as arestas. 
As faces são formadas por polígonos (figura plana composta de n lados) e as arestas e os 
vértices correspondem aos lados e aos vértices dos polígonos. Observando os poliedros a 
seguir, determine o número de vértices, faces e arestas de cada um deles e anote os resul-
tados na tabela: 
Poliedro Vértices (V) Faces (F) Arestas (A) 
 
Pirâmide de base triangular 
 
 
Pirâmide de base quadrada 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
69 
 
Poliedro Vértices (V) Faces (F) Arestas (A) 
 
Pirâmide de base pentago-
nal 
 
 
Pirâmide de base hexago-
nal 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
 
Poliedro Vértices (V) Faces (F) Arestas (A) 
 
Cubo 
 
 
Paralelepípedo 
 
 
Prisma de base triangular 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
70 
 
Poliedro Vértices (V) Faces (F) Arestas (A) 
 
Prisma de base pentagonal 
 
 
Prisma de base hexagonal 
 
 
 
Dodecaedro 
 
ATIVIDADE 7 
Em 1750, depois de analisar vários tipos 
de sólidos, o matemático Leonhard Euler fez 
uma relação entre o número de vértices (V), 
faces (F) e arestas (A). Observando a tabela 
da atividade anterior responda: “Qual a re-
lação encontrada por Euler?”. 
 
ATIVIDADE 8 
Utilizando palitos de madeira e massi-
nha de modelar, a professora de Matemá-
tica do 7° ano do Ensino Fundamental, soli-
citou que os alunos construíssem a estrutura 
de um sólido que possuísse exatamente 6 
faces e 8 vértices. De acordo com a informa-
ção, determine a quantidade de arestas ne-
cessárias para as construções e na sequên-
cia, apresente as possíveis estruturas com-
postas por esses elementos. 
ATIVIDADE 9 
Desafio 
Ed-
son e Le-
andro es-
tão brin-
cando de 
adivinhações. Cada um escolhe um sólido, 
esconde e o descreve para que o outro 
tente descobrir o seu nome. O sólido que 
Edson escondeu tem o número de faces 
duas vezes menor que o número de arestas. 
Analise os sólidos abaixo, e aponte qual de-
les ele pode ter escolhido. Em seguida, 
ajude Edson a descrevê-lo para que Lean-
dro tente adivinhar. 
 
 
 
71 
 
ATIVIDADE 10 
Matheus e Pietro querem construir planificações (ou moldes) para montar poliedros. 
Observe os moldes que eles construíram: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
Analisando cada um desses moldes, res-
ponda: 
a) É possível montar poliedros com es-
ses moldes? 
 
b) Por quê? 
 
c) Complete essas figuras para que 
seja possível montar poliedros com 
elas. 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 11 
Atividade Experimental 
O GeoGebra é um aplicativo de mate-
mática dinâmica que combina conceitos de 
geometria e álgebra em uma única inter-
face. O programa reúne as ferramentas tra-
dicionais de geometria com outras mais 
adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto tem 
a vantagem didática de representar, ao 
mesmo tempo e em um único ambiente vi-
sual, as características geométricas e algé-
bricas de um mesmo objeto. 
Acessando o link: 
https://www.geogebra.org/m/XcEqPKX9 
você terá acesso à planificação de um bloco 
retangular (paralelepípedo). 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
72 
 
d) O que ocorre quando o comando “i” 
possui valor 1? 
 
e) O que ocorre quando o comando 
“i” possui valor 0? 
 
f) O que ocorre quando os coman-
dos comprimento, largura e altura 
possuem os mesmos valores, e co-
mando “i=0”? 
 
ATIVIDADE 12 
Existe uma classificação especial de po-
liedros chamada de poliedros de Platão ou 
sólidos de Platão. Para que possa ser um po-
liedro de Platão, é necessário que o polie-
dro obedeça às seguintes disposições: 
 Todas as faces devem ter a mesma 
quantidade n de arestas; 
 Todos os vértices devem ser forma-
dos pela mesma quantidade m de 
arestas; 
 A Relação de Euler deve valer: V – A 
+ F = 2, em que (V) é o número de 
vértices, (A) é o número de arestas e 
(F) é o número de faces. 
Só existem cinco tipos de sólidos geo-
métricos que podem ser classificados como 
poliedros de Platão, estes também conheci-
dos como poliedros regulares. São eles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se aprofundar no estudo dos Polie-
dros de Platão, Andreia pesquisando na in-
ternet, acessou um link < https://www.geo-
gebra.org/m/SgQhHGra >, encontrando a 
página “Planificação de Poliedros”. A partir 
dos dados apresentados na página, ela re-
solveu elaborar uma tabela indicando algu-
mas características existentes em cada um 
dos poliedros. Observando as figuras exis-
tentes na página encontrada por Andreia, 
ajude-a a preencher a tabela. 
 
73 
 
Poliedro 
Total de 
vértices 
(V) 
Total de 
Aresta 
(A) 
Total de 
faces (F) 
Todas suas faces 
são formadas por 
qual figura geomé-
trica 
De cada um dos seus 
vértices partem quan-
tas arestas 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 13 
Para resolver as questões abaixo basta 
utilizar a relação encontrada por Euler. 
a) Um poliedro possui 16 faces e 18 
vértices. Qual é o número de arestas 
desse poliedro? 
 
b) Em um poliedro, o número de ares-
tas excede o número de vértices 
em 6 unidades. Qual o número de 
faces? 
 
c) Um poliedro convexo com 16 ares-
tas possui o número de faces igual 
ao número de vértices. Quantas fa-
ces têm esse poliedro? 
 
d) O número de faces de um poliedro 
convexo que possui 34 arestas é 
igual ao número de vértices. Quan-
tas faces possui esse poliedro? 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
8º ano do Ensino Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
75 
 
 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. 
Apresentamos a seguir uma grade curricular para a transição do material de apoio do 
Currículodo Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Cur-
rículo Oficial de Matemática, vigente e sua respectiva relação com o Currículo Paulista, além 
de algumas orientações pedagógicas, para os quatro anos finais do Ensino Fundamental. 
A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexí-
vel. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e 
medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que funda-
mentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pes-
soais, a abordagem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do trabalho, a carac-
terização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também 
aprende com as circunstâncias. 
Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em 
mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As 
disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos conteúdos é que 
eles realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competên-
cias pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação 
etc. 
Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas 
pelos estudantes em cada unidade tem. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, 
as ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio 
de aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
76 
 
1.1. GRADE CURRICULAR DO 8º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
o Equivalên-
cias e 
transfor-
mações 
 
→ Realizar opera-
ções com monô-
mios e polinô-
mios. 
→ Compreender o 
significado de ex-
pressões envol-
vendo números 
naturais por meio 
de sua representa-
ção simbólica e de 
seu significado 
geométrico (2n é 
um número par, 
2n + 1 é um nú-
mero ímpar, a 
soma dos n pri-
meiros números 
naturais é n(n+1)
2
 
etc.) 
 
 Álgebra 
 
 Sequências 
recursivas e 
não recursi-
vas. 
(EF08MA10) Identificar 
a regularidade de uma 
sequência numérica ou 
figural não recursiva e 
construir um algoritmo 
por meio de um fluxo-
grama que permita indi-
car os números ou as fi-
guras seguintes. 
 
(EF08MA11) Identificar 
a regularidade de uma 
sequência numérica re-
cursiva e construir um al-
goritmo por meio de um 
fluxograma que permita 
indicar os números se-
guintes. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
77 
 
1.1.1 Sequências recursivas e não recur-
sivas. 
No 8º ano, o desenvolvimento de novas 
habilidades para o cálculo algébrico pode 
ser retomado por meio de uma atividade 
que possibilite a discussão de propriedades 
das operações algébricas, com o objetivo 
de reforçar não só a identificação da regula-
ridade de uma sequência numérica, como 
também a equivalência entre expressões al-
gébricas. Neste sentido poderão ser aplica-
das as sequências figurais/geométricas, ge-
neralizando algumas propriedades como: a 
distributiva no produto, a comutativa, a as-
sociativa e principalmente os produtos no-
táveis. 
Estando asseguradas pelo aluno, o reco-
nhecimento de sequências não recursivas, o 
uso da simbologia algébrica para expressar 
suas regularidades numéricas e a equivalên-
cia entre elas, previstas para os 6º e 7º anos, 
pode-se, nesse momento, introduzir as ha-
bilidades 10 e 11, as quais propõem o apro-
fundamento das habilidades acima, constru-
indo um fluxograma. A expectativa é que o 
aluno explique como realiza o que lhe é so-
licitado realizando uma metacognição. 
Considerações sobre avaliação 
Aqui a expectativa de aprendizagem re-
mete à representação de sequências 
simples com o uso de letras e expressões al-
gébricas não recursivas, compreendendo a 
noção de variável de uma expressão algé-
brica. 
Para que se obtenha êxito no desenvol-
vimento, é importante que o professor pre-
pare outras sequências com figuras ou nú-
meros para que os alunos possam praticar 
as habilidades: a observação, a generaliza-
ção e o registro algébrico. 
Orientações para a recuperação. 
Caso existam dificuldades à identifica-
ção da regularidade de uma sequência e a 
possibilidade de traduzi-la por intermédio 
de uma expressão algébrica, sugerimos que 
o professor: 
 prepare e aplique listas de proble-
mas com características mais pontu-
ais, que explorem, de forma mais 
lenta e gradual, cada conceito; 
 recorra ao livro didático adotado e a 
outros, selecionando problemas e 
agrupando-os de modo a formar 
uma sequência de atividades em 
concordância com a proposição de 
construção conceitual desenvolvida 
na habilidade descrita na BNCC. 
 
78 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
 
o Produtos 
notáveis 
 
o Fatoração al-
gébrica. 
 
o Equações de 
2º grau, re-
solução e 
problemas 
 
 
 
 
 
 
→ Relacionar as lin-
guagens algé-
brica e geomé-
trica, sabendo 
traduzir uma de-
las na outra, par-
ticularmente no 
caso dos produ-
tos notáveis. 
 
→ Saber atribuir 
significado à fa-
toração algébrica 
e como utilizá-la 
na resolução de 
equações e em 
outros contextos. 
 Álgebra 
 
 Expres-
sões algé-
bricas: fa-
toração e 
produtos 
notáveis. 
 
 Resolução 
de equa-
ções poli-
nomiais 
do 2º grau 
por meio 
de fatora-
ções. 
(EF08MA09) Compre-
ender os processos de 
fatoração de expressões 
algébricas, com base em 
suas relações com os 
produtos notáveis, para 
resolver e elaborar pro-
blemas que possam ser 
representados por equa-
ções polinomiais do 2º 
grau. 
 
 
 
79 
 
1.1.2 Produtos Notáveis e Fatoração 
Quando nos reportamos à aplicação dos 
produtos notáveis, existe a possibilidade de 
alguns alunos apresentarem dificuldades no 
desenvolvimento deste assunto, pois, ele é 
restritamente ligado a uma mera técnica al-
gébrica, sem compreender o seu sentido, e 
porque veem o assunto de forma desvincu-
lada de sua aplicação. 
Neste sentido, a utilização de letras para 
representar as medidas dos lados de uma fi-
gura geométrica é um recurso importante 
na formação algébrica dos alunos. É o passo 
para a generalização de determinadas pro-
priedades relacionadas ao período ou à 
área dessas figuras. O uso diversificado de 
linguagens, em particular da linguagem ge-
ométrica, no caso dos produtos notáveis as-
sume papel muito importante na apropria-
ção de significados no contexto da Álgebra. 
Especificamente no desenvolvimento 
do produto da soma de dois números como (x + a) ∙ (x + b) refere-se a uma situação ge-
ral que permite, além de sua posterior inter-
pretação no desenvolvimento específico 
dos produtos notáveis como (a + b)2 e (a – b)2, a construção de noções fundamen-
tais aplicadas tanto à fatoração de trinômios 
quanto à resolução de equações de 2º grau 
pelo método conhecido como “soma e pro-
duto das raízes” 
O procedimento da fatoração, deve ser 
tratado paralelamente aos produtos notá-
veis, bem como também abordar em con-
junto as fatorações e as simplificações de 
frações algébricas, uma vez que tais proce-
dimentos pretendem promover a integra-
ção entre todos esses conceitos e aindaa re-
solução de equações. 
Vale ressaltar que não se trata de abor-
dar em profundidade a resolução de um de-
terminado tipo de equação, mas sim de atri-
buir significado aos importantes conceitos 
de valor numérico de um polinômio e de 
raiz de um polinômio, além de relacionar, 
desde o início, os casos de fatoração à reso-
lução de equações. 
Considerações sobre avaliação 
O desenvolvimento das habilidades pro-
postas incluem o conhecimento de situa-
ções que exigem resolução de equações de 
2º grau, a aplicação de conhecimentos ma-
temáticos referentes a outros contextos, 
como propriedades de potências, métodos 
de resolução de equações lineares, constru-
ção de tabelas, cálculo mental e aplicação 
de processos de fatoração. A grande ênfase 
dada às resoluções apoiadas em processo 
de fatoração tornou os produtos notáveis 
um conhecimento a ser aprendido e apli-
cado em novos contextos. Mais uma vez, 
combinando a abordagem algébrica com a 
geométrica, há um resgate, de forma lógica, 
do processo histórico que envolveu o trata-
mento de equações quadráticas. Desse 
modo, ao final desta etapa, é desejável que 
Guia do Professor - Matemática 
 
80 
 
os alunos tenham compreendido, além dos 
processos de resolução, o movimento con-
ceitual de resolução desses tipos de equa-
ção. 
Orientação para a recuperação 
Caso os alunos ainda apresentem difi-
culdades quanto aos conteúdos propostos, 
sugerimos que o professor identifique se as 
dificuldades se referem a poucos conheci-
mentos de processos algébricos ou geomé-
tricos e, ainda, se os produtos notáveis fo-
ram aplicados corretamente. No último 
caso, sugerimos a utilização dos livros didá-
ticos adotados ou os Materiais de Apoio da 
SEE/SP. 
Ainda com relação às atividades de recupe-
ração das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendi-
zagem constantes na Plataforma Currículo + 
bem como as aventuras do currículo mais, 
relativos ao conteúdo proposto nesta seção, 
seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculo-
mais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculo-
mais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ 
Atividades Currículo +: http://curriculo-
mais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
Utilização de software de geometria dinâ-
mica. Como sugestão de materiais a serem 
pesquisados, indicamos a situação de 
aprendizagem 6, volume 1, 8º ano do mate-
rial de apoio ao currículo Caderno do Pro-
fessor. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
81 
 
1.2 - ATIVIDADES 
1.2.1 - Equivalências e transformações 
algébricas. 
ATIVIDADE 1
 
Observe a tabela: 
7a 2x2 4y 8xy –5a –4ab –6x2 
5
8
ab 
–6xy 3ab2 –𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 –2ab2 –3m2 2c2 5xy a32b 
2y2 2xy4 3acb n4 -xy2 x3 y3 5x 
-y2 –a3b –3n4 –
a
b
 8ab3 4a 9m2 –ab2 
x
2
 7x –8m2 4ab –abc 3ab3 –x3y –5y2 
 
a) Organize os monômios semelhantes, dados na tabela e escreva-os nas cartas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
82 
 
a) Crie monômios semelhantes aos que 
restaram na tabela acima. 
 
 
ATIVIDADE 2 
Preencha a tabela com a forma reduzida 
de cada uma das expressões. 
a) x + x + x + 2 
b) t + (t + 8) 
c) (t + t) + ( t+8) 
d) 6(5x + 4y) 
e) 2(4a +b) 
f) 2a(4 + 2b) 
g) 3m + 3(m + n) 
 
ATIVIDADE 3 
Durante uma aula de Matemática, Flávia 
e Rosely receberam uma atividade que con-
sistia em determinar a área da seguinte fi-
gura: 
 
 
 
 
 
 
Após analisarem e discutirem possíveis 
resoluções, cada uma apresentou sua reso-
lução, conforme exposto a seguir: 
 
Analise as resoluções de Flávia e de Ro-
sely e responda: 
a) É possível afirmar que elas apresen-
taram resoluções corretas? Justifi-
que. 
 
b) Escreva com suas palavras, qual é a 
diferença entre os procedimentos 
adotados pelas duas alunas? 
 
ATIVIDADE 4 
É possível representar em papel quadri-
culado o produto de 3 x a, quando o valor 
de a não é conhecido? 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
83 
 
ATIVIDADE 5 
Como posso representar em um quadri-
culado 3 ∙ (2 + 5)? 
 
 
ATIVIDADE 6 
Represente geometricamente cada uma 
das expressões que seguem: 
a) n ∙ (2+5) = n ∙ 2 + n ∙ 5 
 
b) 3 ∙ (n+5) = 3 ∙ n + 3 ∙ 5 
 
c) 3 ∙ (2+n) = 3 ∙ 2 + 3 ∙ n 
 
d) 3 x (n +p) = 3 x n +3 x p 
 
ATIVIDADE 7 
Cláudia pediu aos alunos a organização 
de duas equipes para realização de uma 
brincadeira, que consistia em escrever uma 
expressão algébrica representando a soma 
das áreas das cartas apresentadas. 
 
 
 
e) Quais foram as expressões escritas 
pelas equipes? 
Equipe A 
 
 
 
Equipe B 
 
 
 
f) Na sua opinião, qual das duas equi-
pes apresentaram a expressão cor-
reta? Justifique sua resposta. 
 
 
 
ATIVIDADE 8 
Ao iniciar as aulas Aline, Mariana e Va-
lentina combinaram de se encontrarem para 
juntas irem comprar alguns itens de material 
escolar que estavam precisando. 
Quando chegaram na papelaria, ao se-
rem atendidas cada uma fez seu pedido à 
balconista. 
 Aline: 3 lápis, 2 borrachas e 2 cader-
nos; 
 Mariana: 1 lápis, 1 borracha e 3 ca-
dernos; 
 Valentina: 2 lápis, 1 borracha e 3 ca-
dernos. 
Denominando os lápis como (l), as bor-
rachas como (b) e os cadernos como (c). 
a) Escreva a expressão algébrica na 
forma simplificada que descreve o 
pedido das três amigas. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
84 
 
b) Sabendo que, as três meninas soli-
citaram à balconista, que itens pe-
didos fossem cobrados na mesma 
nota, Valentina resolveu conferir 
para ver se estava tudo certo. Ao 
conferir, ela escreveu uma expres-
são algébrica, usando a forma de-
senvolvida para representar os 
itens comprados. Qual foi a expres-
são escrita por Valentina? 
 
 
 
ATIVIDADE 9 
(Caderno do professor 7ª Série/8º Ano. Vol. 
1) Observe a figura a seguir e represente a 
área do retângulo por duas expressões al-
gébricas equivalentes. 
 
 
 
 
c) O retângulo pode ser decomposto 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 10 
A expressão 3c +3w refere-se à área de 
um retângulo. 
 
d) Represente geometricamente essa 
expressão. 
 
 
 
e) Encontre uma expressão equiva-
lente a 3c + 3w e represente-a ge-
ometricamente. 
 
 
 
ATIVIDADE 11 
Maria Eduarda gosta muito de plantar. 
Por este motivo pediu ajuda à sua mãe para 
fazer três canteiros de hortaliças, na área 
gramada do quintal da casa onde moram. A 
figura abaixo ilustra os três canteiros feitos 
por Maria Eduarda e sua mãe. Observe a fi-
gura e responda: 
 
 
 
 
f) Qual é a área plantada em cada can-
teiro? Escreva a expressão que ilus-
tra a situação? 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
85 
 
a) Qual é área total plantada por Maria 
Eduarda? 
 
 
b) Considerando que Maria Eduarda 
aumente a área gramada de cada 
um dos canteiros, escreva a expres-
são que represente esta alteração. 
Observe a figura: 
 
c) Escreva a expressão que repre-
senta a soma da área gramada dos 
canteiros. 
 
 
 
 
ATIVIDADE 12 
Escreva o perímetro e a área da figura a 
seguir na forma reduzida. 
 
 
 
 
 
 
a) Decomposição da figura: 
 
 
b) Cálculo do perímetro: 
 
 
c) Cálculo do perímetro: 
 
 
 
ATIVIDADE 13 
Representem de forma geométrica os 
produtos 2x2, 3x3 e 4x4. 
Atenção: Para um melhor desenvolvi-mento desta atividade distribua aos alunos 
folhas de papel quadriculado. 
 
 
 
ATIVIDADE 14 
Como será a representação do produto 
de n x n? 
 
 
ATIVIDADE 15 
De que forma pode-se representar geo-
metricamente (n+2)2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
86 
 
ATIVIDADE 16 
Calcule a área do quadrado represen-
tado no exercício anterior conforme solici-
tado: 
a) Pela decomposição das figuras. 
 
b) Pela fórmula da área do quadrado. 
 
 
ATIVIDADE 17 
(Caderno do professor 7ª Série/8º Ano. Vol. 
1) Observe a figura a seguir e represente a 
área do retângulo por duas expressões al-
gébricas equivalentes: 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo da área pela composição 
das figuras. 
 
b) Cálculo da área pela decomposi-
ção das figuras. 
 
ATIVIDADE 18 
Represente geometricamente o produto 
(x + c). (x +d) e encontre uma expressão 
equivalente. 
Lembrete: Sabemos que a área de um re-
tângulo é base x altura. 
 
 
 
ATIVIDADE 19 
Dada a figura a seguir faça o que for pe-
dido: 
 
 
 
 
 
 
c) Recoloque um retângulo sobre o ou-
tro. 
d) Calcule a área da figura obtida 
após a recolocação. 
 
ATIVIDADE 20 
As figuras abaixo representam a decom-
posição da figura das atividades 18 e 19. O 
que se pode concluir? 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
87 
 
1.2.2 - Produtos Notáveis 
ATIVIDADE 21 
Demonstre se a igualdade abaixo é verdadeira: 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 22 
O que se pode concluir com a expressão 
algébrica que representa a área das figuras 
dadas na questão anterior? 
 
 
ATIVIDADE 23 
Maria comprou um apartamento na 
planta conforme desenho abaixo. Ela colo-
cou um balcão para colocar seu computa-
dor dentro do quarto 1 com as medidas b x 
b. Como posso representar a área restante 
do quarto 1 sem o balcão? 
 
 
 
 
 
 
 
Veja 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 24 
O que se pode concluir a respeito da ex-
pressão algébrica que representa sobre a 
área do quarto1, sem a área ocupado pelo 
balcão? 
 
 
ATIVIDADE 25 
Geometricamente será construído um 
quadrado de lado a, do qual será subtraído 
um quadrado de lado b, conforme a figura 
a seguir. 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
88 
 
a) É possível dividir a figura resultante 
em duas partes iguais e realocadas: 
 
b) Qual figura formará com a junção 
das duas partes. É possível calcular 
sua área? 
 
ATIVIDADE 26 
Pela propriedade de potenciação te-
mos: (a + b)3 = (a + b)∙(a + b)∙(a + b) se aplicar-
mos a propriedade da distributiva teremos: (a + b)3= a3 + 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ b2 ∙ a + b3 
c) É possível construir a representação 
geométrica do cubo da soma dos 
termos a e b? 
1.2.3 - Fatorações 
ATIVIDADE 27 
(Adaptação Nova Escola) MUKE adora desa-
fios matemáticos. Sua mãe presenteou-a 
com um celular. Sabendo que sua filha é 
muito curiosa informou-lhe de que terá que 
desbloqueá-lo. A senha para desbloqueá-
lo são as letras de seu nome “MUKE, mas 
terá que descobrir os valores numéricos das 
letras. Para isto propôs os seguintes desa-
fios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do quadrado, a seguir, pode ser escrita da 
seguinte maneira: x2 – 4x + 4 
 
 
 
A área do quadrado, a seguir, pode ser escrita da 
seguinte maneira: x2 –14x + 49 
 
 
O volume do cubo, a seguir, pode ser escrito da 
seguinte maneia: x3+9x2+27 x + 27 
 
 
 
A área do retângulo, a seguir, pode ser escrita da 
seguinte maneira: 4x2 – 24x + 24x – 144 
 
 
Valor de M 
Guia do Professor - Matemática 
 
89 
 
 
Valor de U 
 
 
Valor de k 
 
 
Valor de E 
 
 
Conclusão da senha: 
 
 
 
 
ATIVIDADE 28 
Foi solicitado a um corretor de imóveis 
que calculasse o perímetro de um terreno 
de forma retangular, que estava à venda. Ao 
verificar os documentos referentes ao lote, 
este corretor encontrou um esboço que ilus-
tra as medidas do imóvel. 
 
 
 
 
 
Ao analisar o desenho encontrado, viu 
que as medidas não estavam representadas 
na sua forma numérica e sim de forma algé-
brica. Ajude este corretor a calcular a ex-
pressão que representa o perímetro do lote, 
escrevendo-a de maneira fatorada, caso 
seja necessário. 
ATIVIDADE 29 
Conta uma história que, Gauss importante matemático, com cerca de 10 anos teria cal-
culado a soma dos 100 primeiros números naturais, a partir de 1 em poucos segundos. Esta 
façanha para muitos na época , ficou conhecida como a “Soma de Gauss”, podendo ser 
representada pelo esquema apresentado abaixo: 
 
 
 
 
 
Com base nisso, Gauss concluiu que se somasse todos os pares de parcela, de modo 
que o primeiro fosse somado com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o 
antepenúltimo e assim sucessivamente, ela encontraria 50 vezes o resultado 101. Logo, fi-
cou provado que S100 = 50 . 101 = 5 050. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
90 
 
Agora aproximando o pensamento de Gauss da linguagem geométrica para represen-
tar a soma dos 7 primeiros termos naturais a partir de 1. Responda: 
 
 
 
 
 
 
 
A partir desta figura, responda aos itens: 
a) O que se pode observar? 
 
b) Existe uma forma numérica que re-
presente a observação feita no 
item a? Em caso afirmativo, es-
creva-a. 
 
c) Com base na forma retangular 
como podemos calcular a S7 ? 
 
d) Seguindo a mesma lógica para ra-
ciocinar, quanto vale a soma (S13) e 
a soma (S27)? 
 
e) Ao resolver os itens percebe-se 
uma certa regularidade que pode 
ser generalizada por : 
Sn= 
n ∙ (n + 1)
2
. 
Assim sendo, qual o valor de S75? 
 
 
 
ATIVIDADE 30 
Considerando o padrão (2n) para os nú-
meros pares, prove que a soma dos n pri-
meiros números pares a partir de 2 é igual a 
n2+ n. 
 
 
 
ATIVIDADE 31 
Como sabemos polígono é uma figura 
geométrica formada por segmentos de reta. 
Essa figura é fechada e nenhum desses seg-
mentos de reta encontra-se a não ser em 
suas extremidades. Isso acontecendo são 
formados o que chamamos de ângulos e 
vértices do polígono. 
O triângulo é o polígono mais simples, 
pois possui apenas três lados, três ângulos 
e três vértices, tendo a soma de seus ângu-
los internos igual a 180º. 
Considerando ser possível determinar a 
soma dos ângulos internos de todo e qual-
quer polígono convexo, sem necessaria-
mente ter que medi-los. Determine a soma 
dos ângulos internos dos polígonos dados: 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
91 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) Vimos nos dois itens anteriores que 
traçando as diagonais de um polí-
gono a partir de um dos vértices sub-
dividimo-lo em triângulos, o que nos 
permitiu calcular a soma de seus ân-
gulos internos. Podemos notar tam-
bém que o números de triângulos 
adquiridos é 2 a menos que o núme-
ros de lados dos polígonos dados, 
isso ocorre porque, excetua-se os 
dois lados cuja interseção é o vértice 
de onde parte as diagonais, o que 
pode ser comprovado pela visualiza-
ção das figuras dadas. Com base nas 
afirmações feitas, calcule a soma dos 
ângulos internos de um quilógono 
convexo (1 000 lados). 
 
d) é possível escrever em termos de n 
a soma dos ângulos de um polí-
gono convexo de n lados? 
 
ATIVIDADE 32 
Como bem sabemos, diagonal é um 
segmento de reta que liga dois vértices não 
consecutivos de um polígono. Pautados 
nesta afirmação, pode-se considerar que 
um triângulonão tem diagonais, já em con-
trapartida, é válido afirmar que um quadrilá-
tero tem duas diagonais, conforme repre-
sentado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base na afirmação feita e na figura 
que a representa, responda: 
a) Quantas diagonais tem um pentá-
gono convexo? Represente geome-
tricamente. 
b) hexágono convexo, tem quantas dia-
gonais? Represente geometrica-
mente. 
c) Quantas diagonais tem um polígono 
convexo de n lados? 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9º ano do Ensino Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
93 
 
1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES. 
Apresentamos a seguir uma grade curricular para a transição do material de apoio do 
Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Cur-
rículo Oficial de Matemática, vigente e sua respectiva relação com o Currículo Paulista, além 
de algumas orientações pedagógicas, para os quatro anos finais do Ensino Fundamental. 
A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexí-
vel. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e 
medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que funda-
mentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pes-
soais, a abordagem dos conteúdos que valorizem a cultura e o mundo do trabalho, a ca-
racterização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também 
aprende com as circunstâncias. 
Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em 
mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As 
disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos conteúdos é que 
realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competências 
pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação etc. 
Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas 
pelos estudantes em cada unidade. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as 
ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio de 
aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
94 
 
1.1. Grade curricular do 9º ano do Ensino Fundamental. 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
o Equações 
polinomi-
ais de 2º 
grau: re-
solução e 
problemas 
Compreender a reso-
lução de equações de 
2º grau e saber uti-
lizá-las em contextos 
práticos. 
 Álgebra 
 
 Equa-
ção poli-
nomial de 
2º grau do 
tipo ax2=b 
(EF08MA09) Resolver e 
elaborar, com e sem uso 
de tecnologias, situações-
problema que possam ser 
representados por equa-
ções de 2º grau do tipo 
ax² = b. 
1.1.1 Equação polinomial do 2º grau 
Para a introdução desse tema são sugeridos inicialmente, problemas e outros tipos de 
equação que possam ser “traduzidos” por meio de equações de 2º grau, a fim de discutir 
alguns modos possíveis de resolvê-las. Antes de introduzir qualquer técnica para a resolu-
ção de uma equação de 2º grau, é importante que os alunos utilizem seus conhecimentos 
já construídos para encontrar as raízes de equações ou solucionar o problema em questão. 
Para o começo deste trabalho, é conveniente a proposição de equações do tipo ax2= b, 
com a ≠0, uma vez que, para obter suas raízes, pode-se aplicar os procedimentos utilizados 
na resolução de equações de 1º grau e conhecimentos sobre potências de números. Neste 
momento propõe-se que o professor se apoie na representação geométrica. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao avaliar os conhecimentos referentes a este tópico, é fundamental que o professor 
observe tanto a compreensão dos enunciados como os processos de resolução das equa-
ções. Em cada situação-problema, pode-se recuperar as estratégias aprendidas e sugerir 
as formas mais adequadas de resolução. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
95 
 
Orientações para a recuperação 
Este tópico refere-se à iniciação dos estudos de um conteúdo que será desenvolvido 
posteriormente, trata-se de uma das variantes da equação polinomial de 2º grau, represen-
tada por ax2=b. Desta forma, se os alunos apresentarem dúvidas quanto ao tema proposto, 
é importante que o professor identifique se as dificuldades se referem ao pouco conheci-
mento de processos algébricos. Sugerimos a realização de outras variantes de atividades 
nas quais possam dirimir tal defasagem. 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
 
 
o Noções bási-
cas sobre 
função 
 
o A ideia de va-
riação 
 
 
 
 
 
 
 
→ Compreender a 
noção de função 
como relação de 
interdependência 
entre grandezas. 
→ Saber expressar e 
utilizar em contex-
tos práticos as rela-
ções de proporcio-
nalidade direta en-
tre duas grandezas 
por meio de fun-
ções de 1º grau. 
→ Saber expressar e 
utilizar em contex-
tos práticos as rela-
ções de proporcio-
nalidade direta en-
tre uma grandeza e 
o quadrado de ou-
tra por meio de 
uma função de 2º 
grau. 
→ Saber construir 
gráficos de fun-
ções de 1º e de 2º 
graus por meio de 
tabelas e da com-
paração com os 
gráficos das fun-
ções y = x e y = x2. 
 Álgebra 
 
 Funções: re-
presenta-
ções numé-
rica, algé-
brica e grá-
fica. 
 Razões en-
tre grande-
zas de espé-
cies diferen-
tes. 
 Grandezas 
diretamente 
proporcio-
nais e gran-
dezas inver-
samente 
proporcio-
nais. 
(EF09MA06) Compre-
ender as funções como 
relações de dependên-
cia unívoca entre duas 
variáveis e suas repre-
sentações numérica, al-
gébrica e gráfica e utili-
zar esse conceito para 
analisar situações que 
envolvam relações funci-
onais entre duas variá-
veis. 
(EF09MA07) Resolver si-
tuações-problema que 
envolvam a razão entre 
duas grandezas de es-
pécies diferentes, como 
velocidade e densidade 
demográfica. 
(EF09MA08) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema que envolvam re-
lações de proporcionali-
dade direta e inversa en-
tre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, di-
visão em partes propor-
cionais e taxa de varia-
ção, em contextos socio-
culturais, ambientais e 
de outras áreas. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
96 
 
1.1.2 Ideia de variação e funções 
 
Inicialmente, o professor pode diferenciar “x” na equação como incógnita e “x” na fun-
ção como variável. 
Ao iniciar os trabalhos referentes aos conceitos básicos de função, é importante a apre-
sentação de situações envolvendo a variação de duas grandezas em que seja necessária a 
identificação dessa variação em relação à proporcionalidade, ou seja, pretende-se explorar 
se o significado das expressões ”x e y são diretamente proporcionais” “x e y são inversa-
mente proporcionais” e “x e y não são proporcionais”, incluindo, quando for o caso, a tra-
dução desses significados em linguagem algébrica: y = k x, sendo k constante (y é 
diretamente proporcional a x); e xy = k, sendo k constante (y é inversamente proporcional 
a x). 
Às vezes, duas grandezas x e y variam de tal modo que a proporcionalidade direta não 
ocorre entre y e x, mas quando y varia a partir de certo valor h e x. Nessescasos, temos 
y – h
x
=k ou y – h = k x, ou seja, y = k x + h (k e h constantes). Portanto y – h é diretamente 
proporcional a x. 
A continuidade desse trabalho ocorre por meio da exploração de situações-problema 
envolvendo a variação de grandezas diretamente proporcionais ou inversamente propor-
cionais sobretudo por meio de suas representações gráficas. 
Com relação às funções polinomiais de 2º grau y = ax2+ b x + c, exploram a proporcio-
nalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra, que serão aprofundadas no Ensino 
Médio. 
Para a complementação do estudo, sugere-se a leitura e construção de gráfico cartesi-
ano, que representa a variação de duas grandezas, de modo que uma seja, por exemplo, 
diretamente proporcional ao quadrado da outra. 
Por fim, tão importante como o conceito de função, é importante retomar o conceito de 
razão; neste caso, este importante fundamento matemático será abordado sobre o ponto 
de vista das razões de grandezas distintas, como velocidade, escalas e entre outros. Opor-
tunizar momentos em que o aluno possa elaborar situações de própria autoria ou adapta-
ções referentes ao tema. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
97 
 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do desenvolvimento deste conceito matemático é fundamental que os alunos 
reconheçam situações contextualizadas, que podem ser modeladas por meio de uma ex-
pressão que relacione duas grandezas e que analisem se essa relação é direta, inversa-
mente proporcional ou nem direta nem inversamente proporcional. A familiarização com o 
conceito de função está associada, particularmente, às observações das variações e das 
relações de interdependência na expressão algébrica ou na construção de tabelas. 
Podemos observar que não foi enfatizada a linguagem formal para o tratamento de fun-
ções. Vale lembrar que uma abordagem mais sistematizada sobre funções será aprofun-
dada no Ensino Médio. 
 
Orientação para a recuperação 
Caso haja um desempenho insatisfatório nas atividades referentes ao conteúdo apre-
sentado, sugerimos que sejam exploradas outras situações. Sugerimos a utilização do livro 
didático adotado, como referência. Muitas vezes, a representação gráfica tende a ilustrar 
melhor os conceitos trabalhados, permitindo ao aluno melhor compreensão dos conceitos. 
Portanto, cabe ao professor apresentar a análise gráfica concomitantemente ou escolher as 
estratégias que já vem adotando, quando tratar do tema. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
98 
 
1.2 - ATIVIDADES 
1. Equações do 2º grau: Resolução e 
problemas. 
ATIVIDADE 1 
Sabendo que x2 é a representação da 
área de um quadrado de lado x e que x . y é 
a representação da área de um retângulo de 
lados x e y, desenhe as figuras e represente 
os lados desconhecidos por uma letra (re-
presentação geométrica) solicitadas abaixo: 
a) Quadrado de lado x 
 
 
b) Retângulo de lados x e y 
 
 
c) Retângulo de lados x e 3 
 
 
 
 
d) Retângulo de lados x e 2x 
 
 
ATIVIDADE 2 
Dada a representação geométrica das fi-
guras e sua área, contidas na tabela a seguir, 
encontre a expressão algébrica e a medida 
dos lados. 
 
 
 
 
Representação Geo-
métrica 
Expressão Algébrica Medida dos lados dos polígonos. 
Justifique sua resposta 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
99 
 
Representação Geo-
métrica Expressão Algébrica 
Medida dos lados dos polígonos. 
Justifique sua resposta 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 3 
Observe o quadro abaixo e associe cada problema com a equação que o representa 
Problemas Equações 
1- A área de um quadrado é 16 m2. Qual é a medida do 
lado deste quadrado? 
( ) x2 – 2x = 35 
2- A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 m2. 
Qual é a medida dos catetos? 
( ) x2 = 16 
3- Um retângulo tem área igual a 18 m2 e seu lado maior 
é o dobro do lado menor. Quanto medem os lados 
deste retângulo? 
( ) x2 – 2x + 1 =0 
4- A área de um quadrado, acrescido de 18 é 99. Qual é 
a medida do lado deste quadrado? ( ) x2 – 18 = 0 
5- A soma de um número com o seu quadrado acrescido 
de 9 é 90. Calcule esse número. 
( ) x (x + 1) = 90 
6- Qual é o número que elevado ao quadrado e somado 
com seu triplo resulta em 130 ? ( ) x2 + 3x = 130 
7- O triplo do quadrado de um número acrescido do seu 
triplo é 90. ( ) x2 + 18 = 99 
8- A diferença entre o quadrado de um número e seu do-
bro é 13. Qual é este número? ( ) x + x2 – 20 = 90 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
100 
 
Problemas Equações 
9- Um número elevado ao quadrado adicionado o seu 
dobro é igual a 35. Qual é esse número? ( ) 2x2 = 18 
10- O quadrado de um número menos o seu triplo é 
igual a 40. Qual é esse número? ( ) x + x2 + 9 = 90 
11- Calcule um número inteiro e positivo tal que seu 
quadrado menos o seu dobro seja igual a 35. ( ) x2 + 2x = 35 
12- O dobro do quadrado de um número adicionado ao 
triplo desse número é 90. Qual é esse número? ( ) 3x2 +3x = 90 
13- Pensei em um número e somei com seu quadrado, 
subtraí 20 e obtive 90. Qual é esse número? ( ) x2 – 2x – 15 = 0 
14- Pensei em um número multipliquei por 3, somei 10 
e obtive 40. Qual é esse número? 
( ) 3x + 10 = 40 
15- Elevo um número ao quadrado subtraio o seu do-
bro, acrescento 1 e obtenho zero. Qual é esse nú-
mero? 
( ) x2 – 3x = 40 
16- O produto de dois números consecutivos é 90. De-
termine esses números. ( ) 2x2 + 3x = 90 
 
ATIVIDADE 4 
(Adaptada do caderno do professor 9º ano volume 1 página 59) Em uma reunião de ami-
gos, todos se cumprimentam com um abraço. Preencha a tabela abaixo: 
 
Número 
de amigos 
Quantidade de abraços que cada 
amigo irá receber 
Total de abra-
ços 
3 2 (pois, ninguém abraça a si mesmo) 3 · 2 = 6 
4 
6 
10 
x 
y + 1 
z + 2 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
101 
 
ATIVIDADE 5 
Se na reunião dos amigos da atividade 
anterior fossem registrados 
a) 110 abraços, quantos amigos esta-
vam presentes? Justifique 
 
b) 1482 abraços, quantos amigos es-
tavam presentes? Neste caso as 
tentativas podem demorar em en-
contrar a resposta, como você 
“montaria” uma equação para re-
solver? 
 
ATIVIDADE 6 
Muitas vezes resolvemos equações com algumas perguntas simples, tais como: 
Equação Situação Pergunta Resposta 
x2 = 36 
Um certo número ao 
quadrado é 36 
Quais os números que 
multiplicados por eles 
mesmos resulta em 36. 
(6 e –6) 
2y2 = 162 
Duas vezes um certo 
número ao quadrado é 
162. 
Somente uma vez este 
número ao quadrado 
é? 
 
 Um certo número ao quadrado é 81. 
Quais são os números 
cujo produto entre eles 
resulta em 81. 
 
 y2
2
= 18 
A metade de um certo 
número ao quadrado é 
18. 
Este número inteiro ao 
quadrado é? 
 Um certo número ao 
quadrado é 36. 
Quais são os números 
que multiplicados por 
eles mesmos resultam 
em 36. 
 
x2 – 4 = 0 
Se, de um número ao 
quadrado, eu tiro 4 e 
fico com zero, conclui-
se que este número ao 
quadrado é 4. 
 
3x2 + 2 = 50 
Se tiro 2 de ambos os 
termos fico com 
3x2 = 48 
 
(x + 2)2 = 9 Lembrando que (x+2) é um número. Um nú-mero elevado ao qua-
drado é igual a 9. 
 
(x – 2)2 = 16 
4x2 + 5 = 41 (x + 3)2 = 25 
102 
 
2. Resolução de equações polinomiais 
de grau 2. 
ATIVIDADE 7 
Elabore mentalmente as perguntas per-
tinentes a cada equação e encontre sua so-
lução: 
a) x2 = 100 
b) x2+ 3 = 12 
c) x2 – 8 = 56 
d) x2– 25 = 0 
e) x2+ 4 = 0 
f) –2x2 = – 62 
g) 3x2= 27 
h) 2x2 + 5 = 37 
i)(x – 3)2= 144 
j) (x + 2) 2= 0 
k) (2x – 5)2 = 81 
 
ATIVIDADE 8 
Atividade Demonstrativa 
Vamos tornar as equações abaixo um 
quadrado perfeito, utilizando a geometria: 
x2 + 4x + 3 = 0 
x2 + 4x = –3 
 
 
 
 
 
Para fechar o quadrado precisamos co-
locar um quadrado 2 x 2 cuja área é 4, como 
é uma equação colocamos dos 2 lados, o 4 
e obtemos 
 
 
 
 
 
 
A área do quadrado de lado (x + 2), que 
é representada por (x + 2)2 é igual a 1. 
(x + 2 ) 2 = 1 
Qual o número que elevado ao qua-
drado é o 1? 
O 1 e o -1, daí temos: 
x + 2 = 1 então x= 1 – 2 que implica que 
x = –1 e x + 2 = –1 então x = –1 – 2 que implica 
que x = –3. 
Atenção: Se você substituir o –1 na vari-
ável x você encontrará um quadrado de 
lado 1, mas se você substituir o –3 na variá-
vel x, você encontrará um quadrado de lado 
–1 (absurdo!). 
Devemos lembrar que isto é um mé-
todo, que nos permite encontrar as solu-
ções de equações do segundo grau, e cabe 
a nós de acordo com o enunciado do pro-
blema selecionar a resposta. 
O método de completar foi desenvol-
vido por Abu Abdullah Mohammed ben 
Musa Al-Khwarizmi ( matemático árabe que 
nasceu em torno de 780 e morreu por volta 
do ano 850). 
Guia do Professor - Matemática 
 
103 
 
Conheça a biografia 
de Al-Khwarizmi, visi-
tando o site: 
https://www.somatema-
tica.com.br/bio-
graf/khwarizmi.php, acesso em 15/04/2019. 
ATIVIDADE 9 
Retome a Atividade 3 e utilizando o mé-
todo apresentado anteriormente, veja se 
você consegue achar as soluções dos pro-
blemas apresentados na atividade. 
ATIVIDADE 10 
Resolva as equações abaixo utilizando a 
geometria e depois complete a tabela da 
atividade 11. 
a) x2 + 6x + 8 = 0 
b) x2– 4x + 4 = 0 
c) x2– 4x – 4 = 0 
d) x2 – 2x + 1= 0 
e) x2+ 2x + 1 = 0 
f) x2 – 6x = – 5 
g) x2 – 5x = 0 
h) x2+ 10x = 0 
i) x2 + x = 0 
j) x2 = 81
ATIVIDADE 11 
A equação do segundo grau é da forma: ax2+bx + c=0, com a≠0, podendo os outros 
dois termos (b e/ou c) serem iguais a zero (a, b e c são chamados de coeficientes da equa-
ção) . As soluções da equação são chamadas de raízes da equação. 
A equação do segundo grau pode possuir até 2 soluções (raízes), dentro do conjunto 
dos Números Reais 
Com os dados da atividade 9 (equações, soluções) complete o quadro 
Equação 
Coeficientes Raízes 
(Soluções da 
equação) 
Soma das raí-
zes 
Produto das ra-
ízes a b c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
104 
 
Qual o valor do coeficiente “a” nessas equações? 
Observe o coeficiente “b” e a soma das raízes de cada equação. O que você notou? 
Observe o coeficiente “c" e o produto das raízes de cada equação. O que você notou? 
ATIVIDADE 12 
Considerando os números na face superior dos dados como raízes de uma equação do 
segundo grau complete a tabela abaixo. 
 
Resultados 
dos Dados 
Soma dos 
Resultados 
Produto 
dos Resul-
tados 
Equação 
x²-(soma).x+(produto)=0 
e 1 + 2 = 3 1 ∙ 2=2 x² – 3x + 2 = 0 
e 2 + 3 = 5 2 ∙ 3=6 x² – 5x + 6 = 0 
e __ + __ =__ 1 ∙ 3=3 x² – __ x + 3 = 0 
 e __+__=__ __.__=__ x² – 6x + 8 = 0 
e 5+3=8 __.__=__ x² – 8x + __ = 0 
 e __+__=__ __.__=__ x² – 12x + 36 = 0 
 
Vamos comparar ax2+ bx + c = 0 e x2 – Sx + P = 0 observe que nesta segunda fórmula o 
coeficiente a tem que ser sempre 1, concluímos então: 
S= –
b
a
 e P = 
c
a
 
ATIVIDADE 13 
Com as planificações abaixo, monte os dois cubos. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
105 
 
Stop de equações: 
Objetivo: Ser o primeiro a encontrar a equação, dadas as raízes. 
Número de jogadores: duas equipes, com dois jogadores cada. 
Desenvolvimento: Jogam-se os dois dados; considere os números das faces voltadas 
para cima, como raízes da equação. Por meio da Soma e do Produto das raízes “monte” a 
equação com o coeficiente a= 1, preencha na tabela e fale STOP. 
Se a sua equipe falou STOP coloque um X na coluna STOP . Neste momento não pode 
escrever mais nada e jogam-se os dados novamente para nova equação ser formada. Após 
10 rodadas (ou conforme a determinação do professor), as tabelas devem ser conferidas 
por vocês que participaram. 
Raízes Soma das 
raízes 
Produto 
das raízes 
Equação STOP 
Dado 1 Dado 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como conferir? 
Sabendo que raiz de uma equação é o valor que torna a equação verdadeira, basta 
substituir ao valor da raiz na incógnita da equação e verificar a sua veracidade. 
Exemplo: SE você encontrou raízes 1 e 3 (quando jogou os dados) e após soma e pro-
duto gerou essa equação 
x2 – 4x +3 = 0, conferindo: 12– 4 . 1+ 3 = 1 – 4 +3 = 0, que é verdadeiro e 
32– 4 . 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0, também verdadeiro. Podemos dizer que 1 e 3 são raízes 
dessa equação. 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
106 
 
ATIVIDADE 14 
Dada a equação: 
x2 + (m+ 2)x +(3m – 1) = 0, qual o valor de 
𝐦𝐦, para que: 
a) a soma das raízes seja 11; 
 
b) o produto das raízes seja 11; 
 
c) 0 seja raiz da equação; 
 
d) 2 seja raiz da equação 
 
ATIVIDADE 15 
Sabendo que a soma das raízes da equa-
ção x2 – (3p +3)x – 12p =0 é 6, determine p 
 
 
ATIVIDADE 16 
Dada a equação x2 - kx – (k – 12)= 0, de-
termine k, para que: 
a) a soma das raízes seja – 3; 
 
b) o produto das raízes seja – 1; 
 
c) –1 seja raiz da equação; 
 
d) 3 seja raiz da equação 
 
 
ATIVIDADE 17 
(Adaptada OBMEP2005 nível 3) Mariana en-
trou na sala e viu na lousa algumas anota-
ções da aula anterior, parcialmente apaga-
das, conforme a figura. Qual número foi 
apagado na linha de cima da lousa? 
 
 
 
 
 
E se a lousa estivesse assim? 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 18 
Resolva, utilizando a geometria, as equa-
ções: 
a) x2+2x +1 = 0 
 
b) x2 – 2x +1 = 0 
 
c) x2+ 6x + 9 = 0 
 
d) x2 -6x +9 = 0 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
107 
 
e) x2 + 20x + 50 = 0 
 
f) x2 – 8x +16 = 0 
 
g) 2x2 + 8x +8 = 0 
 
O que você observou de comum nestas 
equações? 
 
 
Atenção: Quando o coeficiente a for ≠ 
1, torne-o 1, dividindo toda a equação por 
a, mas não se esqueça, se for escrever na 
forma fatorada o coeficiente a deve vir mul-
tiplicando. 
Observe que todas as equações acima 
são formadas por trinômios quadrados per-
feitos. 
 
ATIVIDADE 19 
Escreva as equações acima na forma fa-
torada. 
Exemplo: 3x2– 6x + 3 = 0 dividindo tudo 
por 3 (coeficiente a) temos x2 – 2x + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Forma fatorada 3(x – 1)2=0 conclui-se 
que : 3x2-6x+3= 3(x – 1)2=0 
A raiz desta equação (o valor que satisfaz 
esta equação) é o 1, porque 3(1 – 1)2= 0. 
Então quando a equação estiver na forma 
fatorada não precisamos resolver a equação 
para encontrar as raízes, elas já vêm explíci-
tas. 
 
ATIVIDADE 20 
Atividade demonstrativa 
Dada a equação: x2+2x – 8=0 , resolver 
 
a) Completando o quadrado, utili-
zando a geometria: x2 + 2x = 8 
 
 
 
 
 
 
Podemos então escrever: (x + 1)2 = 9 
Então: 
x + 1 = 3⇒ x = 2 ou x + 1 = –3 ⇒ x = –4 
Logo as raízes são: 2 e –4 e sua forma 
fatorada é: (x – 2) ∙ (x + 4) = 0 (x – raiz) ∙ (x – raiz) = 0 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
108 
 
b) Resolvendo por Soma e Produto: 
 x2 + 2x – 8 = 0, 
 
Soma Produto 
𝟏𝟏 + (−𝟑𝟑) = −𝟐𝟐 𝟏𝟏 × (−𝟑𝟑)
≠ −𝟖𝟖 
𝟐𝟐 + (−𝟒𝟒) = − 𝟐𝟐 𝟐𝟐 × (−𝟒𝟒) = −𝟖𝟖 
 
Logo asraízes são: 2 e –4 
ATIVIDADE 21 
Encontre as raízes e a forma fatorada de 
cada equação abaixo. 
 
a) x2 + 5x + 4 = 0 
 
b) 3x2– 6x + 3 = 0 
 
Problemas envolvendo equações de 2º 
grau. 
 
ATIVIDADE 22 
O triângulo ABC é retângulo em B. 
 
 
 
 
 
 
Encontre os lados deste triângulo, seu 
perímetro e sua área. 
 
 
ATIVIDADE 23 
O trapézio ABCD abaixo é isósceles, 
com base menor DC = x + 5; altura DH = x+2 
e o segmento AH = 2, tem área = 24 
 
 
 
 
 
 
Encontre o perímetro deste trapézio. 
 
ATIVIDADE 24 
Atividade demonstrativa 
Já vimos alguns modos para resolver 
uma equação do 2º grau, agora vamos co-
nhecer outro: a fórmula de Bhaskara (a fór-
mula de Bhaskara foi desenvolvida pelo ma-
temático Al-Khwarizm e na época era co-
nhecida como método de completar qua-
drados. O que Bhaskara fez foi sistematizar 
esse processo por meio da utilização de le-
tras o que acabou gerando uma fórmula pa-
drão que, mais tarde, ficou conhecida como 
a fórmula de Bhaskara). Você pode verificar 
a dedução da fórmula de Bhaskara na inter-
net ou em livros didáticos, uma sugestão 
https://sabermatematica.com.br/demons-
tracao-da-formula-de-bhaskara.html 
Guia do Professor - Matemática 
 
109 
 
Dada a equação ax2+bx + c = 0, com a≠ 0, 
as raízes podem ser encontradas por meio 
de substituição dos valores dos coeficientes 
na fórmula abaixo, que é conhecida por Fór-
mula de Bhaskara 
x = 
–b ± √∆
2a
, onde ∆ = b2 – 4 ∙ a ∙ c 
Exemplo: Vamos resolver a equação 
2x² +8x – 24 = 0,, utilizando a fórmula de 
Bhaskara. 
 
1º Passo: identificar os coeficientes da 
equação 
�
a = 2
b = 8
c = -24
 
2º Passo: Calcular o valor do delta. 
∆ =b² - 4 ∙ a ∙ c 
∆ =8² – 4 ∙ 2 ∙ (–24) 
∆ =64 + 192 
∆ =256 
3º Passo: Calcular o x da equação (raízes) 
x = –b ± √∆
2a
 
x = 
–8 ± √256
2 ∙ 2
⇒ x = 
–8 ± 16
4
 
Verifica-se que temos duas raízes: 
x' =
–8 + 16
4
 = 
8
4
 = 2 
 
x''= 
–8 – 16
4
= 
–24
4
 = –6 
As raízes encontradas: 2 e – 6 e a forma 
fatorada da equação será 2 ∙ (x – 2) ∙ (x + 6) = 0 
a) Agora resolva as equações utili-
zando a fórmula de Bhaskara. 
 
 3x² = – 11x – 4 
 
 – x² + 7x – 10 = 0 
 
 x² – 4x = 0 
 
b) Compare os valores de delta (∆) e 
estabeleça uma relação com o nú-
mero de raízes. 
 
 
c) Existem equações do 2º grau as 
quais denominamos completa ou 
incompleta. Como você identifica 
essas equações? 
 
 
d) Você resolveria as equações in-
completas de modo diferente? 
Como? 
 
 
ATIVIDADE 25 
(retirada de https://novaescola.org.br/con-
teudo/6020/equacoes-de-2-grau) 
a) A medida da área de um terreno de 
formato quadrado é de 324 m². Qual 
é a medida do lado desse terreno? 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
110 
 
b) Para qual valor de x, um triângulo 
de lado x e base com 6 cm e um 
quadrado de lado x possuem a 
mesma medida de área? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual o valor de x para que um tra-
pézio de bases com 6 cm e 2 cm e 
altura igual a x tenha a mesma me-
dida de área de um retângulo cuja 
altura mede x e a base 3x? 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 26 
Resolva as equações pelo método a sua 
escolha: 
 
a) x2– 25 = 0 
 
b) 3x2= 75 
 
c) 2x2 = 6x 
 
d) x2– 4x = 0 
 
e) 4x2 + 2 = 5 
 
3. Relações de Proporcionalidade 
Fundamento teórico 
Analisando a variação: Quando uma 
grandeza varia em função de uma outra po-
dem ocorrer alguns tipos de interdepen-
dência: • Ao dobrar uma grandeza a outra 
também dobra, ao reduzir uma à terça parte 
a outra também fica três vezes menor, ao 
quintuplicar uma delas o mesmo acontece à 
outra etc. Grandezas que tem esse tipo de 
comportamento são chamadas de direta-
mente proporcionais. 
→ Ao dobrar uma grandeza a outra se 
reduz à metade, ao reduzir uma à 
terça parte a outra fica triplicada, ao 
quintuplicar uma delas a outra se re-
duz à quinta parte etc. Grandezas 
que se relacionam deste modo são 
chamadas de inversamente propor-
cionais. 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
111 
 
ATIVIDADE 1 
Para a formatura de 9º ano do Ensino 
Fundamental, uma turma de 44 alunos re-
solveu criar uma camiseta exclusiva. Após a 
elaboração da estampa da camiseta foram 
atrás de uma gráfica que realizasse o serviço 
de estampa em camisetas. Ao conversarem 
na gráfica se depararam com a seguinte ta-
bela de preços: 
Número de cami-
setas Valor total em R$ 
01 camiseta 22,00 
10 camisetas 180,00 
50 camisetas 720,00 
 
Converse com seus colegas qual seria a 
opção mais vantajosa para essa turma e jus-
tifique. 
 
ATIVIDADE 2 
Observe as tabelas abaixo e verifique se 
as grandezas envolvidas são diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais, 
ou não são nem direta nem inversamente 
proporcionais: 
 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 
y 2 4 6 8 10 12 14 
 
 
x 1 3 5 8 10 15 50 
y 5 15 25 40 50 75 250 
 
 
x 1 2 3 4 6 8 10 
y 24 12 8 6 4 3 2,4 
 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 
y 17 13 11 7 5 3 2 
 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 
y 17 13 11 7 5 3 2 
 
 
x 2 4 6 8 10 12 14 
y 4 16 36 64 100 144 196 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
112 
 
ATIVIDADE 3 
(AAP - 2016) Uma determinada revista cana-
dense apresentou duas leis que represen-
tam a relação entre o número do sapato (n) 
e o comprimento do pé (c) de uma pessoa, 
em polegadas. 
Para as mulheres, a lei é n = 3c – 22 e, para 
os homens, é n = 3c – 25. Assim, res-
ponda: 
Qual é o número do sapato de uma mulher 
cujo comprimento do pé é 11 polegadas e 
o de um homem com 15 polegadas, respec-
tivamente? 
(A) 55 e 70. 
(B) 20 e 11. 
(C) 11 e 20 
(D) 11 e 15. 
 
 
ATIVIDADE 4 
(AAP) As tabelas abaixo mostram sequên-
cias de valores que podem ser proporcio-
nais ou não. Analise cada uma delas e indi-
que a alternativa correta. 
I. 
X 2 4 6 8 10 
Y 18 24 30 24 18 
 
 
 
 
II. 
A 1 2 3 4 5 
B 5 10 15 20 25 
 
III. 
P 2 4 6 8 10 
Q 124 62 1243 31 1245 
 
(A) I é diretamente proporcional; II não 
é proporcional; III é inversamente 
proporcional. 
(B) I não é proporcional; II é direta-
mente proporcional; III é inversa-
mente proporcional. 
(C) I não é proporcional; II é inversa-
mente proporcional; III é direta-
mente proporcional. 
(D) I é diretamente proporcional; II é 
inversamente proporcional; III não 
é proporcional. 
 
ATIVIDADE 5 
(AAP - 2018) Dentre as situações apresenta-
das a seguir, assinale aquela em que se tem 
uma relação de proporcionalidade inversa. 
(A) Uma máquina embala 1.800 bom-
bons por hora, 4 dessas máquinas 
embalam 1.800 bombons em 15 mi-
nutos. 
Guia do Professor - Matemática 
 
113 
 
(B) Para ir de sua casa ao estádio de fu-
tebol, Vanderley demora 2 horas 
de ônibus, se for de metrô demora 
meia hora a menos. 
(C) Para ir de uma cidade A até uma ci-
dade B, usando seu carro, uma 
pessoa gastou R$ 120,00 de com-
bustível, uma outra pessoa, tam-
bém usando seu carro, gastou R$ 
60,00. 
(D) A produção diária de pães de certa 
padaria é de 500 pães, em uma se-
mana sua produção é de 3.500 
pães. 
 
ATIVIDADE 6 
(AAP - 2016) Dois sacos de ração alimentam 
6 galinhas por semana. Sabendo que se 
trata de uma situação de proporcionalidade 
direta, os valores que preenchem correta-
mente as lacunas na tabela são, respectiva-
mente. 
 
(A) 9 e 11 
(B) 12 e 14. 
(C) 9 e 9. 
(D)10 e 12 
ATIVIDADE 7 
 
(AAP-2016) A empresa Aroma Perfumaria 
está armazenando sua produção de sabo-
netes em caixas. Sabe-se que grupos de 20 
caixas do mesmo tipo pesam, em média, 60 
kg. Se já têm em estoque, 75 dessas caixas, 
a quantidade de quilos de sabonete arma-
zenada é de: 
(A) 245 
(B) 235 
(C) 225 
(D) 215 
 
ATIVIDADE 8 
(AAP-2018) Uma caixa d’água, com um furo 
no fundo, está perdendo 1,7 litros de água 
a cada 3 horas. A quantidade de água, em 
litros, desperdiçada por esta caixa em 24 
horas é: 
(A) 12 
(B) 13,4 
(C) 13,44 
(D) 13,6 
 
Número de sa-
cos (X) 2 3 5 7 ? 
Número de ga-
linhas (Y) 6 ? 15 21 33 
Guia do Professor - Matemática 
 
114 
 
4. Situações de interdependência. 
ATIVIDADE 1
 
(AAP- 2016) Considere as grandezas “distância de casa” e “tempo percorrido” na seguinte 
situação: Paulo saiu de sua casa de automóvel para ir ao trabalho, mas o pneu furou. Depois 
de trocá-lo, ele continuou o trajeto. 
Nessas condições, o gráfico que representa corretamente essa situação é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 2 
(ENEM 2010) 
Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a vari-
ação da sua altura se dava mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, 
essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa 
situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. 
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
115 
 
ATIVIDADE 3 
Observe os três retângulos desenhados 
e responda às questões a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o perímetro e a área de cada 
um deles e, em seguida, preencha a 
tabela: 
Retângulo 
Perímetro 
(cm) Área (cm) 
I 
II 
III 
 
b) Considere um retângulo de 
mesmo perímetro que os anterio-
res, cujos lados medem x e y centí-
metros. Expresse y em função de x. 
 
 
c) Complete a tabela a seguir para a 
função anterior com valores intei-
ros de x variando de 0 a 11. Com 
base nesses dados; construa o grá-
fico dessa função. 
 
 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Como varia y à medida que o valor 
de x aumenta? O gráfico repre-
senta uma variação proporcional 
entre x e y? 
 
 
e) Indicando por A a área do retân-
gulo do item anterior, escreva-a em 
função de x. 
 
 
f) Preencha a tabela a seguir com os 
valores da área A para x variando 
de 0 a 11. 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
A 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
116 
 
g) A área de A é proporcional à me-
dida de x? Justifique. 
 
h) O gráfico a seguir representa a fun-
ção da área A de um retângulo em 
relação a seu lado de medida x. 
Com base nele, determine o valor 
de x que torna a área máxima. 
 
ATIVIDADE 4 
Um quadrado de lado x (x .> 0) tem pe-
rímetro p e área A. 
a) Expresse algebricamente a relação 
existente entre os valores de p e de 
x. 
 
 
b) Expresse algebricamente a relação 
existente entre os valores de A e de 
x. 
 
c) Mostre que existe um valor de x, 
para o qual a área e o perímetro de 
um quadrado são expressos pelo 
mesmo número. 
 
 
d) Esboce no mesmo sistema de coor-
denadas os gráficos de p e de A 
em função de x e localize o ponto 
encontrado no item anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 5 
Um grupo de alunos do 9º ano formou 
uma banda e precisa determinar o preço x, 
em reais, do ingresso para o show de apre-
sentação. Eles imaginaram que, se o valor 
do ingresso for muito alto, não conseguirão 
vendê-lo e, se for muito baixo, não obterão 
lucro, que seria investido na banda. Com 
base nos valores cobrados por outras ban-
das, os alunos concluíram que o lucro L de 
cada espetáculo, em reais, poderia ser dado 
pela expressão L= –x2 + 12x – 20.(Observa-
ção: L > 0 significa lucro e L < 0, prejuízo). 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe o gráfico e a tabela e, em se-
guida responda: 
a) Qual será o lucro caso eles decidam 
cobrar 4 reais por ingresso? 
 
b) Se o preço do ingresso for superior 
a 6 reais, podemos afirmar que o 
grupo terá prejuízo? Justifique. 
c) Para que intervalo de valores de x o 
lucro aumenta? E para qual ele di-
minui? 
d) Qual é o valor do ingresso para o 
maior lucro possível? Qual o valor 
do lucro máximo? 
e) O que acontece quando o valor 
dos ingressos é inferior a 2 reais ou 
superior a 10 reais? 
f) O que acontece com o lucro 
quando os ingressos são vendidos 
a 3 reais ou a 9 reais? 
 
 
Guia do Professor - Matemática 
 
118 
 
Área de Matemática 
Autores(a)s 
Ilana Brawerman – Equipe Curricular de Matemática 
João dos Santos Vitalino – Equipe Curricular de Matemática 
Maria Adriana Pagan – Equipe Curricular de Matemática 
Otávio Yoshio Yamanaka – Equipe Curricular de Matemática 
Vanderley Aparecido Cornatione – Equipe Curricular de Matemática 
Benedito de Melo Longuini – PCNP da D.E. Pirassununga 
Delizabeth Evanir Malavazzi – PCNP da D.E. Fernandópolis 
Edson dos Santos Pereira - PCNP da D.E. Centro Sul 
Eliã Gimenez Costa - PCNP da D.E. Votorantim 
Erika Aparecida Navarro Rodrigues - PCNP da D.E. Presidente Prudente 
Fernanda Machado Pinheiro - PCNP da D.E. Jales 
Inês Chiarelli Dias - PCNP da D.E. Campinas Oeste 
Leandro Geronazzo - PCNP da D.E. Guarulhos Sul 
Lilian Ferolla de Abreu - PCNP da D.E. Taubaté 
Lilian Silva de Carvalho - PCNP da D.E. São Carlos 
Luciane Ramos Américo - PCNP da D.E. São Vicente 
Lúcio Mauro Carnaúba – PCNP da D.E. Osasco 
Malcon Pulvirenti Marques – PCNP da D.E. Sul 1 
Marcelo Balduíno – PCNP da D.E. Guarulhos Norte 
Maria Dênes Tavares da Silva – PCNP da D.E. Itapevi 
Osvaldo Joaquim dos Santos – PCNP da D.E. Jundiaí 
Rodrigo Soares de Sá – PCNP da D.E. Avaré 
Simoni Renata e Silva Perez – PCNP da D.E. Campinas Leste 
Sueli Aparecida Gobbo Araújo – PCNP da D.E. Piracicaba 
Willian Casari de Souza – PCNP da D.E. Araçatuba 
Colaboradores(a)s 
Andréia Toledo de Lima – PCNP da D.E. Centro Sul 
Cristina Inácio Neves – PCNP da D.E. Centro Sul 
Elaine Aparecida Giatti – PCNP da D.E. Centro Sul 
Lyara Araújo Gomes Garcia – PCNP da D.E. Taubaté 
Marcel Alessandro de Almeida – PCNP da D.E. Araçatuba 
Patricia Casagrande Malaguetta – PCNP da D.E. Piracicaba 
Rosilaine Sanches Martins – PCNP da D.E. Jales 
Ruanito Vomieiro de Souza – PCNP da D.E. Fernandópolis 
Wanderlei Aparecida Grenchi – PCNP da D.E. São Vicente 
 
 
	6º ano do Ensino Fundamental
	1. Organização das grades curriculares.
	1.1. Grade curricular do 6º ano do Ensino Fundamental.
	1.1.1 – Operações com frações
	Considerações sobre a avaliação
	Orientações para a recuperação
	1.1.2 – Sistemas de Medida
	Considerações sobre avaliação
	Orientações para a recuperação
	1.2 – Atividades
	1. Números Decimais
	2. Transformação em fração decimal
	Situações-problema com números fracionários e decimais.
	3. Operações com decimais.
	Operando com números racionais positivos na representação decimal.
	Desafios
	4. Sistemas de medidas convencionais e não convencionais.
	Medindo com palmos, pés e passos
	Arroba do boi.
	5. Características do Sistema Métrico Decimal.
	A criação do metro.
	Medida de capacidade
	7º ano do Ensino Fundamental
	1. Organização das grades curriculares.1.1. Grade curricular do 7º ano do Ensino Fundamental.
	1.1.1 – Ângulos: noção, usos e medidas
	Considerações sobre avaliação
	Orientações para a recuperação
	1.1.2 – Construções geométricas
	Algoritmo para construção de um hexágono regular.
	Considerações sobre avaliação
	Orientação para a Recuperação
	1.1.3 – Transformações Geométricas
	Considerações sobre avaliação
	Orientação para a Recuperação
	1.1.4 – Polígonos regulares e ladrilhamento
	Considerações sobre avaliação
	Orientação para a recuperação
	1.2.5 – Projeções e vistas ortogonais.
	1.2 – Atividades
	1.2.1. Ângulos
	Medida de um ângulo.
	1.2.2 Simetria
	1.2.3 Polígonos e ladrilhamento no plano.
	Atividade experimental
	Desafio
	Atividade Experimental
	8º ano do Ensino Fundamental
	1. Organização das grades curriculares.
	1.1. Grade curricular do 8º ano do Ensino Fundamental.
	1.1.1 Sequências recursivas e não recursivas.
	Considerações sobre avaliação
	Orientações para a recuperação.
	1.1.2 Produtos Notáveis e Fatoração
	Considerações sobre avaliação
	Orientação para a recuperação
	1.2 - Atividades
	1.2.1 - Equivalências e transformações algébricas.
	1.2.2 - Produtos Notáveis
	1.2.3 - Fatorações
	9º ano do Ensino Fundamental
	1. Organização das grades curriculares.
	1.1. Grade curricular do 9º ano do Ensino Fundamental.
	1.1.1 Equação polinomial do 2º grau
	Considerações sobre a avaliação
	Orientações para a recuperação
	1.1.2 Ideia de variação e funções
	Considerações sobre a avaliação
	Orientação para a recuperação
	1.2 - Atividades
	1. Equações do 2º grau: Resolução e problemas.
	2. Resolução de equações polinomiais de grau 2.
	Atividade Demonstrativa
	Atividade demonstrativa
	Problemas envolvendo equações de 2º grau.
	Atividade demonstrativa
	3. Relações de Proporcionalidade
	Fundamento teórico
	4. Situações de interdependência.