Vetor Retas e Planos no R3

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VETORES NO 𝑹𝟑 
 
PRODUTOS E APLICAÇÕES 
 
RETAS E PLANOS 
1 
x 
y 
z 
2 3 4 5 ∞ 
∞ 
∞ 
0 
ESPAÇO ECLIDIANO 
TRIDIMENSIONAL 
E ou 𝑹𝟑 
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 
 
3 eixos com a mesma origem 
… 
x 
y 
z 
∞ 
∞ 
∞ 
0 
𝒙𝟎 
𝒛𝟎 
𝒚𝟎 
𝑷𝟎 = 𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 
(abscissa) 
(ordenada) 
(cota) 
(0,0,0) 
x 
y 
z 
∞ 
∞ 
∞ 
0 
𝒙𝟎 
𝒛𝟎 
𝒚𝟎 
𝑷𝟎 = 𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 
VETORES 
O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o 
engenheiro Simon Stevin o “Arquimedes 
holandês”. Em 1586 apresentou em sua 
Estática e Hidrostática, o problema da 
composição de forças e enunciou uma regra 
empírica para se achar a soma de duas forças 
aplicadas num mesmo ponto. Tal regra, a 
conhecemos hoje como regra do 
paralelogramo. 
Os vetores aparecem considerados como 
linhas dirigidas na obra Ensaio sobre a 
Representação da Direção publicada em 1797 
por Gaspar Eessel, matemático dinamarquês. 
VETORES 
A sistematização da teoria vetorial ocorreu no 
século XIX com os trabalhos do irlandês 
William Hamilton, do alemão Hermann 
Grassmann e do físico norte-americano Josiah 
Gibbs. 
VETORES NO 𝑹𝟐 
x 
y 
O 
𝒗𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 = 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 
(0,0) 
x 
y 
O 
𝟑 
𝟒 
𝒗 = 𝟒, 𝟑 
(0,0) 
exemplo 
VETORES NO 𝑹𝟐 
VETORES EQUIPOLENTES 
(TRANSLAÇÃO DE VETORES) 
Dizemos que 𝑃1𝑃2 é equipolente a 𝑃3𝑃4 se quando 
𝑃1𝑃2 e 𝑃3𝑃4 são lados de um paralelogramo, 𝑃1𝑃3 
e 𝑃2𝑃4 também são lados desse paralelogramo. 
𝑃1 
𝑃2 
𝑃3 
𝑃4 
VETORES NO 𝑹𝟐 
SOMA DE VETORES 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
(0,0) 
𝒖 
𝒖𝟏 
(𝒖 + 𝒗) 
𝒗𝟐 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
(0,0) 
𝒖 
𝒖𝟏 
(𝒗 + 𝒖) 
VETORES NO 𝑹𝟐 
SOMA DE VETORES 
𝒗𝟐 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
(0,0) 
𝒖 
𝒖𝟏 
(𝒖 + 𝒗) 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
(0,0) 
𝒖 
𝒖𝟏 
(𝒗 + 𝒖) 
(𝒖 + 𝒗) = (𝒗 + 𝒖) 
COMUTATIVIDADE 
SOMA DE VETORES NO 𝑹𝟐 
𝒗𝟐 
𝒗𝟐 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
𝒖 
𝒖𝟏 
SOMA DE VETORES NO 𝑹𝟐 
−𝒖 
−𝒖𝟏 
𝒗𝟐 
−𝒖𝟐 
−∞ 
−∞ 
𝒗 − 𝒖 = (−𝒖 + 𝒗) 
COMUTATIVIDADE 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
𝒖 
𝒖𝟏 
−𝒖 
−𝒖𝟏 
𝒗𝟐 
−𝒖𝟐 
−∞ 
−∞ 
𝒗 − 𝒖 
SOMA DE VETORES NO 𝑹𝟐 
x 
y 
O 
𝒖𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 
𝒖 
𝒖𝟏 
SOMA DE VETORES NO 𝑹𝟐 
−𝒖 
−𝒖𝟏 
𝒗𝟐 
−𝒖𝟐 
−∞ 
−∞ 
(−𝒖 + 𝒗) 
Se 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 e 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 então 
 
 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2 
ESTENDENDO CONCEITOS PARA O ℝ𝑛 
Estendendo para o ℝ𝑛, temos: 
 
𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 e 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 então 
 
𝑤 = 𝑢 + 𝑣 = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, … , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 
PROPRIEDADES PARA O ℝ3 
 i. 𝜆𝑢 = 𝜆𝑢1, 𝜆𝑢2, 𝜆𝑢3 (multiplicação por escalar) 
 observe que −𝑢 = −𝑢1, −𝑢2, −𝑢3 
ii. 𝑣 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑣 (comutativa) 
 
iii. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 (associativa) 
 
iv. 𝜆 𝑢 + 𝑣 = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 (distributiva) 
 
v. 𝜆 + 𝜑 𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜑𝑣 
Sejam 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 , 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 , 
 
𝑤 = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 e 𝜆, φ ∈ ℝ, temos: 
x 
y 
z 
0 
𝑢 
−𝑢 
𝑣 
𝑤 = 𝑣 + (−𝑢) 
r 
Observe que 𝒘 = 𝒗 − 𝒖 = 𝒂′ − 𝒂, 𝒃′ − 𝒃, 𝒄′ − 𝒄 = 𝑨′ − 𝑨 = 𝑨𝑨′ 
−𝑤 = 𝐴′𝐴 Chamado de Simétrico ou Oposto de 𝑤 
VETORES NO 𝑹𝟑 
y 
z 
0 
𝑢 
−𝑢 
𝑣 
𝑤 = 𝑣 + (−𝑢) 
r 
VETORES NO 𝑹𝟑 
x 
Observe também que 
usando o ponto A e o 
vetor 𝑤 podemos 
“chegar” em qualquer 
ponto 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 da 
reta r , da seguinte 
forma: 
𝑃 = 𝐴 + 𝜆𝑤 ou 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝜆 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 
 Equação Vetorial da Reta 
 
𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑤1
𝑦 = 𝑏 + 𝜆𝑤2
𝑧 = 𝑐 + 𝜆𝑤3
 Equações Paramétricas da Reta 
y 
z 
0 
𝑢 
−𝑢 
𝑣 
𝑤 = 𝑣 + (−𝑢) 
r 
VETORES NO 𝑹𝟑 
x 
Observe ainda que se 
definirmos 𝜆 através 
das equações 
paramétricas, 
obtemos: 
𝜆 =
𝑥−𝑎
𝑤1
 =
𝑦−𝑏
𝑤2
 =
𝑧−𝑐
𝑤3
 
𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑤1
𝑦 = 𝑏 + 𝜆𝑤2
𝑧 = 𝑐 + 𝜆𝑤3
 
Equações Simétricas da Reta 
y 
z 
0 
𝒗 = 𝒂, 𝒃, 𝒄 
r 
x 𝑃 = 𝑃0 + 𝜆𝑣 
 
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑏
𝑧 = 𝑧0 + 𝜆𝑐
 
Equação Vetorial 
Equações Paramétricas da Reta 
𝜆 =
𝑥−𝑥0
𝑎
 =
𝑦−𝑦0
𝑏
 =
𝑧−𝑧0
𝑐
 Equações Simétricas da Reta 
MÓDULO DE UM VETOR 𝑣 
x 
y 
O 
𝒗𝟐 
𝒗𝟏 
𝒗 = 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 
(0,0) 
𝑣 = 𝑣1 2 + 𝑣2 2 
Norma Euclidiana = Norma 2 
𝑣 𝑝 = 𝑣1 𝑝 + 𝑣2 𝑝 +⋯ 𝑣𝑛 𝑝
𝑝
 
PRODUTO INTERNO 𝑢, 𝑣 
 
OU 
 
PRODUTO ESCALAR 𝑢. 𝑣 
 
DE 
 
VETORES 
DEFINIÇÃO: 
 
𝑢. 𝑣 = 𝑢, 𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 = escalar 
O PRODUTO INTERNO ESTÁ MUITO LIGADO AO 
CONCEITO DE TRABALHO 
W = Joules = Newton/𝑚2 
a b 
Deslocamento = 𝐷 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑎𝑏 
𝐹 
𝑤 = 𝐹 ∗ 𝐷 
a b 
Deslocamento = 𝐷 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑎𝑏 
𝐹 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝜃 
𝑤 = 𝐹 ∗ 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝐹 
𝑤 = 𝐹 ∗ 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 
𝜃1 
𝜃2 
x 
y 
O 
𝒚𝑫 
𝒙𝑭 
𝑭 
𝑫 
𝒙𝑫 
𝒚𝑭 
𝜃1 
𝜃2 
𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 +sen 𝜃1 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 
𝑐𝑜𝑠 𝜃1 =
𝑥𝐹
𝐹
 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 =
𝑥𝐷
𝐷
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃1 =
𝑦𝐹
𝐹
 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 =
𝑦𝐷
𝐷
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 =
𝑥𝐹𝑥𝐷 + 𝑦𝐹𝑦𝐷
𝐹 𝐷
 
𝑤 = 𝐹 ∗ 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 
𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 =
𝑥𝐹𝑥𝐷 + 𝑦𝐹𝑦𝐷
𝐹 𝐷
 
𝑊 = 𝐹,𝐷 
Observe que: 
 
 𝑣 = 𝑣1 2 + 𝑣2 2 = 𝑣, 𝑣 
UM FATO MUITO UTILIZADO DO 
PRODUTO INTERNO É QUE: 
Se 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇒ 𝑢, 𝑣 = 0 
y 
z 
0 
𝑢 
𝑣 
𝑤 
r 
x 
𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
𝑣 = (𝑎′, 𝑏′, 𝑐′) 
𝑤 = (𝑎′ − 𝑎, 𝑏′ − 𝑏, 𝑐′ − 𝑐) 
DO TEOREMA DE PITÁGORAS, TEMOS: 
𝑤 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 ⇒ 
 
⇒ 𝑎′ − 𝑎 2 + 𝑏′ − 𝑏 2 + 𝑐′ − 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑎′2 + 𝑏′2 + 𝑐′2 ⟹ 
 
⟹−2𝑎′𝑎 − 2𝑏′𝑏 − 2𝑐′𝑐 = 0 ⟹ 𝑎′𝑎 + 𝑏′𝑏 + 𝑐′𝑐 = 0 ⟹ 𝑢, 𝑣 = 0 
 
PRÓXIMA AULA 
 
EQUAÇÃO DO PLANO 
 Geral e Paramétrica 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
PRODUTO MISTO