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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Disciplina: Cálculo 4 (IC 244) Professor: Orlando Aluno: Semestre: 2019-1 Primeira Avaliação de Cálculo 4 1. (2,0 pts) Considere as sequências abaixo, definidas pelo n-ésimo termo geral. Decida se cada uma converge ou diverge e, para a(s) convergente(s), calcule o valor do limite. a) an = 𝑛−2𝑒𝑛 b) an = (√4 + 1 𝑛 )−2 (√2 + 1 𝑛 )−√2 2. Estude a convergência, a convergência absoluta ou divergência das séries abaixo: a) (0,5 pt) ∑ 𝜋𝑛 4𝑛+1 ∞ 𝑛=0 b) (1,0 pt) ∑ 𝑠𝑒𝑛2(𝑛) 𝑛3 ∞ 𝑛=1 c) (1,5 pt) ∑ (−1)𝑛ln (𝑛) 𝑛 ∞ 𝑛=2 Questão 3: Considere a série de potências dada por ∑ 2𝑛(𝑥+ 1 2 )𝑛 𝑛2 ∞ 𝑛=1 a) (1,0 pt) Calcule seu raio de convergência b) (2,0 pt) Determine o seu intervalo de convergência e os intervalos de divergência da série de potência. 4. (2,0 pts) Sabendo que a série de Maclaurin da função 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∑ (−1)𝑛𝑥2𝑛+1 (2𝑛 + 1)! ∞ 𝑛=1 Para todo x pertecente aos reais, determine a série de Maclaurin para: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛( 𝑥2 2 ) e para 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠( 𝑥2 2 ) 5. QUESTÃO EXTRA (OPCIONAL) (2,0 pts) Seja (an), n ≥ 1 uma sequência de números reais e suponha que existe uma constante 0 ≤ k < 1 tais que, para todo n ≥ 2 |(an + 1) − (𝑎𝑛)| ≤ k|(an) − (𝑎𝑛 − 1)|. a) Mostre que a série ∑ (an) − (𝑎𝑛 − 1)∞𝑛=2 é absolutamente convergente. b) Definindo s como sendo a soma da série, ou seja s = lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛, onde (Sn) é a sequência das somas parcias da série do item (a), determine a forma reduzida para Sn em função da sua sequência an e mostre que an também é convergente, calculando inclusive seu limite.
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