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Cálculo 4 - IC 244 - Prova 01 - Professor Orlando

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo 4 (IC 244) 
Professor: Orlando 
Aluno: Semestre: 2019-1 
 
 
Primeira Avaliação de Cálculo 4 
 
 
1. (2,0 pts) Considere as sequências abaixo, definidas pelo n-ésimo termo geral. 
Decida se cada uma converge ou diverge e, para a(s) convergente(s), calcule 
o valor do limite. 
 
a) an = 𝑛−2𝑒𝑛 
 
b) an = 
(√4 + 
1
𝑛
)−2
(√2 + 
1
𝑛
)−√2
 
 
 
2. Estude a convergência, a convergência absoluta ou divergência das séries 
abaixo: 
 
a) (0,5 pt) ∑
𝜋𝑛
4𝑛+1
∞
𝑛=0 
b) (1,0 pt) ∑
𝑠𝑒𝑛2(𝑛)
𝑛3
∞
𝑛=1 
c) (1,5 pt) ∑
(−1)𝑛ln (𝑛)
𝑛
∞
𝑛=2 
 
Questão 3: Considere a série de potências dada por ∑
2𝑛(𝑥+
1
2
)𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1 
a) (1,0 pt) Calcule seu raio de convergência 
 
 
b) (2,0 pt) Determine o seu intervalo de convergência e os intervalos de 
divergência da série de potência. 
 
 
4. (2,0 pts) Sabendo que a série de Maclaurin da função 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=1
 
 
Para todo x pertecente aos reais, determine a série de Maclaurin para: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(
𝑥2
2
) e para 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠(
𝑥2
2
) 
 
5. QUESTÃO EXTRA (OPCIONAL) (2,0 pts) Seja (an), n ≥ 1 uma sequência de 
números reais e suponha que existe uma constante 0 ≤ k < 1 tais que, para todo 
n ≥ 2 |(an + 1) − (𝑎𝑛)| ≤ k|(an) − (𝑎𝑛 − 1)|. 
 
a) Mostre que a série ∑ (an) − (𝑎𝑛 − 1)∞𝑛=2 é absolutamente convergente. 
 
b) Definindo s como sendo a soma da série, ou seja s = lim
𝑛→∞
𝑆𝑛, onde (Sn) é a 
sequência das somas parcias da série do item (a), determine a forma reduzida 
para Sn em função da sua sequência an e mostre que an também é convergente, 
calculando inclusive seu limite.

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