EQUAC.DIFERENC.E TRANSFORMADAS INTEGRAIS

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Equa��es 2011/Equacoes.zip
ProvaP1_11-1/.DS_Store
__MACOSX/ProvaP1_11-1/._.DS_Store
ProvaP1_11-1/GabaritoP1A.pdf
__MACOSX/ProvaP1_11-1/._GabaritoP1A.pdf
ProvaP1_11-1/GabaritoP1B.pdf
__MACOSX/ProvaP1_11-1/._GabaritoP1B.pdf
ProvaP1_11-1/GabaritoP1C.pdf
__MACOSX/ProvaP1_11-1/._GabaritoP1C.pdf
ProvaP1_11-1/P1EDTI150_111Prova1.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 150 05/05/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
25s6s
e)3s()s(F 2
s2
++
+
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′+′′
0)0(y
0)0(y
t24)t(y4)t(y4)t(y
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 
)2t(Ht6)t4cos(e)t(f 2t3 −−= − . 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t4(sen219)t(y25)t(y6)t(y =+′+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
__MACOSX/ProvaP1_11-1/._P1EDTI150_111Prova1.pdf
ProvaP1_11-1/P1EDTI150_111Prova2.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 150 05/05/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
25s8s
e)4s()s(F 2
s2
++
+
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′+′′
0)0(y
0)0(y
t27)t(y9)t(y6)t(y
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 
)1t(Ht7)t3cos(e)t(f 2t2 −−= − . 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t3(sen104)t(y25)t(y8)t(y =+′+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
__MACOSX/ProvaP1_11-1/._P1EDTI150_111Prova2.pdf
__MACOSX/._ProvaP1_11-1
ProvaP1_11-2/GabaritoP1F1.pdf
__MACOSX/ProvaP1_11-2/._GabaritoP1F1.pdf
ProvaP1_11-2/GabaritoP1F2.pdf
__MACOSX/ProvaP1_11-2/._GabaritoP1F2.pdf
ProvaP1_11-2/GabaritoP1F3.pdf
__MACOSX/ProvaP1_11-2/._GabaritoP1F3.pdf
ProvaP1_11-2/P1EDTI370_112_Prova1.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 370 03/10/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
s9s6s
e)s(F 23
s3
++
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′′
0)0(y
0)0(y
e13)t(y9)t(y t2
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 




≥
<≤
=
−
2tse,t
2t0se,e)t(f
t3
. 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t3cos(5)t(y4)t(y =+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
__MACOSX/ProvaP1_11-2/._P1EDTI370_112_Prova1.pdf
ProvaP1_11-2/P1EDTI370_112_Prova2.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 370 03/10/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
s4s4s
e)s(F 23
s2
++
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′′
0)0(y
0)0(y
e13)t(y4)t(y t3
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 




≥
<≤
=
−
3tse,t
3t0se,e)t(f
t2
. 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t3(sen5)t(y4)t(y =+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
__MACOSX/ProvaP1_11-2/._P1EDTI370_112_Prova2.pdf
__MACOSX/._ProvaP1_11-2
ProvaP2_11-1/.DS_Store
__MACOSX/ProvaP2_11-1/._.DS_Store
ProvaP2_11-1/GabaritoP2F1.pdf
__MACOSX/ProvaP2_11-1/._GabaritoP2F1.pdf
ProvaP2_11-1/GabaritoP2F2.pdf
__MACOSX/ProvaP2_11-1/._GabaritoP2F2.pdf
ProvaP2_11-1/GabaritoP2F3.pdf
__MACOSX/ProvaP2_11-1/._GabaritoP2F3.pdf
ProvaP2_11-1/P2EDTI150_111Prova1.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 150 20/06/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que a função ,t),t(f)2t(fe
0tse,t
t0se,t)t(f ℜ∈∀=+



<<−−
<<
= pi
pi
pi
 é 
uma função par, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando 
simetria de meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
84
e)(F 2
i3
++
=
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função 
9t
e)t(f 2
it2
+
=
−
. 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 5t5 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
1t1 ≤≤− . 
.t),t(f)2t(fe
,4t3se,t3
,5t4se,t5)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
− y4e3)y,0(u
)y,x(
y
u)y,x(
x
u
. 
 
Boa Prova!! 
__MACOSX/ProvaP2_11-1/._P2EDTI150_111Prova1.pdf
ProvaP2_11-1/P2EDTI150_111Prova2.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 150 20/06/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que a função ,t),t(f)2t(fe
0tse,t
t0se,t)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= pi
pi
pi
 é 
uma função par, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando 
simetria de meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
106
e)(F 2
i2
++
=
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função 
16t
e)t(f 2
it3
+
=
−
. 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 5t5 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
1t1 ≤≤− . 
.t),t(f)2t(fe
,4t3se,3t
,5t4se,5t)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
− y3e4)y,0(u
)y,x(
y
u)y,x(
x
u
. 
 
Boa Prova!! 
__MACOSX/ProvaP2_11-1/._P2EDTI150_111Prova2.pdf
__MACOSX/._ProvaP2_11-1
ProvaP2_11-2/GabaritoP2f1.pdf
__MACOSX/ProvaP2_11-2/._GabaritoP2f1.pdf
ProvaP2_11-2/GabaritoP2f2.pdf
__MACOSX/ProvaP2_11-2/._GabaritoP2f2.pdf
ProvaP2_11-2/GabaritoP2f3.pdf
__MACOSX/ProvaP2_11-2/._GabaritoP2f3.pdf
ProvaP2_11-2/P2EDTI37011Prova1.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 370 21/11/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que ,t),t(f)2t(fe,tse,t)t(f ℜ∈∀=+<<−= pipipi é uma função 
ímpar, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando simetria de 
meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
256
e)(F 2
i2
+−
=
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função )4t(pe)t(f 6it3 += . 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 6t6 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
2t2 ≤≤− . 
.t),t(f)4t(fe
,4t2se,t28
,6t4se,8t2)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
−
2y2e5)y,0(u
)y,x(
y
u
x)y,x(
x
uy
. 
 
 
Boa Prova!! 
__MACOSX/ProvaP2_11-2/._P2EDTI37011Prova1.pdf
ProvaP2_11-2/P2EDTI37011Prova2.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 370 21/11/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que ,t),t(f)2t(fe,tse,t)t(f ℜ∈∀=+<<−−= pipipi é uma 
função ímpar, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando 
simetria de meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
256
e)(F 2
i2
++
=
−
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função )4t(pe)t(f 6it3 −= − . 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 6t6 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
2t2 ≤≤− . 
.t),t(f)4t(fe
,4t2se,8t2
,6t4se,t28)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
−4y3)y,1(u
)y,x(
y
uy)y,x(
x
u
x
. 
 
 
Boa Prova!! 
__MACOSX/ProvaP2_11-2/._P2EDTI37011Prova2.pdf
__MACOSX/._ProvaP2_11-2
ProvaPS_P1_11-2/.DS_Store
__MACOSX/ProvaPS_P1_11-2/._.DS_Store
ProvaPS_P1_11-2/GabaritoPS1F1.pdf
__MACOSX/ProvaPS_P1_11-2/._GabaritoPS1F1.pdf
ProvaPS_P1_11-2/GabaritoPS1F2.pdf
__MACOSX/ProvaPS_P1_11-2/._GabaritoPS1F2.pdf
__MACOSX/._ProvaPS_P1_11-2
Trabalhos/.DS_Store
__MACOSX/Trabalhos/._.DS_Store
Trabalhos/EDTITrab1tm370_112Gab.pdf
 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE 
DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
4115T-04 Equações Diferenciais e Transformadas Integrais - 19/08/11 – T. 370 
Prof. Dr. Augusto Vieira Cardona 
 
TRABALHO 1 
 
1) (5.0) Encontre a solução geral da seguinte Equação Diferencial Ordinária Linear: 
x2e4)x(y8)x(y6)x(y −=+′+′′ . 
Solução: Solução geral da EDO homogênea: 
.BeAe)x(y4ou2
0860)x(y8)x(y6)x(y
x4x2
c
2
ccc
−− +=∴−=−=
∴=++∴=+′+′′
αα
αα
 
 Para a solução particular da EDO não homogênea, tenta-se x2p Ce)x(y −= . Como esta função 
coincide com parte da )x(yc , devemos multiplicá-la por x, ou seja, 
,Ce4Cxe4)x(yCeCxe2)x(yCxe)x(y x2x2px2x2px2p −−−−− −=′′∴+−=′∴= 
substituindo-a na EDO x2ppp e4)x(y8)x(y6)x(y −=+′+′′ , resultando: ( ) ( ) ( )
.xe2)x(y2C4C2
e4Ce2e4Cxe8CeCxe26Ce4Cxe4
x2
p
x2x2x2x2x2x2x2x2
−
−−−−−−−−
=∴=∴=
∴=∴=++−+−
 
Finalizando, a solução geral da EDO não homogênea será: 
.xe2BeAe)x(y)x(y)x(y x2x4x2pc −−− ++=+= 
 
2) (5.0) Resolva o seguinte problema de valor inicial: 





=′
=
=+′+′′
0)0(y
0)0(y
t4)t(y2)t(y3)t(y
. 
Solução: Solução geral da EDO homogênea: 
.BeAe)t(y2ou1
0230)t(y2)t(y3)t(y
t2t
c
2
ccc
−− +=∴−=−=
∴=++∴=+′+′′
αα
αα
 
 Para a solução particular da EDO não homogênea, tenta-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
.3t2)t(y3De2C
0D2C3e4C2t4D2C3Ct2t4DCt2C30
t4)x(y2)t(y3)t(y0)t(yC)t(yDCt)t(y
p
pppppp
−=∴−==
∴=+=∴=++∴=+++
∴=+′+′′∴=′′∴=′∴+=
 
Então, a solução geral da EDO não homogênea será: 
,2Be2Ae)t(ysendo,3t2BeAe)t(y)t(y)t(y t2tt2tpc +−−=′−++=+= −−−− 
E aplicam-se as condições iniciais: 
.3t2ee4)t(y1Be4A2B2Ae3BA
02Be2Ae)0(ye03)0(2BeAe)0(y
t2t
)0(20)0(20
−+−=∴−==∴−=−−=+
∴=+−−=′=−++=
−−
−−−−
 
__MACOSX/Trabalhos/._EDTITrab1tm370_112Gab.pdf
Trabalhos/EDTITrab2tm370_112Gab.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E TRANSFORMADAS INTEGRAIS 
Trabalho 2 TURMA 370 23/09/2011 Prof. Augusto Cardona 
 
Obs.: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. Cada grupo terá no máximo 
três membros e deverá entregar uma folha com a resolução dos problemas. A consulta ao 
material escrito é permitida. 
 
1. (2.0) Calcule a transformada de Laplace da função ���� � ��� � 2�	
��. 
���� � 2�	
��� � ����������� , pela prop. A2, pois 
���� � 2�� �
����
� (prop. B9). 
 
2. (3.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da função ���� � ���������. 
� � ���������� � 
� �
�����
�
��������� � 	
�� �cos�2�� �
�
# �	$�2��% , pela prop. A2, pois: 
� � �
������ � 
� �
�
����� �
�
# 
� �
#
����� � 	
�� �cos�2�� �
�
# �	$�2��% , pelo uso das 
propriedades A1, B5 e B6. 
 
3. (5.0) Resolva o seguinte PVI: &'
((��� ) 4'(��� ) 3'��� � 	
#�
'�0� � '(�0� � 0 -. 
Aplicando a transformada de Laplace da EDO e usando a linearidade, obtemos: 
�'((���� ) 4
�'(���� ) 3
�'���� � 
�	
#�� / 0�2'1��� � �'�0� � '2�0�3 )
40�'1��� � '�0�3 ) 30'1���3 � 1�)2 / �2'1��� ) 4�'1��� ) 3'1��� �
1
�)2 / 0�2 ) 4� )
33'1��� � 1�)2 / '1���
�
1
��)2���2������ � 
1
��)1���)2������ , pois '�0� � '(�0� � 0. 
Aplicando a transformada inversa de Laplace e usando a técnica de expansão de 
Heaviside, resulta que: 
 � 1��)1���)2������� � 5	�� ) 6	�2� ) 7	�3� � �	�� )
�
# 	
�2� ) �# 	
�3�
, pois: 
5 � - ����#���)3�8�9
� � �1; 6 �
- �
�������)3�8�9
# �
1
2 ; 7 � - ��������)2�8�9
� �
1
2. 
__MACOSX/Trabalhos/._EDTITrab2tm370_112Gab.pdf
Trabalhos/Tr3EDTI370_112Gab.pdf
FAMAT – PUCRS 
Trabalho 3 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
28/10/2011 Turma 370 Prof. Dr. Augusto V. Cardona 
 
 
Seja a seguinte função periódica: 
.t),t(f)2t(fe,3tse,4t2)t(f ℜ∈∀=+<<−= pipipipi 
a) (4.0) Desenhe o gráfico de f(t), com -5pi < t < 5pi , e diga se f(t) é par ou ímpar. 
Solução: O gráfico foi feito no Maple: 
 
Analisando as simetrias do gráfico em questão, podemos dizer que a função é ímpar. 
b) (6.0) Calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier para esta função, usando 
simetria de meia-onda. 
Solução: T = 2pi e ω = 2pi/T = 1. A função f(t) é ímpar, logo an = 0, para todo n = 0, 1, 2, ..., 
e, pelo gráfico acima, pipi <<−= tse,t2)t(f . Assim, 
.)nt(sen
n
)1(4)nt(senb)t(f
.
n
)1(4
n
)ncos(
)n(
)n(sen4
n
)ntcos(t
)n(
)nt(sen4
dt)nt(sent4dt)nt(sent22dt)nt(sen)t(f
2
4b
1n
n
1n
n
n
2
0
2
000n
∑∑
∫∫∫
∞
=
∞
=
−
−==
−
−=





−=





−=
====
pipipi
pipi
pipipi
pi
pipipi
 
Abaixo, reproduzimos o gráfico de f(t) (em azul) e da soma dos cinco primeiros 
termos de sua série trigonométrica de Fourier (em vermelho): 
 
__MACOSX/Trabalhos/._Tr3EDTI370_112Gab.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-1/.DS_Store
Equa��es 2011/ProvaP1_11-1/GabaritoP1A.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-1/GabaritoP1B.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-1/GabaritoP1C.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-1/P1EDTI150_111Prova1.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 150 05/05/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
25s6s
e)3s()s(F 2
s2
++
+
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′+′′
0)0(y
0)0(y
t24)t(y4)t(y4)t(y
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 
)2t(Ht6)t4cos(e)t(f 2t3 −−= − . 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t4(sen219)t(y25)t(y6)t(y =+′+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP1_11-1/P1EDTI150_111Prova2.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 150 05/05/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
25s8s
e)4s()s(F 2
s2
++
+
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′+′′
0)0(y
0)0(y
t27)t(y9)t(y6)t(y
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 
)1t(Ht7)t3cos(e)t(f 2t2 −−= − . 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t3(sen104)t(y25)t(y8)t(y =+′+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP1_11-2/GabaritoP1F1.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-2/GabaritoP1F2.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-2/GabaritoP1F3.pdf
Equa��es 2011/ProvaP1_11-2/P1EDTI370_112_Prova1.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 370 03/10/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
s9s6s
e)s(F 23
s3
++
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′′
0)0(y
0)0(y
e13)t(y9)t(y t2
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 




≥
<≤
=
−
2tse,t
2t0se,e)t(f
t3
. 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t3cos(5)t(y4)t(y =+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP1_11-2/P1EDTI370_112_Prova2.pdf
FAMAT - PUCRS Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
Avaliação P1 TURMA 370 03/10/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
 1) (2.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da seguinte função: 
s4s4s
e)s(F 23
s2
++
=
−
. 
 
 2) (4.0) Resolva o problema de valor inicial abaixo, usando: 
a) (2.0) O Método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) (2.0) A Transformada de Laplace. 





=′
=
=+′′
0)0(y
0)0(y
e13)t(y4)t(y t3
. 
 
 3) (2.0) Calcule a transformada de Laplace da seguinte função: 




≥
<≤
=
−
3tse,t
3t0se,e)t(f
t2
. 
 
 4) (2.0) Encontre a solução geral para a EDO linear abaixo: 
)t3(sen5)t(y4)t(y =+′′ . 
 
 
 Boa prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP2_11-1/.DS_Store
Equa��es 2011/ProvaP2_11-1/GabaritoP2F1.pdf
Equa��es 2011/ProvaP2_11-1/GabaritoP2F2.pdf
Equa��es 2011/ProvaP2_11-1/GabaritoP2F3.pdf
Equa��es 2011/ProvaP2_11-1/P2EDTI150_111Prova1.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 150 20/06/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que a função ,t),t(f)2t(fe
0tse,t
t0se,t)t(f ℜ∈∀=+



<<−−
<<
= pi
pi
pi
 é 
uma função par, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando 
simetria de meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
84
e)(F 2
i3
++
=
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função 
9t
e)t(f 2
it2
+
=
−
. 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 5t5 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
1t1 ≤≤− . 
.t),t(f)2t(fe
,4t3se,t3
,5t4se,t5)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
− y4e3)y,0(u
)y,x(
y
u)y,x(
x
u
. 
 
Boa Prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP2_11-1/P2EDTI150_111Prova2.pdf
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 150 20/06/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que a função ,t),t(f)2t(fe
0tse,t
t0se,t)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= pi
pi
pi
 é 
uma função par, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando 
simetria de meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
106
e)(F 2
i2
++
=
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função 
16t
e)t(f 2
it3
+
=
−
. 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 5t5 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
1t1 ≤≤− . 
.t),t(f)2t(fe
,4t3se,3t
,5t4se,5t)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
− y3e4)y,0(u
)y,x(
y
u)y,x(
x
u
. 
 
Boa Prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP2_11-2/GabaritoP2f1.pdf
Equa��es 2011/ProvaP2_11-2/GabaritoP2f2.pdf
Equa��es 2011/ProvaP2_11-2/GabaritoP2f3.pdf
Equa��es 2011/ProvaP2_11-2/P2EDTI37011Prova1.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 370 21/11/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que ,t),t(f)2t(fe,tse,t)t(f ℜ∈∀=+<<−= pipipi é uma função 
ímpar, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando simetria de 
meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
256
e)(F 2
i2
+−
=
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função )4t(pe)t(f 6it3 += . 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 6t6 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
2t2 ≤≤− . 
.t),t(f)4t(fe
,4t2se,t28
,6t4se,8t2)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
−
2y2e5)y,0(u
)y,x(
y
u
x)y,x(
x
uy
. 
 
 
Boa Prova!! 
Equa��es 2011/ProvaP2_11-2/P2EDTI37011Prova2.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
Prova P2 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
TURMA 370 21/11/2011 Prof. Dr. Augusto Cardona 
 
Observação: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. 
 
1. (2.0) Sabendo que ,t),t(f)2t(fe,tse,t)t(f ℜ∈∀=+<<−−= pipipi é uma 
função ímpar, calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier usando 
simetria de meia-onda. 
 
2. (2.0) Calcule a transformada inversa de Fourier da função 
256
e)(F 2
i2
++
=
−
ωω
ω
ω
. 
 
3. (2.0) Calcule a transformada de Fourier da função )4t(pe)t(f 6it3 −= − . 
 
4. (2.0) Esboce o gráfico da função periódica dada abaixo, com 6t6 ≤≤− , e diga se f(t) 
é uma função par ou ímpar. Apresente, também, a expressão da função f(t), para 
2t2 ≤≤− . 
.t),t(f)4t(fe
,4t2se,8t2
,6t4se,t28)t(f ℜ∈∀=+



<<−
<<−
= 
 
5. (2.0) Resolva o seguinte problema diferencial: 





=
∂
∂
=
∂
∂
−4y3)y,1(u
)y,x(
y
uy)y,x(
x
u
x
. 
 
 
Boa Prova!! 
Equa��es 2011/ProvaPS_P1_11-2/.DS_Store
Equa��es 2011/ProvaPS_P1_11-2/GabaritoPS1F1.pdf
Equa��es 2011/ProvaPS_P1_11-2/GabaritoPS1F2.pdf
Equa��es 2011/Trabalhos/.DS_Store
Equa��es 2011/Trabalhos/EDTITrab1tm370_112Gab.pdf
 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE 
DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
4115T-04 Equações Diferenciais e Transformadas Integrais - 19/08/11 – T. 370 
Prof. Dr. Augusto Vieira Cardona 
 
TRABALHO 1 
 
1) (5.0) Encontre a solução geral da seguinte Equação Diferencial Ordinária Linear: 
x2e4)x(y8)x(y6)x(y −=+′+′′ . 
Solução: Solução geral da EDO homogênea: 
.BeAe)x(y4ou2
0860)x(y8)x(y6)x(y
x4x2
c
2
ccc
−− +=∴−=−=
∴=++∴=+′+′′
αα
αα
 
 Para a solução particular da EDO não homogênea, tenta-se x2p Ce)x(y −= . Como esta função 
coincide com parte da )x(yc , devemos multiplicá-la por x, ou seja, 
,Ce4Cxe4)x(yCeCxe2)x(yCxe)x(y x2x2px2x2px2p −−−−− −=′′∴+−=′∴= 
substituindo-a na EDO x2ppp e4)x(y8)x(y6)x(y −=+′+′′ , resultando: ( ) ( ) ( )
.xe2)x(y2C4C2
e4Ce2e4Cxe8CeCxe26Ce4Cxe4
x2
p
x2x2x2x2x2x2x2x2
−
−−−−−−−−
=∴=∴=
∴=∴=++−+−
 
Finalizando, a solução geral da EDO não homogênea será: 
.xe2BeAe)x(y)x(y)x(y x2x4x2pc −−− ++=+= 
 
2) (5.0) Resolva o seguinte problema de valor inicial: 





=′
=
=+′+′′
0)0(y
0)0(y
t4)t(y2)t(y3)t(y
. 
Solução: Solução geral da EDO homogênea: 
.BeAe)t(y2ou1
0230)t(y2)t(y3)t(y
t2t
c
2
ccc
−− +=∴−=−=
∴=++∴=+′+′′
αα
αα
 
 Para a solução particular da EDO não homogênea, tenta-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
.3t2)t(y3De2C
0D2C3e4C2t4D2C3Ct2t4DCt2C30
t4)x(y2)t(y3)t(y0)t(yC)t(yDCt)t(y
p
pppppp
−=∴−==
∴=+=∴=++∴=+++
∴=+′+′′∴=′′∴=′∴+=
 
Então, a solução geral da EDO não homogênea será: 
,2Be2Ae)t(ysendo,3t2BeAe)t(y)t(y)t(y t2tt2tpc +−−=′−++=+= −−−− 
E aplicam-se as condições iniciais: 
.3t2ee4)t(y1Be4A2B2Ae3BA
02Be2Ae)0(ye03)0(2BeAe)0(y
t2t
)0(20)0(20
−+−=∴−==∴−=−−=+
∴=+−−=′=−++=
−−
−−−−
 
Equa��es 2011/Trabalhos/EDTITrab2tm370_112Gab.pdf
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E TRANSFORMADAS INTEGRAIS 
Trabalho 2 TURMA 370 23/09/2011 Prof. Augusto Cardona 
 
Obs.: Questões sem o desenvolvimento não serão consideradas. Cada grupo terá no máximo 
três membros e deverá entregar uma folha com a resolução dos problemas. A consulta ao 
material escrito é permitida. 
 
1. (2.0) Calcule a transformada de Laplace da função ���� � ��� � 2�	
��. 
���� � 2�	
��� � ����������� , pela prop. A2, pois 
���� � 2�� �
����
� (prop. B9). 
 
2. (3.0) Calcule a transformada inversa de Laplace da função ���� � ���������. 
� � ���������� � 
� �
�����
�
��������� � 	
�� �cos�2�� �
�
# �	$�2��% , pela prop. A2, pois: 
� � �
������ � 
� �
�
����� �
�
# 
� �
#
����� � 	
�� �cos�2�� �
�
# �	$�2��% , pelo uso das 
propriedades A1, B5 e B6. 
 
3. (5.0) Resolva o seguinte PVI: &'
((��� ) 4'(��� ) 3'��� � 	
#�
'�0� � '(�0� � 0 -. 
Aplicando a transformada de Laplace da EDO e usando a linearidade, obtemos: 
�'((���� ) 4
�'(���� ) 3
�'���� � 
�	
#�� / 0�2'1��� � �'�0� � '2�0�3 )
40�'1��� � '�0�3 ) 30'1���3 � 1�)2 / �2'1��� ) 4�'1��� ) 3'1��� �
1
�)2 / 0�2 ) 4� )
33'1��� � 1�)2 / '1��� �
1
��)2���2������ � 
1
��)1���)2������ , pois '�0� � '(�0� � 0. 
Aplicando a transformada inversa de Laplace e usando a técnica de expansão de 
Heaviside, resulta que: 
 � 1��)1���)2������� � 5	��
) 6	�2� ) 7	�3� � �	�� )
�
# 	
�2� ) �# 	
�3�
, pois: 
5 � - ����#���)3�8�9
� � �1; 6 �
- �
�������)3�8�9
# �
1
2 ; 7 � - ��������)2�8�9
� �
1
2. 
Equa��es 2011/Trabalhos/Tr3EDTI370_112Gab.pdf
FAMAT – PUCRS 
Trabalho 3 de Equações Diferenciais e Transformadas Integrais 
28/10/2011 Turma 370 Prof. Dr. Augusto V. Cardona 
 
 
Seja a seguinte função periódica: 
.t),t(f)2t(fe,3tse,4t2)t(f ℜ∈∀=+<<−= pipipipi 
a) (4.0) Desenhe o gráfico de f(t), com -5pi < t < 5pi , e diga se f(t) é par ou ímpar. 
Solução: O gráfico foi feito no Maple: 
 
Analisando as simetrias do gráfico em questão, podemos dizer que a função é ímpar. 
b) (6.0) Calcule os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier para esta função, usando 
simetria de meia-onda. 
Solução: T = 2pi e ω = 2pi/T = 1. A função f(t) é ímpar, logo an = 0, para todo n = 0, 1, 2, ..., 
e, pelo gráfico acima, pipi <<−= tse,t2)t(f . Assim, 
.)nt(sen
n
)1(4)nt(senb)t(f
.
n
)1(4
n
)ncos(
)n(
)n(sen4
n
)ntcos(t
)n(
)nt(sen4
dt)nt(sent4dt)nt(sent22dt)nt(sen)t(f
2
4b
1n
n
1n
n
n
2
0
2
000n
∑∑
∫∫∫
∞
=
∞
=
−
−==
−
−=





−=





−=
====
pipipi
pipi
pipipi
pi
pipipi
 
Abaixo, reproduzimos o gráfico de f(t) (em azul) e da soma dos cinco primeiros 
termos de sua série trigonométrica de Fourier (em vermelho):