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Cálculo Diferencial e Integral II Sandra Regina Leme Forster Revisada por Sandra Regina Leme Forster (setembro/2012) É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial e Integral II, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi- co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina. A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis- ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail. Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação. Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple- mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar! Unisa Digital APRESENTAÇÃO SUMÁRIO INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................5 1 INTRODUÇÃO AO LIMITE .................................................................................................................7 1.1 Símbolo Matemático para Limite de Função ........................................................................................................7 1.2 O Conceito de Limite ......................................................................................................................................................9 1.3 Propriedades dos Limites .......................................................................................................................................... 12 1.4 Limite da Função Racional ........................................................................................................................................ 13 1.5 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 18 1.6 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 19 2 A DERIVADA E SUA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E FÍSICA ............................ 21 2.1 Taxa Média de Variação .............................................................................................................................................. 21 2.2 Taxa Média de Variação e Retas Secantes ............................................................................................................ 23 2.3 Taxa Instantânea ........................................................................................................................................................... 24 2.4 A Derivada de uma Função ....................................................................................................................................... 36 2.5 Derivabilidade e Continuidade ............................................................................................................................... 37 2.6 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 41 2.7 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 41 3 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO ....................................................................................... 43 3.1 Regra da Constante...................................................................................................................................................... 43 2.2 Regra da Potência ......................................................................................................................................................... 44 2.3 Múltiplo Constante ...................................................................................................................................................... 46 3.4 Regra da Soma e da Diferença ................................................................................................................................. 47 3.5 Regra do Produto.......................................................................................................................................................... 49 3.6 Regra do Quociente ..................................................................................................................................................... 51 3.7 Derivada das Funções Trigonométricas ............................................................................................................... 54 3.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) .......................................................................................... 58 3.9 Derivada da Função Inversa ..................................................................................................................................... 61 3.10 Derivada da Função Exponencial ........................................................................................................................ 66 3.11 Derivada da Função Logarítmica ......................................................................................................................... 69 3.12 Derivadas de Ordem Superior ............................................................................................................................... 70 3.13 Derivada da Função Implícita ................................................................................................................................ 70 3.14 Resumo do Capítulo ................................................................................................................................................. 73 3.15 Atividades Propostas ................................................................................................................................................ 73 4 ALGUMAS APLICAÇÕES DA DERIVADA .............................................................................. 75 4.1 A Derivada como Taxa de Variação em Diversos Casos ................................................................................. 75 4.2 Taxas Relacionadas ....................................................................................................................................................... 80 4.3 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 82 4.4 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 82 5 SIGNIFICADO DO SINAL DAS DERIVADAS PRIMEIRA E SEGUNDA ................. 83 5.1 Sinal da Derivada Primeira – Crescimento e Decrescimento de uma Função ......................................83 5.2 Pontos Críticos ...............................................................................................................................................................88 5.3 Sinal da Derivada Segunda – Determinação da Concavidade ....................................................................90 5.4 Derivada Segunda – Ponto de Inflexão ................................................................................................................935.5 Aplicações – Esboço de Gráficos – uma Aplicação de Limite e das Derivadas Primeira e Segunda ...........................................................................................................................................................................95 5.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................98 5.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................98 RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 99 REFERÊNCIAS ...........................................................................................................................................109 ANEXO ...........................................................................................................................................................111 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 5 INTRODUÇÃO Esta apostila destina-se aos(às) alunos(as) dos cursos de Engenharia Ambiental e Engenharia de Produção, com a finalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e auxiliar o(a) aluno(a) do Ensino a Distância (EaD). Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela que normalmente apa- rece nos livros, a fim de proporcionar uma melhor compreensão para os(as) alunos(as) do EaD. A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em forma de exercí- cios resolvidos, que aparecem como exemplos, e exercícios de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados. Espera-se, com este material, contribuir de forma expressiva no aprendizado dos(as) alunos(as), porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das atividades e interação no correio, fóruns de dis- cussões e chats são fundamentais para o seu sucesso. Os tópicos apresentados são essenciais para entendermos o conceito e as aplicações dos limites de uma função e das derivadas. No capítulo 1, estudaremos os limites de uma função. Já no capítulo 2, é apresentada a interpretação geométrica e física da derivada e a sua definição. No capítulo 3, são demons- tradas as principais fórmulas de derivação. No capítulo 4, são dados alguns exemplos de aplicação das derivadas em diversas áreas. Para finalizar, no capítulo 5, aplicamos a derivada na Matemática, ou seja, usamos a 1ª derivada e a 2ª derivada nos esboços e interpretação de gráficos de diversas funções. Caso discorde de algo apresentado nesta apostila, comunique ao professor da disciplina, pois de- sejamos ouvi-lo(a) para que possamos melhorar o curso a cada trimestre. Sandra Regina Leme Forster Caro(a) aluno(a), Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 7 INTRODUÇÃO AO LIMITE1 Querido(a) aluno(a), Você já havia estudado o limite de uma fun- ção em algum outro curso? O que será que é isso? O limite é um simples número real, obtido por certas técnicas, que representa determinadas situações práticas e teóricas. Com apoio em seu conceito, são estudadas as derivadas e as inte- grais, as quais veremos com detalhes nas discipli- nas Cálculo II e Cálculo III. A definição de limite foi obtida no decor- rer de um caminho muito longo, que teve início com preocupações acerca do problema do movi- mento, no qual foi necessário encontrar uma ex- plicação usando uma teoria quantitativa que nos permitisse, por meio do cálculo, obter resultados. Para isso, foi criado o conceito de infinitésimo, para responder à questão de que o que se passa em um ponto, se passa em pontos vizinhos. Com base nesse conceito, estabelece-se o de limite, o qual foi escrito no decorrer deste capítulo tendo como fonte as referências apontadas no final des- ta apostila. Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao limite do peso de um lutador, ao limite da resistência humana, ao limite de um desconto que pode ser oferecido na venda de uma mercadoria, ao limite de material que pode ser usado ao produzir uma embalagem etc. Todas essas expressões sugerem que limite é uma cota, que, em certas ocasiões, pode não ser atingida, mas em outras pode. Então, todas as vezes que, no estudo de um fenômeno de qualquer natureza – físico, biológi- co, econômico, geométrico –, para a determina- ção quantitativa de seu estado, nos apareça como indispensável considerar a aparência desse esta- do com os estados vizinhos, essa determinação será feita por meio do limite, que é a resultante da infinidade de possibilidades dos estados vizinhos. Então, esse limite é um número que, por meio de uma operação, reside no fato de cons- truir um resultado à custa de uma infinidade de possibilidades, tomando o infinito como um ele- mento ativo de construção. O matemático moderno, adotando em re- lação ao conceito de limite uma atitude dinâmi- ca e tomando-o com audácia como elemento de construção, obtém o resultado que a ciência confirma e constrói o elemento matemático que permite integrar o movimento no mundo da con- tinuidade. 1.1 Símbolo Matemático para Limite de Função O símbolo de limite para apresentarmos matematicamente a operação solicitada só foi utilizado pela primeira vez por Cauchy, no sécu- lo XIX. Vamos ver, então, um exemplo de como é esse símbolo que representa esse número real denominado limite. Para a função 2 25 5 xy x − = − , é possível achar o valor de y, menos quando x = 5. No entanto, é possível fazer y ficar tão próximo de 10 quanto se queira, bastando tomar x a uma distância con- veniente de 5, quer pela sua esquerda, como em 4,99, quer pela direita, como em 5,01. Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 8 A comunicação dos fatos descritos no pará- grafo anterior é feita, em matemática, escreven- do-se: 2 5 25lim 5x x x→ − − Porém, x² - 25 pode ser fatorado, ou seja, es- crito em forma de produto. Dessa forma, vamos ter: 2 5 5 25 ( 5) ( 5)lim lim 5 5x x x x x x x→ → − + ⋅ − = − − Simplificando: ( 5) ( 5)x x+ ⋅ − Vamos ter que: 2 5 5 25lim lim( 5) 5 5 10 5x x x x x→ → − = + = + = − A expressão pode ser interpretada assim: é possível fazer o valor 2 25 5 xy x − = − tornar-se tão próximo de 10 quanto se queira, bastando para isso tomar valores de x a uma distância suficien- temente próxima a 5. No ponto x = 5, o limite é 10. Observar também que, para qualquer x ¹ 5, nunca y será 10. De todos os números reais, fica faltando apenas o par (5,10). Veja (na Figura 1) o gráfico e a tabela que representam essa situação; com eles podemos observar que à medida que nos aproximamos de 5, ou seja, à medida que a diferença do x para 5 se aproxima de zero, o f(x) se aproxima de 10, ou seja, o limite é 10. Figura 1 – Função y = (x² -25)/(x-5) ou y = x + 5 para x ≠ 5. −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y x y 4.00 9.00 4.20 9.20 4.40 9.40 4.60 9.60 4.80 9.80 5.00 indeter. 5.20 10.20 5.40 10.40 5.60 10.60 5.80 10.80 6.00 11.00 x y 4.988 9.988 4.990 9.990 4.992 9.992 4.994 9.994 4.996 9.996 4.998 9.998 Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 9 Tendo ainda como exemplo a função do tópico 1.1, poderíamos fazer diversos questiona- mentos, como, por exemplo:Sendo f definida de ℜ→ℜ, para x ≠ 5, com 2 25( ) 5 xf x x − = − a. Quando x = 3, y vale? Resposta: 8. Isso pode ser observado no gráfico dessa função, assim como pelo cálculo do valor da função no ponto 3. b. Quando x se aproxima de 3, de qual valor y se aproxima? Resolução: Podemos responder a essa questão que foi apresentada em linguagem na- tural, usando registros de representações diferen- tes, como, por exemplo: registro gráfico, registro numérico e registro algébrico. 1.2 O Conceito de Limite b1. Por meio do registro gráfico, esboçamos o gráfico dessa função e passamos a observar qual é o comportamento dela quando x se apro- xima de 3, ou seja, devemos observar para quais valores de y a função se aproxima, quando x se aproxima de 3. Devemos lembrar que, quando x se aproxi- ma de 3, ele se aproxima pelos valores menores, ou seja, 2,8; 2,9; 2,99 etc., e também pelos valores maiores que 3, porém bem próximos, como, por exemplo, 3,1; 3,01; 3,001 etc. Observando a Figura 2, podemos notar que o y está se aproximando de 8. AtençãoAtenção Nem sempre a utilização do gráfico será indica- da, pois, muitas vezes, é muito mais demorado esboçar o gráfico de determinadas funções do que determinar esses valores por outros proce- dimentos. Figura 2 – Aproximações do x ao 3 e do y ao 8. −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y X se aproximando de 3, pelos valores menores que 3 X se aproximando de 3, pelos valores maiores que 3 X se aproximando de 3 b2. Por meio de registro numérico, ou seja, vamos obter numericamente a resposta desse exercício. Para tanto, costuma-se fazer uma ta- bela, tendo como x valores bem próximos de 3 e, como y, os valores da função nos pontos x. Obser- ve as tabelas a seguir. Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 10 b3. Por meio do registro algébrico, resolve- mos o limite da seguinte maneira: 2 2 3 25 3 25 9 25 16lim 8 5 3 5 2 2x x x→ − − − − = = = = − − − − Essa forma de resolução é bastante rápida, mas é aconselhável apenas após o entendimento do porquê de ela poder ser feita dessa maneira! x y 3.00 8.00 3.10 8.10 3.20 8.20 3.30 8.30 3.40 8.40 3.50 8.50 x y 2.00 7.00 2.10 7.10 2.20 7.20 2.30 7.30 2.40 7.40 2.50 7.50 Na 1ª parte da tabela, podemos observar que à medida que os valores de x se aproximam do 3 a valores menores do que 3, o y se aproxima de 8. Na 2ª parte da tabela, podemos observar que à medida que os valores de x se aproximam do 3 a valores maiores do que 3, o y se aproxima de 8. AtençãoAtenção O limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L e escrevemos lim ( ) x a f x L → = , se é possível tomar valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto quisermos), tomando x suficien- temente próximo de a, mas não igual a a. Exemplo Considere o gráfico da função 2 2 0 2 0 x se x y x se x − + < = + ≥ a) Esboce o gráfico dessa função. b) Determine o domínio e a imagem de f. c) Qual o comportamento de f, quanto ao crescimento e decrescimento? d) Calcule: f(-1); f(0); f(1/2) e f(1). e) Complete a tabela a seguir (essa tabela se encontra na resolução dessa alternativa) e responda às seguintes perguntas: f ) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) aproxima-se de qual valor? g) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito, o que acontece com o f(x)? h) Assim, escrevemos que o limite pela esquerda é: 0 lim ( ) x f x −→ = ____ e que o limite pela direita é: 0 lim ( ) x f x +→ = ___ e 0 lim ( ) x f x → = _____. Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 11 Resolução: a) b) D = R e Im = { y ∈ R / y ≥ -2}. c) f(x) é crescente para qualquer x ∈ R. d) Calcule: f(-1) = -(-1)² + 2 = 1 f(0) = 0 + 2 = f(1/2) = ½ + 2 = 5/2 = 2,5 f(1) = 1 + 2 = 3 e) x f(x) x f(x) - 0,5 1,75 0,5 2,5 -0,25 1,9375 0,25 2,25 - 0,1 1,99 0,1 2,1 -0,01 1,9999 0,01 2,01 -0,001 1,999999 0,001 2,001 f) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito, o que acontece com o f(x)? A f(x) se aproxima de 2. g) Assim, escrevemos que o limite pela es- querda: 0 lim ( ) x f x −→ = 2 e que o limite pela direita: 0 lim ( ) x f x +→ = 2 e 0 lim ( ) x f x → = 2. −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 x y Querido(a) aluno(a), caso tenha encontrado dificuldade em entender a resolução desse exem- plo, assista à aula web “Esboço de gráfico e análise de gráfico”, pois nela está sendo apresentada a re- solução detalhada de cada uma das alternativas desse exemplo. No exemplo estudado anteriormente, note que üüüüüüü x a x a x a f x L f x L f x − +→ → → = ⇔ = = AtençãoAtenção O limite de f(x) para x tendendo a a é igual a L se, e somente se, o limite lateral de f(x) para x tendendo a a pela esquerda for igual ao limite lateral de f(x) para x tendendo a a pela direita e estes forem iguais a L. Saiba maisSaiba mais Quando consideramos a x lim → f(x), estamos interessa- dos em valores no intervalo aberto contendo a, mas não no próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas suponha que tenhamos a função f, como, por exemplo, f(x) = 2x − . Como f(x) não existe para x < 2, f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 2. Logo, 2 lim →x 2x − não tem significado. No entan- to, se x estiver restrito a valores maiores do que 2, o valor de 2x − poderá se tornar tão próximo de zero quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 2, mas maior do que 2. Em tal caso, deixa- mos x aproximar-se de 2 pela direita e consideramos o limite lateral direito. Agora, para qualquer valor de x > 2, verifica-se que os limites laterais existem e são iguais e, por esse motivo, podemos afirmar que, para qualquer x > 2, a f(x) tem limite. Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 12 Se existem os limites )x(flim ax→ e )x(glim ax→ e K é uma constante, então: Nome Propriedade Leitura Soma [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x → → → + = + Limite da soma é igual à soma dos limites. Diferença [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x → → → − = − Limite da diferença é igual à diferença dos limites. Produto [ ]üüüüüüüüü x a x a x a f x g x f x g x → → → = Limite do produto é igual ao produto dos limites. Múltiplo constante [ ]lim ( ) lim ( ) x a x a K f x K f x → → ⋅ = Limite da constante que multiplica a função é igual à constante que multiplica o limite da função. Quociente lim ( )( )lim lim ( ) 0 üüü x a x a x a x a f xf x se g x g x g x → → → → = ≠ Limite do quociente é igual ao quociente dos limites, para o denominador diferente de zero. Exemplo Usando as propriedades de limite, determine 7 7lim 2x x x→ − + . Resolução: 7 7 7 lim 77 7 7 0lim 0 2 lim 2 7 2 9 x x x xx x x → → → −− − = = = = + + + 1.3 Propriedades dos Limites Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 13 1.4 Limite da Função Racional Uma função racional é aquela que pode ser escrita como quociente de polinômios. Ela se diz im- própria se o graudo polinômio do numerador for maior ou igual ao do polinômio do denominador; caso contrário, ela se diz própria. Exemplos 1. Escreva quais são os limites de funções racionais impróprias e próprias. a) 2 20 9lim 6 8x x x x→ − − + (função racional imprópria) b) 23 2lim 4x x x→ − − (função racional própria) c) 7 5 4 2 5 3 20 5 4 2 7 21lim 13 8 5 7x x x x x x x x x x→ − + + + + + − + + (função racional imprópria) 2. Resolva o limite 23 2lim 4x x x→ − − . Resolução: 2 23 2 3 2 1 1lim 4 3 4 9 4 5x x x→ − − = = = − − − No início deste capítulo, você teve a oportunidade de ler um exemplo no qual a função que o repre- senta é uma função racional (caso você ainda não o tenha lido, agora é um excelente momento para fazê- -lo). Trata-se de um exemplo em que, para resolver o seu limite, não basta fazê-lo da forma que acabamos de proceder no exercício anterior. Isso ocorre pois, pelo procedimento anterior, vamos “encontrar” que o 2 5 25lim 5x x x→ − − é igual a 0 0 e 0 0 não possui significado numérico. No entanto, o exemplo mostra que ao fato- rarmos o numerador, vamos poder simplificar os fatores que anulam o numerador e o denominador, ou seja, 2 5 5 25 ( 5) ( 5)lim lim 5 5x x x x x x x→ → − + ⋅ − = − − , de onde vamos obter que 2 5 5 25lim lim( 5) 5 5 10 5x x x x x→ → − = + = + = − . Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 14 Vamos tentar entender o que está escrito na última linha do quadro? Seja, por exemplo, o 2 2 1lim 2x x x→ + − . Para de- terminar o limite dessa função, podemos inicial- mente calcular o valor da função do numerador no ponto 2, ou seja, P(2) = 5 e o valor da função do denominador no ponto 2, ou seja, Q(2) = 0. Nesse caso, temos que P(2) ≠ 0 e Q(2) = 0. Aí, con- forme as informações do quadro anterior, vamos ter uma das três respostas, ou seja, +∞, -∞ ou ±∞. Para decidir por uma dessas respostas, não é ne- cessário representar a função por meio de um gráfico (a não ser que você queira fazer utilizando esse recurso). Então, devemos estudar o sinal da função racional para x próximo do ponto 2, late- ralmente se necessário. Se esse sinal for positivo, o limite é +∞; se negativo é -∞. Nesse caso, ao es- tudarmos lateralmente, vamos ter que, quando x se aproxima de 2 pela esquerda, o sinal da função nesses pontos será negativo, ou seja, 2 2 1lim 2x x x−→ + − terá um resultado negativo, pois o numerador será sempre positivo e o denominador negativo (pois vamos operar com x-2, para valores sempre menores que 2). Daí recorre o resultado negati- vo, já que, na divisão “positivo” com “negativo”, é negativo. De maneira análoga, podemos estudar quando o x está se aproximando de 2 pela di- reita e, dessa forma, observar que essa função é positiva. Mas os nossos cálculos ainda não estão AtençãoAtenção Seja ( )( ) ( ) P xf x Q x = uma função racional, pode ocorrer de P(a) = Q(a) = 0, ficando ( ) 0 ( ) 0 P a Q a = . Nesses casos, fatoramos e simplificamos (x-a) em cada termo, se possível: 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( )lim lim , ( ) 0. ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a P x P aP x se Q a Q x x a Q x Q a→ → − = = ≠ − “Reescrevemos” as funções, como no exemplo do início deste capítulo, para calcular o limite, mas pode decorrer de ( ) 0P a ≠ e aí teremos como resposta +∞, -∞ ou ±∞. terminados, pois até agora encontramos apenas os sinais dos limites laterais dessa função. Para fi- nalizarmos, devemos notar, por exemplo, que, no 2 2 1lim 2x x x−→ + − , à medida que nos aproximamos de x pela esquerda, o denominador irá se aproximar de 5 e o denominador de “zero”; o quociente desses dois números será um número muito grande, po- rém negativo. Para você entender esse resultado, pense no seguinte: (5/(1,9 –2) = -50; 5/(1,99 –2) = - 500; 5/ (1,999-2) = -5000 etc.). Como se trata de uma operação em que estamos fazendo o x ten- der a 2 pela direita indefinidamente, quanto mais próximo desse valor estivermos, mais o resultado dessa função estará indo para a esquerda, ou seja, para -∞. De maneira análoga, vamos concluir que, quando x tende a 2 pela direita, a função estará tendendo a + ∞. Logo, nessa questão, vamos ter que 2 2 1lim 2x x x→ + = ±∞ − . Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 15 AtençãoAtenção Seja ( )( ) ( ) P xf x Q x = uma função racional e ( )lim , ( )x P x Q x→±∞ então numa das repostas poderá ocorrer ( )lim 0 ( )x P x Q x→±∞ = ; ( )lim ( )x P x Q x→±∞ = ±∞ ou ( )lim ( )x P x a Q x→±∞ = , com a∈R. Exemplos Observe a resolução dos três exemplos a seguir e tente associar cada uma das repostas com o qua- dro anterior. Em seguida, responda às questões: a) 7 3 5lim 4x x x→∞ = Resolução: Ao iniciarmos a resolução deste exercício, devemos nos lembrar de que ∞ não é número e que, portanto, ∞ ∞ é uma indeterminação. O significado de x tender ao infinito é que x está assumindo valores cada vez maiores; mas quais valores são estes? O fato de não sabermos apontar quais valores são estes faz com que pensemos: “quanto vale o infinito do numerador e quanto vale o infinito do denominador?” e é essa dúvida que torna essa representação, ou seja, o ∞ ∞ , uma indeterminação. Para essa questão em que o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do denominador, basta dividirmos o numerador pelo denominador, usando a propriedade de potência (quociente de mesma base). Então, vamos ter: ∞=∞⋅== ∞→∞→ 44 3 7 4 5 4 5lim 4 5lim x x x xx Recomendo não registrar essa passagem, podendo ir direto ao resultado. b) 7 7 5 5 5lim lim 4 4 4x x x x→∞ →∞ = = c) 3 7 4 4 5 5 1 5 1 5lim lim lim 0 0 4 4 4 4x x x x x x x→∞ →∞ →∞ = ⋅ = = ⋅ = Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 16 Agora, tente responder às questões a seguir e, em caso de dúvidas, entre em contato no fórum sobre esse assunto. 1. Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é maior que o expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? 2. Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é igual ao ex- poente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? 3. Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é menor que o expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? Limites Infinitos Nos limites infinitos, os valores das funções aumentam ou diminuem sem limitações quando a va- riável aproxima-se cada vez mais de um número fixo. Vamos ver na Figura 3 o que isso quer dizer? Exemplo Responda: a) Na Figura 3(a), o comportamento da função é o mesmo se x tende a 2 pela esquerda e pela direita? Por quê? b) Na Figura 3(b), o comportamento da função é o mesmo se x tende a 1 pela direita e pela es- querda? Por quê? c) Na Figura 3 (c), o comportamento da função é o mesmo se x tende a zero? Figura 3 – Limite infinito. (a) 2 x y (b) 1 x y (c) x y Quando x tende ao número 2, a 2 1( ) ( 2) f x x = − aumenta sem limitações, ou seja, Quando x tende ao número 1, o 2 2ü§= ( 1) f x x = − diminui sem limitações, ou seja, Quando x tende ao número 0 pela direita, o 1( )f x x= aumenta sem limitações e, quando o x tende a zero pela esquerda, o f(x) diminui sem limitações, ou seja, 22 1lim ( 2)x x→ = ∞− 21 2ü=ü ( 1)x x→ = −∞ − 2 1lim x x→ = ±∞ Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 17 Resolução: a) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de 2 pela direita ou de 2 pela esquerda, o y está tendendo ao infinito positivo. Como infinito não é número, devemos dizer que y está indo para o infinito. b) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de 1 pela direita ou de 1 pela esquerda, o y está tendendo ao infinito negativo. Como infinito não é número, devemos dizer que y está indo para o infinito negativo. c) Não, pois, quando x tende a zero pela esquerda, o y está indo para o infinito negativo e, quando x tende a zero pela direita, o y está indo para o infinito positivo. Limite no Infinito Nos limites no infinito, é a variável independente que cresce ou diminui indefinidamente. Vamos ver na Figura 4 o que isso quer dizer? Figura 4 – Limites no infinito. (a) x y (b) x y (c) x y f(x) → 2 f(x) → 2 Quando x aumenta e diminui indefinidamente, a 2 1( ) ( 2) f x x = − tende a zero, ou seja, Quando x aumenta e diminui indefinidamente, a 2 2( ) - ( 1) f x x = − tende a zero, ou seja, Quando x aumenta e diminui indefinidamente, a 1( ) 2f x x = + tende a 2, ou seja, 2 1lim 0 ( 2)x x→±∞ = − 2 2lim - 0 ( 1)x x→± = − 1lim 2 2 x x→±∞ + = Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 18 Na Figura 4(a), podemos observar que, quando x cresce ou decresce arbitrariamente, ou seja, quan- do x → ±∞, o (x – 2)² cresce arbitrariamente; logo, 2 1 ( 2)x − se aproxima de zero (se você não entendeu essa última afirmação, veja: 2 2 2 1 1 1(12) 0,01; ( 102) 0,0001; (1002) 0,000001 10 ( 100) 1000 f f fℵℵℵ − etc.) e indica-se: 2 1lim 0 ( 2)x x→±∞ = − ). AtençãoAtenção A reta x = a denomina-se assíntota vertical da curva y = f(x) se, pelo menos, uma das seguintes condições valer: lim ( ) ; x a f x +→ = ∞ lim ( ) ; x a f x −→ = ∞ lim ( ) x a f x → = ∞ lim ( ) ; x a f x +→ = −∞ lim ( ) ; x a f x −→ = −∞ lim ( ) x a f x → = −∞ Essas situações podem ser observadas na Figura 3. A reta y = L denomina-se assíntota horizontal da curva y = f(x) se, pelo menos, uma das seguintes condições valer: lim ( ) x f x L →+∞ = ou lim ( ) x f x L →−∞ = Essas situações podem ser observadas na Figura 3. Neste capítulo, estudamos o limite de diversos tipos de função. Vimos que o limite é um número real e que esse assunto será fundamental para o estudo das derivadas e das integrais. Também foi apresentado que, embora a ideia de limite e os cálculos relacionados a ele datem da Idade Antiga, a notação e a formalização dele se deram apenas no século XIX. Para conceituar o limite, foi utilizada uma função racional com resolução indeterminada, inicial- mente, e, a partir desse exemplo, vários outros foram resolvidos. 1.5 Resumo do Capítulo Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 19 1. Considere a função f definida por f(x) = x² - 5x - 6. a) Construa o gráfico de f. b) Determine o domínio e a imagem. c) Os intervalos em que f cresce e decresce. d) Pelo gráfico, você pode notar que, quando x se aproxima de -1, o valor de f(x) aproxima-se de ________. e) Na tabela a seguir, temos duas situações para x. Da esquerda para a direita, os valores de x aproximam-se de 0 pelo lado esquerdo, mas, da direita para a esquerda, os valores aproxi- mam-se de x = 0 pelo lado direito. Complete a tabela e responda às seguintes perguntas: x -0,5 -0,25 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,25 0,5 f(x) f ) Nessa tabela, você nota que os valores de f(x) aproximam-se de -6 quando x está próximo de______. g) Podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto quisermos? Se sim, de que forma? h) Expressamos que “o limite de f(x) dada por f(x) = x² - 5x – 6, quando x tende a “zero”, é igual a _______”. Com a seguinte notação 2 0 üüü x x x → − − = ________. 2. Calcule os limites: 1.6 Atividades Propostas a) 3 2 2 lim3 5 4 12 x x x x → − − + b) 3 2 20 3 5 4 12lim 5 2 1x x x x x x→ − − + − + c) 2 0 16lim 4x x x→ − + d) 6 4 5 4 3 2 3 12lim 2 9x x x x x x→∞ − + + − − + e) 5 3 6 3 3 2 3 12lim 2 9x x x x x x→∞ − + + − − + f ) 4 lim cos x x π→ g) 2 23 9lim 6 9x x x x→ − − + Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 20 3. Conforme as leis do limite e os gráficos de f e g plotados a seguir, pode-se afirmar que (obser- vação: cada quadrado do plano cartesiano tem 1 unidade de lado): a) =+ →→ )(lim)(lim 55 xgxf xx b) = →→ )(lim).(lim 55 xgxf xx c) = −→−→ )(lim).(lim 11 xgxf xx d) =− →→ )(lim)(lim 55 xgxf xx e) =− −→−→ )(lim)(lim 11 xgxf xx 4. O gráfico a seguir sugere que: a) quando x tende a 1 pela esquerda, o y se aproxima de -15. b) quando x tende a 1 pela direita, o limite da função que repre- senta esse gráfico é -15. c) quando x tende a 1, o limite da função que representa esse gráfico é o menos infinito. d) quando x tende a 1, o limite da função que representa esse gráfico é o infinito. e) quando x tende a 1, o limite da função que representa esse gráfico é 15 1 x y Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 21 A DERIVADA E SUA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E FÍSICA12 Neste capítulo, estudaremos a derivada de uma função, mas com o objetivo de melhor entendê- -la, antes de apresentar o que é e como é possível determiná-la, mostraremos como é que ela deve ser interpretadas tanto geometricamente quanto fisicamente. Você já ouviu falar em função derivada? Tem ideia do que ela faz? Não! Então vamos ver. A derivada mede a taxa de variação de uma função e é um conceito muito importante do cálculo, pois é utilizada com frequência em diversas ciências. A derivada pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação. Mas o que é uma taxa de variação? Vamos ver um exemplo disso? Um exemplo comum de taxa média de variação é a velocidade média e você deve estar lembrado que estudou esse assunto em Física. 2.1 Taxa Média de Variação 1 Os tópicos 1.1, 1.2 e 1.4 foram adaptados de SANTOS, A.R e BIANCHINI, W. Aprendendo cálculo com Maple. Disponível em: <http://www.im.ufrj.br//dmm/projeto/calculo1/cap2_3/html>. Acessado em: jan. 2009. A velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo de tempo é obtida dividin- do-se a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la. A unidade de medida é o comprimento por unidade de tempo, como, por exemplo, quilômetros por hora. Exemplo Suponha que você faça uma viagem da Capital de São Paulo a Extrema (MG) pela Rodovia Fernão Dias. Quando parte de São Paulo, você zera o velocímetro e começa a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a Tabela 1.1, que indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo transcorri- do e a distância percorrida. Tabela 1 – Distâncias de São Paulo a Extrema. Percurso São Paulo Atibaia Bragança Paulista Extrema (MG) t 0 1 1,2 1,6 s(t) 0 67 88 110 A partir dos dados desta tabela, é possível calcular a velocidade média desta viagem. Lembramos que a velocidade média é definida como: Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 22 süüüüüüü t D = D Onde, sD é a variaçãodo espaço, ou seja, espaço final menos o espaço inicial, e tD é a variação do tempo, ou seja, tempo final menos o tempo inicial. Neste caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel, no percurso completo de São Paulo a Extrema, foi de 110 68,75 1,6 ≅ km/h. Façamos uma análise da viagem estudando o gráfico da distância como função do tempo, traçado na Figura 5. Figura 5 – Gráfico representando velocidades médias. 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 20 40 60 80 100 t s(t) (1,67) (1,2;88) (1,6;110) Note que essas velocidades médias correspondem à inclinação das retas que, no gráfico, ligam os pontos (0,0) a (1,67); (1,67) a (1,2; 88); (1,2; 88) a (1,6; 110), cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso. Por exemplo, no percurso de São Paulo – que corresponde, no gráfico, ao ponto (0,0) = (0,s(0)) – a Atibaia – ponto (1,67) = (1, s(1)), no gráfico – a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 67 km/h, pois (1) (0) 67 67 1 1 s s s t D − = = = D km/h Geometricamente, esse valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (0,0) a (1,67). De modo geral, como é que você escreveria uma fórmula para representar a velocidade média? Na situação que estamos estudando, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel no percurso São Paulo, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), pode ser dada pela fórmula: 0 0 ( ) ( ) m s t s t sv t t t − D = = − D Agora questionamos: o que é que a velocidade média nos fornece? Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 23 A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automóvel durante todo o trajeto ou parte dele. Mas como determinar a velocidade que o velocímetro do automóvel indica- va no exato instante em que ele passava por um determinado ponto do percurso? A leitura do velocímetro mede o que chamamos de velocidade instantânea ou, simplesmente, ve- locidade do automóvel e é esse conceito que abordaremos no exemplo estudado no tópico 1.3. 2.2 Taxa Média de Variação e Retas Secantes Dada a função arbitrária y = f(x), calculamos a taxa média de variação de y em relação a x no inter- valo [a,b] dividindo a variação do valor de y, Dy = f(b) – f(a), pelo comprimento Dx = b – a = h do intervalo ao longo do qual a variação ocorre. Observe, na Figura 6, que a taxa de variação de f no intervalo [a,b] é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)). A reta que passa por esses dois pontos está sendo denominada de “s” e trata-se de uma reta secante à curva y = f(x). Portanto, a taxa média de variação de f desde “a” até “b” é igual ao coeficiente angular da secante PQ, ou seja, secante “s”. AtençãoAtenção Definição de Taxa Média de Variação A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a,b] é ( ) ( ) ( ) ( ) , 0y f b f a f a h f a h x b a h D − + − = = ≠ D − x y a b f(a) f(b) (b – a ) = Dx = h f(b) – f(a) = Dy P Q y = f(x) s Figura 2 – Taxa de variação. Figura 6 – Taxa de variação. Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 24 Exemplo Determine a taxa média de variação da função f(x) = 2x² - 5 no intervalo [0,3]. Resolução: A taxa média de variação é dada por 03 )0()3()()( − − = − − = D D ff ab afbf x y . Como f(3) = 2.3² - 5 = 18 - 5 = 13 e f(0) = 2.0² - 5 = 0 - 5 = - 5, vamos ter que a taxa média de variação será: (3) (0) 13 ( 5) 13 5 18 6 3 0 3 3 3 y f f x D − − − + = = = = = D − Também podemos observar isso por meio do gráfico dessa função e da reta secante a essa curva pelos pontos P(0,-5) e Q(3,13). A taxa média de variação dessa função no intervalo [0,3] é dada pela inclinação da reta secante, que se calcula pelo quociente da variação do y pela variação do x. Essas variações podem ser observadas na altura e na base do retângulo em cinza da Figura 7. Você sabe o que é velocidade instantânea, não é? Isso você estudou em Física, lembra? Vamos rever, então. s: reta secante ↔ PQ Ângulo que fornece a inclinação da secante α α α 13 – (-5) = 18 3 – 0 = 3 −4 −2 2 4 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 x y P Q −4 −2 2 4 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 x y P Q observe a inclinação da secante Figura 7 – Inclinação da reta secante e taxa média de variação. 2.3 Taxa Instantânea Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 25 Um exemplo de taxa instantânea é a velocidade de um móvel em um determinado ponto. Vamos observar isso no exemplo estudado anteriormente, na viagem de São Paulo a Extrema. Para calcular a velocidade média realizada na viagem em questão, de São Paulo a Extrema, deve- mos pegar o ponto final (1,6;110) e o ponto inicial (0,0). Veja essa distância representada no gráfico da Figura 8 com o segmento pontilhado. A velocidade média será dada por: ( ) ( ) 110 0 110 68,75 / ( ) ( ) 1,6 0 1,6 s s f s i km h t t f t i D − − = = = = D − − Para calcular a velocidade média realizada na viagem em questão, de São Paulo até 100 km percor- ridos, podemos observar, no gráfico da Figura 9(a) o tempo utilizado para percorrer essa quilometragem e anotar esse ponto (1,4;100) e o ponto inicial (0,0). Observando o gráfico da Figura 9(b), podemos calcu- lar essa velocidade, que será dada por: ( ) ( ) 100 0 100 71,43 / ( ) ( ) 1,4 0 1,4 s s f s i km h t t f t i D − − = = = = D − − . 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 20 40 60 80 100 t s(t) (1,67) (1,2;88) (1,6;110) Ds Dt Figura 4 – Velocidade média de SP a Extrema. Figura 8 – Velocidade média de SP a Extrema. Figura 9 – Velocidade média de SP até o quilômetro 100. Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 26 Mas o fato é que queremos calcular a velocidade em pontos específicos, por exemplo, a velocidade do automóvel exatamente no quilômetro 100 dessa viagem. Note que em cada trecho apresentado na Tabela 1 e no gráfico da Figura 5, ou seja, de São Paulo a Atibaia, de Atibaia a Bragança Paulista e de Bragança Paulista a Extrema, os segmentos de retas apre- sentam inclinações diferentes. Isso significa que, em cada um desses trechos, as equações das retas que passam por esses segmentos são diferentes e, consequentemente, vamos ter que observar cada um desses trechos para determinar a velocidade média entre eles. Como o ponto que estamos querendo determinar a velocidade instantânea (velocidade no ponto) está entre Bragança Paulista e Extrema, en- tão devemos fazer esse cálculo tendo como referência a equação da velocidade entre os pontos (1,2;88) e (1,6; 110). Vamos tentar entender esse conceito de velocidade instantânea por meio de um novo exemplo, adaptado de Santos e Bianchini, citados no início deste capítulo. Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância até o solo em cada ins- tante t (em segundos) é conhecida e dada por s(t) = - t² + 4t metros. Antes de determinarmos os espaços percorridos pela bola, devemos lembrar que não existe espaço negativo, ou seja, s(t) ≥ 0. Como s(t) = - t² + 4t, então - t² + 4t ≥ 0. Ao resolvermos essa inequação, vamos ter todos os possíveis valores de t para que essa situação exista. - t² + 4t ≥ 0 ⇒ t(-t + 4) ≥ 0 Estamos “querendo” determinar os valores de t que tornem esse produto positivo ou igual a zero. A raiz de cada fator é: t = 0 e t = 4. Para determinar em quais valores de t esse produto é positivo ou igual a zero, devemosestudar o sinal de cada um dos fatores e, em seguida, multiplicá-los. 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 t s(t) Figura 6 – Gráfico da função s(t) = -t² + 4t. Figura 10 – Gráfico da função s(t) = -t² + 4t. t + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - -t + 4 + + + + + + + + + + + + 4 - - - - - - - t (-t + 4) + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - 4 Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 27 Esse estudo nos evidencia que esse produto é positivo ou igual a zero para os valores de t entre zero e 4, incluindo esses extremos, isso significa que a função s(t) = -t² + 4t ocorrerá apenas em 0 ≤ t ≤ 4. O gráfico dessa função pode ser observado na Figura 10. Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo, pois é uma função do 2° grau com coeficiente que multiplica o t² igual a -1, ou seja, coeficiente negativo. O problema que queremos resolver é o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto é, determinar a velocidade instantânea da bola para cada t fixado, por exemplo, em t0 = 1 segundo. Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas nem mesmo como definir matematicamente esse conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para esse problema. Parece ser razoável tomar, como aproximação para a velocidade da bola no instante t0 = 1, a velo- cidade média calculada sobre um intervalo de tempo Dt = t – t0, com t próximo de t0. Por exemplo, para t = 2 segundos, temos Dt = 1 e )1()2()1()1( ss t stsvm −=D −D+ = Calculando esse valor, obtemos: S(2) = -(2)² + 4.2 = -4 + 8 = 4 e s(1) = -(1)² + 4.1 = -1 + 4 = 3. Substituindo na Vm, teremos: smvm /134 =−= . Para t = 1,5 segundos temos Dt = 0,5 e 5,0 )1()5,1()1()1( ss t stsvm − = D −D+ = Calculando esse novo valor, obtemos: S(1,5) = -(1,5)² + 4.(1,5) = -2,25 + 6 = 3,75 e s(1) = 3 Substituindo na Vm, teremos: (1,5) (1) 3,75 3 0,75 1,5 / 0,5 0,5 0,5m s sv m s− −= = = = Para t = 1,01 segundos, temos Dt = 0,1 e 1,0 )1()1,1()1()1( ss t stsvm − = D −D+ = Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 28 Daí, obtemos: S(1,1) = -(1,1)² + 4.(1,1) = -1,21 + 4,4 = 3,19 e s(1) = 3 Substituindo na Vm, teremos: (1,1) (1) 3,19 3 0,19 1,9 / 0,5 0,1 0,1m s sv m s− −= = = = Prosseguindo com esse raciocínio, tomando valores de t cada vez mais próximos de 1, isto é, fa- zendo Dt se aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma sequência de valores para Vm que parece convergir para dois, como mostra a tabela a seguir: t 1,5 1,25 1,125 1,0625 1,03125 1,0156 1,0078 1,0039 1,0019 1,0009 Vm 1,5 1,75 1,875 1,9375 1,96875 1,9843 1,9921 1,9960 1,9980 1,9990 Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea em t = 1, basta calcu- larmos a velocidade média sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Essas observações indicam que é possível definir a velocidade em t = 1 como o limite dessas velocidades médias. Assim, temos: 1 ( ) (1)(1) lim 1t s t sv t→ − = − ou 0 ( ) ( )(1) lim t s t t s tv tD → + D − = D Esse limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente: t ststv t D D == →D 0 lim)(')( Onde s’(t) significa a derivada da função s(t), a qual significa velocidade instantânea, ou seja, velo- cidade da função em um determinado ponto. Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 segundo é dada por v(t) = s’(t) = -2t +4. No ponto t = 1, vamos ter v(1) = -2.1 + 4 = 2. Veja que esse valor coincide com o valor que estávamos nos aproximando. Porém, aprenderemos um pouco mais adiante como derivar a função s(t) = -t² + 4t para chegarmos em v(t) = -2t + 4. De um modo geral, a velocidade instantânea em um ponto t0 qualquer é definida por: )(')()(lim)()(lim)( 0 0 000 00 0 ts tt tsts t tsttstv ttt = − − = D −D+ = →→D Como vimos na resolução desse exemplo, conhecendo-se a função s(t), que fornece para cada ins- tante de tempo t a distância percorrida por uma partícula em movimento, a velocidade média dessa partícula, calculada em um intervalo de tempo Dt = t – t0, coincide com a inclinação da reta secante ao Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 29 gráfico da função s(t), que passa pelos pontos (t0,s(t0)) e (t,s(t)). Acompanhe essa situação na Figura 11 para (2,s(2)) e (1,s(1)). Sabemos que, à medida que esses dois pontos se aproximam, isto é, quando Dt → 0, a inclinação da reta secante ao gráfico de s(t) se aproxima da inclinação da reta tangente à curva em t = t0 (veja isso na Figura 13). Assim, o valor da velocidade instantânea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de s(t) no instante t = t0. Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo t0, a distância percorrida por uma partícula em movimento, a sua derivada s’(t0) fornece a velocidade da partí- cula nesse instante e essa velocidade pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função s no ponto t0. Figura 13 – Reta tangente ao gráfico de y = f(x). Bom, mas o que é uma reta tangente? Vamos estudar um pouquinho sobre isso? O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular o coeficiente angu- lar da reta tangente ao gráfico num ponto dado P. 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 t s(t) Figura 7 – Reta secante a s(t) = -t² + 4t e a Vm. 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 t s(t) Figura 8 – Reta tannte a s(t) = -t² + 4t e a Vinstantânea. Figura 11 – Reta secante a s(t) = -t² + 4t e a Vm. Figura 12 – Reta tannte a s(t) = -t² + 4t e a Vinstantânea. Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 30 Então, vamos a ela: No caso de uma circunferência, não há dificuldade. Uma tangente a uma circunferência (ver Figura 14(a)) é uma reta que intercepta a circunferência em apenas um ponto, chamado ponto de tangência; as retas não tangentes (ver Figura 14(b)) ou interceptam a circunferência em dois pontos diferentes ou não a interceptam. Agira, convido você a observar as ilustrações abaixo para entender o caminho percorrido de uma reta para que deixe de ser reta secante e “vire” uma reta tangente à curva por um dado ponto. (a) (b) Figura 14 – Exemplos de retas tangentes e retas não tangentes à circunferência. Saiba maisSaiba mais Um pouco de história... Os matemáticos antigos afirmavam que uma reta tangente a uma curva num dado ponto era uma reta que “tocava” a curva naquele ponto. Sugeriam, também, a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto. Essa definição foi usada com sucesso pelos gregos, ao tratarem de circunfe- rências e algumas outras curvas especiais, mas, para curvas em geral, ela é totalmente insatisfatória. Para compreender o porquê, considere a curva mostrada na figura abaixo. Ela tem uma tangente perfeitamente aceitável (a reta ‘a’), que essa definição rejeitaria. Já, a reta ‘b’ não é tangente. a b Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 31 Considere uma curva y = f(x) e P um dado ponto fixo sobre essa curva. Considere Q um segundo ponto sobre a curva dada por f(x). Desenhe a reta secante PQ. A distância da abscissa b do ponto Q em relação à abscissa a do ponto P é dada por (b-a) ou por Dx. A distância da ordenada f(b) do ponto Q em relação à ordenada f(a) do ponto P é dada por f(b) – f(a) ou por Dy. x y a f(a) P f(x) x y ab f(a) f(b) P Q a b f(a) f(b) (b – a ) = Dx x y f(b) – f(a) = Dy P Q Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 32 Para determinarmos a reta tangente em P, devemos aproximar o ponto Q do ponto P, observe. Conforme aproximamos o ponto Q de P, a inclinação da reta secante também se altera. A abscissa b se aproxima da abscissa a e, consequentemente, a distância entre elas diminui, ou seja, o Dx diminui. Aproximando mais ainda o ponto Q de P, podemos notar que a reta secante PQ tende à reta tan- gente em P. A reta tangente em P pode agora ser encarada como a posição limite da secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. Essa ideia qualitativa leva, pelo menos, a um método quantita- tivo para o cálculo do coeficiente angular exato da tangente em termos da função f(x) dada. Como a tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto, o problema da determinação da inclinação de um gráfico reduz ao se achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto; dessa forma, define-se a inclinação de um gráfico: a b f(a) f(b) Q P x y (b – a ) = Dx f(b) – f(a) = Dy AtençãoAtenção A inclinação m de um gráfico de f no ponto (x,f(x)) é igual ao coeficiente angular da tangente em (x,f(x)) e é dado por x xfxxfmm xx D −D+ == →D→D )()(limlim 0sec0 x y a b f(a) f(b) (b – a ) = Dx Dx→0 f(b) – f(a) = Dy P Q Dx→0 Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 33 Exemplo (de Inclinação de um Gráfico) Determine a fórmula para a inclinação do gráfico de f(x) = x² + 2. Qual é a inclinação nos pontos (1,3) e (0,2)? Resolução: O gráfico da função f(x) = x² + 2 está representado a seguir. Como essa função tem como domínio todos os números reais, ela apresenta uma quantidade infinita de pontos e, dessa forma, essa curva apre- senta infinitas inclinações, pois em cada ponto há uma inclinação diferente. Veja algumas inclinações apresentadas por retas tangentes a alguns dos pontos dessa curva. Cada inclinação pode ser representada por uma reta tangente à curva pelo ponto em que se deseja analisar essa inclinação. Isso significa que, ao calcularmos a inclinação da reta tangente à curva por um determi- nado ponto, estamos determinando a inclinação da curva naquele ponto. Como vimos, a inclinação m de um gráfico de f no ponto (x,f(x)) é igual ao coeficiente angular da tangente em (x,f(x)) e é dado por: x xfxxfmm xx D −D+ == →D→D )()(limlim 0sec0 Isso significa que, se quisermos determinar a inclinação da reta em um ponto qualquer, devemos fazer: x xfxxf x D −D+ →D )()(lim 0 (Para determinar o coeficiente angular da tangente, ou seja, a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva) 2 2 0 [( ) 2] ( 2)lim x x x x xD → + D + − + D (Fazer f(x) = x² + 2) x xxxxx x D −−+D+D+ →D 22)(2lim 222 0 (Desenvolver) x xxx x D D+D →D 2 0 )(2lim (Simplificar) −3 −2 −1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 4 5 x y Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 34 x xxx x D D+D →D )2(lim 0 (Fatorar e cancelar) 0,2lim 0 ≠DD+ →D xxx x (Simplificar) xxxm x 2)2lim( 0 =D+= →D (Resolver o limite) m = 2x é a inclinação da curva em qualquer um de seus pontos, ou seja, pode-se dizer que se trata de uma fórmula para determinar as inclinações da curva f(x) = x² + 2 em seus infinitos pontos. Aplicando a fórmula m = 2x, podemos determinar a inclinação em pontos específicos. Observe o gráfico da função f(x) = x² + 2 e das retas tangentes a ele pelos pontos (1,3) e (0,2). Para determinarmos a equação da reta, usamos a fórmula: AtençãoAtenção 0 0 0 0- ( - ) ( ) - ( ) ( - )y y m x x ou f x f x m x x= = onde m é o coeficiente angular. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 x y y = x² + 2 y = 2x + 1 (reta tangente) (1,3) y = 2 (reta tangente) Em (1,3), é m = 2.1 = 2. Em (1,0), é m = 2.0 = 0. Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 35 Exemplo (Equação da Reta Tangente) Determine as equações das retas tangentes à curva f(x) = x² + 2, nos pontos (1,3) e (0,2). Resolução: Para determinarmos a equação da reta tangente à curva f(x) = x² + 2 pelos pontos (1,3) e (0,2), fa- zemos: )( 00 xxmyy −=− (1) (Fórmula da equação da reta) Para o ponto (1,3) 13 00 == xey (2) (Dados do problema) m = 2 (3) (Coeficiente angular determinado anteriormente) )1(23 −=− xy (Substituindo (2) e (3) em (1)) 223 −=− xy (Aplicando a distributiva) 322 +−= xy (Resolvendo e simplificando) 12 += xy (Equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) pelo ponto (1,3)) Para o ponto (0,2) 02 00 == xey (4) (Dados do problema) m = 0 (5) Coeficiente angular determinado anteriormente) )0(02 −=− xy (Substituindo (4) e (5) em (1)) 02 =−y (Aplicando a distributiva) 2=y (Equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) pelo ponto (0,2)) Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 36 Anteriormente, partimos da função f(x) = x² + 2 e utilizamos o processo de limites para deduzir outra função, m = 2x, que representa a inclinação do gráfico de f no ponto (x,f(x)). Essa função é cha- mada derivada de f em x. É importante saber que, a partir da definição de derivada, demonstram-se todas as “regras de deri- vação” e as “fórmulas de derivação”, das quais apresentaremos algumas no próximo capítulo e no anexo “derivadas de funções elementares”, que usaremos para derivar as funções que serão apresentadas ao longo deste curso. Exemplos 1. Verifique se a função f definida por f(x) = x2 + 3x é derivável em 2. Resolução: A função f é derivável no ponto a = 2 se existir o 0 f(2 h) - f(2)üüü x f xD → + = D . Por efeito de facilitar as notações, substituiremos Dx por h e passaremos a escrever: 0 f(2 h) - f(2)üüü h f h→ + = . Resolvendo por partes, vamos fazer: i) f(a + h) = (a + h)² + 3(a + h) = f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) = f(2 + h) = 2² + 2.2.h + h² + 3.2 + 3h = f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = f(2 + h) = h² + 7h + 10 ii) f(x) = x² + 3.x, então f(2) = 2² + 3.2 f(2) = 4 + 6 = f(2) = 10 2.4 A Derivada de uma Função AtençãoAtenção Definição: A derivada de f em x é dada por x xfxxfxf x D −D+ = →D )()(lim)( 0 ' desde que o limite exista. Uma função é diferencial em x se sua derivada existe em x. O processo de cálculo de derivada é chamado de diferenciação. Notações: f ’(x), dy dx , y’, D[x]y, ou [ ( )] d f x dx Leitura: f linha de x, ou derivada da função f em relação a x. Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 37 iii) Substituindo (i) e (ii) em 0 f(2 h) - f(2)üüü h f h→ + = , vamos obter: 2 2 0 0 0 0 0 f(2 h) - f(2) ( 7 10) (10) 7 ( 7)'(2) lim lim lim lim ( 7) 7limh h h h h h h h h h hf h h h h h→ → → → → + + + − + + ℵℵℵ Como f’(2) = 7, podemos afirmar que $ 0 f(2 h) - f(2)üüü h f h→ + = e, portanto, essa função é derivável em a = 2. 2. Verifique se a função f definida por f(x) = 1 – 3x3 é derivável em a = 1. Resolução: A função f é derivável no ponto a = 1 se existir o 0 f(1 h) - f(1)üüü h f h→ + = . Resolvendo por partes, vamos fazer: i) f(1 + h) = 1- 3(a + h)³ = f(1 + h) = 1 - 3(1 + h)³ = f(1 + h) = 1 – 3(1³ + 3.1².h + 3.1.h²+ h³) = f(1 + h) = 1 - 3(1 + 3h + 3h² + h³) = f(1 + h) = 1 - 3 - 9h - 9h² + 3h³ = f(1 + h) = -2 - 9h - 9h² - 3h³ ii) f(x) = 1 - 3x³, então f(1) = 1 – 3.1³ f(1) = 1 - 3 = f(1) = - 2 iii) Substituindo (i) e (ii) em 0 f(1 h) - f(1)üüü h f h→ + = , vamos obter: 2 3 2 3 2 0 0 0 0 f(1 h) - f(1) ( 2 9 9 3 ) ( 2) 9 9 3 3 ( 3 3 3 )'(1) lim lim lim lim 9 h h h h h h h h h h h h hf h h h h→ → → → + − − − − − − − − − − − − = = = = = − Como f’(1) = - 9, podemos afirmar que $ 0 f(1 h) - f(1)üüü h f h→ + = e, portanto, essa função é derivável em a = 1. 2.5 Derivabilidade e Continuidade Teorema: Se f(x) é derivável em a, então f(x) é contínua em a. Hipótese: f(x) é derivável em a Tese: f(x) é contínua em a Rascunho Se uma função é derivável em a, então existe f’(a), tal que )(')()(lim 0 af h afhaf h = −+ → Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 38 Quando uma função é contínua em a, conforme estudamos no curso de Cálculo: Limites e continuidade, temos que üüü x a f x f a → = . Isso também pode ser reescrito como: 0)()(lim)()(lim 00 =−+⇒=+ →→ afhafafhaf hh 0.)()( =−+ h h afhaf Demonstração Por hipótese, h h afhafafhafmasaf h afhaf h ⋅ −+ =−+= −+ → )()()()()(')()(lim 0 Pela propriedade de limite do produto, vem: ,0).('lim)()(lim)()(lim 000 afh h afhafafha hhh =⋅ −+ =−+ →→→ ou seja: ),()(lim0)()(lim 00 afhaafha hh =+⇒=−+ →→ isto é, f(x) é contínua em a. Observação: A recíproca é falsa, isto é, nem toda função contínua em “a” é derivável em “a”. Exemplos Estude a continuidade e a derivabilidade das funções: a) f(x) = 5x² + 3 Resolução: i) Domínio de f é o conjunto dos números reais. ii) Vamos verificar se a função f é derivável em R. 2 2 0 0 ( ) ( ) 5( ) 3 (5 3)'( ) lim '( ) lim h h f x h f x x h xf x f x h h→ → + − + + − + = ⇒ = 2 2 2 2 2 2 0 0 5( 2 ) 3 5 3 5 10 5 3 5 3'( ) lim '( ) lim h h x xh h x x xh h xf x f x h h→ → + + + − − + + + − − ⇒ = ⇒ = 2 0 10 5'( ) lim h xh hf x h→ + ⇒ = 0 (10 5 )'( ) lim h h x hf x h→ + ⇒ = 0 '( ) lim10 5 10 h f x x h x → ⇒ = + = '( ) 10f x x⇒ = zero Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 39 Como o domínio de f é o conjunto de todos os números reais e f’(x) = 10x existe se x for um número real qualquer, f é uma função derivável. iii) Note também que 2 2lim(5 3) 5 3 ( ) x a x a f a → + = + = , para ∀a∈R, ou seja, essa função é contínua para qualquer x real. Interpretação O gráfico a seguir representa a função f definida por f(x) = 5x² + 3, e conforme foi estudado na dis- ciplina de Cálculo: Limites e continuidade, observa-se tratar-se de um gráfico de uma função contínua em R. Observe, também, que em todos os pontos desse gráfico é possível traçar uma reta tangente e, como a inclinação da reta tangente à curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da função em x = a, pode-se afirmar que a função é derivável em todos os pontos de seu domínio. Conclusão f é contínua em todos os valores do domínio; f é derivável em todos os valores do domínio. b) f(x) = 13 +x Resolução: i) Domínio de f é o conjunto dos números reais. ii) Vamos verificar se a função f é derivável em R. h xhxxf h xfhxfxf hh )1(1)(lim)(')()(lim)(' 3 1 3 1 00 +−++ =⇒ −+ = →→ h xhxxf h 11)(lim)(' 3 1 3 1 0 −−++ =⇒ → h xhxxf h 3 1 3 1 )(lim)(' 0 −+ =⇒ → Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 40 Racionalizando o numerador para obter um fator comum h no numerador e no denominador, va- mos obter: 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 11 ][ 1)(' xxxxxxxx xf = ++ = ++ =⇒ 3 23 1)(' x xf =⇒ Como o domínio de f é o conjunto de todos os números reais e 3 23 1)(' x xf = existe se x pertencer ao R*, ou seja, for qualquer número real com exceção do zero, f não é derivável apenas em x = 0. iii) Mas note que )(11lim 33 afax ax =+=+ → , para ∀a∈R, ou seja, essa função é contínua para qual- quer x real. Interpretação O gráfico a seguir representa a função f definida por 1)( 3 += xxf e trata-se de um gráfico de uma função contínua em R. Observe, também, que em todos os pontos desse gráfico, com exceção de x = 0, é possível traçar uma reta tangente e, como a inclinação da reta tangente à curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da função em x = a, pode-se afirmar que a função é derivável em todos os pontos de seu domínio com exceção do x = 0. −2 −1 1 2 3 1 2 3 x y Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 41 Neste capítulo, estudamos alguns exemplos de taxa de variação média, sendo o mais conhecido: a velocidade. Vimos, ainda que a taxa de variação pode ser comparada com a inclinação de uma reta tan- gente, ou seja, que geometricamente representa a inclinação da retas tangente e que para uma função y = f(x) em um determinado intervalo [a,b] é dado pelo quociente de Dy por Dx, ou se preferir, por [f(a+h) – f(a)]/h, com h ≠ 0. Um outro ponto importante aqui estudado foi sobre a taxa instantânea, em que foi observado que se trata de um estudo a ser feito em pontos estabelecidos, por exemplo, se a questão for sobre velocidade a velocidade instantânea é a velocidade do móvel em um ponto específico e que uma forma de se determinar a taxa instantânea é de cada vez mais nos aproximarmos de um número específicos e que isso nos levará a derivada de uma função. Uma das representações da derivada de uma função f definida for f(x) pode ser dada por f’(x). Também estudamos a equação de uma reta tangente e a definição de derivada. Vamos agora avaliar a sua aprendizagem. 2.6 Resumo do Capítulo 2.7 Atividades Propostas 1. Dada a função f definida por f(x) = 4x – 2, determine uma equação da tangente ao gráfico de f no ponto (1,2). Verifique, então, seu resultado esboçando o gráfico de f e da tangente (Obser- vação: use a definição de derivada). 2. Determine, usando a definição, a derivada da função f definida por f(x) = x , em x = 2. 3. Use a definição de derivada para mostrar que, se f(x) = -2x³+7x², então f’(x) = -6x² + 14x. 4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f(x) = x²- 4x + 4, no ponto (1, 1). Veja que em x = 0, a reta tangente à curva forma um ângulo de 45º com o eixo Ox e como a tag 45º não existe, a derivada para esse ponto não existe. Conclusão f é contínua em todos os valores do domínio; f é derivável em todos os valores do domínio com exceção do x = 0; o gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = 0. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 43 Prezado(a) aluno(a), Como vimos no capítulo anterior, as derivadas são calculadas por processos de limites e isso é mui- to trabalhoso. Para facilitar, podemos calcular as derivadas por meio de algumas regras, ou seja, fórmulas que nos são oferecidas em tabelas de derivadas. Mas como é que essas fórmulas são determinadas? To- das essas fórmulas são demonstradas usando a definição da derivada. Ajudou? Claro que não, correto? Este capítulo tem por objetivo demonstrar algumas regras de derivação, apresentar regras e fór- mulas de derivação e resolver derivadas por meio dessas regras, ou seja, de trabalhar com técnicas de derivação. Vamos a elas, então? ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO3 3.1 Regra da Constante Demonstração: Seja f(x) = c,onde c = constante, ou seja, c ∈ R. Pela definição de derivada, escrevemos que: h xfhxfxf h )()(lim)(' 0 −+ = → (1) Como a função é constante, então temos que f(x+h) = c e f(x) = c (2) Substituindo (2) em (1), temos: 00lim0limlim)(' 000 === − = →→→ hhh hh ccxf Portanto, se f(x) = c, a f’(x) = 0. AtençãoAtenção A derivada da constante é zero. ( ) '( ) [ ] 0df x c f x c dx = ⇒ = = Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 44 Exemplos Derive as funções: a) f(x) = 5 Resolução: Como f(x) = 5 é uma função constante, temos que sua derivada é dada por f’(x) = 0. b) f(x) = - 3 ⇒ f’(x) = 0. Isso também pode ser representado usando outra notação, veja: [ 3] 0d dx − = c) 1( ) '( ) 0 5 f x f x= ⇒ = 2.2 Regra da Potência Demonstração: Para n ∈ Z*. Pela definição de derivada, escrevemos que: h xfhxfxf h )()(lim)(' 0 −+ = → (1) Como f(x) = xn, então temos que f(x+h) = (x + h)n e f(x) = xn (2) Substituindo (2) em (1), temos: h xhxxf nn h )()(lim)(' 0 −+ = → Aplicando o desenvolvimento binomial, temos: 2 1 2 0 ( 1) ... 2'( ) lim n n n n n h n n xüüü f x h − − → − + + + + − = AtençãoAtenção A derivada da função f(x) = xn é 1'( ) nf x nx −= 1üüü n n ndf x x f x x nx dx −= ⇒ = = Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 45 2 1 2 0 ( 1) ... 2'( ) lim n n n h n n xnx h h h f x h − − → − + + + = (Simplificando xn e –xn) 2 1 1 0 ( 1) ... 2 '( ) lim n n n h n n xh nx h h f x h − − − → − + + + = (Colocando “h” em evidência) 2 1 1 0 ( 1)'( ) lim ... 2 n n n h n n xf x nx h h − − − → − = + + + (Simplificando o “h”). 1'( ) nf x nx −= (Resolvendo o limite para h → 0) Portanto, se f(x) = xn, a 1'( ) nf x nx −= . Exemplos Derive as funções: a) f(x) = x³ Resolução: Observe que a função f(x) = x³ é uma função potência e, dessa forma, podemos derivá-la usando a regra apresentada. 2133 3)('3)(')( xxfxxfxxf =⇒== −⇒ b) f(x) = - x² Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 46 Demonstração: Pela definição de derivada, temos que: h xfhxfxf h )()(lim)(' 0 −+ = → (1) Como a função é dada por “cf(x)”, então temos que f(x+h) = c.f(x + h) e f(x) = c.f(x) (2) Substituindo (2) em (1), temos: h xfchxfcxh h )(.)(.lim)(' 0 −+ = → h xfhxfcxh h )()(.lim)(' 0 −+ = → (Colocando o “c” em evidência) h xfhxfcxh h )()(lim.)(' 0 −+ = → (Pela propriedade do limite do produto da função pelo múltiplo constante) )('.)(' xfcxh = (Pela definição de derivada) Portanto, se h(x) = cf(x), a )('.)(' xfcxh = . Exemplos Derive as funções: a) f(x) = 5x³ 2.3 Múltiplo Constante AtençãoAtenção Se f é uma função diferencial de x e ‘c’ é um número real, então üüüd cf x cf x dx = , com ‘c’ constante. üüüüüüü dh x cf x h x cf x c f x dx = ⇒ = = Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 47 Resolução: Observe que temos a função x³ sendo multiplicada pela constante 5. Então, pela regra, vamos ter: f’(x) = 5. (x³)’ = 5.3x3-1 = 15x² b) 5 5 5 1 4 1 1 1 5( ) '( ) [ ] .5 3 3 3 3 dg x x g x x x x dx −= − ⇒ = − = − = − 3.4 Regra da Soma e da Diferença AtençãoAtenção Se f e g são funções diferenciáveis de x então [ ( ) ( )] '( ) '( )d f x g x f x g x dx + = + e [ ( ) ( )] '( ) '( )d f x g x f x g x dx − = − ( ) ( ) ( ) '( ) [ ( ) ( )] '( ) '( )dt x f x g x t x f x g x f x g x dx ℵℵℵ Múltiplo Constante Derivada da função Derivada da potência Demonstração (a derivada da soma é a soma das derivadas): Por hipótese e pela definição de derivada, temos que: h xfhxfxf h )()(lim)(' 0 −+ = → e h xghxgxg h )()(lim)(' 0 −+ = → (1) Seja t(x) = f(x) + g(x), então t’(x) = [f(x) + g(x)] Por definição, vamos ter que: h xthxtxt h )()(lim)(' 0 −+ = → (2) Mas, t(x + h) = f(x + h) + g(x + h) e t(x) = f(x) + g(x) (3) Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 48 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )]'( ) lim h f x h g x h f x g xt x h→ + + + − + = (Substituindo (3) em (2)) 0 ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim h f x h g x h f x g xt x h→ + + + − − = (Aplicando a distributiva) 0 ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim h f x h f x g x h g xt x h→ + − + + − = (Reagrupando) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim h h f x h f x g x h g xt x h h→ → + − + − = + t’(x) = f’(x) + g’(x) Portanto, se t(x) = f(x) + g(x) a )(')(')(' xgxfxt += . A regra da diferença é demonstrada de forma análoga. ( ) ( ) ( ) '( ) [ ( ) ( )] '( ) '( )dt x f x g x t x f x g x f x g x dx ℵℵℵ Observação: As regras da soma e da diferença podem ser estendidas para a soma ou diferença de um número finito arbitrário de funções, desde que cada uma dessas funções seja derivável, ou seja, se t(x) = f(x) + g(x) – h(x) + m(x), então a t’(x) = f’(x) + g’(x) – h’(x) + m’(x). Exemplos Derive as funções: a) f(x) = 3x³ + 5x² - 3x + 2 Resolução: Observe que a função f(x) é a soma de outras funções. Como vimos na regra anterior, a derivada da (soma e diferença) é (a soma e a diferença) das derivadas, ou seja, se f(x) = 3x³ + 5x² - 3x + 2, então f’(x) = (3x³)’ + (5x²)’ – (3x)’ + (2)’. Derivando cada uma dessas funções aplicando as regras anteriormente demonstradas: f’(x) = 3.3x³-1 + 5.2x²-1 – 3 + 0 ⇒ f’(x) = 9x2 + 10x – 3 b) 42 4 1 3 1)( 36 −+−= xxxxm (Propriedade “limite da soma é igual à soma dos limites”) (Em (1), pela hipótese ou pela definição de derivada) Cálculo Diferencial e Integral II Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 49 Resolução: 02.3. 4 1.6. 3 1)(' 25 −+−= xxxm 2 4 32)(' 25 +−=⇒ xxxm Você sabe como é que a sentença anterior deve ser lida? Se não sabe terás a oportunidade de ler a seguir: A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segun- da função mais o produto da segunda função pela derivada da segunda função. Demonstração: Por hipótese e pela definição de derivada, temos que: h xfhxfxf h )()(lim)(' 0 −+ = → e h xghxgxg h )()(lim)(' 0 −+ = → (1) Seja t(x) = f(x) . g(x), então t’(x) = [f’(x).g(x) + f(x).g’(x)] Por definição, vamos ter que: h xthxtxt h )()(lim)(' 0 −+ = → , (2) Mas, t(x + h) = f(x + h).g(x + h) e t(x) = f(x).g(x) (3) 3.5 Regra do Produto AtençãoAtenção Se f e g são funções diferenciáveis de x, então üüüüüüüüüd f x g x f x g x f x g x dx = + ( ) ( ). ( ) '( ) [ ( ). ( )] '( ) ( ) ( ) '( )dt x f x g x t x f x g x f x g x f x g x dx = ⇒ = = + Sandra Regina Leme Forster Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 50 0 ( ). ( ) [ ( ). ( )]'( ) lim h f x h g x h f x g xt x h→ + + − = (Substituindo (3) em (2)) 0 ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) [ ( ). ( )]'( ) lim h f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xt x h→ ℵℵℵ = 0 ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )'( ) lim h f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xt x h→ ℵℵℵ = (Reagrupando) h xfhxfxg h xghxghxfxt hh )()()(lim)()()(lim)(' 00 −+ + −+ +=
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