Aula02_METRO_FATEC

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DISCIPLINA METROLOGIA 
SIGLA: METRO 
Professora: Priscila de Souza Oliveira 
Data: 13, 14 e 15 de agosto 
Aula 02 
Aula 02 
Conteúdo 
 
Medidas de Tendência Central 
• Média aritmética 
• Mediana 
• Moda 
Medidas de Dispersão 
• Variância 
• Desvio Padrão 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
(DADOS ISOLADOS) 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 =
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑖𝑠𝑡𝑜 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
 
𝑋 =
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Lê-se : somatório de todos os Xi (xis i) 
quando i varia de 1 a n. 
 
Por ex.: media aritmética de 
2,5,8,13,14,15,20,30,46,47 é… 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
A media aritmética é o valor que pode substituir 
todos os valores da variável, isto e o valor que a 
variável teria se em vez de ser uma variável fosse 
uma constante. 
𝑋 =
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 = 200 e N=10 
 
 
𝑋 = 20 
Processo Longo 
 
Na fórmula do processo longo, Xi representa o Ponto 
Médio de cada classe. Esse ponto médio é a 
semisoma dos limites de cada classe (intervalo). 
 
Encontrados os Xi’s, o passo seguinte é encontrar 
 
 𝑋𝑖𝑁𝑖 = 𝑋1𝑁1 + 𝑋2𝑁2 + 𝑋3𝑁3 +… 
140 145 3 142,5 427,5
145 150 5 147,5 737,5
150 155 2 152,5 305,0
155 160 7 157,5 1102,5
160 165 14 162,5 2275,0
165 170 6 167,5 1005,0
170 175 0 172,5 0,0
175 180 1 177,5 177,5
180 185 2 182,5 365,0
40 6395,0
159,875
X (cm)
𝑋 =
 𝑋𝑖𝑛𝑖
𝑛
𝑖 
 𝑛𝑖
𝑛
𝑖 
= 
 3 
 
=
𝑛𝑖 𝑋𝑖 𝑋𝑖*𝑛𝑖
Exercícios 
 
1) Foi pedido a um grupo de 8 idosos que classificassem numa 
escala de 1 (pobre) a 7 (excelente), a quantidade da 
alimentação do centro de acolhimento onde vivem: 
 
 
 
a) Calcule a média 
 
2) Um treinador de futebol está preocupado em melhorar 
resultados da sua equipe elaborou uma tabela com a seguinte 
informação: 
 
 
 
 
 
a) Calcule o número médio de passes errados por jogador 
 
2 4 2 3 5 4 3 2
Jogador 1 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11
No. de passes 
errados
4 5 6 7 4 8 9 6 8 2 4
Exercícios 
 
1) Foi pedido a um grupo de 8 idosos que classificassem numa 
escala de 1 (pobre) a 7 (excelente), a quantidade da 
alimentação do centro de acolhimento onde vivem: 
 
 
 
a) Calcule a média 
 
𝑋 =
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 𝑋 =
 𝑋𝑖
8
𝑖=1
8
 
𝑋 =
2 
8
= 3,125 
2 4 2 3 5 4 3 2
Exercícios 
 
2) Um treinador de futebol está preocupado em melhorar 
resultados da sua equipe elaborou uma tabela com a seguinte 
informação: 
 
 
 
 
 
a) Calcule o número médio de passes errados por jogador 
 
𝑋 =
 𝑋𝑖 ∗ 𝑛𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑛𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑋 =
3 
 
= 5,676923 
Jogador 1 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11
No. de passes 
errados
4 5 6 7 4 8 9 6 8 2 4
Exercícios 
 
3) Os dados da tabela abaixo representam os resultados de um 
inquérito para saber os rendimentos mensais de um grupo de 
pessoas envolvidas num programa apoio pelo trabalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é o rendimento médio do grupo? 
 
N. de 
pessoas
200 300 1
300 400 3
400 500 5
500 600 6
600 700 4
700 800 3
800 900 2
900 1000 1
Rendimentos
Exercícios 
 
3) Os dados da tabela abaixo representam os resultados de um 
inquérito para saber os rendimentos mensais de um grupo de 
pessoas envolvidas num programa apoio pelo trabalho 
 
a) Qual é o rendimento médio do grupo? 
 
N. de 
pessoas
Rend. i
Rend * N. 
de 
pessoas
200 300 1 250 250,0
300 400 3 350 1050,0
400 500 5 450 2250,0
500 600 6 550 3300,0
600 700 4 650 2600,0
700 800 3 750 2250,0
800 900 2 850 1700,0
900 1000 1 950 950,0
25 14350,0
574
Rendimentos
𝑋 =
 𝑋𝑖𝑁𝑖
𝑛
𝑖= 
 𝑁𝑖
𝑛
𝑖= 
= 
1 3 
2 
=
Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 
𝑑𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 
𝑜𝑢 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
 𝑞𝑢𝑒 
𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖 
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana 
 
Vamos retornar a mesma tabela e construir uma nova coluna: Ni. 
Nessa Coluna vamos escrever os ni’s acumulados no sentido 
descendente. 
 
 
 
 
 
 
 
140 145 3 3
145 150 5 8
150 155 2 10
155 160 7 17
160 165 14 31
165 170 6 37
170 175 0 37
175 180 1 38
180 185 2 40
40
X (cm) 𝑛𝑖 𝑁𝑖
Mediana 
 
 
 
 
 
 
Mediana 
 
 
 
 
 
 
Mediana 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Foi pedido a um grupo de 8 idosos que classificassem numa 
escala de 1 (pobre) a 7 (excelente), a quantidade da 
alimentação do centro de acolhimento onde vivem: 
 
 
 
a) Calcule a mediana 
 
i. Ordene: 2 2 2 3 3 4 4 5 
 
ii. Calcule os termos central : 𝑇1 =
𝑛
2 
 e 𝑇2 =
𝑛+2
2 
 
então 𝑇1 = 4 e 𝑇2 = 5 
 
iii. Calcule 𝑀𝑑=
3+3
2
 = 3 
 
2 4 2 3 5 4 3 2
Exercícios 
 
2) Um treinador de futebol está preocupado em melhorar 
resultados da sua equipe elaborou uma tabela com a seguinte 
informação: 
 
 
 
 
 
a) Calcule a mediana 
i. Ache o lugar mediano: 𝐿𝑀𝑑=
 
2
 = 32,5 
ii. 
 
 
Jogador 1 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11
Ni 1 3 5 9 14 20 27 35 44 54 65
No. de passes 
errados
4 5 6 7 4 8 9 6 8 2 4
lmd 185
Namd 27
nmd 35 Md 193
hmd 48
Exercícios 
 
3) Os dados da tabela abaixo representam os resultados de um 
inquérito para saber os rendimentos mensais de um grupo de 
pessoas envolvidas num programa apoio pelo trabalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule a mediana? 
 
N. de 
pessoas = 
ni
Ni
200 300 1 1
300 400 3 4
400 500 5 9
500 600 6 15
600 700 4 19
700 800 3 22
800 900 2 24
900 1000 1 25
Rendimentos
lmd 500
Namd 9 Md 558,33
nmd 6
hmd 100
Moda 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠, 𝑖𝑠𝑡𝑜 é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑗𝑎
𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑎,
 
 
Exemplo: 
 
Calcular a moda de: 
 
8, 2, 18, 8, 10, 8, 12, 10, 6, 8, 12 
Medidas de dispersão 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
Vamos praticar para ser mais fácil o entendimento… 
 
Temos 2 conjuntos de atiradores ao alvo (A e B) 
 
Conjunto A: 8, 9, 10, 8, 6, 11, 7, 13 
Total de Acertos; 72 
Total de atiradores: 8 
 
Conjunto B: 7, 3, 10, 6, 5, 13, 18, 10 
Total de Acertos; 72 
Total de atiradores: 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
Como calcular: 
 
I. Subtrair de cada valor a média aritmética do conjunto ao 
qual pertence; 
 
II. Elevar cada diferença encontrada ao quadrado; 
 
III. Somar or quadrados; 
 
IV. Dividir a soma dos quadrados pelo número de parcelas 
menos 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 36/8-1=5,1 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 164/8-1 = 23,4 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
Cada um dos valores encontrados (5,1 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 
e 23,4 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2) chama-se variância e designa-
se po r 𝑆2 𝑋 𝑒 𝑆2 𝑌 , respectivamente, 
supondo que os conjuntos A e B constituam 
amostras. 
 
Se em lugar de amostras, tivéssemos 
populações, as notações seriam, 
respectivamente 𝜎2 𝑋 =5,1𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 e 
𝜎2 𝑌 =23,4 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 . 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
Resultado é uma nova medida: o DESVIO 
PADRÃO – que tem a vantagem de vir expresso 
em uma unidade de medida linear. Assim: 
 
S(X) = 5, 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 ≅ 2,3 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 
 
S(Y) = 23,4 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠2 ≅ 4,8 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Variância e Desvio Padrão 
 
Atenção: 
 
Quanto maior a variância, maior a heterogeneidade 
 
Quanto maior a variância, maior o desvio padrão 
 
No exemplo o conjunto A é mais homogêneo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Foi pedido a um grupo de 8 idosos que classificassem numa 
escala de 1 (pobre) a 7 (excelente), a quantidade da 
alimentação do centro de acolhimento onde vivem: 
 
 
 
a) Calcule a variância e o desvio padrão 
2 4 2 3 5 4 3 2
X = 3,125
Xi 2 4 2 3 5 4 3 2 25
Xi-X = x -1,125 0,875 -1,125 -0,125 1,875 0,875 -0,125 -1,125
1,266 0,766 1,266 0,016 3,516 0,766 0,016 1,266 8,88
1,268
1,126
 2
𝐴𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜2
Alimentação
Obrigada 
PERGUNTAS?