5-CEP - Análise de desempenhos de graficos Xbarra

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Curso Tecnologia em Manufatura Aeronáutica
2º Semestre de 2013
Prof. Adriano Gonçalves dos Reis
adriano.reis01@fatec.sp.gov.br
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Análise de desempenho dos gráficos de 
Xbarra
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
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Gráfico de Xbarra
• Considerando o gráfico de controle em 
uso, retirando-se n amostras a cada h 
minutos;
• Calcula-se Xbarra e é plotado no gráfico 
de controle;
• À cada h minutos testamos as hipóteses:
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0H
: Processo em Controle 
1H
: Processo fora de controle 
H0
: 
  0
 
H1
: 
  0
 
=>
=>
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Gráfico de Xbarra
• H0 (Processo em controle) é aceita como 
verdadeira todas as vezes que o valor de 
Xbarra cair dentro dos limites de controle;
• H1 (Processo fora de controle) é aceita como 
verdadeira todas as vezes que o valor de 
Xbarra cair fora dos limites de controle;
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Gráfico de Xbarra
• Com o processo em controle (H0 verdadeira): 
α => risco (probabilidade) de erroneamente 
considerar o processo fora de controle (alarme 
falso – erro tipo I), quando na verdade está em 
controle;
• Com o processo fora de controle (H1 verdadeira): 
β => risco (probabilidade) de erroneamente 
considerar o processo em controle (não detecção 
– erro tipo II), quando na verdade está fora de 
controle;
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Gráfico de Xbarra
• Consequências práticas:
Erro tipo I (alarme falso): intervir no processo 
na hora errada, quando está isento de causas 
especiais, com custo de interrupção do processo, 
mão de obra, além do risco de desajustar um 
processo que estava ajustado;
Erro tipo II (não detecção): não intervir no 
processo na hora certa, quando está sob 
influência de causas especiais
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Gráfico de Xbarra
Dado que o processo é considerado:
o em controle (“H0 verdadeira”) quando Xbarra
cai dentro dos limites do gráfico e 
o fora de controle (“H0 falsa”) quando Xbarra cai 
fora dos limites do gráfico, 
As probabilidade de alarme falso (α) é dada por:
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]LICXou LSCXPr[ 0XX  
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Alarme falso no gráfico de Xbarra
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
 
 
 15 30 45 60 75 90 105 Minutos 
LM  0 
n/3LSC 00  
Alarme falso 
n/3LIC 00 
 
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Alarme falso no gráfico de Xbarra
Distribuição de Xbarra é normal
Z = variável aleatória
)1;0(~ N
X
Z
X
X



Distribuição normal
x

  0
1
z
Distribuição 
normal padrão
-x
z



Processo está em controle: µ=µ0 e σ=σ0, e portanto
e /
0 X 0 X n
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Alarme falso no gráfico de Xbarra
 
 
 
 
 
 
LM  0 )n/;(N);(N~X 00XX  
)1;0(~ N
X
Z
X
X


 
n/kLIC 00  
-k 
n/kLSC 00  
0 k 
 / 2  / 2 
Tradicionalmente k=3,00 
]Pr[ kZ  
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Alarme falso no gráfico de Xbarra
Tabela A1: Área em caudas simétricas da
distribuição Normal Padrão
0
Z ~ N ( 0 , 1 )
- z z
k 0,00 0,01 0,02 
2,9 0,00373 0,00361 0,00350 
3,0 0,0027 0,00261 0,00253 
3,1 0,00194 0,00187 0,00181 
3,2 0,00137 0,00133 0,00128 
3,3 0,00097 0,00093 0,00090 
 
 
]Pr[ kZ  
Para k = 3, o risco α = 0,0027 = 0,27%
Portanto , com o processo sob controle e ajustado, essa é a 
probabilidade de Xbarra cair na região acima de LSC ou abaixo de 
LIC, ou seja, gerar alarme falso
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
• O número médio de amostras até um alarme 
falso NMAF = 1/ α;
• Em outras palavras, com limite 3-sigma, 
teremos uma média de alarme falso a cada 
1/0,0027 = 370,4 pontos plotados
Alarme falso no gráfico de Xbarra
E se esta frequência de alarmes falsos for 
considerada inaceitável?
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Alarme falso no gráfico de Xbarra
Tabela A1: Área em caudas simétricas da
distribuição Normal Padrão
0
Z ~ N ( 0 , 1 )
- z z
k 0,00 0,01 0,02 
2,9 0,00373 0,00361 0,00350 
3,0 0,0027 0,00261 0,00253 
3,1 0,00194 0,00187 0,00181 
3,2 0,00137 0,00133 0,00128 
3,3 0,00097 0,00093 0,00090 
 
 
Para k = 3,1, o risco α diminui para 0,00194 = 0,194%
O número de alarmes falsos diminui para 1/0,00194 = 1 alarme 
falso a cada 516,7 pontos plotados
• Uma alternativa consiste em alargar os limites 
de controle, por ex, aumentar k de 3,0 para 3,1:
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
• Quando H1 é a hipótese verdadeira => processo 
sob a influência de causas especiais;
• Ideal seria primeiro ponto já fora dos limites de 
controle;
• Nem sempre ocorre, especialmente se o 
deslocamento da média for pequeno.
Poder do gráfico de Xbarra
001  
001 /)(  
µ1: Novo valor da média
δ : deslocamento da média
δ ≥ 1,5 : rapidamente um valor de Xbarra
cairá fora dos limites de controle
Pd = 1 - β
Pd=probabilidade de detecção de um 
valor de Xbarra cair fora dos limites de 
controle sofrendo causas especiais
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
 
 
 15 30 45 60 75 90 Minutos 
n/3LSC 00  
)n/;(N~);(N~X 000XX  
LM  0 
Alarme verdadeiro 
00   
n/3LIC 00  
 
Hipótese H1 é verdadeira 
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
0LM  )n/;(N~X 000  
)1;0(N~
X
Z
X
X



n/kLIC 00  
n/kLSC 00  
 0
00X
 
nk nk 
Pd
Xa. v. 
Za. v. 
n
Tradicionalmente k=3,00
]nkZPr[]nkZPr[Pd   ]nkZPr[]nkZPr[Pd  
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
• Exemplo:
• k=3,00 (desvio padrão);
• δ = 1,00
• n = 4
• ZLSC= -k + δ 𝑛 = -3 + 1 4= -1,00
• ZLIC = -k – δ 𝑛 = -3 – 1 4= -5,00
Portanto:
• Pr[Z<-1,00] + Pr[Z<-5,00] = 0,1587 + 0,0000
• Pd=15,87%, ou seja, a probabilidade de detecção 
de um valor de Xbarra cair fora dos limites de 
controle sofrendo causas especiais com um δ=1.
Poder do gráfico de Xbarra
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
• O número médio de amostras até um alarme 
verdadeiro= 1/ Pd;
• Em outras palavras, no exemplo anterior, são 
necessárias em média 1/0,1587 = 6,3 amostras 
de tamanho 4 para se detectar um deslocamento 
da média do desvio padrão (δ=1).
• Com amostras maiores, o número médio de 
amostras até detecção reduz-se.
• Ex: n=9, ZLSC =0, Pd=0,50, e portanto são 
necessárias 1/0,5=2 amostras de tamanho 9 
para detectar o mesmo deslocamento da 
média
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
• Aumentando o tamanhoda amostra, o tempo 
médio até a detecção também reduz-se;
• Investir em mais inspeção (aumentar tamanho 
amostra) reduzem-se em compensação os 
prejuízos com o processo fora de controle pelo 
redução do tempo médio até a detecção.
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
n
2 3 4 5 9
 z Pd z Pd z Pd z Pd z Pd
0,25 2,646 0,004 2,567 0,005 2,5 0,006 2,441 0,007 2,25 0,012
0,50 2,293 0,011 2,134 0,016 2 0,023 1,882 0,030 1,5 0,067
0,75 1,939 0,026 1,701 0,044 1,5 0,067 1,323 0,093 0,75 0,227
1,00 1,586 0,056 1,268 0,102 1 0,159 0,764 0,222 0 0,500
1,25 1,232 0,109 0,835 0,202 0,5 0,309 0,205 0,419 -0,75 0,773
1,50 0,879 0,19 0,402 0,344 0 0,500 -0,354 0,638 -1,5 0,933
2,00 0,172 0,432 -0,464 0,679 -1 0,841 -1,472 0,930 -3 0,999
3,00 -1,243 0,893 -2,196 0,986 -3 0,999 -3,708 1,000 -6 1,000
]nkZPr[]nkZPr[Pd   k=3,00
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Poder do gráfico de Xbarra
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
 (deslocamento)
Pd
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
]nkZPr[]nkZPr[Pd   k=3,00
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Medindo a rapidez de detecção de descontroles
1
10
100
0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
 (deslocamento)
NMA
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
• NMA: Número médio de amostras até o sinal de 
descontrole (medida de eficiência mais usada no gráfico)
K=3
São necessárias 10 
amostras 
(NMA=10) de 
tamanho n=3 para 
o gráfico sinalizar 
um deslocamento 
na média do 
processo de um 
desvio padrão (δ=1)
Curvas de NMA versus δ
NMA=1/Pd
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Exemplo
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Os dados abaixo referem-se a amostragem de de 24
subgrupos de tamanho 4 tomadas de um processo de
produção de eixos:
X = µ0 = 10,00 cm
R = 0,2267 cm
d2 (4 amostras) = 2,059
1. Se a média do processo aumenta para 10,1 cm, qual o
Poder do gráfico (Pd) de Xbarra? O que isto quer dizer?
2. Se a média do processo aumenta para 10,1 cm, qual o
número esperado de amostras necessárias para detectar
esse aumento da média?
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Exemplo
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
1. σ0 = R/d2 = 0,2267/2,059 = 0,110
δ = (µ1 - µ0)/ σ0 => δ = (10,10-10,00)/0,110 => δ = 0,91
• ZLSC = -k + δ 𝑛 = -3 + 0,91 4= -1,18
• ZLIC = -k – δ 𝑛 = -3 – 0,91 4= -4,82
• Pr[Z<-1,18] + Pr[Z<-4,82] = 0,119 + 0,0000
• Pd = 0,119 (11,9%) => probabilidade de detecção de um 
valor de Xbarra cair fora dos limites de controle sofrendo 
causas especiais com um δ=0,91.
2. O número médio de amostras até um alarme verdadeiro= 
1/ Pd = 1/0,119 = 8,4 amostras
São necessárias em média 8,4 amostras de tamanho 4 para
detectar um deslocamento de 0,91 desvio-padrão da média.
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Atividade Dirigida
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Baseado nos resultados da atividade dirigida anterior (4-CEP -
Grafico de controle por variaveis - Xbarra e R.pdf), calcular:
1. Se a média do processo subiu para 34,90, qual o Poder (Pd)
do gráfico de Xbarra? O que isto quer dizer?
2. Se a média do processo subiu para 34,90, qual o número
esperado de amostras necessárias para detectar esse
aumento da média?