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Solução P1- Probabilidade e Estatística – 2014.2 Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. Professores: Reinaldo Castro Souza Alexandre Street Problema 1 (1.4 pt) a) (0.4 pt) Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. b) (0.4 pt) Defina População e Amostra. Dê exemplo. c) (0.6 pt) Prove: VAR (aX+b)= a2VAR(X) Problema 2 (2.2 pts) No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 35% das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se: a) (0.8 pt) - Qual a probabilidade da primeira reclamação sobre erro na fatura emitida da conta, ocorrer até a 2ª chamada. a.1) (0.6 pt) - A Média, Desvio padrão e Coeficiente de variação desta variável aleatória. b) (0.8 pt) - E qual seria a probabilidade de ocorrer a segunda reclamação da conta na sétima chamada”. Problema 3 ( 2.0 pts) Em uma determinada fábrica constatou-se em registros passados, que uma determinada máquina para a produção de parafusos funciona corretamente 97%do tempo. Se a máquina não está funcionando corretamente, 5% dos parafusos produzidos são defeituosos, e quando a máquina estiver trabalhando corretamente, apenas 0,3% dos parafusos são defeituosos. Pede-se: a) (1.0 pt) Se um parafuso é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele seja defeituoso? b) (1.0 pt) Uma vez que o parafuso seja defeituoso, qual é a probabilidade de que este pertence a máquina que esteja funcionando corretamente. Problema 4 ( 2.0 pts) Considere uma Variável discreta com a seguinte função de probabilidade a) (0.7 pt) Ache a constante “k” que faz uma função de probabilidade. b) (1.3 pt) Encontre a função de distribuição ou função de distribuição acumulada? Plotar em gráfico esta função acumulada. 5,4,3,2,1,0 para 1 !5! !5 Pr)( 5 x kxx xXxf Problema5 (2.4 pts) Os quadros abaixo, correspondem aos resultados dos pesos dos alunos matriculados em uma das turmas na matéria PROBEST 2013-2: Estatística descritiva (PESO) Média 68,7 Erro padrão 2,46 Mediana 64 Moda 60 Desvio padrão 18,25 Variância da amostra 333,00 Curtose 8,00 Assimetria 2,35 Intervalo 103 Mínimo 47 Máximo 150 Soma 3778 Contagem 55 Maior(1) 150 Menor(1) 47 Nível de confiança(95,0%) 4,9332 Com relação aos quadros apresentados acima, responda as perguntas: a) (0.3 pt) - O quantidade de alunos com peso menores ou igual a 90 kg. b) (0.3 pt) - A quantidade de alunos com peso maiores de 58 kg? c) (0.3 pt) - Que tipo de simetría podemos verificar na amostra? Porque? d) (0.3 pt) - Com relação a Curtose, que tipo de curva podemos verificar na amostra? Porque? e) (0.3 pt) - Pelos dados da amostra, qual o Coeficiente de variação? f) (0.3 pt) - Pelos dados da amostra, qual o peso que mais se repete? g) (0.6 pt) - Construa o diagrama de Pareto desta amostra, montando em blocos conforme o quadro do diagrama de frequência. Esboce os gráficos de frequência e % cumulativo, mostrando os valores correspondentes. Bloco Freqüência % cumulativo ≤50 3 5,45% (50 - 58] 14 30,91% (58 - 66] 12 52,73% (66 - 74] 8 67,27% (74 - 82] 12 89,09% (82 - 90] 4 96,36% >90 2 100,00% FORMULÁRIO: TEOREMA DE BAYES: MÉDIA E VARIÂNCIA 2 = E (X2) - E(X)2 SÉRIE GEOMÉTRICA 0 32 1 1 1 .....1 k k a a aaaa que desde discreta v.a.é X se Pr.. contínua v.a.é X se . xtodo xtodo xXxxfx dxxfx XE discreta v.a.é X se Pr.. contínua v.a.é X se . xtodo xtodo xXxuxfxu dxxfxu XuE k j jj ii k j jj ii i BBA BBA BBA AB A AB AB 11 Pr|Pr Pr|Pr Pr|Pr Pr Pr Pr |Pr 2 22 2 2 todo x todo x . se X contínua ( ) . .Pr se X discreta x f x dx VAR X E X x f x x X x VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Distribuição Bernoulli Notação : X ~ Bernoulli(p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = p VAR(X) = p.q = p.(1-p) Distribuição Binomial Notação : X ~ Bin (n,p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = n.p VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) Distribuição Geométrica Notação : X ~ Geom (p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = 1/p VAR(X) = q/p2 Distribuição Binomial Negativa Notação : X ~ NegBin (r,p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = r/p VAR(X) = r.q/p2 Distribuição Poisson Notação : X ~ Poisson(μ) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = μ VAR(X) = μ Boa Sorte! 1)Pr()( 1 xx ppxXxf )1(Pr)( xnx pp x n xXxf .)Pr()( 1 pqxXxf x .. 1 1 )Pr()( rxr qp r x xXxf ! )Pr()( x e xXxf x
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