Exercicios_gerais

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Mecânica da Partícula(FIW121) 
http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf 
Prof. Antônio Carlos 
 
 
17/7/2013 
Instituto de Física-UFRJ 
toni@if.ufrj.br 
 
 
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf 
 
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Prof. Antônio Carlos (toni@if.ufrj.br) 
Departamento de Física Nuclear, 
Sala A-307 
 
 
 
Objetivos: Apresentar os princípios básicos da Mecânica Clássica, habilitando o aluno a resolver problemas 
elementares acerca do movimento e suas causas. 
 
Ementa: Sistemas de referência e sistemas de coordenadas. As leis do movimento: a lei da inércia; referenciais 
inerciais e não-inerciais; a segunda lei de Newton; a lei da ação e reação. A realização de medidas indiretas. Trabalho 
de uma força; energia cinética; teorema trabalho-energia cinética; forças conservativas e forças dissipativas; energia 
potencial; energia mecânica e as condições para sua conservação. Momento linear e sua conservação. O princípio de 
relatividade. 
 
Referências 
 
Física I - Mecânica (Livro Texto) 
Sears & Zemansky - Young & Freedman 
12a. Edição - Pearson Addison-Wesley 
 
Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica 
Halliday-Resnick - Jearl Walker 
8a. Edição - LTC Grupo GEN 
 
Curso de Física Básica 1 - Mecânica 
H. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDA 
Física - Um curso universitário - Volume 1 – Mecânica 
 
Marcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar Blücher 
Física 1 
 
Halliday-Resnick - Krane 
4a. Edição - LTC 
 
Critério de Avaliação 
 
 
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As notas parciais N1 e N2 serão composta cada uma por 1 prova (70%) + listas de exercícios feitos em 
sala (20%) + testes periódicos (10%). As listas deverão ser baixadas em 
http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf 
Cronograma 
 
Encontro atividade 
1 Aula 1 
2 Aula 2 
3 Aula 3 
4 Aula 4 
5 Aula 5 
6 Buzz group 
7 Teste 
8 Aula 6 
9 Aula 7 
10 Aula 8 
11 Buzz group 
12 Teste 
13 Primeira prova 
14 Aula 9 
15 Aula 10 
16 Aula 11 
17 Aula 12 
18 Buzz Group 
19 Teste 
20 Aula 13 
21 Aula 14 
22 Aula 15 
23 Aula 16 
24 Aula 17 
25 Buzz group 
26 teste 
27 Segunda prova 
 
 
 
Je hais le mouvement, qui deplace les lignes,et jamais je ne pleure et jamais jê ne ris. 
 
I hate movement, which changes shapes, and never do I weep and never do I laugh.’ 
 
Charles Baudelairnee, La Beauté. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sugestões para um melhor aproveitamento nesta disciplina: 
 
1- Leia cada tópico abordado antes de ir para a sala de aula. Seu aproveitamento em sala de aula será muito 
maior. 
2- Participe ativamente da aula. Faça perguntas, responde às questões propostas, faça anotações. Os 
resultados das pesquisas em ensino de física mostrar que a participação ativa maximiza o seu 
aproveitamento. 
3- Após a aula releia o tópico abordado. Resolva os exercícios e problemas propostos no final de cada 
capítulo. Para cada hora de aula semanal, recomendamos outra três de estudo em casa. A maioria dos 
alunos pensa que para resolver o problema precisa apenas encontrar a fórmula correta e inserir os dados. 
Mas não é isto que esperamos de você. A Equação F=ma é fácil de memorizar, difícil de utilizar, e ainda 
mais difícil de compreender. 
 
Como funciona a dinâmica da aula 
 
Durante as aulas você será colocado em situações onde terá que pensar, ou seja, ser ativo. As situações 
nas quais somos obrigados a pensar são aquelas nas quais temos que responder a questões porque 
perguntas exigem uma resposta ativa. A melhor maneira de aprender como resolver problemas é receber 
problemas a serem resolvidos. Aprender a pensar não é um processo de absorção, ou seja, assistir 
passivamente a uma aula não é efetivo se queremos aprender a pensar. Macacos e crianças foram 
treinados a fazerem escolhas cada vez mais refinadas e abstratas e foram capazes de aplicar os princípios 
que aprenderam resolvendo problemas fáceis em problemas mais complicados que nunca tinham visto 
anteriormente. Conforme os problemas ficaram mais complexos, eles foram capazes de aplicar os 
princípios dos problemas anteriores. A prática com problemas simples melhorou e possibilitou a 
resolução de problemas mais complexos. Esta habilidade é essencial para o desenvolvimento do poder de 
raciocínio do aluno. Quando um aluno recebe um problema a ser resolvido, ele não apenas aplica os 
princípios, mas faz combinações dos mesmos para formar novos princípios de ordens superiores. Pensar é 
justamente a combinação e aplicação de princípios. O gestaltismo descreve a resolução de problemas 
como um processo de alcançar “insights”, através do reconhecimento do problema, pelo ganho de 
familiaridade com seus elementos, pela constante reorganização dos elementos, culminando em um 
lampejo de compreensão através do encontro da solução. Por exemplo, crianças que foram ensinadas a 
encontrar a área de um retângulo através da multiplicação de sua altura por seu comprimento podem 
tentar várias maneiras de rearranjar um paralelogramo antes de ter ideia repentina de cortá-lo e formar um 
retângulo, de modo a usar a regra aprendida nesta situação nova. 
 
Formato geral da nossa aula: 
1) pergunta feita; 
2) Estudantes têm tempo para pensar; 
3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais; 
4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas; 
5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas; 
6) Feedback para o professor: distribuição de respostas; 
7) Explicação da resposta correta; 
Dicas para a aula: 
1) Leia o tópico a ser apresentado ANTES da aula; 
2) não é necessário copiar o material do quadro. Está tudo no livro! Você pode fotocopiar as notas 
de aula se desejar; 
3) seja ativo! 
 
 
 
 
 
 
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“Quem sou eu? De onde vim? O quê devo fazer? 
De onde vem o mundo? O mundo pode acabar? O 
que é beleza? Todas estas questões possuem um 
aspecto em comum: estão relacionadas ao 
movimento. Nossa busca por respostas nos leva ao 
estudo do movimento em todos os seus detalhes. 
Nesta busca, todo aumento na precisão de nossa 
descrição do movimento é um passo em direção ao 
pico da Montanha do Movimento. Quando 
chegarmos ao topo da montanha, poderemos 
saborear o que alcançamos e lembrar as emoções 
que sentimos. Em nossa subida, aprenderemos 
como nos movemos, como crescemos, de que 
somos feitos. 
 
Fonte: Christopher Schiller, Motion Mountain 
(adaptado). 
Teremos a experiência e a compreensão dos vários modos que a beleza aparece na natureza: cores, 
formas, ritmos e acima de tudo: simplicidade” 
 
“Primum movere, deinde docere” –Primeiro mova , então ensine. O movimento do coração chama-se motivação. 
Ambos os termos possuem a mesma raiz latina 
 
 
Alguns dos estudiosos do movimento 
 
 
Parmenides 
(ca. 530 a.C.- ca. 460 a.C.). Local: Eleia (perto da atual Nápoles). Argumentava que como 
nada vem do nada, a mudança não pode existir. Ele ressaltou a permanência da natureza e 
afirmava que toda mudança e todo o movimento é uma ilusão. 
 
Heráclito 
(ca 540 a.c.-489 a.c) Local: Éfeso, cidade da Jônia (atual Turquia). Os filósofos de Mileto 
(Tales, Anaximandro, Anaxímenes, entre outros) haviam percebido o dinamismo das 
mudanças que ocorrem na physis, como o nascimento, o crescimento e a morte, mas não 
chegaram a problematizar a questão.Heraclito, inserido no contexto pré-socrático, parte do 
princípio de que tudo é movimento, e que nada pode permanecer estático - Panta rei ou 
"tudo flui", "tudo se move", exceto o próprio movimento. 
 
Aristóteles 
(Estagira, 384 a.C.- Atenas, 322 a.C.) filósofo grego aluno de Platão e professor de 
Alexandre, o Grande. Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física, a metafísica, 
as leis da poesia e do drama, a música, a lógica, a retórica, o governo, a ética, a biologia e a 
zoologia. Juntamente com Platão e Sócrates (professor de Platão), Aristóteles é visto como 
um dos fundadores da filosofia ocidental. Em 343 a.C. torna-se tutor de Alexandre da 
Macedónia, na época com 13 anos de idade, que será o mais célebre conquistador do mundo 
antigo. Em 335 a.C. Alexandre assume o trono e Aristóteles volta para Atenas, onde funda 
o Liceu. 
 
Galileu Galilei 
 (Pisa, 1564- Florença,1642). Desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do 
movimento. Enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias 
precursoras da mecânica newtoniana. Descobriu as manchas solares, as montanhas da Lua, 
as fases de Vénus, quatro dos satélites de Júpiter, os anéis de Saturno, as estrelas da Via 
Láctea. Estas descobertas contribuíram decisivamente na defesa do heliocentrismo. 
Contudo a principal contribuição de Galileu foi para o método científico, pois a ciência 
assentava numa metodologia aristotélica. 
 
Isaac Newton 
(1643-1727) inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido 
também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae Naturalis 
Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes na história da ciência. 
Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de 
Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. 
 
 
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Aula 1 - Vetores 
Nome:_______________________________________________________________________________ 
 
1- Indique se as grandezas a seguir são grandezas escalares (E) ou vetoriais(V): 
a) ( ) massa; 
b) ( ) carga elétrica; 
c) ( ) velocidade; 
d) ( ) força; 
e) ( ) volume; 
 
2- Algumas vezes falamos de “um sentido do tempo” que evolui do passado para o futuro. Isto significa que 
o tempo é uma grandeza vetorial? 
3- Com base na figura abaixo, indique as opções corretas: 
a) ( ) A + B = C; 
b) ( ) B + D = 0 (vetor nulo); 
c) ( ) A + C = D; 
d) ( ) C + D = F; 
 
 
 
4- Ainda com base na figura acima, indique as opções corretas 
a) ( ) A = F; 
b) ( ) B = -D; 
c) ( ) C = -E; 
d) ( ) D = B; 
e) ( ) C=3H+2I; 
 
5- Qual o vetor que representa a operação F-A? 
a) ( ) C 
b) ( ) D 
c) ( ) 2F 
d) ( ) 2A 
e) ( ) vetor nulo 
 
6- Ainda com base na figura acima, é corretoa afirmar que: 
a) ( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então tg =3/2; 
b) ( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então tg =2/3; 
c) ( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então sen =2/3; 
d) ( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então cos =2/3; 
 
7- Com base na figura acima, o módulo de E vale: 
a) ( ) 
5
 
b) ( ) 
13
 
c) ( ) 
3
 
d) ( ) 
2
 
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Aula 2 - Vetores 
Nome:_______________________________________________________________________________ 
 
1- O módulo do vetor A=3i-4j 
a) ( ) -25 
b) ( ) -5 
c) ( ) 5 
d) ( ) 25 
 
2- A soma dos vetores A=-1i-1j-1k e B=1i+1j é 
a) ( ) -2i-2j-1k 
b) ( ) 2i+2j-1k 
c) ( ) +1k 
d) ( ) -1k 
 
3- O produto escalar entre os vetores A=-1i-1j-1k e B=1i+1j é 
a) ( ) 2 
b) ( ) 1 
c) ( ) -1 
d) ( ) -2 
 
4- O ângulo entre os vetores A=2i+3j e B=-3i+2j 
a) ( ) 0o 
b) ( ) 45o 
c) ( ) 60o 
d) ( ) 90o 
5- O que resulta de 
AA
 , o produto escalar de um vetor consigo mesmo? 
6- Qual é a área do paralelogramo definido pelo vetores A e B com módulos A=2 e B=3 e que fazem um 
ângulo de 30
o
 entre si? 
a) ( ) 6; 
b) ( ) 4; 
c) ( ) 3; 
d) ( ) 2; 
 
7- O produto k j é igual a: 
a) ( ) i 
b) ( ) 0 
c) ( ) -i 
d) ( ) j 
 
8- Se A=1i-1j+1k e B=1i+1j, determine A B. 
a) ( ) i+2k 
b) ( ) i-j+2k 
c) ( ) i+j 
d) ( )-i+j+2k 
 
9- Se 
A
 e 
B
 são vetores diferentes de zero, é possível que 
BA
 e
BA
 sejam ambos zero? Explique. 
10- Se 
0BA
 , é necessariamente verdadeiro que A=0 ou B=0? Explique. 
11- Se 
0

BA
, é necessariamente verdadeiro que A=0 ou B=0? Explique. 
12- O que resulta de 
AA
 , o produto vetorial de um vetor consigo mesmo? 
13- Quais das seguintes operações são legítimas: a) 
CBA

.
; b) 
CBA
 ; c) 
CBA

.
; d) 
CBA
 ; e) 
CBA
 
 
 
 
 
 
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Para casa: 
 
 
1- Uma sala tem dimensões 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus cantos e voa para o canto 
diametralmente oposto. Qual é o módulo do deslocamento? Poderia sua trajetória ser menor do que este 
deslocamento? Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este deslocamento na forma 
vetorial. 
 
2- Considere um corpo em movimento cujo vetor posição é dado (em cm) por 
jtsenittr ˆ4ˆcos3)(
 . a) mostre num gráfico em escala o vetor r num determinado instante t; b) 
após um intervalo de tempo t pequeno, mostre no mesmo gráfico o novo vetor r; c) calcule o 
deslocamento 
)()( trttrr

sofrido pelo corpo no intervalo t; d) calcule 
t
r
v


e 
verifique sua orientação para t = 0, /2, e 3 /2; e) calcule r.v e discuta o resultado; f) calcule r ×v e 
discuta o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 3- Movimento Retilineo 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
“ O movimento está em todo o lugar: amigável e assustador; terrível e lindo. Ele é fundamental para a 
nossa existência. Precisamos de movimento para crescer, para aprender, para pensar e para aproveitar 
a vida. Assim como todos os animais, dependemos do movimento para obter comida e para sobreviver 
aos perigos. Assim como todos os seres vivos, precisamos de movimento para reproduzir, para respirar e 
para digerir. Assim como todos os objetos, o movimento nos mantém aquecidos. Tudo que acontece no 
mundo é algum tipo de movimento. A fascinação do movimento sempre o fez um objeto de curiosidade. 
Por volta do quinto século a.C., na Grécia antiga, seu estudo recebeu um nome: física.” Christopher 
Schiller. 
 
Questão de motivação: Todos os motoristas têm as vezes que decidir rapidamente se devem ou não 
ultrapassar um sinal amarelo. Cálculos podem revelar algumas situações em que a intuição não ajuda. 
Para uma determinada duração do sinal luminoso e para determinadas dimensões de um cruzamento, 
quais são as combinações de velocidade inicial e distância que se exigem para parar ? Quais os limites de 
velocidade e distância que lhe permitem passar a tempo? 
 
1- Você deseja viajar com uma velocidade média v e percebe que quando está no meio do caminho de seu 
destino que sua velocidade média foi v/2. Como você teria que viajar o restante do caminho para obter 
uma velocidade média v? 
 
A) ( ) 3v/2; 
B) ( ) 2v; 
C) ( ) 5v/2; 
D) ( ) 3v; 
E)( ) mais rápido do que a luz; 
 
2- (Mec. Part. 2013/1) Você está fazendo uma viagem de ida e volta a uma velocidade uniforme v de A até 
B, e retornar de B até A com uma velocidade constante 2v. Qual é a sua velocidade escalar média? 
 
A) ( ) 3v/2; 
B) ( ) 4v/3; 
C) ( ) 5v/2; 
D) ( ) 2v/3; 
E) ( ) não há informação suficiente para encontrar a solução; 
 
3- Um homem exercita seu cão durante uma caminhada de 15 minutos arremessando uma vareta para que 
seu cão corra e a traga de volta ao seu dono. De modo a manter o cão correndo pelo maior tempo possível 
enquanto caminha, de que forma o homem arremessa a vareta? 
 
A) ( ) à frente dele; 
B) ( ) atrás dele; 
C) ( ) lateralmente; 
D) ( ) em qualquer direção, pois são todas equivalentes. 
 
Considere o diagrama abaixo para responder às duas primeiras questões. O diagrama representa um 
objeto movendo-se ao longo de uma superfície horizontal. As posições indicadas no diagrama estão 
separadas por intervalos de tempo iguais. O primeiro ponto indica a posição em que o objeto começou a 
se mover e o último quando ele voltou a ficar em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4- Qual dos gráficos seguintes representa melhor a velocidade do objeto em função do tempo? 
 
5- Qual dos gráficos seguintes representa melhor a aceleração em função do tempo? 
 
 
Para responder às próximas três questões, baseie-se no gráfico da velocidade em função do tempo 
mostrado a seguir, que representa o movimento de um objeto em uma dimensão 
 
 
 
6- Qual é aproximadamente a aceleração média do objeto entre t= 0 e t= 6,0 s? 
a) ( ) 3,0 m/s2 
b) ( ) 1,5 m/s2 
c) ( ) 0,83 m/s2 
d) ( ) 0,67 m/s2 
e) ( ) N. R. A 
7- Qual o espaço percorrido pelo objeto entre t = 0 e t = 6,0 s? 
a) ( ) 20 m 
b) ( ) 8,0 m 
c) ( ) 6,0 m 
d) ( ) 1,5 m 
e) ( ) N. R. A 
 
8- Qual é aproximadamente a velocidade média do objeto nos primeiros 6,0 s? 
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a) ( ) 3,3 m/s 
b) ( ) 3,0 m/s 
c) ( ) 1,8 m/s 
d) ( ) 1,3 m/s 
e) ( ) N. R. A. 
 
9- Queda livre: A figura representa uma fotografia múltipla de uma bolinha sendo atirada verticalmente para 
cima. A mola, com a bolinha em cima, foi comprimida até o ponto marcado X e então foi solta. A bola 
deixou a mola no ponto marcado com Y, e atingiu a altura no ponto marcado Z. Assumindo que a 
resistência do ar é desprezível, indique se verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
a) A) ( ) A maior aceleração da bola foi no 
momento em que atingiu o ponto y (ainda em 
contato com a mola); 
b) B) ( ) A aceleração da bola foi decrescendo 
em seu trajeto do ponto Y ao ponto Z. 
c) C) ( ) a aceleração da bola foi zero no ponto 
Z. 
d) D) ( ) a aceleração da bola foi a mesma em 
todos os pontos de sua trajetória, do ponto Y 
ao Z. 
 
 
 
10- Queda livre: Uma pedra é largada do alto de uma torre. Um segundo depois uma segunda pedra é largada. 
A separação entre as pedras conforme caem ... 
a) ( ) aumenta; 
b) ( ) diminui; 
c) ( ) permanece constante; 
 
11- Na situação acima, a segunda pedra atinge o solo em um tempo.. 
a) ( ) menor do que um segundo após a primeira; 
b) ( ) exatamente um segundo após a primeira; 
c) ( ) maior do que um segundo após a primeira; 
 
12- Duas pedras são largadas simultaneamente de alturas diferentes. Conforme caem a separação entre elas... 
a) ( ) aumenta; 
b) ( ) diminui; 
c) ( ) permanece a mesma; 
 
13- Na situação acima há um intervalo de tempo entre as chegadas de ambas as pedras ao solo. Suponha que 
as pedras são largadas do mesmo modo de alturas superiores mas com a mesma diferença de altura. Então 
o tempo entre ambos os impactos... 
a) ( ) aumenta; 
b) ( ) diminui; 
c) ( ) permanece o mesmo; 
 
14- Uma pedra é lançada verticalmente para cima e no ponto mais alto de sua trajetória... 
A) ( ) a sua velocidade é nula e a aceleração é g; 
B) ( ) a sua velocidade e a aceleração são ambas nulas; 
C) ( ) a sua velocidade e a aceleração são ambas não nulas; 
D) ( ) a sua velocidade é não nula e a aceleração é g; 
E) ( ) depende da velocidade inicial da pedra; 
 
15- Um vídeo é feito sobre um objeto em queda livre (g aponta para baixo). Agora se o vídeo passa de trás 
para frente, ele mostrará o objeto acelerando: 
A) ( ) para cima; 
B) ( ) para baixo; 
 
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12 
 
16- Dois ciclistas viajam a uma velocidade escalar constante de 10 km/h em direção um ao outro. No instante 
em que os ciclistas estão afastados de 20 km, uma mosca voa de um ciclista ao outro com uma velocidade 
de 25 km/h. A mosca toca o segundo ciclista e retorna rapidamente com a mesma velocidade escalar ao 
primeiro ciclista. A mosca continua fazendo este movimento de ida e volta de um ciclista ao outro até que 
ambos os ciclistas se encontrem. Qual foi a distância total percorrida nas suas idas e vindas. (Esta questão 
pode ser muito simples ou muito difícil dependendo do modo como a resolva) 
A) ( ) 20 km; 
B) ( ) 25 km; 
C) ( ) 50 km; 
D) ( ) mais do que 50 km; 
E) ( ) este problema não pode ser resolvido com as informações fornecidas; 
 
Resposta da questão de motivação do inicio da aula: Quando se aproxima de um cruzamento no exato 
instante em o sinal luminoso passa a amarelo, você escolhe entre parar com o máximo de aceleração 
negativa (freiar), ou atravessar com uma aceleração positiva máxima, ou manter a mesma velocidade. 
Considere que seu carro está a uma velocidade v quando o sinal muda para amarelo, o cruzamento tem 
um comprimento L, e a duração da luz amarela é t, e aceleração máxima que seu carro alcança é a. Em 
condições ideais em que o motor responde imediatamente ao acelerador e desprezando o seu tempo de 
reação, podemos calcular as distâncias necessárias para as três opções possíveis. Para atravessar o 
cruzamento sem problemas, tem de estar a uma distância inferior a d < (v t+a t
2
/2 – L) . Para parar a 
tempo tem de estar a uma distância d> v
2
/2a . Entre estes extremos você pode optar. 
 
Problemas adicionais (para casa): 
1-Um carro inicia um movimento retilíneo, inicialmente com aceleração a=5,0 m/s
2
 (a velocidade inicial é 
nula), então se move uniformemente, e finalmente, desacelera com a mesma taxa a e pára. O tempo total é 
25s. A velocidade média durante este intervalo de tempo é 72 km/h. Por quanto tempo o carro se 
movimenta uniformemente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 4- Movimento em 2 e 3 dimensões 
 
Nome: ______________________________________________________________________ 
 
1- Um objeto movimenta-se no plano xy com a posição descrita como uma função do tempo dada por r = 
x(t) i + y(t) j. O ponto O está em r=0. O objeto movimenta-se na direção de O quando 
a) ( ) vx > 0, vy > 0 
b) ( ) vx < 0, vy < 0 
c) ( ) xvx + yvy < 0 
d) ( ) xvx + yvy > 0 
 
2- Um carro viaja uma distância para leste com velocidade de módulo constante v, então prossegue por uma 
distância igual com uma velocidade 2v. O que se pode concluir sobre o módulo da velocidade média? 
a) ( ) v < 3v/2 
b) ( ) v = 3v/2 
c) ( ) v > 3v/2 
 
3- Movimento bidimensional. Do topo de um edifício arremessamos três pedras idênticas e com a mesma 
velocidade em módulo. A primeira é arremessada para cima, a segunda lateralmente e a terceira parabaixo. Qual pedra estará se movendo mais rapidamente quando atingir o solo? 
a) ( ) a primeira; 
b) ( ) a segunda; 
c) ( ) a terceira; 
d) ( ) todas terão a mesma velocidade; 
 
4- Aceleração: a posição de uma partícula que se move no espaço é dada por r(t) = 2t3 i-3tj+5 k , onde t é 
dado em segundos e r(t) em metros. A aceleração da partícula é (dica: a derivada de x
n
 é nx
n-1
) 
a) ( ) a(t) = 2t i-(3/t)j+(5/t2) k 
b) ( ) a(t) = t3 i-3tj 
c) ( ) a(t) = 6t2 i-3j 
d) ( ) a(t) = 12 ti 
 
5- Movimento de um projétil. Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de módulo vo com um 
ângulo o medido da horizontal. Despreze a resistência do ar. Em que momento do movimento a 
aceleração no projétil se iguala a zero? 
a) ( ) Em algum ponto antes de atingir sua altura máxima; 
b) ( ) No ponto mais alto; 
c) ( ) Em algum ponto depois de atingir sua altura máxima; 
d) ( ) Em nenhum ponto da trajetória; 
 
6- Movimento de um projétil. Um objeto é lançado no ar com uma velocidade inicial dada por vo = vo(cos i 
+ sen j) m/s. Despreze a resistência do ar. No ponto mais alto, o módulo da velocidade é 
a) ( ) 0. 
b) ( ) vocos 
c) ( ) vosen 
d) ( ) vo. 
 
7- Quando um rifle é disparado contra um alvo distante, a direção do cano não coincide com o alvo. Por quê 
não coincide? O ângulo da correção depende da distância ao alvo? 
8- No mesmo instante em que o projétil sai horizontalmente do cano de uma arma, você larga um corpo da 
mesma altura do cano. Desprezando a resistência do ar, qual dos dois chegará primeiro ao solo? 
9- Movimento de um projétil. Ainda sobre o objeto do item anterior, no instante t, o módulo da velocidade é 
a) ( ) vo(cos + sen ) 
b) ( ) vo [(cos )
2
 + (sen )
2
]
1/2
 
c) ( ) [(vocos )
2
 + (vosen -gt)
2
]
1/2
 
d) ( ) [(vocos -gt)
2
 + (vosen -gt)
2
]
1/2
 
 
 
 
 
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Aula 5- Movimento circular, movimento relativo e referenciais 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
Questão de motivação1: É difícil encontrar física mais real do que aquela que pode envolver a nossa 
própria morte. Por exemplo, suponha que você conduz um automóvel e que, de repente, vê uma manada 
de gado no fim de um cruzamento em T. O quê fazer? Pisar fundo nos freios, sem derrapar e manter a 
mesma direção? Curvar a alta velocidade? Ou curvar usando os freios da melhor maneira possível? 
 
Questão de motivação 2: Devemos correr ou caminhar ou caminhar debaixo da chuva para não ficar tão 
molhado? 
 
1) Um antiquado disco compacto de vinil gira sobre o prato do aparelho a 5 rpm. Qual é a sua velocidade 
angular em rad/s? 
a) ( ) /6; 
b) ( ) 10 ; 
c) ( ) 2 ; 
d) ( ) ; 
 
2) No problema anterior, qual é o seu período em segundos? 
a) ( ) 3; 
b) ( ) 6; 
c) ( ) 10; 
d) ( ) 12; 
 
3) Um grão de poeira está sob a superfície de um disco que gira em M. C. U. A equação horária da posição 
angular do grão é (t) = - +2 t, onde é dado em radianos e t em segundos. O período de rotação do 
disco em segundos é 
a) ( ) 2 
b) ( ) 1 
c) ( ) (1/2 ) 
d) ( ) 2 
 
4) (M.C. U) Indique se as afirmações abaixo sobre o M. C. U são verdadeiras (V) ou falsas (F) 
a) ( ) a velocidade linear (vetor) é constante 
b) ( ) a velocidade angular é constante 
c) ( ) o módulo da velocidade linear é constante 
d) ( ) a aceleração (vetor) é constante 
 
5) Movimento relativo. Um objeto tem velocidade de módulo v1 em relação ao solo. Um observador que se 
move com velocidade de módulo vo relativa ao solo mede a velocidade do objeto como sendo de módulo 
v2 . Os módulos das velocidades estão relacionados por 
a) ( ) vo v1 + v2 
b) ( ) v1 vo + v2 
c) ( ) v2 v1 + vo 
d) ( ) vo = v1 + v2 
 
6) Um menino sentado em um vagão ferroviário, que se move a uma velocidade constante, atira uma bola no 
ar, em linha reta. De acordo com uma pessoa que está sentada próxima a ele, onde a bola irá cair? 
a) ( ) atrás do menino 
b) ( ) Na frente do menino 
c) ( ) Nas mãos do menino 
 
7) Onda a bola cairia se o trem estivesse acelerando para frente enquanto a bola está no ar? 
a) ( ) atrás do menino 
b) ( ) Na frente do menino 
c) ( ) Nas mãos do menino 
d) ( ) ao lado dele 
 
 
 
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15 
 
Baseie-se no gráfico abaixo para responder às três questões seguintes. Este diagrama representa um bloco 
deslizando ao longo de uma rampa sem atrito. As oito setas numeradas representam direções a serem 
tomadas como referência para responder às questões 
1) 
2) 8) A direção da aceleração do bloco, quando 
estiver na posição A, é melhor representada por 
qual das setas no diagrama? 
a) A) ( ) 1 
b) B) ( ) 2 
c) C) ( ) 4 
d) D) ( ) 5 
e) E) ( ) 6 
 
3) 9) A direção da aceleração do bloco, quando 
estiver na posição B, é melhor representada por 
qual das setas no diagrama? 
a) A) ( ) 1 
b) B) ( ) 3 
c) C) ( ) 5 
d) D) ( ) 7 
e) E) ( ) nula 
4) 10) A direção da aceleração do bloco, quando 
estiver na posição C, é melhor representada por 
qual das setas no diagrama? 
a) A) ( ) 1 
b) B) ( ) 3 
c) C) ( ) 5 
d) D) ( ) 6 
e) E) ( ) nula 
 
11) (UFRJ-unificado) Em uma loja duas escadas rolantes estão dispostas como mostra a figura abaixo. O 
ângulo de elevação de cada escada, em relação a horizontal é o mesmo. As escadas movimentam os 
degraus com velocidades de mesmo módulo v, medidas em relação à Terra. Num dado instante duas 
pessoas A e B entram simultaneamente nas escadas e ao entrarem permanecem paradas em relação aos 
degraus das respectivas escadas. A pessoa A entra na escada que sobe e a pessoa B na escada que desce; 
vide a figura abaixo. Considerando que a Terra é um referencial inercial, o módulo da velocidade da 
pessoa A em relação à pessoa B, enquanto eles estão nas escadas é: 
 
 
a) ( ) vA/B = 0; 
b) ( ) vA/B = vcos ; 
c) ( ) vA/B não é constante; 
d) ( ) vA/B =2vsen ; 
e) ( ) vA/B = vsen2 ; 
 
 
 
Para casa: Um bêbado resolveu pegar uma canoa e remar rio acima. Quando passou embaixo de uma 
pequena ponte, sem que percebesse, sua garrafa de cachaça caiu no rio e imediatamente passou a se 
mover, em relacão às margens, coma velocidade do rio. Não tardou muito para que o bêbado se desse 
conta dessa “tragédia”, e dois minutos depois da queda da garrafa, ele virou a canoa e começou a remar 
rio abaixo, mas com a mesma intensidade com que remava rio acima. Quando ele por fim atingiu a 
garrafa, para sua felicidade, ele se encontrava a 120m da ponte. Desprezando o tempo gasto pelo bêbado 
para virar a canoa, calcule o módulo da velocidade do rio em relação às margens. 
 
Resposta da questão de motivação 1: Se a manada for grande demais para poder contornar o melhor a 
fazer é procurar parar o mais depressa possível. Descrever uma curva circular para tentar evitar a manada, 
necessitaria despender uma força muito maior para fazer o carro parar. 
 
 
 
 
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Buzz Group (encontro 6) 
 
Nome:_______________________________________________________________________ 
 
Buzz Group, cuja tradução literal é grupo de zumbido é um formato alternativo de aula onde formam-se 
grupos de discussões. Você irá trabalhar em dupla. A ideia é discutir e resolver um problema 
apresentado. O problema pode ser simples ou de um nível maior, mas exigirá um conhecimento do 
assunto em questão. O objetivo é clarificar os pontos que eventualmente não foram completamentecompreendidos. O objetivo poderá ser alcançado pela ajuda do seu colega que pode ajudá-lo de um modo 
mais simples que o professor. 
 
1- Em um movimento circular uniforme, qual é a velocidade média e a aceleração média para uma 
revolução? Explique. 
 
2- Uma lancha se movendo correnteza abaixo, ultrapassou uma balsa (em deriva) em um ponto A. Após 60 
min, retornou correnteza acima e depois de algum tempo passou a mesma balsa a uma distância de 6,0 km 
do ponto A. Encontre a velocidade do fluxo do rio assumindo que a potência do motor é uma constante. 
 
3- Uma particular atravessa metade de uma distância com uma velocidade vo. O restante do percurso foi 
coberto metade to tempo com uma velocidade v1 e metade do tempo com velocidade v2. Encontre a 
velocidade média da partícula no percurso. 
 
Hávera um teste sobre os assuntos cobertos até aqui na próxima aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 6 - Leis de Newton do movimento 
Nome:________________________________________________________________________ 
 
LEX I – Corpus omne persevare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi 
quatenus a viribus impressis cogitir statum illum mutare. 
LEX II – Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam 
qua vis illa imprimitur. 
LEX III – Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se 
mutuo semper esse aequales et in prtes contrarias dirigi. 
 
Nature and Nature’s Laws lay hid in Night. 
God Said, “Let Newton be”; and all was light 
Alexander Pope 
 
 
1- Primeira lei de Newton: Uma espaçonave interestelar, longe da influência de qualquer estrela ou planeta, 
está se movendo em alta velocidade sob o empuxo de foguetes, quando um defeito nos motores faz os 
mesmos pararem. A espaçonave irá: 
a) ( ) parar imediatamente, jogando todos os ocupantes para a frente do veículo 
b) ( ) começar a desacelerar, eventualmente atingindo o repouso no vazio frio do espaço; 
c) ( ) continuar se movendo com velocidade constante por um período, mas começando, então, a desacelerar. 
d) ( ) continuar se movendo para sempre na mesma velocidade 
 
2- Primeira lei de Newton: Uma criança pequena está brincando com uma bola em uma superfície nivelada. 
Ela dá um empurrão à bola para colocá-la em movimento. Então, a bola rola uma pequena distância até 
parar. A bola reduz a velocidade e pára porque 
a) ( ) a criança parou de empurrá-la 
b) ( ) a velocidade é proporcional à força 
c) ( ) deve ter existido alguma força sobre a bola, oposta ao sentido do movimento. 
d) ( ) a força resultante sobre a bola é nula, então ela quer permanecer em repouso. 
 
3- Segunda Lei de Newton: Um objeto está se movendo para o norte. De posse apenas desta informação, 
pode-se concluir: 
a) ( ) que existe uma única força sobre o objeto, direcionada para o norte 
b) ( ) que existe uma força resultante sobre o objeto, direcionada para o norte; 
c) ( ) que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte; 
d) ( ) nada acerca das forças sobre o objeto; 
 
4- Segunda Lei de Newton: Um objeto está se movendo para o norte e a sua velocidade está aumentando. De 
posse apenas desta informação, pode-se concluir: 
a) ( ) que existe uma única força sobre o objeto, direcionada para o norte 
b) ( ) que existe uma força resultante sobre o objeto, direcionada para o norte; 
c) ( ) que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte; 
d) ( ) nada acerca das forças sobre o objeto; 
 
5- Segunda Lei de Newton: Qual dos seguintes objetos não está experimentando uma força resultante 
direcionada para o norte? 
a) ( ) Um objeto que se move para o sul com a sua velocidade diminuindo; 
b) ( ) Um objeto que se move para o norte com a sua velocidade aumentando; 
c) ( ) Um objeto instantaneamente em repouso que inicia o movimento na direção norte; 
d) ( ) Um objeto que se move para o norte com velocidade constante; 
 
6- Terceira Lei de Newton: Uma pedra repousa sobre uma superfície nivelada. O módulo da força sobre a 
superfície, exercida pela pedra, é FSP, e o módulo da força sobre a pedra, exercida pela superfície é FPS. Se 
estas duas forças forem comparadas, observa-se que 
a) ( ) FPS > FSP 
b) ( ) FPS < FSP 
c) ( ) FPS = FSP 
 
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7- Terceira Lei de Newton: Uma pedra repousa sobre uma superfície inclinada. A pedra inicialmente está em 
repouso, mas começa a deslizar para baixo. O módulo da força sobre a superfície, exercida pela pedra, é 
FSP, e o módulo da força sobre a pedra, exercida pela superfície é FPS. Se estas duas forças forem 
comparadas, observa-se que 
a) ( ) Sempre FPS > FSP 
b) ( ) Sempre FPS < FSP 
c) ( ) Sempre FPS = FSP 
d) ( ) FPS = FSP, quando a pedra está em repouso; caso contrário, FSP> FPS; 
 
 
 
 
 
8- No gráfico seguinte é mostrada a velocidade de um objeto em função do tempo. 
 
 
Qual dos gráficos abaixo mostra a relação entre a força resultante e o tempo? 
 
 
9- Um carro tem uma aceleração máxima de 3,0 m/s2. Qual será a sua máxima aceleração quando estiver 
rebocando um outro carro com o dobro de sua massa? 
a) ( ) 2,5 m/s2 
b) ( ) 2,0 m/s2 
c) ( ) 1,5 m/s2 
d) ( ) 1,0 m/s2 
e) ( ) 0,5 m/s2 
 
10- Uma mulher pesando 6,0 102 N está dentro de um elevador que sobe do primeiro para o sexto andar. 
Quando o elevador se aproxima do sexto andar, ele diminui sua velocidade de 8,0 m/s para 2,0 m/s em 3,0 
s. Qual será a força média exercida pelo piso do elevador sobre a mulher durante este intervalo de tempo 
de 3,0 s? 
a) ( ) 120 N 
b) ( ) 480 N 
c) ( ) 600 N 
d) ( ) 720 N 
e) ( ) 1200 N 
 
11- O diagrama a seguir representa um bloco que se move sobre uma superfície horizontal e sem atrito, no 
sentido indicado pela seta tracejada. Uma força constante de módulo F (horizontal para a direita), 
mostrada no diagrama, está agindo sobre o bloco. Para que o objeto fique sujeito a uma força resultante 
na direção da seta tracejada, em qual das direções indicadas deverá estar agindo uma outra força? 
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a) a) ( ) A 
b) b) ( ) B 
c) c) ( ) C 
d) d) ( ) D 
e) e) ( ) E 
 
 
 
Considere o diagrama ao lado para responder 
às duas questões seguintes. Os blocos A e B, 
cada um com massa de 1,0 kg estão 
suspensos no teto de um elevador pelas 
cordas 1 e 2. 
 
 
12- Qual é a força exercida pela corda 1 sobre o bloco A, quando o elevador está subindo com uma 
velocidade constante de 2,0 m/s? 
a) ( ) 2N 
b) ( ) 10 N 
c) ( ) 12 N 
d) ( ) 20 N 
e) ( ) 22 N 
 
13- Qual é a força exercida pela corda 2 sobre o bloco B quando o elevador está estacionário? 
a) ( ) 2N 
b) ( ) 10 N 
c) ( ) 12 N 
d) ( ) 20 N 
e) ( ) 22 N 
 
14- A força resultante que atua num carro em movimento circular uniforme em uma superficíe horizontal ... 
a) ( ) aponta na direção na qual o carro está se movendo; 
b) ( ) aponta para o centro do círculo; 
c) ( ) é nula; 
 
15- O motorista em um carro em movimento circular experimenta uma dada força centrípeta. Esta força 
aumentará mais se 
a) ( ) dobrar a velocidade do carro; 
b) ( ) dobrar o raio da circunferência; 
c) ( ) diminuir pela metade o raio da circunferência; 
d) ( ) as alternativas a e b produzem o mesmo resultado;e) ( ) as alternativas a e c produzem o mesmo resultado; 
 
16- Conforme a bola rola abaixo (vide figura), a respeito da velocidade e da aceleração é correto afirmar que: 
A) A) ( ) a sua velocidade aumenta e sua aceleração diminui; 
B) B) ( ) a sua velocidade diminui e sua aceleração aumenta; 
C) C) ( ) ambas aumentam; 
D) D) ( ) ambas diminuem; 
E) E) ( ) ambas permanecem constante; 
 
 
 
Para saber mais: 
[1] M. C. D. Neves, Uma Investigação Sobre a Natureza do Movimento ou Sobre uma História para a 
Noção do Conceito de Força, Rev. Bras. Ens. Fís. 22, 543 (2000). 
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Questionário de Avaliação 
 
Prezado Aluno, responda a este questionário de maneira consciente. Ele será empregado pra melhorar o 
seu curso. Não se identifique. Imprima e entregue ao seu professor. 
 
 1 2 3 4 5 
O professor preparava e organiza bem as aulas? Nunca Sempre 
Ele se expressava de maneira Confusa clara 
Quanto ao emprego do quadro-negro, ele era Confuso organizado 
Durante a aula, o professor é Monótono vibrante 
O professor aceita divergência de opinião Nunca Sempre 
O professor estimula a participação do aluno Nunca Sempre 
O relacionamento do professor com o aluno é antagônico amigável 
O professor está disposto a ajudar ao aluno? Nunca Sempre 
O professor é acessível fora da sala de aula? Nunca Sempre 
Para você, o conhecimento do professor é fraco ótimo 
Com relação às aulas, o professor demonstra insegurança segurança 
O professor começava as aulas atrasado pontualmente 
Você frequentou as aulas raramente sempre 
Classifique sua participação na aula desligado atento 
Seu interesse pela disciplina reduziu aumentou 
seu tempo de estudo desta matéria é pequeno grande 
Qual é o seu C. R. acumulado 
O professor desta disciplina merece algum destaque (positivo ou negativo) 
 
 
 
Coloque no espaço abaixo outras sugestões que considerar pertinentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 7- Leis de Newton do movimento 
Nome:_____________________________________________________________________ 
 
1- Um pequeno objeto de massa M está suspenso, em repouso, por dois fios, conforme mostrado na figura 
abaixo. O módulo da força exercida por um fio no objeto é F. O módulo da força da gravidade é P. O 
módulo da força resultante no objeto é 
a) a) ( ) 2F -P 
b) b) ( ) 2Fcos45o - P 
c) c) ( ) 2Fsen45o - P 
d) d) ( ) F 
e) e) ( ) zero 
 
 
 
2- O fio do lado esquerdo da figura acima rompe-se repentinamente. No instante em que o fio se rompe, o 
módulo da força resultante no objeto é 
a) ( ) 2F-P 
b) ( ) 2Fcos45o - P 
c) ( ) 2Fsen45o -P 
d) ( ) F 
e) ( ) zero 
 
Este enunciado se refere às questões 3, 4 e 5. Na figura abaixo, os corpos estão ligados por um fio 
conforme indicado. Admitindo que as polias sejam ideais (sem massa, sem atrito). 
 
3- Qual é a razão entre as acelerações dos corpos (a2/a1) ?. Dados: m1, m2, g. 
 
a) ( ) -m2/m1 
b) ( ) -m1/m2 
c) ( ) -2 
d) ( )-1 
e) ( ) -½ 
 
 
4- Qual a relação entre a tensão no fio 1 e a tensão no fio 4 (T1/T4)? 
a) ( ) m2/m1 
b) ( ) m1/m2 
c) ( ) 2 
d) ( ) 1 
e) ( ) ½ 
 
5- Qual a relação entre a tensão no fio 3 e a tensão no fio 4 (T3/T4)? 
a) ( ) m2/m1 
b) ( ) m1/m2 
c) ( ) 2 
d) ( ) 1 
e) ( ) ½ 
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6 - Um punhado de moscas são mantidas em um pote fechado. Você coloca o pote sobre uma balança. 
A balança registrará um peso maior quando as moscas estiverem 
 
A) ( ) apoiadas sobre a base do pote; 
B) ( ) voando dentro do pote; 
C) ( ) o peso do pote será o mesmo em ambos os casos. 
 
7-Dois elos de correntes de massas iguais a m1 e m2 e entrelaçados, são puxados verticalmente para cima 
por uma força F constante. Verifica-se que eles sobem com velocidade constante. A expressão correta da 
dinâmica do movimento dos elos é: 
 
a) ( ) F- (m1+m2)g=0 
b) ( ) F+(m1-m2)g=0 
c) ( ) F+ (m1+m2)g=0 
d) ( ) F+ (m2-m1)g=0 
e) ( ) nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Para saber mais: 
 
V. B. Barbeta e I. Yamamoto, Dificuldades Conceituais em Física Apresentadas por Alunos Ingressantes 
em um Curso de Engenharia, Rev. Bras. Ens. Fis. 24, 324, (2002) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 8 - Aplicações das Leis de Newton 
Nome:_____________________________________________________________________ 
 
1- Um objeto está livre para se mover sobre uma mesa, com exceção da força de atrito constante, que se 
opõe ao movimento do objeto quando ele se move. Uma aceleração a é observada quando uma força 
horizontal F é usada para puxar o objeto. Uma aceleração de 3a é observada quando uma força horizontal 
de 2F é usada para puxar o objeto. Qual é o módulo da força de atrito? 
a) ( ) 2F 
b) ( ) F 
c) ( ) F/2 
d) ( ) zero 
 
2- Ainda sobre o objeto da questão acima. Qual é a sua massa? 
a) ( ) 2F/a 
b) ( ) F/a 
c) ( ) F/2a 
d) ( ) F/3a 
 
3- Uma pessoa empurra um bloco com velocidade constante através de uma superfície horizontal rugosa, 
aplicando uma força de módulo F. As setas no diagrama indicam corretamente as direções, mas não 
necessariamente as intensidades, das várias forças sobre o bloco. Qual das seguintes relações entre as 
intensidades das forças P, Fat, N e F deve ser verdadeira? 
A) a) ( ) F= Fat; 
B) b) ( ) F= Fat e N > P; 
C) c) ( ) F> Fat e N < P; 
D) d) ( ) F> Fat e N = P; 
E) e) ( ) NRA 
 
 
 
4- Considere a figura abaixo. Há atrito entre todas as superfícies. A opção que melhor representa a força de 
atrito sobre o bloco A 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
 
 
5- A opção que melhor representa a força de atrito sobre o bloco B devido ao bloco A é 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
 
Um pequeno cilindro metálico repousa sobre uma 
plataforma horizontal circular, a qual gira com 
velocidade angular constante como ilustrado no 
diagrama ao lado. 
 
 
 
6- Qual dos seguintes conjuntos de vetores descreve melhor a velocidade, aceleração e a força agindo 
sobre o cilindro no ponto indicado no diagrama? 
 
 
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7-Suponha que o cilindro metálico do problema anterior tenha massa M e que o coeficiente de atrito 
estático entre a superfície e o cilindro seja . Se o cilindro está a uma distância d do centro da plataforma, 
qual é aproximadamente o módulo da máxima velocidade tangencial com que o cilindro pode se mover 
ao longo de sua trajetória circular sem escorregar sobre a mesa? 
a) ( ) (4 dg)1/2 
b) ( ) (2 dg)1/2 
c) ( ) ( dg)1/2 
d) ( ) ( dg/2)1/2 
e) ( ) ( dg/4)1/2 
 
 
10- Um pára-quedista está em queda livre antes de abrir o seu pára-quedas. A força resultante nele possui um 
módulo F e é direcionada para baixo; esta força resultante é um pouco menor que o seu peso P, em função 
do atrito com o ar. Então ele abre o pára-quedas. A força resultante que age sobre ele, no instante após o 
seu pára-quedas inflar totalmente éa) ( ) maior que F e direcionada para baixo; 
b) ( ) menor que F e direcionada para baixo; 
c) ( ) zero; 
d) ( ) direcionada para cima, mas pode ser maior ou menor que F; 
 
 
11- Um pára-quedista caindo em posição horizontal sujeito a força de resistência do ar f =Dv2, onde D é uma 
constante e v a sua velocidade. A sua velocidade terminal é 
a) ( ) v=mg/D 
b) ( ) v=(D/mg)1/2 
c) ( ) v=D/mg 
d) ( ) v=(mg/D)1/2 
e) ( ) v=(mg/D)2 
 
12- Um elefante e uma pena caem de uma árvore alta. Qual sofre uma resistência do ar maior ao cair? 
A) ( ) O elefante; 
B) ( ) a pena; 
C) ( ) ambos sofrem forças iguais; 
 
Para saber mais: 
 
H. Caldas e E. Saltiel, Sentido das Forças de Atrito e Movimento I, Rev. Bras. Ens. Física 21, 359 (1999). 
H. Caldas e E. Saltiel, Sentido das Forças de Atrito e Movimento II, Rev. Bras. Ens. Física 21, 542 
(1999). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Buzz Group (encontro 10) 
 
1- Você está empurrando uma caixa grande do fundo para a frente de um elevador de carga enquanto ele se 
move para o próximo andar. Em qual situação a força que você deve aplicar para mover a caixa é menor e 
em qual é maior: quando o elevador está subindo com aceleração de baixo para cima, quando está 
descendo com aceleração de baixo para cima, quando está subindo com aceleração de cima para baixo, 
quando está descendo com aceleração de cima para baixo ou quando está se deslocando a uma velocidade 
escalar constante? Comente cada uma das situações. 
2- Encontre a aceleração do corpo 2 no arranjo abaixo se sua massa é n vezes a massa do corpo 1 e o ângulo 
que o plano inclinado faz com a horizontal é . Considere as massas das roldanas e todos os atritos como 
desprezíveis. Dica: note que a aceleração do corpo 2 é o dobro da aceleração do corpo 1 
 
 
3- No arranjo da figura abaixo as massas mo, m1, e m2 dos corpos são iguais. As massas da roldana e dos 
fios são desprezíveis e não há atrito nas roldanas. Encontre a aceleração do corpo de massa mo e a tensão 
nas cordas que liga os corpos de massa m1 e m2, se o coeficiente de atrito entre estes corpos e a superfície 
é igual a . 
 
 
 
 
 
 
Hávera um teste sobre os assuntos cobertos até aqui na próxima aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problemas adicionais - Leis de Newton 
 
1- 1- Um bloco de massa m encontra-se sobre uma 
cunha de ângulo e massa M, conforme mostra a 
figura. Não existe atrito entre a cunha e o chão, e o 
o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o 
bloco é . A) Qual é o módulo da força horizontal 
máxima F que pode se aplicada ao bloco m tal que 
ele não deslize sobre a cunha? B) Qual é o valor da 
força normal sobre o bloco m nesta situação? 
2- Resp.: a) F=(m+M)(m/M)g(tg + )/(1- tg ) 
3- B) mg/(cos - sen ) 
 
 
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato 
4- 2- Um bloco de massa M encontra-se sobre outro 
bloco de mesma massa, num plano inclinado liso, 
de ângulo , conforme mostra a figura. O 
coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 
, e entre o bloco inferior e o plano é zero. A) 
Determine a máxima força F que pode ser aplicada 
ao bloco superior sem que este deslize sobre o 
bloco inferior. B) Neste caso, qual será a 
aceleração do sistema? 
5- Resp.: 
6- A) F=2 Mgcos 
7- B)a=g( cos -sen ) 
 
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato 
8- 3- Um bloco de massa M1 encontra-se sobre outro 
bloco de massa M2, que desliza sobre o chão, 
conforme mostra a figura. O atrito estático entre os 
dois blocos é e. A) Determine a máxima força F 
que pode ser aplicada ao bloco 2 sem que o bloco 1 
deslize sobre ele. B) Se a força for aumentada tal 
que M1 começa a deslizar, e o atrito cinético entre 
os blocos também é c, qual será a aceleração de 
cada massa? 
 
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato 
9- 4- Um bloco de massa M encontra-se pendurado 
através de uma corda ideal sobre uma cunha de 
ângulo , conforme mostra a figura. Não existindo 
atrito entre os blocos, pergunta-se qual é a 
aceleração máxima que pode ser dada ao sistema 
tal que o corpo M permaneça em contato com o 
bloco triangular. Neste caso, qual é a tensão na 
corda? Se o sistema estiver se deslocando com 
velocidade constante, qual o valor da tensão na 
corda e da normal sobre o bloco? 
 
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato 
10- 5- Dado o ângulo de um plano inclinado sem 
atrito, qual deve ser a aceleração aR tal que o bloco 
de massa m mostrado na figura não deslize? 
 
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato 
11- 6- Encontre a massa do corpo A tal que a 
aceleração do corpo B na figura ao lado é nula. 
 
 
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12- Encontre a aceleração do corpo de 2 kg da 
figura ao lado 
 
13- No sistema mostrado ao lado, o bloco em 
contato com a superfície horizontal sem atrito 
está sujeiro a um força F. Existe um 
coeficiente de atrito estático entre este bloco 
e o bloco A de tal maneira que não existe 
movimento relativo entre os três blocos que 
compõem o sistema. Calcule: a) o ângulo . 
B) a tensão na corda e c) o mínimo 
 
14- Um bloco de massa M repousa sobre uma 
mesa com coeficiente de atrito estático . 
Uma força F é aplicada ao bloco de maneira a 
formar um ângulo com a horizontal, como 
mostra a figura ao lado. Supondo que o bloco 
esteja sempre na iminência de deslizar, a) qual 
o ângulo o que permite que a força aplicada 
seja mínima? e b) neste caso, qual será o valor 
desta força? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 9 – Trabalho 
Nome:________________________________________________________________________ 
 
 
Motivação:todos os animais terrestres, a despeito 
de seu tamanho atingem ao pular uma altura 
máxima de quase 2m, conforme mostrado na 
figura ao lado. Por quê? A resposta está no final da 
aula. 
 
 
 
Altura atingida por um animal em função de seu comprimento 
(Motion Mountain Vol. I). 
 
 
1- Quanto trabalho é realizado pela força F= (6i-3j) N sobre uma partícula quando esta efetua o 
deslocamento r = 2i m? 
a) ( ) 0 J 
b) ( ) -6 J 
c) ( ) 12 J 
d) ( ) -12 J 
 
2- Trabalho realizado por uma força constante. Um aluno pega uma caixa que está sobre uma mesa e a 
coloca no chão. Considere que o trabalho total realizado pelo aluno é W. Pode-se concluir que 
a) ( ) W = 0 
b) ( ) W > 0 
c) ( ) W < 0 
 
3- Trabalho realizado por uma força constante. Um objeto de massa igual a M move-se sobre uma mesa 
horizontal sem atrito em um movimento circular uniforme. O raio do círculo é R e a força centrípeta é F. 
O trabalho realizado por esta força enquanto o objeto se move durante a metade de uma revolução 
completa é 
a) ( ) zero 
b) ( ) 2 FR 
c) ( ) FR 
d) ( ) FR 
 
4- Quais das seguintes grandezas são independentes da escolha do sistema de referência inercial? (pode 
existir mais de uma resposta) 
a) ( ) velocidade 
b) ( ) aceleração 
c) ( ) força 
d) ( ) trabalho. 
 
5- Uma partícula de 2,0 kg que se move ao longo do eixo x experimenta a força representada na figura 
abaixo. O trabalho entre as posições x = 0 m e x = 2 m é 
a) a) ( ) 20 J 
b) b) ( ) – 20 J 
c) c) ( ) 10 J 
d) d) ( ) – 10 Je) e) ( ) 0 J 
 
 
 
 
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6- Com base na mesma figura, o trabalho entre x = 2 m e x= 4m é 
a) ( ) 20 J 
b) ( ) – 20 J 
c) ( ) 10 J 
d) ( ) – 10 J 
e) ( ) 0 J 
 
7- Ainda com base na figura acima, o trabalho entre x = 1 e x = 3 m é 
a) ( ) 20 J 
b) ( ) – 20 J 
c) ( ) 10 J 
d) ( ) – 10 J 
e) ( ) 0 J 
 
(este enunciado se refere às cinco questões a seguir- Probl. 6.57 do livro texto). Um carregador empurra 
uma mala de massa M para cima de uma rampa com inclinação de acima da horizontal com uma força 
F de módulo igual a F que atua paralelamente à rampa. O coeficiente de atrito cinético é dado por . Se a 
mala se desloca uma distância d ao longo da rampa. 
8- O trabalho realizado sobre a mala pela força F é 
a) ( ) Fd 
b) ( ) Fdcos 
c) ( )-Fd 
d) ( ) -Fdcos 
e) ( ) zero 
 
9- O trabalho realizado sobre a mala pela força gravitacional é 
a) ( ) zero 
b) ( ) -mgdcos 
c) ( )-mgdsen 
d) ( ) mgdcos 
e) ( ) mgdsen 
 
10- O trabalho realizado pela força normal é 
a) ( ) zero 
b) ( ) -mgdcos 
c) ( )-mgsen 
d) ( ) mgdcos 
e) ( ) mgdsen 
 
11- O trabalho realizado pela força de atrito é 
a) ( ) - mgcos d 
b) ( ) - mgsen d 
c) ( ) mgtg d 
d) ( ) mgcos d 
e) ( ) zero 
 
12- O trabalho total realizado sobre a mala é 
a) ( ) zero 
b) ( ) Fd-mgd(sen - cos ) 
c) ( ) Fd+mgd(sen - cos ) 
d) ( ) Fd-mgd(sen + cos ) 
 
13- Um homem pula de um prédio de altura H sobre um colchão que tem uma espessura H/10. Se o colchão 
é comprimido a uma espessura de H/20, qual é a aceleração média do homem enquanto ele pára? 
 
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a) a) ( ) g 
b) b) ( ) 9g 
c) c) ( ) 18g 
d) d) ( ) 27g 
e) e) ( ) 36g 
 
 
 
 
 
 
Resposta à questão de motivação: Para pular até uma altura h, um animal de massa m precisa de uma 
energia E=mgh e o trabalho disponível para os seus músuculo é proporcional a m. Assim, a altura h 
independe da massa do animal. Ou seja, a energia mecânica específica dos animais terrestres é de 1,5 0,7 
J/kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 10- Trabalho e Energia 
Nome:_____________________________________________________________________ 
 
 
1- Uma partícula de massa m está se movendo para esquerda com velocidade de módulo v. Quanto trabalho 
deve ser realizado sobre ela para fazê-la se mover para a direita com velocidade de módulo v? 
a) ( ) mv2/2 
b) ( ) mv2 
c) ( ) 2mv2 
d) ( ) zero 
e) ( ) 2mv 
 
2- (teorema do trabalho energia- probl. 6.27) Um carro se desloca sobre uma superfície com velocidade vo 
no momento em que os freios ficam bloqueados, de modo que os pneus deslizam em vez de rolar. Qual a 
distância mínima para o carro parar em função de vo, de g e do coeficiente de atrito cinético entre o pneu 
e o solo . 
a) ( ) d=vo
2
/ g 
b) ( ) d=2vo
2
/ g 
c) ( ) d=vo
2
/2 g 
d) ( ) d=4vo
2
/ g 
 
3- Ainda sobre o enunciado anterior, qual o fator da variação da distância mínima para o carro parar se 
coeficiente de atrito cinético for dobrado (razão entre a nova distância e a anterior) 
a) ( ) 1/4 
b) ( ) ½ 
c) ( ) 2 
d) ( ) 4 
 
4- O mesmo se a velocidade escalar for dobrada 
a) ( ) 1/4 
b) ( ) ½ 
c) ( ) 2 
d) ( ) 4 
 
5- O mesmo se tanto o atrito cinético quanto a velocidade escalar inicial forem dobrados 
a) ( ) 1/4 
b) ( ) ½ 
c) ( ) 2 
d) ( ) 4 
 
6- (potência) Uma rocha de massa m está deslizando sobre uma superfície horizontal áspera com velocidade 
inicial v e eventualmente para em função do atrito. O coeficiente de atrito cinético entre a rocha e a 
superfície é . Que potência média é produzida pelo atrito até que a rocha pare? 
a) ( ) mv2 g/2 
b) ( ) mv g/2 
c) ( ) 2mv2 g 
d) ( ) 2mv g 
 
7- (potência) Um elevador possui massa M, não incluindo a massa dos passageiros. O elevador foi projetado 
para subir com velocidade constante uma distância vertical d em um intervalo de tempo t, sendo 
impulsionado por um motor que o fornece uma potência máxima P. Qual é o número máximo de 
passageiros que o elevador pode transportar se cada passageiro possui uma massa m? 
a) ( ) P t/mgd – M/m 
b) ( ) P t/mgd + M/m 
c) ( ) P t/mgd – m/M 
d) ( ) P t/mgd + m/M 
 
 
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8- Uma única força atua sobre uma partícula em movimento retilíneo. O gráfico da velocidade desta 
partícula em função do tempo é mostrado na figura abaixo. Considerando os quatro intervalos de tempo 
tA B, tB C, tC D, tD E,respectivamente nesta ordem, a opção que diz se o trabalho realizado pela força 
sobre a partícula é positivo (+), negativo (-) ou nulo (0) é: 
 
a) a) ( ) +, 0, +, - 
b) b) ( ) +, 0, +, + 
c) c) ( ) +, +, +, - 
d) d) ( ) +, +. -. – 
e) e) ( ) +, 0, -, + 
 
 
 
 
Papai Noel e o consumo de Energia 
 
Seja Nc o número de crianças cristãs e n o número de crianças por residência, o número de chaminés que 
Papai Noel visita é Nc/n. O tempo disponível para ele para visitar cada chaminé é (em segundos) 
24 3600 (Nc/n), ou seja T=86400n/Nc s. Papai Noel não pode perder muito tempo em cada casa, porque 
ele dispõe somente de 24 horas para entregar todos os brinquedos. Por outro lado, ele não pode entregar 
rápido demais porque ele precisaria de muito combustível resultando em um gasto enorme de energia. 
Precisamos calcular o tempo gasto por chaminé que otimiza o gasto de energia. Seja t o tempo que Papai 
Noel leva para descer (ou subir) por uma chaminé. Queremos escrever o consumo de energia de Papai 
Noel em termos de t e encontrar o valor que minimiza o consumo de energia.Vamos supor, por 
simplicidade, que a única energia que Noel utiliza é a energia necessária para alcançar a sua velocidade 
final. Há dois tipos de utilização:a) para subir e descer pela chaminé e b) para ir de uma chaminé até a 
próxima. 
 
9- Se Noel tem que descer uma chaminé de altura h num tempo t, qual é a velocidade escalar média de 
subida ou descida? 
a) ( ) h/t 
b) ( ) 2h/t 
c) ( ) h/2t 
d) ( ) 0 
 
10- Sendo M a massa do Papai Noel e m a massa média de cada brinquedo, qual é a energia cinética total que 
Noel gastará para entregar os n presentes? 
a) ( ) (nm+2M)(h/t)2/2 
b) ( ) (nm+M)(h/t)2 
c) ( ) M(h/t)2/ 
d) ( ) (nm+M)(h/t)2/2 
 
Para ir de uma chaminé a outra é um pouco mais complicado.Noel começa com todos os brinquedos e 
conforme entrega, o número de brinquedos diminui. Lembrando que Nc/n é o número de casas, a energia 
total consumida para entregar todos os brinquedos é 
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22
2
22
22
222
22
1
4
2
1
2
1
2
1
1....321
2
1
2
1
...2
2
1
2
1
2
1
v
mN
M
n
N
mv
n
N
nNnN
nmvvMmN
n
N
n
N
nmvvMmN
n
N
vMmnNvMmnNvMmNK
ccc
cc
c
c
c
c
c
ccc
 
 
Dividindo pelo número de casas e fazendo Ncm >> (M + Mn/2) encontramos ~Ncmv
2
/4= (Ncm/4)[d/(T-
2t)]
2
, onde d é a distância média entre duas casas consecutivas. Assim, a energia total t, por casa é 
2
22
2
2
1
24
)(
t
h
Mnm
tT
dmNtK c
 
Derivando com respeito ao tempo, obtemos que o tempo que minimiza o consumo de energia é: 
t=T/(a+2), onde a={Ncmd
2
/[h
2
(nm+2M)]}
1/3
 
Agora, vamos adicionar alguns números: Vamos estimar o número de crianças e o número de 
casas. Há aproximadamente 1,5 bilhões de cristãos no mundo e vamos supor que somente 10% desta 
população é constituída por crianças que se comportaram bem. Assim Nc = 1,5 10
8
. Para tornar a vida de 
Noel mais fácil, vamos supor 10 crianças por cãs. Assim o número de casas é 1,5 10
7
 e T =0,00576 s. 
Para ajudar ainda mais Noel nesta tarefa difícil, vamos colocar as casas bem próximas umas da outras, 
com uma distância média de 10 m. Para cada uma, construímos uma chaminé de apenas 4m e a massa de 
Noel como M=100kg e que cada brinquedo tenha uma massa m=2kg. Isto resulta num valor a=204,26 e a 
fórmula para a energia cinética fica: K(t) = 7,5 10
9
/(0,00576-2t)
2
 + 1760/t
2
. O valor que minimiza K é 
2,79 10
-5
 s, ou 5,58 10
-5
 s por chaminé. Noel terá que cobrir 18 000 chaminés por segundo. Como isto 
não viola nenhuma lei da física, vamos aceitar! 
O mais importante é o consumo de energia. A energia gasta para descer a chaminé é (nm+M)(h/t)
2
/2 = 
1,12 10
12 
J e para subir 1,03 10
12
J. A energia para ir de uma casa a outra é 2,3 10
14
 J que é 100 vezes 
maior que as anteriores. Assim podemos desprezar a energia gasta para subir e descer as chaminés. Para 
as 15 milhões de casas, Noel precisa de 3,3 10
21
 J. Para ter uma ideia do que este número significa 
vamos comparar com o consumo mundial de energia em um ano. Em 2001 este número foi 4 10
20
 J 
incluindo uso residencial, industrial, agricultura e transporte. Noel precisa de 8 vezes este valor em um 
dia. Mas se as pessoas aceitarem que Noel utilize toda esta energia – o que significa 8 anos sem energia- 
há ainda uma destruição não intencional. A explosão ocorre porque há um grande consumo de energia em 
um tempo muito curto (P=dK/dt). O consumo de energia de Noel ao descer pela chaminé equivale a 
energia liberada por 307,5 T de TNT num intervalo de tempo de 27.9 s. Mas o perigo mesmo surge cada 
vez que Noel pousa em uma chaminé, quando ele libera uma explosão equivalente a 4 bombas de 
Hiroshima. 
 
 
Para saber mais: 
 
S. Hassini, Santa Claus and the conservation of energy, Phys. Ed. 40, 579 (2005). 
 
 
 
Comentários adicionais – aula 10 
 
Importante! 
 
Em qualquer discussão sobre trabalho, é importante ter claro que o trabalho é realizado sobre um sistema 
por uma força. Então é necessário identificar e categorizar o sistema. O sistema será sempre fechado, ou 
seja, limitado por uma superfície que envolve o sistema e o separa da sua vizinhança. 
 
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34 
 
rFW
 onde o deslocamento é sempre o deslocamento do ponto de aplicação da força. Para um 
sistema consistindo de uma única partícula ou objeto não deformável e que não gira, o deslocamento do 
ponto de aplicação d força é igual ao deslocamento do centro de massa do sistema. No entanto, para 
objetos deformáveis ou girantes, o deslocamento do CM pode ser diferente do deslocamento do ponto de 
aplicação da força. 
 
O trabalho total realizado por várias forças sobre um sistema é igual à soma dos trabalhos individuais 
realizados sobre o sistema por cada força individual. Esta definição difere a definição usual: o trabalho 
total realizado sobre o sistema é igual ao produto da força resultante sobre o sistema e o deslocamento do 
objeto quando o objeto não é perfeitamente rígido e não-deformável. 
 
Na definição de trabalho W=F. r, há duas interpretações possíveis para o deslocamento r: i) o 
deslocamento do ponto de aplicação da força ou ii) o deslocamento do CM do sistema. Para um sistema 
que consiste apenas de uma partícula ou um objeto não deformável e não girante, o deslocamento do 
ponto de aplicação da força e o deslocamento do CM são idênticos. No entanto, para sistemas 
deformáveis ou girantes, eles são diferentes. Por exemplo, considere uma força horizontal de módulo F 
que empurra um bloco de massa m por uma distância x1. O bloco está ligado a um segundo bloco idêntico 
ao primeiro por meio de uma mola de constante de força k. Enquanto o primeiro bloco se move para a 
direita uma distância x1, o segundo bloco se move para a direita uma distância x2. O CM do sistema então 
se desloca de (x1 + x2)/2. O trabalho realizado sobre o sistema é Fx1 e não F(x1+x2)/2. Como resolver esta 
inconsistência? 
 
Figura; J. W. Jewett Jr., TPT vol. 46, p.38, janeiro de 2008. 
 
 
Em um nível de partícula (sem nenhuma estrutura interna), a energia do sistema muda somente quando 
um trabalho é realizado sobre o sistema por forças externas. Assim, a variação da energia do sistema é 
dada por E= W. A energia total do sistema é a soma da energia mecânica e a energia interna (E=Emec + 
Eint). 
 
Assim, pelo método (ii), para resolver o este problema, o teorema trabalho-energia pode ser definido com 
W= F. rCM= Kcm . No caso dos blocos acima, o sistema inteiro é visto como tendo massa 2m. Assim 
F(x1+x2)/2=(2m)vCM
2
/2. Por outro lado, a equação E=W torna-se (pelo método i): F.x1=(2m)vCM
2
/2 + 
Eint,. A Energia interna (vista do CM) é dada por Eint = K1’+K2’+U = (m/2)v’1
2
 + (m/2)v’2
2
 + (k/2)(x2-
x1)
2
. Pela simetria v1
’2
 =v2
’2
=vrel
2
. Então Eint = 2(m/2)vrel
2
 + (k/2)(x2-x1)
2
. Como v1 = vcm + vrel e v2 = vcm – 
vrel, temos que Fx1 = (1/2)mv1
2
+ (1/2)mv2
2
+ (1/2) k(x2-x1)
2
. 
 
Assim, é importante saber quais forças e quais deslocamentos estão envolvidos no teorema do trabalho-
energia. Dependendo do contexto, devemos estar cientes se estamos incluindo forças internas ou externas, 
se elas são conservativas ou não. No caso de deslocamentos, há duas opções: o do C.M. ou o do ponto de 
aplicação. 
 
Primeira lei da termodinâmica 
 
E= W+ Q, onde Q é a quantidade de calor transferido ao sistema, ou seja é positivo quando entra (Q > 
0) e negativo quando sai (Q < 0) do sistema, e W é o trabalho realizado sobre o sistema. Note que a 
primeira lei da termodinâmica não pode ser derivada da dinâmica. 
 
A energia total do sistema: E = K + U + Eterm + Equim + .... 
 
 
 
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35 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: aceleração de uma caixa na presença de atrito. 
 
Como não temos como saber os deslocamentos associados com os elementos da força de atrito sobre a 
caixa, não podemos calcular o trabalho realizado pela força de atrito sobre a caixa. Podemos contornar 
esta dificuldade tomando a caixa e o piso como o nosso sistema. Para este sistema, não há nenhuma 
transferência de calor (Q = 0). O trabalho realizado sobre o sistema é devido por uma força externa F e é 
expresso por W=F xcm. A mudança na energia do sistema tem duas componentes: uma mudança na 
energia térmica interna da caixa e do piso Eterm e uma variação da energia cinética do sistema K. Assim 
 
W = E 
F xcm = Eterm + K 
Mas K= (mvcm
2
/2) 
Eterm = F xcm - (mvcm
2
/2) 
 
Em outras palavras, a mudança da energia térmica do sistema caixa-piso é igual ao trabalho externo 
realizado pela força externa sobre o sistema menos a energia cinética adquirida pelo sistema. Se o 
deslocamento é realizado a velocidade uniforme sem alterar a energia cinética, todo o trabalho realizado 
pela força externa é convertido em energia térmica, aumentando a temperatura do sistema. 
 
Exemplo 2: Empurrando uma parede em cima de um skate 
 
Neste caso, o sistema é o nosso corpo. Não hátransferência de energia, logo W = 0, porque a força 
normal não realiza trabalho. A mudança da energia é totalmente interna. Desprezando a variação da 
energia térmica do nosso corpo e considerando a energia bioquímica dos nossos músculos: E= Ebio + 
mvcm
2
/2 = 0, ou seja Ebio = -mvcm
2
/2. Ou seja, a energia bioquímica se transforma em energia cinética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
Aula 11- Conservação da Energia 
Nome:_____________________________________________________________________ 
 
1- Um tijolo é largado de uma dada altura. Um segundo tijolo, pesando o dobro do primeiro, também cai da 
mesma altura. Quando o segundo tijolo atinge o solo ele tem: 
 
a) ( ) a metade da energia cinética do primeiro; 
b) ( ) a mesma energia cinética do primeiro; 
c) ( ) o dobro da energia cinética do primeiro; 
d) ( ) quatro vezes a energia cinética do primeiro; 
 
2- Um bloco de gelo é largado do topo de um plano inclinado, enquanto um segundo bloco de gelo é largado 
de uma mesma altura. Qual o bloco que chega ao solo com maior velocidade? 
a) ( ) o que deslizou; 
b) ( ) o que caiu em queda livre; 
c) ( ) ambos; 
 
3- Um carrinho de montanha-russa sem atrito começa no ponto A, conforme a figura abaixo, com velocidade 
de módulo vo. Qual será a velocidade do carrinho no ponto B, no ponto C e no ponto D, respectivamente? 
 
a) ( ) vo, (vo
2
 - gh)
1/2
, (vo
2
 + 2gh)
1/2
 
b) ( ) vo, (vo
2
 + gh)
1/2
, (vo
2
 - 2gh)
1/2
 
c) ( ) vo, (vo
2
 + gh)
1/2
, (vo
2
 + 2gh)
1/2
 
d) ( ) 0, (vo
2
 + gh)
1/2
, (vo
2
 + 2gh)
1/2
 
 
 
4- Quando uma partícula de 4,0 kg está pendurada por uma mola de massa desprezível que obedece à lei de 
Hooke, a mola se alonga de 2,0 cm. Quando trabalho é necessário realizar por um agente externo para 
alongar a mola de 4,0 cm da sua posição de equilíbrio? 
 
a) ( ) 1,6 J 
b) ( ) 0,4 J 
c) ( ) 0,2 J 
d) ( ) 3,2 J 
e) ( ) 0,8 J 
 
5- Energia potencial gravitacional. Uma caixa vazia desliza para baixo de uma rampa, começando com uma 
velocidade inicial de módulo vo e atingindo a base com uma velocidade de módulo v e um energia 
cinética K. Alguns livros são colocados no interior da caixa de modo que sua massa fica multiplicada por 
quatro, A resistência do ar é desprezível e o coeficiente de atrito cinético é constante. Novamente 
começando com uma velocidade inicial vo no topo da rampa, qual seria sua velocidade e sua energia 
cinética na base da rampa, respectivamente? 
 
a) ( ) v, K 
b) ( ) 4v, 4K 
c) ( ) v/4, K 
d) ( ) v, 4K 
 
6- Energia potencial elástica. Uma massa m é empurrada contra uma mola horizontal de constante de força 
K sobre uma mesa de ar sem atrito. A mola é presa ao tampo da mesa, e a massa não está presa à mola. 
Quando a mola for suficientemente comprimida para armazenar uma energia potencial U, a massa é 
subitamente libertada do repouso. A maior velocidade escalar que a massa atinge e a maior aceleração da 
massa são, respectivamente: 
 
a) ( ) (U/m)1/2, [(2U/k)1/2]/m 
b) ( ) (2U/m)1/2, [(U/k)1/2]/m 
c) ( ) (2U/m)1/2, [(2U/k)1/2]/m 
d) ( ) (U/m)1/2, [(U/k)1/2]/m 
 
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf 
 
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7- Energia potencial elástica. Na questão anterior, em que instantes a velocidade e a aceleração atingem o 
seus respectivos valores máximos? 
a) ( ) a velocidade e a aceleração atingem os valores máximos assim que a massa é libertada. 
b) ( ) a velocidade e a aceleração atingem os valores máximos assim que a massa perde contato com a mola. 
c) ( ) a velocidade o valores máximo assim que a massa é libertada e a aceleração atinge o seu valor 
máximo assim que a massa perde contato com a mola. 
d) ( ) a velocidade o valores máximo assim que a massa perde contato com a mola e a aceleração atinge o 
seu valor máximo assim que a massa é libertada. 
 
8- Fazendo uma volta completa (um loop-the-loop). Um carro em um parque de diversões se desloca sem 
atrito ao longo do trilho indicado na figura abaixo. Ele parte do repouso no ponto A situado a uma altura h 
acima da base do círculo. Considere o carro como uma partícula. Qual é o menor valor de h para que o 
carro atinja o topo do círculo sem cair? 
a) ( ) R/2 
b) ( ) R 
c) ( ) (3/2)R 
d) ( ) 2R 
e) ( ) (5/2)R 
 
 
 
9- Se h=7R/2, calcule a velocidade no ponto C (altura R) 
a) ( ) (gR/2)1/2 
b) ( ) (gR)1/2 
c) ( ) (2gR)1/2 
d) ( ) (3gR/2)1/2 
e) ( ) (5gR/2)1/2 
 
10- Calcule o componente radial da aceleração no ponto C 
a) ( ) g/2 
b) ( ) g 
c) ( ) 3g/2 
d) ( ) 5g/2 
e) ( ) 2g 
 
11- Calcule o componente tangencial da aceleração no ponto C 
a) ( ) g/2 
b) ( ) g 
c) ( ) 3g/2 
d) ( ) 5g/2 
e) ( ) 2g 
 
 
 
Não vemos nem sentimos a energia. Podemos medir e sentir certos parâmetros que são relacionados à quantidade 
conhecida como energia: massa, carga, velocidade, etc... A energia é determinada pela combinação destes parâmetros 
de acordo com conjunto específico de expressões: mgh, mv2/2, mc T, qQ/4 r, etc... As fórmulas são invenções 
humanas. Ninguém levou tábuas para o topo de uma montanha de modo a ter as fórmulas inscritas por um relâmpago. 
Mas por quê as pessoas inventaram estas fórmulas? 
Cada uma destas fórmulas resultou do esforço de físicos no intuito de sintetizar, de formar uma ampla generalização 
que poderia unificar uma variedade de fenômenos sob a mesma rubrica. Muitos conceitos inicialmente distintos 
foram unificados para formar um cordão. O conceito de energia propiciou amarrar estas cordas em uma única rede. 
A formulação matemática do principio da energia resultou das necessidades dos engenheiros durante a Revolução 
Industrial. Eles precisavam de um modo de comparar a eficiência das máquinas a vapor, dos motores elétricos, dos 
animais de tração, etc... Tornou-se uma prática aceitável em engenharia comparar o resultado energético de uma 
máquina com o produto W=P.d, onde P é o peso, e esta quantidade foi batizada trabalho. O fato é : a energia foi assim 
definida porque é conservada. Mas a habilidade de realizar trabalho é conservada? Não! Não se pode transformar 
100% de calor em trabalho (Segunda Lei da Termodinâmica, espere até Física II), embora seja possível transformar 
100% de trabalho em calor (por exemplo, um bloco que se move sob a ação de forças de atrito). A conversão 
completa de calor em trabalho em um processo cíclico é impossível. Cada vez que a energia é convertida, a sua 
habilidade de realizar trabalho é perdida. Se a habilidade de realizar trabalho fosse conservada, um elevador poderia 
funcionar continuamente desde que o levássemos uma única vez ao último andar. Conforme desceria, a sua 
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf 
 
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habilidade de realizar trabalho diminuiria e esta habilidade poderia ser armazenada em outro sistema. Assim esta 
habilidade poderia ser utilizada para subir o elevador de novo até o topo. Logo, energia não é a habilidade de realizar 
trabalho! A energia é sim uma medida escalar da mudança do estado do sistema. 
 
Para saber mais: 
 
[1] R. L. Lehrman, Energy is not the ability to do work, The Phys. Teach. January (1973) p. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf