Unidade II – Cinemática das Partículas

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Física Geral I
Unidade II – Cinemática 
das Partículas
2.1 – Introdução
2.2 – Movimento Retilíneo
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2.2 – Movimento Retilíneo
2.2.1 – Posição e Deslocamento
2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
2.2.4 – Aceleração Média e Instantânea
2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
2.2.8 – Velocidade e Posição por Integração
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2.2.1 – Posição e Deslocamento
Define-se posição como a distância entre um corpo e
um marco de referência, podendo ser positiva ou negativa
de acordo com a orientação do eixo.
Fig. 2.1 – Um carro movendo-se em uma estrada demarcada. O ponto A
corrente à posição sA = 30 m e ponto B à posição sB = 50 m.
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2.2.1 – Posição e Deslocamento
Na Fig. 2.1, o deslocamento (ou variação de espaço) do
ponto A para o ponto B corresponde à diferença entre
essas posições B e A (50 – 30 = 20 m).
2.1
O instante de tempo t0 é tipicamente zero, mas pode
ser positivo ou mesmo negativo. O intervalo de tempo ∆t
não pode ser negativo.
Assim, a variação de espaço é dada por:
2.2
A variação de tempo (intervalo de tempo) é dada por:
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
A velocidade média é definida como o quociente entre
o espaço percorrido e o intervalo de tempo necessário.
2.3
EA2.1 – Não confunda velocidade média com a média de
um conjunto de velocidades (média das velocidades).
Calcule a velocidade média de um atleta ao longo de uma
pista retilínea nos seguintes casos: (a) O atleta anda 300
m com velocidade 1,50 m/s e depois corre 200 m com
velocidade de 4,00 m/s. (b) O atleta anda 4,00 min com
velocidade 1,50 m/s e corre durante 6,00 min a 4,00
m/s.
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
Sol. EA2.1 – Para o item a, temos:
300 m 200 m
1,50 m/s 4,00 m/s
Média das velocidades:
Velocidade Média:
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
Sol. EA2.1 – Para o item b, temos:
4,00 min 6,00 min
1,50 m/s 4,00 m/s
Velocidade Média:
= 240 s = 360 s
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
A velocidade instantânea é definida como o limite da
velocidade média quando o intervalo de tempo tende a
zero, isto é, pela derivada da posição com o tempo.
2.4
A equação 2.4 pode ser interpretada da seguinte forma:
a velocidade em um instante t é igual a inclinação (slope)
da reta tangente ao gráfico s-t (ou x-t) nesse instante,
como mostra a Fig. 2.2.
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
Fig. 2.2 – Quanto maior a
inclinação (positiva ou negativa)
de um corpo no gráfico x-t,
maior será sua velocidade na
direção positiva ou negativa de
x.
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
EA2.2 – O gráfico x-t de
uma partícula é apresentado
na Fig. 2.3. (a) Ordene os
valores de velocidade da
partícula nos pontos P, Q, R
e S a partir do mais positivo
para o mais negativo. (b)
Em que pontos a velocidade
é positiva, em que pontos a
é negativa e em que pontos
a velocidade é nula?
Fig. 2.3 – Gráfico x-t do
movimento de uma partícula
para análise.
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
No MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) a velocidade
instantânea é constante e a aceleração nula, assim temos:
2.5
0
EA2.3 – Um veículo percorre um trecho de rodovia plana
e reta com a função cruise (Fig. 2.4) ativada em 80 km/h.
Em t = 0 o veículo se encontra no marco 10,0 km. (a) Qual
a posição do carro após 2,0 horas? (b) Quanto tempo mais
será necessário para atingir o km 410 da rodovia?
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
Sol EA2.3 – A função cruise permite ao veículo mover-se
com velocidade constante v = 80 km/h (MRU) e sua
posição inicial é s0 = 10 km, logo:
Fig. 2.4 – Detalhe dos controles de
velocidade de cruzeiro de um veículo
japonês montado no Brasil.
item a:
item b:
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
EA2.4 – Em determinado instante um caça que voa
horizontalmente com velocidade constante v passa na
mesma vertical de um observador a uma altura h dos
ouvidos deste. Algum tempo depois, o cone de som de
abertura , produzido pelo avião, toca a cabeça do
observador. Nesse instante, qual a distância horizontal
entre o observador e o avião? Justifique com desenhos e
cálculos.
(a) h/sen (/2) (d) 2h tg ()
(b) h/cos (/2) (e) h tg (/2)
(c) h/tg (/2)
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
Sol. EA2.4 – Observando o triângulo retângulo com
vértices centrados no avião e na cabeça do observador,
temos:
dx
/2h
Fig. 2.5 – Cone de som 
de um caça 
(alternativa c)
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2.2.4 – Aceleração Média e Instantânea
A aceleração média é definida como o quociente entre
a variação de velocidade e o intervalo de tempo
necessário para este feito.
2.6
A aceleração instantânea é definida como o limite da
aceleração média quando o intervalo de tempo tende a
zero, isto é, pela derivada da velocidade no tempo.
2.7
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2.2.4 – Aceleração Média e Instantânea
Fig. 2.6 – Quanto maior a
inclinação (positiva ou negativa)
de um corpo no gráfico v-t, maior
será sua aceleração na direção
positiva ou negativa de x.
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
No MRUV (Movimento Retilíneo Uniforme Variado) a
aceleração instantânea é constante, assim temos:
2.8
0
Fig. 2.7 – Em um
gráfico v-t a área é igual
ao espaço percorrido e a
inclinação é igual à
aceleração.
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
2.9
Pela definição de velocidade instantânea, temos:
Isolando o tempo t em 2.8 e levando em 2.9, temos:
2.10
10
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
Isolando a aceleração em 2.8 e levando em 2.10, vem:
2.11
EA2.5 – O carro se move em linha reta e em um curto
intervalo de tempo com velocidade dada pela função v =
(20 + 4t) m/s (t em segundos). Seja s = 50 m em t = 0.
Obter sua posição e aceleração em t = 20 s.
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
Sol. EA2.5 – Por comparação entre equações, temos:
Como s = 50 m em t = 0, temos s0 = 50 m, logo:
A posição em t = 20 s é obtida através da equação 2.9:
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
Fig. 2.8 – Em experimentos
realizados pela USAF (Força
Aérea dos EUA) na década de
1940 e 1950, seres humanos em
um foguete trenó foram
submetidos a acelerações muito
grandes, de até 440 m/s2 (44 g).
As fotos de 1-3 ao lado mostram
o físico da USAF John Stapp
acelerando do repouso até 188
m/s (678 km/h) em apenas 5 s.
As fotos 4-6 mostram oefeito da
frenagem do foguete.
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
EA2.6 – Um veículo trafega com velocidade de 108 km/h
em uma estrada plana e reta quando depara com um
obstáculo à frente. O motorista demora 0,5 s entre o
instante de observação do perigo e o acionamento dos
freios. O atrito entre os pneus e a pista permite
desaceleração de 5 m/s2. (a) Qual o espaço percorrido
desde o instante de observação do obstáculo até que o
veículo pare completamente? (b) Quanto tempo após o
acionamento dos freios o veículo entra em repouso?
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
Sol. EA2.6 – Temos dois trechos: 1º é MRU e o 2º MRUV.
0,5 s
MRUV
30 m/s 30 m/s repouso
MRU
1º trecho:
2º trecho:
Sol. item b:
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
Prob2.1 – O gráfico da posição versus tempo de um trem
é o da Fig. 2.9. Construa os gráficos da velocidade versus
tempo (v-t) e da da aceleração versus tempo (a-t).
Fig. 2.9 – Gráfico do
comportamento da posição
versus tempo de um trem
movimentando-se em linha
reta.
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
Prob2.2 – O gráfico da velocidade versus tempo (v-t) de
um carro durante uma viagem ao longo de uma estrada é
mostrado na Fig. 2.10. Desenhe os gráficos da posição
versus tempo (s-t) e da da aceleração versus tempo (a-t).
Fig. 2.10 – Um carro
movendo-se em linha
reta em uma estrada.
4t
20
60 – 2t 
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
A aceleração da gravidade g varia com a altura. Para
pequenas distâncias, podemos considerar a aceleração da
gravidade constante.
O movimento de corpos em lançamento vertical ou em
queda livre aproxima-se de um MRUV com a = ±g. Ao
nível do mar a aceleração da gravidade vale g = 9,8 m/s2.
O sinal + ou – depende do sentido adotado e do tipo de
movimento, se queda livre, lançamento vertical para
baixo ou lançamento vertical para cima.
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
Para corpos em queda livre (v0 = 0), temos:
2.16
2.15
2.17
2.13
2.12
2.14
Adotando a = ±g nas equações 2.8, 2.9 e 2.10, temos:
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
EA2.7 – Uma moeda
de um euro cai da
Torre Inclinada de Pisa
livremente a partir do
repouso. Quais são
suas posições e
velocidades após 1,0 s,
2,0 s e 3,0 s de queda?
Fig. 2.11 – Gotas
de chuva em
queda livre
y +
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
Sol. EA2.7 – No instante t após a moeda cair, sua posição
y e velocidade vy são dadas por:
0 0
0
Em t = 1,0 s
abaixo da origem 
sentido negativo
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
EA2.8 – Gotas de chuva estão caindo
de uma laje em intervalos de tempo
iguais. Uma fotografia registra a
distância entre três gotas consecutivas,
como ilustra a Fig. 2.11. Determine (a)
o intervalo de tempo entre as quedas de
gotas consecutivas, (b) o espaço
percorrido, a velocidade e o tempo de
queda da gota 1 e (c) a distância entre a
gota 3 e a gota imediatamente abaixo.
Considere a origem y0 = 0 na laje e o
sentido positivo para baixo, logo a = +g.
Fig. 2.11 –
Gotas de chuva
em queda livre
y 
+
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
Sol. EA2.8 – Aplicando a eq. 2.15 entre as posições 1 e 2:
I
y 
+
t1
t
t
y1, v1
y2, v2Para o trecho entre as posições 1 e 3:
II
– :II I
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
Sol. EA2.8 – Isolando v1 na equação I, temos:
y 
+
t1
t
t
y1, v1
y2, v2
Para trecho entre a laje e a posição 1:
0
0 0
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
Sol. EA2.8 – Para o trecho entre a laje e a gota
imediatamente abaixo da gota 3, temos:
y 
+
t1
t
t
y1, v1
y2, v2
0 0
Seja d34 a distância entre as gotas 3 e 4:
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2.2.8 – Velocidade e Posição por Integração
Fig. 2.12 – Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do
seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a
velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional.
Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h
é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.
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2.2.8 – Velocidade e Posição por Integração
Fig. 2.13 – Um gráfico a-t para um
corpo com aceleração não constante.
2.18
2.19
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Referências
 Young, H. D.; Freedman, R. A.; 
University Physics, Addison-Wesley, 2012, 13th Ed.
 Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J.
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.
www.feiradeciencias.com.br
www.walter-fendt.de/ph14br/