Unidade VI – Trabalho e Energia Cinética

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6.1 – Trabalho de uma Força Constante 
6.2 – Produto Escalar 
6.3 – Trabalho de uma Força Variável 
6.4 – Energia Cinética e Trabalho 
6.5 – Potência 
Física Geral I 
Unidade VI – Trabalho e 
Energia Cinética 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 2 Física Geral I 
6.1 – Trabalho de uma Força Constante 
 O trabalho W realizado em um objeto por um agente 
exercendo uma força constante sobre o mesmo é o 
produto da componente da força na direção do 
deslocamento e a magnitude do deslocamento. 
θcos××= dFW 6.1 O trabalho é dado em 
Joule (J) no SI (Sistema 
Internacional de unidades), 
sendo igual ao produto das 
unidade de força (Newton) e 
distância (metro). 
 1 J = 1 N.m 
Fig. 6.1 
2 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 3 Física Geral I 
6.1 – Trabalho de uma Força Constante 
Fig. 6.2 – Um corpo é deslocado 
em uma superfície horizontal 
sem atrito, a força normal n e a 
força da gravidade mg não 
realizam qualquer trabalho. A 
única força que realiza trabalho 
sobre o objeto é a força F. 
Fig. 6.3 – Uma pessoa levanta uma 
caixa de massa m de uma distância 
vertical h e depois caminha 
horizontalmente uma distância d. 
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6.1 – Trabalho de uma Força Constante 
 EA6.1 (Halliday) – Um funcionário de um hotel puxa um 
aspirador de pó com uma força de magnitude F = 50,0 N 
em um ângulo de 30° com a horizontal (Fig. 6.4). 
Calcular o trabalho realizado pela força sobre o aspirador 
de pó quando o mesmo é deslocado 3,00 m à direita. 
Fig. 6.4 
o30cos350 ××=W
θcos××= dFW
 Sol. EA6.1.: A normal e o 
p e s o n ã o r e a l i z a m 
trabalho, logo: 
 J130≅∴W
3 
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6.1 – Trabalho de uma Força Constante 
 Um halterofilista não realiza qualquer trabalho sobre 
os pesos quando os mantém em seus ombros. Se ele 
pudesse descansar a barra em seus ombros e bloquear 
seus joelhos, ele seria capaz de suportar os pesos por um 
tempo maior. Todo o trabalho é realizado quando ele 
levanta os pesos a esta altura. 
Fig. 6.5 – (a) Halterofilista realizando um arremesso, (b) ilustração do 
arremesso e (c) ilustração do arranque (movimento sem pausa). 
(a) (b) (c) 
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6.1 – Trabalho de uma Força Constante 
 EA6.2 – Estime o trabalho desenvolvido pelo iraniano 
Hossein Reza Zadeh (152 kg e 1,86 m) para o evento 
arranque, na conquista do ouro em Sidney 2000. 
Tab. 6.1 – (a) Recordes de levantamentos de pesos de duas categorias 
(105 kg e acima) nas últimas olimpíadas. 
2,29,8212 ××=×= hmgW
 Sol. EA6.2.: Supondo que no arranque o atleta levanta os 
pesos com velocidade constante, temos F = mg e d = h: 
kJ4,57 ≅∴W
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6.2 – Produto Escalar 
θcos BABA =⋅
→→
Fig. 6.6 
 O produto escalar entre 
dois vetores é dado por: 
zzyyxx BABABABA ++=⋅
→→
 
 Manipulando as quatro equações acima, temos: 
∴cos θ =
A
x
B
x
 + A
y
B
y
 + A
z
B
z
A
x
2 + A
y
2 + A
z
2 ⋅ B
x
2 + B
y
2 + B
z
2
 
A = A
x
2 + A
y
2 + A
z
2 B = B
x
2 + B
y
2 + B
z
2
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6.2 – Produto Escalar 
 Sol. EA6.3.: Os módulos dos vetores são obtidos pelo 
Teorema de Pitágoras. 
100643686 22 =+=+==
→
FF
251694)(3 22 =+=−+==
→
dd
N 10=∴F
m 5=∴d
 EA6.3 – Uma partícula move-se no plano xy com vetor 
deslocamento d = 3i – 4j m e força constante F = 6i + 8j 
N. Obtenha os módulos da força e do deslocamento, o 
trabalho realizado W = F.d (produto escalar) e o ângulo 
entre os vetores F e d. 
^ ^ ^ ^ 
5 
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6.2 – Produto Escalar 
 Cont. Sol. EA6.3.: 
^^^^^^^^^^^^
32242418)43()86( jjijjiiijijidFW ⋅−⋅+⋅−⋅=−⋅+=⋅=
→→
3218 −=W 1 0 0 1 J14−=∴W
14cos510cos −=××=⋅⋅=⋅=
→→
θθdFdFW
50
14
cos14cos50 −=⇒−=⋅ θθ
0,28)(cos 1 −=⇒ −θ o106,26=∴θ
F 
d 
 Como a força se opõe ao movimento 
(θ > 900), o trabalho é negativo (–14 J). 
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6.3 – Trabalho de uma Força Variável 
 O trabalho realizado pela 
componente Fx da força variável 
(Fig. 6.7a) para um pequeno 
deslocamento Δx é Fx Δx (igual à 
área do retângulo sombreado). 
 O trabalho total realizado para 
o deslocamento de xi até xf é 
aproximadamente igual à soma 
das áreas de todos os retângulos. 
 O trabalho total realizado pela 
componente Fx da força variável 
quando a partícula se move de xi 
até xf é exatamente igual à área 
sob a curva da Fig. 6.7b. 
W = F
xxi
x f∫ dx 6.2 
Fig. 6.7 
(a) 
(b) 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 11 Física Geral I 
6.3 – Trabalho de uma Força Variável 
 EA6.4 – A força que age 
sobre uma partícula varia 
com x, como na Fig. 6.8. 
Qual o trabalho realizado 
quando a partícula se 
move de x = 0 a 6,0 m? 
 Sol. EA6.4.: O trabalho realizado pela força é igual à área 
sob a curva de xA = 0 até xC = 6,0 m. Esta área é igual à 
área da seção retangular de A até B mais a área da seção 
triangular de B até C. 
 J20,0N) m)(5,0 (4,0 ==ABW
 J5,0N)/2 m)(5,0 (2,0 ==BCW
 J25,0=+=∴ BCABAC WWW
Fig. 6.8 
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6.3 – Trabalho de uma Força Variável 
 A força Fs exercida por uma 
mola em um bloco varia com o 
deslocamento x a partir da 
posição de equilíbrio x = 0. 
(a) Quando x é positivo a mola 
está esticada e sua a força é 
negativa (para a esquerda). 
(b) Quando x = 0, a mola 
ex ibe seu compr imento 
natural e sua força é zero. 
(c) Quando x é negativo a 
mola está comprimida e sua 
força é positiva (p/ a direita). 
(b) 
(c) 
Fig. 6.9 
(a) 
kxFs −= 6.3 (Lei de Hooke) 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 13 Física Geral I 
6.3 – Trabalho de uma Força Variável 
 EA6.5 – Obter uma expressão para o trabalho realizado 
por uma força Fapp ao esticar uma mola de constante 
elástica k da posição de equilíbrio xi = 0 até xf = xmax. 
 Sol. EA6.6.: Supondo que a mola é comprimida com 
velocidade constante, temos Fapp = – Fs = kx. A equação 
6.7 permite escrever: 
2
2
max
F
kx
W
app
=∴ 6.4 
Fig. 6.10 
∫∫ ==
maxf
i
app
xx
x
appF dxkxdxFW
0
 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 14 Física Geral I 
6.3 – Trabalho de uma Força Variável 
 Uma técnica usada para 
medir a constante elástica k da 
mola é ilustrada na Fig. 6.11. 
Um corpo de massa m é fixado 
à extremidade livre da mola e 
observado a deformação d na 
situação de equilíbrio. 
dmgkmgkdFs /=⇒== Fig. 6.11 
 Como exemplo, para m = 550 g e d = 2,0 cm, temos: 
m 0,02
)m/s 9,8(kg) 0,55( 2×=k N/m 2700=∴k
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6.4 – Energia Cinética e Trabalho 
 Para uma partícula passando 
por um deslocamento d e uma 
mudança na velocidade sob a 
ação de uma força constante 
líquida ΣF, temos: 
Fig. 6.12 
 
 Para o MRUV: 
tvv
t
vv
mW if
if )(
2
1 +×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=∑
( ) dmadFW )(== ∑∑ I 
tvvd fi ) + (2
1= II 
t
vv
a if
−
= III 
 
 Substituindo II e III em I, temos: 
22
2
1
2
1
if mvmvW −=∑ 6.5 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 16 Física Geral I 
6.4 – Energia Cinética e Trabalho 
 A quantidade K = mv2/2 representa a energia associada 
com o movimento da partícula (energia cinética). Assim, a 
equação 6.5 pode ser reescrita como: 
KKKW if Δ=−=∑ 6.6 
 O trabalho líquido realizado em 
corpo por um conjunto de forças é 
iguala variação da energia cinética 
adquirida pelo corpo (Teorema da 
Energia Cinética). 
Fig. 6.13 – O martelo em movimento tem 
energia cinética e, assim, pode realizar 
trabalho sobre o prego. 
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6.4 – Energia Cinética e Trabalho 
Tab. 6.2 – Energia cinética para vários objetos. 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 18 Física Geral I 
6.4 – Energia Cinética e Trabalho 
 Para um corpo deslizando uma distância d em uma 
superfície horizontal com força atrito cinético fk, temos: 
Fig. 6.14 – Um livro ao deslizar para a direita sobre uma superfície 
horizontal diminui sua velocidade na presença de uma força de atrito 
cinético agindo para a esquerda. A velocidade inicial do livro é vi, e 
sua velocidade final é vf. A força normal e a força de gravidade não são 
incluídos no diagrama porque são perpendiculares à direção do 
movimento e, portanto, não influenciam a velocidade livro. 
ifk KKdfW −=−∑ 6.7 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 19 Física Geral I 
 EA6.6 (Halliday): Um bloco de 6,0 kg inicialmente em 
repouso é puxado para a direita ao longo de uma 
superfície horizontal sem atrito por uma força constante 
horizontal de 12 N. Determine a velocidade do bloco 
após ter movido 3,0 m. 
 Sol. EA6.6.: 
 J36312 =×== FdW
0
2
1 2 −=−= fif mvKKW
6
3622 ×==
m
W
v f
m/s 3,512 ≅=∴ fv
Fig. 6.15 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 20 Física Geral I 
 EA6.7 (Halliday): Encontre a velocidade e a aceleração 
do bloco descrito no problema anterior se a superfície 
possui um coeficiente de atrito cinético de 0,16. 
 Sol. EA6.7.: 
f
k
= µ
k
n = µ
k
mg = 0,15 × 6 × 9,8 = 8,82 N
Fig. 6.16 W∑ − fkd = K f − Ki
36 − 8,82 × 3 = 1
2
6v
f
2 − 0
m/s 1,8=∴ fv
W∑ = Fd cosθ =12 × 3 × cos0o = 36 J
a =
F − f
k
m
= 12 − 8,82
6
= 0,54 m/s2
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 21 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 Se uma força externa é aplicada a um objeto (admitido 
como partícula) e o trabalho realizado por essa força no 
intervalo de tempo Δt é W, então a potência média 
desenvolvida durante este intervalo de tempo é: 
t
W
P
Δ
= 6.8 
 
 A potência pode ser interpretada 
como a taxa da variação de energia. 
 A potência instantânea é dada por: 
dt
dW
t
W
PP
tt
=
Δ
==
→Δ→Δ 00
limlim vF
dt
sd
F
dt
dW
P ⋅=⋅== 6.9 
 
 No SI a potência é dada em joules por segundo (J/s), 
também chamado watt (W). 32/smkg 1 J/s1W 1 ⋅==
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 22 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 Outras duas unidades de potência associadas a motores. 
 
 Horsepower: 
 
 Cavalo Vapor: 
1 hp ≅ 745,7 W
Modelo Potência Rotação Máximo 
Uno Vivace 1.0 73 cv 6250 rpm 153 km/h 
Honda Civic 2.0 155 cv 6300 rpm 210 km/h 
Camaro SS 6.2 V8 406 cv 5900 rpm 250 km/h 
Ferrari F1 13 – 2.4 V8 750 cv 18000 rpm 380 km/h 
Bugatti Veyron 8.0 W16 1200 cv 6000 rpm 407 km/h 
1 cv ≅ 735,5 W
Tab. 6.3 – Potência, rotação e velocidade máxima de alguns veículos. 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 23 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 
 EA6.8 (Halliday): Um elevador de massa 1000 kg 
transporta passageiros com massa combinada de 800 kg. 
Uma força de atrito constante de 4000 N retarda seu 
movimento para cima, como mostra a Fig. 6.17. Qual 
deve ser a potência mínima entregue pelo motor para 
levantar a cabine e passageiros a uma velocidade 
constante de 3,0 m/s? 
 
 Uma unidade de energia (ou trabalho) pode ser definida 
em termos da potência, como é o caso do kilowatt hora 
(kWh): 
 J103,6s 3600 W 10kWh 1 63 ×=×=
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 24 Física Geral I 
 So l . EA6.8 . : Como a 
velocidade de ascensão é 
constante, temos: 
Fig. 6.17 
0=−−=∑ MgfTFy
9,818004000 ×+=+=⇒ MgfT
N 102,16 4×=∴T
 A potência do motor pode 
ser obtida pela equação 6.14: 
TvTvvTP ==⋅= o0cos
m/s 3N 102,16 4 ××=P
hp 86,86 = W 106,48 4×=∴P
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 25 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 EA6.9 (Halliday): Que potência mínima o motor do 
problema anterior deve fornecer no instante em que a 
velocidade do elevador é v e sua aceleração de 1,0 m/s2 
para cima? Obter o resultado em função de v. 
 Sol. EA6.9.: Nesta situação é esperado um valor maior 
para a potência do motor. 
yy MaMgfTF =−−=∑
)( gaMfMgMafT yy ++=++=⇒
N 102,34 4×=∴T9,8)(1,018004000 +×+=⇒T
hp )(31,37 = W )102,34( 4 vvTvP ×==∴
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 26 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 Em um automóvel, cerca de 67% da energia disponível 
a partir do combustível é perdida no motor e acaba na 
atmosfera, parte através dos sistemas de escape e de 
arrefecimento (lei fundamental da termodinâmica.) 
 Cerca de 10% da energia disponível é perdida para o 
atrito na transmissão (rodas, eixo, rolamentos e 
diferenciais). Atrito em outras partes móveis dissipa cerca 
de 6%, e 4% é usada para operar as bombas de 
combustível e óleo e acessórios (direção hidráulica e ar 
condicionado). Apenas 13% da energia fica disponível 
para a propulsão do automóvel! Esta energia é utilizada 
principalmente para o equilíbrio da perda de energia 
devido ao atrito dos pneus e o atrito causado pelo ar, o 
que é mais comumente referido como a resistência do ar. 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 27 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 A força de resistência do ar é equacionada por: 
 
 
onde D é o coeficiente de arrasto, ρ é a densidade do ar, 
A é a área da seção transversal do objeto e v a velocidade. 
2/2AvDfa ρ= 6.10 
Tab. 6.4 – Forças de atrito e requerimento de potência para um carro. 
@ D = 0,5; ρ = 1,293 kg/m3 é A ≈ 2,0 m2 
+ = 
+ = 
+ = 
+ = 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 28 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 EA6.10 (Halliday): Um carro compacto tem uma massa 
de 800 kg, e sua eficiência é avaliada em 18%. (Isto é, 
18% da energia do combustível disponível é entregue para 
as rodas.) Encontre a quantidade de gasolina usada para 
acelerar o carro do repouso até 27 m/s (97,2 km/h). Use o 
fato de que a energia equivalente a 1 galão de gasolina 
(3,785 litros) é de 1,3 x 108 J. 
 Sol. EA6.12.: A energia requerida é cinética, logo: 
 J102,9
2
27800
2
5
22
×=×== mvK
 J/galão)101,3( %18
 J102,9
#
8
5
×
×=galões
0,013# =∴ galões
0,049# =∴ litros
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 29 Física Geral I 
6.5 – Potência 
 EA6.11 (Halliday): Suponha que o carro compacto do 
problema anterior possui autonomia de 35 milhas/galão 
(14,8 km/litro) à velocidade de 60 milhas/h (96 km/h). 
Quanta potência é entregue às rodas? 
 Sol. EA6.11.: Galões queimados por hora é obtido por: 
gal/h 1,7
mi/gal 35
mi/h 60 =
 J/gal)101,3(gal/h) 1,7( 8××=P
kW 11kW) (62 18% ==∴ rodasP
)s/h 3600 (÷
kW 62 J/s62000 ==P
 J/h102,2 8×=P
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 30 Física Geral I 
Problemas 
 Prob6.1 (P19 Halliday): Quando uma massa de 4,00 kg 
está pendurada verticalmente sobre uma certa mola leve 
que obedece a lei de Hooke, a mola se estende 2,50 cm. 
(a) Se a massa 4,00 kg é substituída por outra de 1,50 kg, 
qual o alongamento da mola? (b) Quanto trabalho deve ser 
realizado para esticar a extremidade da mola de 4,00 cm 
em relação à sua posição de esforço nulo? [(a) 0,938 cm (b) 1,25 J] 
 Prob6.2 (P21 Halliday): Um vagão de carga de 6000 kg 
desliza ao longo de trilhos com atrito insignificante. O 
vagão é colocado em repouso por uma combinação de 
duas molas helicoidais (Fig. 6.18). Ambas as molas 
obedecemà lei de Hooke com constantes elásticas k1 = 
1600 N/m e k2 = 3400 N/m, respectivamente. 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 31 Física Geral I 
Problemas 
 Cont. Prob6.2 (P21 Halliday):. Após a primeira mola 
comprimir uma distância de 30,0 cm, a segunda mola 
(agindo em conjunto com a primeira) aumenta a força de 
compressão de modo adicional, como mostrado no 
gráfico. Se o vagão entra em repouso 50,0 cm após tocar a 
primeira mola do sistema formado pelas duas molas, 
encontrar a velocidade inicial do vagão. [0,299 m/s] 
! !
Fig. 6.18 – Prob. 6.2 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 32 Física Geral I 
Problemas 
 Prob6.3 (P35 Halliday): Uma caixa de 10,0 kg em um 
plano inclinado é puxada para cima por uma corda com 
velocidade inicial de 1,50 m/s. A força de tração é de 100 
N paralela ao plano inclinado de 20,0° com a horizontal. O 
coeficiente de atrito cinético é 0,400, e a caixa é puxada 
5,00 m ao longo do plano. (a) Quanto trabalho é realizado 
pela gravidade? (b) Quanta energia se perde por causa do 
atrito? (c) Quanto trabalho é feito pelos 100 N de força? 
(d) Qual é a variação da energia cinética da caixa? (e) Qual 
a velocidade da caixa após ter sido puxada 5,00 m? 
[(a) –168 J (b) –184 J (c) 500 J (d) 148 J (e) 5,64 m/s] 
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15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 33 Física Geral I 
Problemas 
 Prob6.4 (P43 Halliday): Um fuzileiro naval com peso de 
700 N na formação básica sobe uma corda vertical de 10,0 
m a velocidade constante em 8,00 s. Qual é a sua 
potência desenvolvida? [875 W] 
 
 Prob6.5 (P47 Halliday): Um elevador de 650 kg parte do 
repouso. Ele se move para cima durante 3,00 s com 
aceleração constante até atingir a sua velocidade de 
cruzeiro de 1,75 m/s. (a) Qual é a potência média do 
motor do elevador durante este período? (b) Esta potência 
corresponde a que percentual da potência quando o 
elevador se move com sua velocidade de cruzeiro? 
[(a) 5905,5 W (b) 53,0% de 11147,5 W] 
15/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 34 Física Geral I 
Referências Bibliográficas 
v Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. 
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.