Unidade VIII – Momento Linear e Colisões

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8.1 – Momento Linear e sua Conservação
8.2 – Impulso e Momento Linear
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
8.4 – Coeficiente de Restituição em Colisões
8.5 – Colisões em duas dimensões
8.6 – Centro de Massa
8.7 – Movimento de um Sistema de Partículas
Unidade VIII – Momento 
Linear e Colisões
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 2Física Geral I
Os efeitos causados pelo lançamento de uma bola de
tênis e uma esfera de aço maciço (ambas de mesmo raio)
em uma vidraça são visivelmente diferentes, embora as
mesmas tenham sido lançadas com a mesma velocidade.
8.1 – Momento Linear e sua Conservação
Da mesma forma, bolas de tênis idênticas lançadas
com velocidades diferentes também podem produzir
efeitos diferentes em vidraças idênticas.
A criação de uma grandeza física definida pelo produto
da massa de um corpo pela sua velocidade, para
caracterizar a quantidade de movimento desse corpo, é de
grande importância para o estudo de colisões.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 3Física Geral I
8.1 – Momento Linear e sua Conservação
8.1
A taxa de variação do momento linear de um corpo no
tempo é igual à força resultante que atua nesse corpo.
8.2
O momento linear (ou quantidade de movimento) de
um corpo de massa m se movendo com velocidade v é
definido como o produto de sua massa e velocidade.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 4Física Geral I
Fig. 8.1 – Astronauta
lançando seu uniforme
para mover-se no sentido
oposto.
Na interação de dois ou mais corpos em um sistema
isolado, o momento linear do sistema fica inalterado.
8.1 – Momento Linear e sua Conservação
EA8.1 – Um astronauta (70,0 kg) lança seu uniforme de
1,0 kg com velocidade de 20 m/s para a direita. Qual sua
velocidade após o lançamento?
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 5Física Geral I
8.1 – Momento Linear e sua Conservação
Sol. EA8.1 – Como o sistema composto por astronauta +
uniforme está livre de forças externas, logo o momento
linear é permanece constante:
0 0
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 6Física Geral I
O impulso de uma força F atuando em um corpo é igual
à variação do momento linear causado pela força.
8.2 – Impulso e Momento Linear
EA8.2 – Uma bola de golf de 50,0 g é lançada após
tacada certeira (Fig. 8.2a). A força exercida pelo taco na
bola varia de zero, no instante antes do contato, até um
valor máximo (bola deformada – Fig. 8.2b) e então retorna
a zero (perda de contato do taco com a bola). A Fig. 8.3
exibe o gráfico qualitativo da força x tempo. Se a duração
da colisão é 1,0 ms e o alcance de 200 m. Estime (a) o
módulo do impulso e (b) a força média devido à colisão.
8.3
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 7Física Geral I
8.2 – Impulso e Momento Linear
Fig. 8.2 – (a) Fotografia estroboscópica dos
movimentos do taco e da bola e (b) instante em que
o momento linear do taco é transferido para a bola.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 8Física Geral I
Sol. EA8.2.: A velocidade da bola após a colisão pode ser
obtida através da fórmula do alcance no lançamento
oblíquo:
8.2 – Impulso e Momento Linear
Fig. 8.3 – Força exercida 
pelo taco na bola de golfe. 8.4
Obs.: A força média exercida pelo
taco na bola equivale à altura do
retângulo (Fig. 8.3) que possui a
mesma área (impulso) delimitada
pela curva e o eixo t.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 9Física Geral I
8.2 – Impulso e Momento Linear
Cont. Sol. EA8.2.: Deve-se observar que o ângulo de
lançamento considerado (45º) é aquele que produz o
maior alcance (objetivo do jogo), logo:
O módulo impulso é portanto:
A força média aplicada à bola de golf é dada por:
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 10Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
O momento linear total de um sistema isolado é
constante antes e após qualquer tipo de colisão.
Colisão Perfeitamente Inelástica: energia cinética não
é conservada. Para colisão frontal de dois corpos, temos:
8.5
8.6
EA8.3 – Um corpo com velocidade horizontal 10 m/s
colide de forma frontal e perfeitamente inelástica com
outro corpo de massa idêntica, inicialmente em repouso.
Qual a velocidade do conjunto após a colisão?
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 11Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Sol. EA8.3.: Colisão perfeitamente inelástica (Eq. 8.6):
Conclusão: Em colisões frontais
perfeitamente inelásticas de dois corpos de
massas iguais com um destes em repouso, a
velocidade inicial não nula é dividida
igualmente entre os dois corpos após a
colisão.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 12Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Colisão Elástica: energia cinética também é conservada.
Para colisão frontal de dois corpos, temos:
8.7
8.8
Do sistema composto pelas equações 8.7 e 8.8, vem:
8.10
8.9
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 13Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Para o caso particular de colisão elástica de dois corpos
em uma dimensão em que o segundo corpo encontra-se
inicialmente parado (v2i = 0), temos:
8.11
8.12
EA8.4 – Um corpo com velocidade horizontal 10 m/s
colide de forma frontal e elástica com outro corpo de
massa idêntica, inicialmente em repouso. Qual a
velocidade de cada corpo após a colisão?
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 14Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
0
Sol. EA8.4.: Temos colisão elástica com v2i = 0, o que
permite utilizarmos as equações 8.11 e 8.12.
Conclusão: Em colisões frontais elásticas de
dois corpos de mesma massa com um destes
em repouso, as velocidades dos corpos são
trocadas após a colisão.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 15Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
EA8.5 – O engenhoso objeto apresentado na Fig. 8.4
(Berço de Newton) é composto por 5 esferas de mesma
massa que colidem quase elasticamente. Analise se a
situação (c) pode ocorrer após a colisão.
Fig. 8.4 – Berço
de Newton
ilustrando a
conservação do
momento linear
e da energia
cinética.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 16Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
EA8.6 – O pêndulo balístico (Fig. 8.5) é um sistema usado
para medir a velocidade de um projétil veloz por meio de
uma colisão perfeitamente inelástica com um corpo de
prova em repouso, seguida de deslocamento vertical do
sistema. Qual a expressão para o cálculo da velocidade do
projétil (v1i) em função de m1, m2, g e h?
Fig. 8.5 –
Pêndulo balístico
para medida de
velocidade de
projéteis.
Sol. EA8.6.: Para a
colisão inelástica.
I
0
9
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 17Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Sol. EA8.6.: Considerando o sistema conservativo, a lei
da conservação da energia mecânica permite afirmar que
a energia cinética após a colisão é totalmente convertida
em energia potencial gravitacional, logo:
II
Substituindo II em I, vem:
Complemento Prob8.6 – Considerando h = 5,0 cm, m1 =
5,0 g, e m2 = 1,0 kg, calcule a velocidade inicial do
projétil e perda de energia mecânica na colisão.
8.13
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 18Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Sol. Comp. EA8.6.:
A energia mecânica perdida é dada pela diferença entre
as energias cinéticas antes e após a colisão.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 19Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Alguns modelos de pêndulos balísticos (Fig 8.6) não
utilizam o deslocamento vertical h, mas sim o ângulo de
deflexão do pêndulo. Neste caso temos:
Fig. 8.6 –
Pêndulo Balístico
Cidepe.
Levando a equação anterior
em 8.13, temos:
8.14
h
L
L – h
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 20Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica eInelástica
Prob8.1 (Halliday) – Uma bala de 8,0 g é disparada em
um bloco de 2,5 kg inicialmente em repouso e localizado
à borda de uma mesa sem atrito de altura 1,0 m. A bala
aloja-se no bloco e após o impacto, o conjunto (bloco +
bala) percorre a distância horizontal de 2,0 m (Fig. 8.7).
Determine a velocidade inicial da bala.
Fig. 8.7 – Exemplo de
colisão inelástica de um
projétil com um bloco
seguido de lançamento
horizontal.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 21Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Prob8.2 (Halliday) – Uma bala de 5,0 g movendo-se com
velocidade inicial de 400 m/s é disparada e atravessa um
bloco de 1,0 kg (Fig. 8.8). O bloco, inicialmente em
repouso em uma superfície horizontal sem atrito é
conectado à uma mola com constante elástica 900 N/m.
Se o bloco move-se 5,0 cm para a direita após o impacto,
encontre (a) a velocidade que a bala emerge do bloco e (b)
a energia perdida na colisão.
Fig. 8.8 – Exemplo de colisão
parcialmente elástica em que parte
da energia cinética é convertida
em energia potencial elástica.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 22Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Prob8.3 (Halliday) – A partir de um funil estacionário é
despejada areia em uma esteira à razão de 5,0 kg/s (Fig.
8.9). A esteira transportadora é apoiada a rolos e se move,
devido ao atrito com estes, a uma velocidade constante
de 0,75 m/s sob ação de uma força horizontal constante
externa Fext suprida pelo motor que impulsiona a correia.
Fig. 8.9 – Exemplo de
esteira transportadora
básica aplicada em
indústrias.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 23Física Geral I
8.3 – Colisões Elástica e Inelástica
Continuação do Prob8.3 (Halliday) – Encontre (a) a taxa
de variação do momento linear da areia na direção
horizontal, (b) a força de atrito exercida pela correia na
areia, (c) a força externa Fext, (d) o trabalho realizado por
Fext em 1,0 s e (e) a energia cinética adquirida pela queda
da areia a cada segundo devido à mudança em seu
movimento horizontal. Por que as respostas dos itens (d)
e (e) são diferentes?
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 24Física Geral I
8.4 – Coeficiente de Restituição em Colisões
O coeficiente de restituição (e ou CR) em uma colisão é
um valor fracionário (entre 0 e 1) que representa a razão
entre as velocidades relativas afastamento (após a colisão)
e aproximação (antes da colisão).
8.15
Prob8.4 – Mostre que o
coeficiente de restituição das
colisões ocorridas na Fig. 8.10
é dado pela equação abaixo.
8.16
Fig. 8.10
H
h
Tipo de Colisão CR
Elástica 1
Perf. Inelástica 0
13
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 25Física Geral I
8.5 – Colisões em duas dimensões
(a) (b)
Fig. 8.11 – Colisão elástica entre dois corpos. 
Situação (a) antes da colisão e (b) após a colisão 
8.17
8.18
8.19
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 26Física Geral I
8.5 – Colisões em duas dimensões
Prob8.5 – Um carro de
1500 kg a 25 m/s leste
colide com uma van de
2500 kg a 20 m/s norte
(Fig. 8.12). Calcule a
direção e a magnitude da
velocidade após a colisão,
supondo que os veículos
seguem uma colisão
perfeitamente inelástica,
isto é, eles permanecem
juntos após a colisão.
[θ = 53,1º e vf = 15,6 m/s]
Fig. 8.12 – Colisão perfeitamente
inelástica em duas dimensões.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 27Física Geral I
8.5 – Colisões em duas dimensões
EA8.7 – Um jogador de bilhar deseja colocar a bola 2 na
caçapa como mostra a Fig. 8.13. O ângulo da caçapa é de
35º e a colisão é suposta elástica. Qual o ângulo θ de
deflexão da bola 1 após a colisão? Despreze atritos e a
inércia de rotação das bolas.
Sol. EA8.7.: Para a
colisão elástica, vem
Fig. 8.13 – Colisão elástica
em duas dimensões.
I
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 28Física Geral I
8.5 – Colisões em duas dimensões
Cont. Sol. EA8.7 – Os módulos do vetor momento linear
resultante do sistema antes e depois da colisão são iguais,
sendo que após a colisão o momento linear pode ser
obtido através da lei dos cossenos, logo:
II
Subtraindo I de II, temos:
Recalcular θ
considerando
m1 = 2m2.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 29Física Geral I
Fig. 8.15 – Uma técnica
experimental para
determinar o centro de
massa de uma chave
inglesa.
O centro de massa de um sistema se movimenta como
se toda a massa deste estivesse concentrada nesse ponto.
8.6 – Centro de Massa
Fig. 8.14 – Duas situações em
que o centro de massa sistema
encontra-se na mesma vertical
do ponto de apoio.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 30Física Geral I
8.6 – Centro de Massa
Se a força resultante externa que atua em um sistema
é Fext e a massa total do sistema é M, então o centro de
massa do sistema move-se com aceleração dada por:
8.20
Fig. 8.16 – Movimento de uma chave inglesa em uma superfície lisa. O
centro de massa da chave move-se em linha reta (ponto branco) com a
chave girando em torno desse ponto.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 31Física Geral I
Para duas partículas
de massas pontuais, como
na Fig. 8.17, o centro de
massa do sistema é:
8.6 – Centro de Massa
8.21
Ao considerarmos n partículas, temos:
8.22
Fig. 8.17 – Centro de massa
de duas partículas.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 32Física Geral I
Fig. 8.18 – Centro de massa
de um corpo extenso
8.6 – Centro de Massa
As coordenadas y e z do centro de massa são
analogamente calculadas por:
8.23 8.24
O centro de massa também pode ser localizado através
de seu vetor posição, dado por:
8.25
8.26
17
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 33Física Geral I
Fig. 8.19 – Centro de massa
de três partículas.
EA8.8 – Seja m1 = m2 = 1,0 kg, m3 = 2,0 kg e zCM = 0;
obtenha o vetor de localização do centro de massa do
sistema apresentado na Fig. 8.19.
8.6 – Centro de Massa
Sol. EA8.8:
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 34Física Geral I
EA8.9 – Uma pessoa de massa m1 = 70 kg se encontra na
popa de um pequeno barco de comprimento 3,0 m e
massa m2 = 80 kg. A proa do barco está encostada em um
peer. Após a pessoa caminhar da popa até a proa, qual sua
distância em relação ao peer? O sistema está
inicialmente em repouso e livre de forças externas.
8.6 – Centro de Massa
Sol. EA8.9:
peer
1,5 m1,5 m
xx
yy
x
y
18
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 35Física Geral I
Cont. Sol. EA8.9:
O sistema se encontra inicialmente em repouso e livre
de forças externas, logo seu centro de massa permanece
em repouso (xCM constante) para ambas as situações.
8.6 – Centro de Massa
d
peer
1,5 m1,5 m
xx
yy
x
y
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 36Física Geral I
EA8.10 – Suponha que você tranquilizou um urso polar
em uma superfície glacial macia como parte de um
esforço para pesquisa (Fig. 8.20). Como você pode estimar
a massa do urso usando uma corda e o conhecimento de
sua própria massa?
8.6 – Centro de Massa
Fig. 8.20 – Sistema pesquisador +
urso, inicialmente em repouso e
livre de forças externas.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 37Física Geral I
Sol. EA8.10:
Novamente, o sistema se encontra inicialmente em
repouso e livre de forças externas, logo o centro de massa
do sistema permanece em repouso (xCM constante).
8.6 – Centro de Massa
Sol. EA8.10:
xp
xx
yy
x
y
xb
CM
x'p x'b
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 38Física Geral I
As coordenadas do centro de massa são dadas por:
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
8.27
8.28 8.29
EA8.11 – Obtenha o centro de massa de uma barra rígida
homogênea (densidade linear de massa  constante)
localizada sobre o eixo x e com uma das extremidades na
origem, em função de seu comprimentoL e sua massa M.
O vetor posição do centro de massa
de um corpo rígido é dado por: 8.30
20
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 39Física Geral I
Sol. EA8.11.: Analisando a Fig. 8.21, vem:
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
Fig. 8.21
I
II
Substituindo II em I, temos:
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 40Física Geral I
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
EA8.12 – Obtenha o centro de massa de um triangulo
retângulo rígido homogêneo de base b e da altura c.
Sol. EA8.12: A densidade superficial de massa do
triângulo retângulo da Fig. 8.22 é:
Fig. 8.22
I II
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 41Física Geral I
III
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
Cont. Sol. EA8.12 – Subst. a equação II em I, temos:
Isolando x em II e substituindo em III, temos:
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 42Física Geral I
EA8.13: De um pedaço uniforme de chapa de aço
homogênea e triangular é recortado um retângulo, o que
resulta na forma geométrica da Fig. 8.23. Calcule as
coordenadas x e y do centro de massa da peça.
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
Fig. 8.23 – Chapa de
aço homogênea para
cálculo do centro de
massa.
Fig. 8.23 – Chapa de
aço homogênea para
cálculo do centro de
massa.
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 43Física Geral I
Sol EA8.13: Seja  a densidade de massa por área, então
a massa do triângulo antes do corte (mt) e a massa do
retângulo recortado (mr) são dadas por:
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
Centro 
de 
Massa
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 44Física Geral I
Cont. Sol EA8.12: O sinal negativo que precede mr indica
que a massa do retângulo foi retirada do triângulo.
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
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27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 45Física Geral I
Prob8.6: Um pedaço uniforme de chapa de aço é
moldado como mostra a Fig. 8.24. Calcule as
coordenadas x e y do centro de massa da peça.
8.6 – Centro de Massa (de Corpos Rígidos)
Fig. 8.24 – Chapa de aço
homogênea para cálculo do
centro de massa.
Fig. 8.24 – Chapa de aço
homogênea para cálculo do
centro de massa.
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 46Física Geral I
8.7 – Movimento de um Sistema de Partículas
Lançamento de um foguete.
(a)
(b)
Fig. 8.25 – (a) Foguete com velocidade
v (b) alcança a velocidade v + Δv após
ejetar a massa de gás Δm.
Fig. 8.25 – (a) Foguete com velocidade
v (b) alcança a velocidade v + Δv após
ejetar a massa de gás Δm.
8.31
24
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 47Física Geral I
Prob8.7: Um foguete move-se no espaço a 3,0 km/s em
relação à Terra. Seus motores são ligados, e o
combustível é ejetado em sentido contrário ao
movimento do mesmo com velocidade 5,0 km/s em
relação ao foguete.
a) Determine a velocidade do foguete em relação à Terra
quando sua massa é reduzida à metade da massa antes da
ignição.
b) Qual o percentual de redução da massa do foguete em,
relação à sua massa antes da ignição, quando o mesmo
atinge a velocidade de 10 km/s?
(vf ≅ 6,5 km/s e 75%)
8.7 – Movimento de um Sistema de Partículas
27/08/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 48Física Geral I
Referências Bibliográficas
 Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J.
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.
www.walter-fendt.de/ph14br/