Elipse

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELIPSE – CÔNICA NÃO DEGENERADA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sandi Rieger – Matrícula 15150673
 FLORIANÓPOLIS
 1ª Fase/2015
Sandi Rieger 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELIPSE – UMA CÔNICA NÃO DEGENERADA
 
 
Trabalho apresentado à Professora Thaís Muraro da disciplina Geometria Analítica do curso de Química - Licenciatura da Universidade Federal de Santa Catarina, como quesito parcial de avaliação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLORIANÓPOLIS
 1ª Fase/2015 
INTRODUÇÃO 
 
O trabalho de pesquisa elaborado objetiva apresentar melhor conhecimento concernentes à uma cônica, a elipse, onde será estudado a origem, a definição, os elementos e a equação. 
Uma cônica é a intersecção de um cone circular reto com um plano. Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone (sem passar pelo vértice), obtemos uma elipse. A elipse tem a propriedade de refletir os raios vindos de um dos focos da direção do outro foco. Este fato é usado na construção de espelhos para dentistas e escâneres.
1 ORIGEM
 
A origem pode ser dada como fazendo um corte em cone circular reto com um plano inclinado sem intersectar o vértice, como mostram os desenhos seguintes:
Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. 2ª edição. 
2 DEFINIÇÃO
 
Para definirmos a elipse, construiremos uma a partir de dois pontos, com o auxílio de um lápis, dois alfinetes e um barbante conforme a figura abaixo.
Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. 2ª edição. 
Dizemos que a distância entre os pontos F1 e F2 é 2c. Aumentamos essa distância até um outro ponto P e desenhamos a elipse. Chamaremos de 2a um número maior que a distância entre F1 e F2. A elipse é o conjunto de todos os pontos no plano, tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 é constante e igual a 2a (2a > 2c).
 Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas.php.
Então: dist (P, F1) + dist (P, F2) = 2a. 
		
3 ELEMENTOS 
De acordo com a elipse a seguir, podemos distinguir os seguintes elementos:
Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas.php.
F1 e F2 são focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c);
A1A2 é o eixo maior da elipse e sua medida é a soma que consta da definição (2a);
B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b;
O é o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de F1F2, A1A2 e B1B2); 
a excentricidade da elipse é o número e = c/a. Temos que e < 1, pois c < a.
No triângulo B2OF2 podemos notar que b2 + c2 = a2. 
4 EQUAÇÃO
Pela definição observamos que: PF1 + PF2 = A1F1 + A1F2 = A1A2 = 2a. Sendo que F1 tenha coordenadas (-c, 0), F2 tenha coordenadas (c, 0), com c > 0 e P (x, y) um ponto do plano. O ponto pertencerá à elipse se, e somente se, cumprir a condição:
|PF1| + |PF2| = 2a,
ou seja,
,
ou, 
 .
Elevando ao quadrado e simplificando, temos
.
Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos
.
Na elipse temos:
.
Substituindo na equação, obtemos:
.
Uma vez que ab ≠ 0, vem,
5 EXEMPLOS
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 
Temos que 
A equação da elipse não está na forma reduzida. Fica então: 
Portanto e 
Daí a=5 e b=4
Como , substituindo e efetuando temos que c=3.
e = c/a, e=3/5.
2 – Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8. 
2a = 12, a = 6
2b = 8, b = 4
Assim, , 
6 PROBLEMAS PROPOSTOS 7.2.4
2 – Determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade da elipse
 
O centro da elipse é o ponto (0, 0). O semi-eixo maior é b, tal que e, portanto, b = 10. Então, os vértices A1 e A2 são (0, -10) e (0, 10). O semi-eixo menor é a, tal que e, portanto, a = 6. A elipse tem eixo maior vertical, estando o foco sobre tal eixo. A distância focal c, distância de cada foco ao centro é dada por
 , c = 8 e, portanto, e = c/b, e = 0,8.
Resposta: A(0, ± 10), F(0, ±8), e = 4/5
12 – Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Centro 
C(0, 0), eixo menor mede 6, focos no eixo dos x e passa pelo ponto P.
	Os focos estão no eixo dos x, então eixo maior, horizontal.
	O semi-eixo menor é b = 6/2 = 3.
	A equação .
	Como a elipse passa pelo ponto P, temos: 
E, .
	Portanto, a equação é ou 
CONCLUSÃO 
 
Assim sendo, concluímos que através desse trabalho abrangemos o nosso conhecimento sobre elipse e ampliamos a nossa perspectiva para ir além. A princípio não tínhamos noção de toda essa informação. Como dizia Aristóteles: “ A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos”.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações. 2ª edição. São Paulo: Editora Ática, 2006.
SANTOS, Reginaldo J. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2012. 
SÓ MATEMÁTICA. Cônicas. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas.php>. Acesso em 04 jul.2015.