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1 Inferência Estatística - Estimação Camila Borelli Zeller DE/UFJF 2 Áreas da Estatística • Estatística Descritiva e Análise exploratória de dados • Probabilidade • Inferência Estatística 3 Primeiras Idéias • A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre uma população, com base nos dados de uma amostra. • Dois problemas básicos nesse processo são: – Estimação de Parâmetros – Teste de Hipóteses sobre Parâmetros 4 Parâmetros • Medidas usadas para descrever características da população. • Quantidades da população, em geral desconhecidas e sobre as quais temos interesse. – Exemplo: Considere X uma variável aleatória qualquer, então seriam parâmetros a média e a variância. 5 Estimação: Aspectos Gerais 6 Definição - Estimação • Processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacionais desconhecidos. 7 Exemplo I 8 Definição - Estimador • Uma fórmula ou função para utilizar dados amostrais com o intuito de estimar um parâmetro populacional. • Um estimador é uma variável aleatória e portanto possui uma distribuição de probabilidade. • Exemplo: Média Amostral cuja distribuição de probabilidade pode ser determinada via Teorema Central do Limite. 9 Estimador 10 Definição - Estimativa • O resultado da estimação é chamado de ESTIMATIVA (o valor assumido pelo estimador em uma particular amostra). ESTIMATIVAS PONTUAIS INTERVALARES 11 Estimação Pontual • Processo que fornece como estimativa um único valor numérico para o parâmetro de interesse. 12 Exemplos – Estimadores Pontuais 13 Motivação – Estimação Intervalar • Suponha, por exemplo, que, para estimar a renda familiar média, µ, em certa região, tomamos uma amostra aleatória de 100 famílias. • Então, a média amostral, X, é um estimador razoável de µ. Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que X flutua ao redor de µ. • Melhor do que estimar µ por meio de uma única estimativa pontual, seria bom construir uma estimativa por intervalo. 14 Motivação – Estimação Intervalar • Uma estimativa pontual por ser um único número, não fornece por si mesma qualquer informação sobre a precisão e a confiabilidade da estimativa. 15 Definição – Intervalo de Confiança • É um intervalo de valores usados para estimar o verdadeiro valor do parâmetro populacional. Menor # < parâmetro populacional < Maior # Menor #: limite inferior de confiança Maior #: limite superior de confiança Por exemplo: Menor # < µ < Maior # 16 Nível de Confiança (γ = 1 - α) • Coeficiente de confiança ou grau de confiança. • É a proporção de vezes em que o intervalo contém o verdadeiro parâmetro populacional, em uma situação hipotética em que o processo é repetido um número grande de vezes. • Valores comuns: 90% (α = 10%), 95% (α = 5%) e 99% (α = 1%). • Uma medida do grau de confiabilidade do intervalo. 17 Precisão • As informações sobre a precisão de uma estimativa intervalar são transmitidas pela sua extensão. • Amplitude do intervalo = diferença entre os extremos superior e inferior. 18 Precisão • Fixado um nível de confiança, se o intervalo resultante é bastante restrito, nosso conhecimento do valor do parâmetro será razoavelmente preciso. • Fixado um nível de confiança, se o intervalo resultante é muito amplo, há muita incerteza com relação ao valor do parâmetro. 19 Exemplo I • Intervalo com 95% de confiança para a altura média de indivíduos: – Intervalo 1: (0, 2.5) - menos preciso - menos informativo. – Intervalo 2: (1.3, 1,7) - mais preciso - mais informativo. 20 Interpretação do Intervalo de Confiança (IC) • Exemplo: 98,08 < µ < 98,32 • Correto: Estamos 95% (por exemplo) confiantes que o intervalo de 98,08 a 98,32 realmente contém o verdadeiro valor de µ. Isto significa que se construíssemos intervalos de confiança a partir de muitas amostras diferentes de mesmo tamanho, 95% (por exemplo) deles conteriam efetivamente a média populacional µ. 21 Interpretação do Intervalo de Confiança 20 amostras - 0,95 = 19/20. 22 Interpretação do Intervalo de Confiança (IC) • Exemplo: 98,08 < µ < 98,32 • Errado: Há uma chance de 95% (por exemplo) de o verdadeiro valor µ estar entre 98,08 e 98,32. • Lembrete: µ é uma constante e não uma variável aleatória!! 23 Comentários • Se um intervalo de confiança para µ foi determinado então, em essência, uma família inteira de intervalos de confiança foi determinada. • IC(µ, 100γ% ) = (a , b), onde a e b são escalares (números). • IC(µ2, 100γ% ) = (a 2 , b 2). • IC(1/µ, 100γ% ) = (1/b , 1/a).
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