1º LISTA DE EDO

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS 
Escola Normal Superior 
1º Lista de Equações Diferenciais Ordinárias- 2019/1 
1) 
a) Mostre que y
2
+ x =0 é uma solução implícita para 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
−1
2𝑦
 no intervalo 
(−∞, 3). 
 
b) Mostre que 𝑥𝑦3 − 𝑥𝑦3𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 é uma solução implícita para 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑥 cos 𝑥 +𝑠𝑒𝑛 𝑥 −1) 𝑦
3 (𝑥 −𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
 no intervalo de (0,
𝜋
2
 ). 
 
2) 
a) Mostre que 𝜑(𝑥) = 𝑥2 é uma solução explícita para 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑦 no intervalo 
(−∞, ∞). 
 
b) Mostre que 𝜑(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 é uma solução explícita para 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦2 = 𝑒2𝑥 +
(1 − 2𝑥)𝑒𝑥 + 𝑥2 − 1 no intervalo (−∞, ∞). 
 
 
c) Mostre que 𝜑(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥−1 é uma solução explícita para 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 2𝑦 no 
intervalo (0, ∞). 
 
 
3) Determine para quais valores de m a função 𝜑(𝑥) = 𝑥𝑚 é uma solução para a 
equação dada. 
a) 3𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 11𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0 
 
b) 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = 0 
 
4) O campo de direção para
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 𝑦 aparece na figura 1.12. 
 
a) Esboce a curva-solução que passa por(0, −2). Por esse esboço, escreva a 
equação para a solução. 
b) Esboce a curva-solução que passa por (-1,3). 
 
c) O que você pode dizer sobre a solução no item (b) quando 𝑥 → −∞ ? 
 
 
 
5) Use o método de Euler com tamanho de passo ℎ = 0,1 para aproximar a 
solução ao problema de valor inicial. 
 𝑦′ = 𝑥 − 𝑦2 , 𝑦(1) = 0 
Nos pontos 𝑥 = 1,1; 1,2; 1,3; 1,4 𝑒 1,5. 
 
6) Use o método de Euler com tamanho de passo ℎ = 0,2 para aproximar a solução 
ao problema de valor inicial 
𝑦′ =
1
𝑥
 (𝑦2 + 𝑦), 𝑦(1) = 1 
Nos pontos 𝑥 = 1,2; 1,4; 1,6 𝑒 1,8. 
 
 
Nos problemas 1-6, determine se a equação diferencial dada é separável: 
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− sin(𝑥 + 𝑦) = 0 4.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦𝑒𝑥+𝑦
𝑥2+2
 
 
2. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑦2 − 3𝑦 + 1 5.(𝑥𝑦2 + 3𝑦2)𝑑𝑦 − 2𝑥𝑑𝑥 = 0 
 
3.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑡 ln(𝑠2𝑡) + 8𝑡2 6.𝑠2 +
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑠+1
𝑠𝑡
 
 
 Nos problemas 7-16, resolva a equação. 
 
7. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3𝑥𝑡2 8. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑦3
 
9.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑦2√1+𝑥
 10. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑡
𝑥𝑒𝑡+2𝑥
 
 11.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑠𝑒𝑐2𝑦
1+𝑥2
 12.
𝑑𝑣
 𝑑𝑥
=
1−4𝑣2
3𝑣
 
13. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝑥3 = 𝑥 14. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2(1 + 𝑦2)
3
2 
 15. 𝑦−1𝑑𝑦 + 𝑦𝑒cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 0 16. (𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑒𝑥
2
𝑦𝑑𝑦 = 0 
 
 
 Nos problemas 17-21, resolva o problema de valor inicial. 
 
 17. 𝑦′ = 𝑥3(1 − 𝑦), 𝑦(0) = 3 
 
 18. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑦2)𝑡𝑔 𝑥, 𝑦(0) = √3 
 
 19. 
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= √𝑦 + 1 cos 𝑥, 𝑦(𝜋) = 0 
 
 20. 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥2−𝑥−2
(𝑥+1)(𝑦+1)
, 𝑦(1) = 1 
 
 21. 
1
𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 
𝑦 sin 𝜃
𝑦2+1
 , 𝑦(𝜋) = 1 
 
 Nos problemas 1-6, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, 
 ou ambas. 
1. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑥𝑡 = 𝑒𝑥 
2. 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ sin 𝑥 − 𝑦 = 0 
3. 3𝑡 = 𝑒𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 ln 𝑡 
4. (𝑡2 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦𝑡 − 𝑦 
5. 3𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝜃
− 𝜃3 
6. 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑡2𝑥 = sin 𝑡 
 
Nos problemas 7-14, obtenha a solução geral para a equação. 
7. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ 2𝑥 + 1 
8. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 − 𝑒3𝑥 = 0 
9. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑥−3 
10. 
𝑑𝑟
𝑑𝜃
+ 𝑟 tan 𝜃 = sec 𝜃 
11. (𝑡 + 𝑦 + 1)𝑑𝑡 − 𝑑𝑦 = 0 
12. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2𝑒−4𝑥 − 4𝑦 
13. 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 2𝑥 = 5𝑦3 
14. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3(𝑦 + 𝑥2) =
sin 𝑥
𝑥
 
 
Nos problemas de 1-8, classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma 
destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação. 
 
1. (𝑥
10
3 − 2𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 
2. (𝑥2𝑦 + 𝑥4 cos 𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑦 = 0 
3. √−2𝑦 − 𝑦2𝑑𝑥 + (3 + 2𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑦 = 0 
4. (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 
5. 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 
6. 𝑦2𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + cos 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
7. [2𝑥 + 𝑦 cos(𝑥𝑦)] 𝑑𝑥 + [𝑥 cos(𝑥𝑦) − 2𝑦]𝑑𝑦 = 0 
8. 𝜃 𝑑𝑟 + (3𝑟 − 𝜃 − 1)𝑑𝜃 = 0 
 
Nos problemas 9-14, determine se a equação é exata. Se for, então solucione- a. 
9. (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥)𝑑𝑦 + (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 
10. (2𝑥𝑦 + 3)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 
11. (cos 𝑥 cos 𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥 − (sin 𝑥 sin 𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 
12. (𝑒𝑥 sin 𝑦 − 3𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥 cos 𝑦 +
 𝑦
−2
3⁄
3
) 𝑑𝑦 = 0 
13. (
𝑡
𝑦
) 𝑑𝑦 + (1 + ln 𝑦)𝑑𝑡 = 0 
14. 𝑒𝑡(𝑦 − 𝑡)𝑑𝑡 + (1 + 𝑒𝑡)𝑑𝑦 = 0