Aula Movimento dos Fluidos - Equações de Euler

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Movimento dos Fluidos 
O movimento dos fluidos (cinemática) é utilizado para analisar os 
efeitos das forças sobre o movimento dos fluidos (dinâmica). 
A representação dos parâmetros dos fluidos em função das 
coordenadas espaciais denomina-se campo de escoamento. 
Campo é uma distribuição contínua de quantidades escalares, 
vetoriais ou tensoriais descritas por funções contínuas de 
coordenadas espaciais e do tempo. 
Uma das variáveis mais importantes dos escoamentos é o campo de 
velocidades, que é definido em coordenadas cartesianas como: 
u, v e w são as componentes do vetor velocidade nas direções x,y,z. 
Movimento dos Fluidos 
Método Euleriano: analisa o movimento dos fluidos numa descrição 
completa dos seus parâmetros (massa específica, pressão, velocidade) 
em função das coordenadas espaciais e do tempo. 
Método Lagrangiano: onde as partículas de fluidos são rotuladas 
(identificadas) e suas propriedades são determinadas acompanhando 
seu movimento. Estuda-se a posição de uma ou várias partículas em 
função do tempo. 
Descrição Euleriana Abordagem Lagrangianas 
informações 
suficientes 
Sistema Fechado: 
Movimento dos Fluidos 
As equações do movimento dos fluidos são definidas em sistemas. 
- uma quantidade fixa de massa separada do meio exterior por fronteiras; 
- O contorno do sistema denomina-se superfície de Controle, (S.C.). 
- A massa não pode atravessar as fronteiras. A energia (Calor e Trabalho) sim. 
- As fronteiras podem ser móveis ou fixas. 
Sistema Aberto (Volume de Controle - V.C.): 
- Consiste numa região fixa no espaço 
- o fluido que atravessa o volume. 
- No V.C. calor, trabalho e massa podem atravessar as fronteiras. 
Movimento dos Fluidos 
Observando o V.C. temos: 
A movimentação de uma partícula 
de fluido considerando tal sistema 
Euleriano de referência é dada por: 
onde rx, ry, rz são as componentes 
cartesianas do vetor posição nas 
direções x,y,z. 
O vetor velocidade da partícula de fluido em estudo é definida por: 
Em função do tempo tem-se: 
Movimento dos Fluidos 
Na aceleração de uma partícula tem-se: 
No tempo t +dt a partícula se 
move para uma nova posição com 
coordenadas x+dx, y+dy, z+dz : 
a variação da velocidade da 
partícula movendo-se da posição 
de para é dada por: 
u v w 
Movimento dos Fluidos - Campos 
Campos de Força, 
 de Tensões 
e de Pressão. 
Forças de superfície e Forças de campo 
agem nas superfícies do 
volume de controle 
devido à pressão e 
às tensões de 
cisalhamento 
atuam sem contato físico 
e distribuídas sobre o 
volume de controle, tais 
como forças de campo 
gravitacional e forças de 
campo eletromagnético. 
A força total agindo no volume de controle é: 
cujas componentes são dadas por: 
Campo de Forças no VC 
Campo de Forças no VC 
Forças de superfície e Forças de campo 
Se denominamos as 
forças de campo por 
unidade de massa, então 
a força de campo é dada 
por: 
onde= 
 
Quando a gravidade for a 
única força de campo : Bm = g 
 
Quando B é considerado por 
unidade de volume: 
A força de campo então será: 
Forças de Campo Gravitacional 
Campo de Tensões 
As tensões no meio contínuo são resultantes das forças que atuam no 
elemento de fluido, apresentando duas componentes, uma normal e outra 
tangencial ao elemento de área. 
Nos planos cartesianos, pode-se decompor em componentes: 
Para uma área dAx temos as tensões 
Para uma área dAy temos as tensões 
Para uma área dAz temos as tensões 
Campo de Tensões 
Desta forma o estado de tensões num ponto é determinado especificando-se as 
tensões que atuam nos três planos perpendiculares que passam pelo ponto. 
Assim, a tensão que passa por um ponto é especificada pelas suas nove componentes 
sendo denominada tensor de tensões. 
Campo de Pressão 
Considera-se um elemento de fluido diferencial de massa com 
volume d =dx dy dz 
No fluido a força de campo que atua é a força de campo gravitacional definida 
por 
As tensões de cisalhamento não podem estar presentes num fluido estático 
portanto as únicas forças de superfície devem-se às forças de pressão. 
Equação da Conservação da Massa 
O princípio da conservação da massa é definido como: 
 
 
 
ou na forma integral 
A massa dentro do V.C. a qualquer instante é produto da massa específica e o 
volume (dxdydz). Desta forma a taxa de variação da massa dentro do volume 
de controle na forma diferencial é dada por: 
a taxa de fluxo resultante através da superfície de controle é dada por: 
a equação da conservação da massa 
na forma diferencial é : 
Equação da Conservação da Massa 
No caso de escoamento incompressível 
No caso de escoamento permanente 
(todas as propriedades do fluido são independentes do tempo) 
Equação da Quantidade de Movimento 
Sabemos a equação da quantidade de movimento na sua forma integral 
onde, o operador nabla indica: