Aula Movimento dos Fluidos

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Equação da Continuidade 
Equação da Continuidade (exemplos) 
Equação da Continuidade (exemplos) 
Equação da Continuidade (exemplos) 
Equação da Continuidade (perfil de velocidade) 
Velocidade 
média 
Equação da Quantidade de Movimento 
representa a força exercida por um líquido em escoamento permanente. A formulação 
vetorial da segunda lei de newton para um V.C. não acelerado fornece a expressão da 
equação da quantidade de movimento na sua forma integral. 
Momento da Quantidade de Movimento 
Sistemas referenciais em repouso ou movendo-se com velocidade constante são 
inerciais. A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um 
volume de controle inercial é dada por: 
torques que agem sobre o 
volume de controle 
taxa de variação da quantidade de 
movimento angular do volume de controle 
(1) momento em relação à origem da 
força de superfície dFs agindo na S.C. 
 
(2) momento em relação à origem 
devido à força de campo que age 
num elemento de volume dV. 
 
(3) torque no eixo da turbomáquina. 
(4) quantidade de movimento 
angular do elemento de massa dA. A 
integração fornece o momento da 
quantidade de movimento angular da 
massa no interior do V.C. 
 
(5) taxa de fluxo da quantidade de 
movimento angular através da S.C. 
Equação da Energia – Primeira Lei da Termodinâmica 
lei de conservação da energia 
considera a energia fornecida, energia retirada e energia acumulada em um 
sistema ou volume de controle. Os tipos de energia que participam são: 
energia armazenada e energia de transição. 
Equação da Energia – Primeira Lei da Termodinâmica 
lei de conservação da energia 
(1/g) 
Equação da Energia – Primeira Lei da Termodinâmica 
lei de conservação da energia 
Equação de Bernoulli 
Hipóteses para a simplificação: 
 
 Regime permanente. 
 Sem a presença de máquina (bombas/turbinas/ventiladores). 
 Sem perdas por atrito. 
 Fluido incompressível. 
 Sem trocas de calor. 
 Propriedades uniformes nas seções. 
Equação de Bernoulli 
Exemplo: Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. 
Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é 
20cm² e a da seção (2) é 10cm². Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções 
(1) e (2) e indica o desnível mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo. 
Exemplo: Equação de Bernoulli 
Equação da Energia – Primeira Lei da Termodinâmica 
lei de conservação da energia 
na presença de um dispositivo mecânico* 
*qualquer dispositivo que quando introduzido no escoamento forneça ou retire energia 
do escoamento, na forma de trabalho. Exemplo: Bombas, Turbinas e similares. 
lei de conservação da energia 
na presença de um dispositivo mecânico 
Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 
Bomba Turbina 
fornece energia ao escoamento retira energia do escoamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lei de conservação da energia 
na presença de um dispositivo mecânico 
Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 
Exemplo: 1) Determine a potência de uma bomba com rendimento de 75% pela 
qual escoa água com uma vazão de 12 litros/s. 
 
 
lei de conservação da energia 
na presença de um dispositivo mecânico 
Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 
Exemplo: 2) O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água 
com uma vazão de 10 litros/s para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou 
uma turbina e calcule sua potência sabendo-se que η = 75% 
Exemplo: 2) O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água 
com uma vazão de 10 litros/s para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou 
uma turbina e calcule sua potência sabendo-se que η = 75% 
lei de conservação da energia 
na presença de um dispositivo mecânico 
Bombas - Instalação de Recalque 
Tubulação de sucção = tubulação antes da bomba; 
Tubulação de recalque = tubulação após a bomba. 
Exemplo: Deseja-se elevar água do reservatório A para o reservatório B. Sabe-se que 
a vazão é igual a 4litros/s. 
 
 
Determine: 
a) A velocidade da água na 
 tubulação de sucção. 
b) A velocidade da água na 
 tubulação de recalque. 
c) A potência da bomba. 
d) O tempo necessário para 
 se encher o reservatório B. 
lei de conservação da energia 
na presença de um dispositivo mecânico 
Bombas - Instalação de Recalque 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
O número de Reynolds (Re) é um número adimensional usado em mecânica dos 
fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de 
um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de 
tubulações industriais e asas de aviões. O seu significado físico é um quociente 
entre as forças de inércia e as forças de viscosidade (forças de atrito). 
Número de Reynolds 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Distribuição da Tensão de Cisalhamento em Tubos 
a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero 
na linha de centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na 
parede como e sabendo que a variação da pressão ao longo do tubo é constante. 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Distribuição da Tensão de Cisalhamento em Tubos 
a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero 
na linha de centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na 
parede como e sabendo que a variação da pressão ao longo do tubo é constante. 
queda de pressão em tubos válida para escoamento laminar ou turbulento 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Distribuição da Tensão de Cisalhamento em Tubos 
a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero 
na linha de centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na 
parede como e sabendo que a variação da pressão ao longo do tubo é constante. 
queda de pressão em tubos válida para escoamento laminar ou turbulento 
Uma pequena tensão de cisalhamento na parede pode produzir uma grande diferença de 
pressão quando a tubulação for muito longa (L/D >> 1) 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Laminar em Tubulações 
• Perfil de Velocidade 
• Vazão 
• Velocidade Média 
• Velocidade Máxima 
(para escoamento 
Laminar) 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Turbulento em Tubulações Observa-se que existe uma 
componente aleatória de 
flutuação da velocidade 
instantânea (u´). Desta forma 
a velocidade instantânea é 
dada pela soma algébrica 
velocidade média mais a 
componente de flutuação: 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Turbulento em Tubulações 
Não existe uma relação universal entre o campo de tensões e da velocidade no caso 
do escoamento turbulento. 
 
No caso do escoamento turbulento para determinar as tensões de cisalhamento 
utilizam-se teorias semi-empíricas e de dados experimentais. 
 
Neste caso a tensão de cisalhamento se expressa como sendo formada por uma 
componente laminar e outra turbulenta. 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Turbulentoem Tubulações (Perfis de Velocidade) 
Como não podemos utilizar a lei de Newton para relacionar a tensão de cisalhamento 
com o gradiente de velocidades, são adotados perfis de velocidades obtidos de 
relações empíricas, por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O termo n depende do Re. 
Também podemos utilizar a expressão: 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Turbulento em Tubulações (Perfis de Velocidade) 
perfil turbulento utilizando a expressão 
exponencial com n=6 e n=10. 
 
 
Os perfis turbulentos são muito mais 
“achatados” que os laminares. O 
achatamento aumenta com o número de 
Reynolds, isto é, com o aumento de n. 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Turbulento em Tubulações (Perfis de Velocidade) 
perfil turbulento utilizando a expressão 
exponencial com n=6 e n=10. 
 
 
Os perfis turbulentos são muito mais 
“achatados” que os laminares. O 
achatamento aumenta com o número de 
Reynolds, isto é, com o aumento de n. 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Turbulento em Tubulações 
(Distribuição da Velocidade Considerando Fator de Atrito) 
O fator de atrito ( f ) pode ser determinado para escoamentos em regime 
laminar e turbulento. 
 
O expoente n pode ser determinado no caso de escoamento turbulento como: 
No caso de escoamento turbulento podemos também utilizar a seguinte 
expressão para determinar o perfil de velocidades em função do fator de 
atrito ( f ). 
 A velocidade máxima é dada como: 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
Perda de Carga PRINCIPAL 
 
 
 
HA representa a energia adicionada, 
HR, representa a energia retirada do sistema 
hLT representa a dissipação de energia. 
 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
 
 
Perda de Pressão ou de Carga Principal: (hL) 
 Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da 
tubulação com área constante. 
Perda de Carga Secundária - (hac) 
 Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, 
registros e em porções do sistema de área variável tais como saídas de 
reservatórios, bocais convergentes e divergentes. 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
Perda de Carga PRINCIPAL 
 
 
 
...na ausência de máquinas 
 
ou simplesmente, por pressão 
 
 
 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
 
 
No caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de 
pressão é função das seguintes variáveis: 
fator de atrito determina-se 
experimentalmente. Utiliza-se 
o Diagrama de Moody. 
Resolução 
analítica 
Ou seja, Regime Laminar 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
 
 
 
 No escoamento turbulento, a dissipação de energia é causada pela rugosidade e 
pela viscosidade 
 Determinação do coeficiente de atrito f : 
 
 
 









f
D
f Re
51,2
7,3
log0,2
1 Equação de Colebrook 
Cálculos iterativos 
 
 Para simplificar, fórmula explícita em relação à f: 
 
 
 
 
 
 Que conduz ao diagrama de Moody (incerteza de até 15%) 
 
 
 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
fator de atrito determina-se 
experimentalmente. Utiliza-se 
o Diagrama de Moody. 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Diagrama de Moody 
 
 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Diagrama de Moody 
 
 
Exemplo: 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
Perda de Carga SECUNDÁRIA ou LOCALIZADA 
 
 
 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
Perda de Carga SECUNDÁRIA ou LOCALIZADA 
 
 
 As perdas de carga localizadas podem ser expressas em termos de energia cinética 
(V²/2g) do escoamento. Assim a expressão geral: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
k=coeficiente de perda de carga singular, cujo valor pode ser determinado 
experimentalmente 
 
g
V
kh
2
2

Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
Perda de Carga SECUNDÁRIA ou LOCALIZADA 
 
 
 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Equação de Energia com Velocidade Média 
Perda de Carga SECUNDÁRIA ou LOCALIZADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1- Considere um conduto com 100 m de comprimento, 
diâmetro de 0,1 m e rugosidade de 2mm que transporta 
água a uma vazão de 15 l/s à 20° C. Determine a perda de 
carga do escoamento no conduto. 
 
 
 
 
020,0D
No diagrama de Moody: 
Cálculo pela equação universal da perda de carga e 
diagrama de Moody: 

 DVDV ...
Re  190642Re 
100.000 1.000.000 
200.000 
f=0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
m
g
V
30,9
2D
L
fh
2

Cálculo pela equação universal da perda de carga e 
diagrama de Moody: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
Cálculo pela equação universal da perda de carga e f 
determinado pela equação de Colebrook 









f
D
f Re
51,2
7,3
log0,2
1 
0488,0f
m
g
V
08,9
2D
L
fh
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
Cálculo pela equação universal da perda de carga e f 
determinado pela equação explícita 
049,0f
m
g
V
11,9
2D
L
fh
2

2
9,0Re
74,5
7,3
log
25,0














D
f

Escoamento Viscoso Interno - Tensões e Perda de Carga 
Diâmetro hidráulico