Apostila Algebra Combinação Linear

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Faculdade Independente do Nordeste
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001.
	CURSO DE ENGENHARIA DA PRODUÇÃO
	Componente Curricular: ÁLGEBRA LINEAR 
	Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
	Aluno(a): 
Combinação linear
Seja um espaço vetorial sobre . Sejam vetores de . Qualquer vetor em da forma , onde é chamado uma combinação linear de . 
Espaço vetorial finitamente gerado
Seja um subconjunto de . O conjunto de todas essas combinações lineares, denotado como é chamado espaço gerado por ou subespaço gerado por . De modo geral, para qualquer subconjunto de , [S] consiste de todas as combinações lineares de vetores em . Se é vazio, [S] = 0.
Teorema: Seja um subconjunto de um espaço vetorial .
Então [S] é um subespaço de .
Se é um subespaço de que contém , então [S] C W.
Por outro lado, dado um espaço vetorial , diz-se que os vetores geram , ou formam um conjunto gerador de , se existem escalares tais que , isto é, se é uma combinação linear dos , .
Dependência linear
	Seja um espaço vetorial sobre .
Definição 1: Dizemos que um conjunto é linearmente independente (LI) se, e somente se, existem escalares (não nulos) tais que a equação admita apenas a solução trivial .
Definição 2: Dizemos que um conjunto é linearmente dependente (LD) se, e somente se, não é LI, ou seja, é possível uma igualdade do tipo 
sem que os escalares sejam todos nulos.
	Por convenção o conjunto vazio é LI.
Propriedades da dependência linear
P1: Se um conjunto finito contém o vetor nulo, então esse conjunto é LD.
P2: Se e , então é LI.
P3: Se é LD, então um de seus vetores é combinação linear dos outros.
P4: Se e são subconjuntos finitos e não vazios de , se e é LD, então também é LD.
P5: Se e são subconjuntos finitos e não vazios de , se e é LI, então também é LI.
Base
Definição: Um conjunto de vetores de será uma base de se:
i) é LI;
ii) .
Proposições:
1) Sejam vetores não nulos que geram um espaço vetorial . Então, dentre estes vetores podemos extrair uma base de .
2) Seja um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores . Então, qualquer conjunto com mais de vetores é necessariamente LD e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo vetores.
3) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de , e denotado por .
Como encontrar base e dimensão de um subespaço gerado pelo conjunto ?
_ Transforme o conjunto em matriz;
_ Escalone;
A base do subespaço é formada pelas linhas não nulas da matriz escalonada e a dimensão é o número de linhas não nulas.
4) Se e são subespaços de um espaço vetorial que tem dimensão finita, então
 e .
Além disso,
.
Exercícios
Escreva o vetor w = (2,7) R2 como Combinação linear dos vetores u=(1, 2) e v=(1, -1) de R2.
Considere os vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (0, 1, 1) R3.
Verifique se o vetor v = (2, -1, -3) é uma combinação linear dos vetores v1 e v2 .
Verifique se o vetor v = (0, 2, 1) é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
Que condições devem ser satisfeitas para que um vetor de coordenadas (x, y, z) R3 possa ser escrito como combinação linear de v1 e v2?
Determine um conjunto de geradores para o subespaço vetorial, tais que 
W = {(x, y, z) R3; x = 3z e x – y = 0}
Determine um conjunto de geradores para o subespaço vetorial tais que
 W = {(x, y, z) R3; x + 2z = 0}
Verifique se (3, 9, -4, -2) é combinação linear dos vetores (1, -2, 0, 3), (2, 3, 0, -1) e (2, -1, 2, 1).
Encontre o espaço gerado pelos vetores (1,0) e (0,1).
Determine o subespaço gerado por S = {(1, 0, 0), (1, 1, 0)}.
Mostrar que os dois conjuntos de vetores {(1, -1, 2), (3, 0 1)} e {(-1, -2, 3), (3, 3, -4) geram um mesmo subespaço vetorial em R3.
Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
L = (-1, 1, 0), (1, 3, -1) e (5, 3, 12).
L = {1, x, -1, x2 + 2x + 1, x2 }
Determine m e n para que o conjunto abaixo sejam LI:
L1 = {(3, 5 – m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)}
Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores u = (1, 1, 1), w = (1, 2, 3) e s = (2, -1, 1).
Para qual valor de k será o vetor u = (1, -2, k) R³ uma combinação linear dos vetores v = (3, 0 –2) e w = (2, -1, -5)?
Escreva o polinômio v = t² + 4t – 3 sobre R como combinação linear dos polinômios 
u = t² - 2t + 5, w = 2t² - 2t e s = t + 3.
Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram R³.
Encontre condições sobre a, b e c de modo que (a, b, c) R³ pertença ao subspaço gerado por u = (2, 1, 0), v = (1, -1, 2) e w = (0, 3, -4)
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	Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
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EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO – II UNIDADE
Seja V o conjunto dos pares ordenados (a, b) de números reais com adição em V e multiplicação em V definidos por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e α(a, b) = (α a, 0).
Verifique se V é um espaço vetorial sobre R, ou seja, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Seja , definido por W = {(x, y, z) R3 / y = –3x e z = – 4 x}. Verifique se W é um subespaço vetorial de sobre o corpo dos reais.
3) Verifique se u = (1, 1, 1), w = (1, 2, 3) e v = (2,−1, 1) geram o espaço vetorial 
4) Verifique se o conjunto de vetores do espaço vetorial R3 são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
(a) {(1, 1, 0), (1, 4, 5), (3, 6, 5)} 
(b) {(1, 2, 3), (1, 4, 9), (1, 8, 27)}
Determine as equações que caracterizam o subespaço gerado por 
W = [(−1,−3, 0), (1, 2, 1)] , vetores do R3.
 Determine uma base a e a dimensão do conjunto de vetores 
 S = { (1, 1, 0), (3, 2, 1), (2, 1, 1) }. O conjunto S gera o R3? Justifique.