Apostila Transformação Linear

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Faculdade Independente do Nordeste
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001.
	CURSO DE ENGENHARIA DA PRODUÇÃO
	Componente Curricular: ÁLGEBRA LINEAR III Unidade 
	Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
	Aluno(a): 
Transformações Lineares
Def. 1: Sejam e dois espaços vetoriais. Uma transformação linear (aplicação linear) é uma função de em , , que satisfaz as condições:
Quaisquer que sejam , T(u + v) = T(u) + T(v)
Quaisquer que sejam α R e u V, T(α.u) = α.T(v)
Def. 2: T : V W é uma transformação linear se, e somente se, 
T(α.u + v) = α.T(u) + T(v), α R e u, v V
Propriedades:
I) T(0) = 0
II) T(– u ) = – T(u)
III) T(u – v ) = T(u) – T(v)
Obs.1: Se T(0) ≠ 0, T não é linear, mas T(0) = 0 não é suficiente para que T seja linear.
Obs.2: No caso em que V = W, uma transformação linear T : V W é chamada também de operador linear.
Teorema: Dados dois espaços vetoriais reais e e uma base de , , sejam elementos arbitrários de . Então existe uma única aplicação linear tal que . Esta aplicação é dada por:
Se ,
 
Núcleo e Imagem
Definição: Seja uma aplicação linear. A imagem de é o conjunto dos vetores tais que existe um vetor , que satisfaz . Ou seja, 
Obs.1: é um subconjunto de .
Obs.2: é um subespaço vetorial de .
Obs.3: pode ser escrito .
Definição: Seja uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores tais que é chamado núcleo de , sendo denotado por . 
Isto é, e é subespaço vetorial de .
Teorema do Núcleo e da Imagem: 
Seja uma aplicação linear. Então .
Isomorfismo e Automorfismo
Definição: Quando uma transformação linear for bijetora, dá-se o nome de isomorfismo. Neste caso dizemos que os espaços são isomorfos. Um isomorfismo é um automorfismo de .
Obs.:
Seja uma transformação linear.
O posto de é a dimensão da e a nulidade de é a dimensão do .
Seja uma transformação linear onde e .
Se , então não é injetora.
Se , então não é sobrejetora.
Aplicações Lineares e Matrizes
Num certo sentido, o estudo das transformações lineares pode ser reduzido ao estudo das matrizes. A toda matriz está associada uma transformação linear T: Rn Rm.
Podemos estabelecer este resultado para espaços vetoriais e e também estabelecer o seu recíproco, isto é, que uma vez fixadas as bases, a toda transformação linear estará associada uma única matriz.
Sejam e espaços vetoriais. Seja uma transformação linear, base de e base de . Como , então podemos escrever:
Temos,
é a matriz da transformação da base para a base .
Autovalores e Autovetores
	São conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc. Em inglês eigenvalue e eigenvector.
	Seja um operador linear onde é espaço vetorial sobre R. Um vetor não nulo é dito um autovetor (vetor próprio, vetor característico) de se existe um número real tal que . Esse escalar é denominado um autovalor (valor próprio, valor característico) de associado a .
	Pode-se concluir que e são paralelos.
Proposições:
O escalar é univocamente determinado por e , pois .
Fixado , conjunto é um subespaço vetorial de , pois , onde é o operador identidade de . O que significa que o subconjunto que acabamos de definir coincide com que sabemos ser um subespaço de .
O subespaço introduzido nas condições acima, chama-se subespaço próprio de e será indicado por . Assim, .
Definição: Dada uma matriz de ordem (real ou complexa), chama-se polinômio característico de o seguinte polinômio de grau :
Proposição: matrizes semelhantes têm mesmo polinômio característico.
Definição: Seja é espaço vetorial de dimensão e um operador linear, chama-se polinômio característico de o polinômio da matriz de em relação a qualquer base de , . Tal definição é válida porque matrizes do mesmo operador são necessariamente matrizes semelhantes.
Proposição: Seja um operador linear de espaço vetorial sobre de dimensão . Então os valores próprios de são as raízes de em .
	Uma vez conhecidos os valores próprios de um operador , podemos encontrar os vetores próprios associados a cada valor próprio. Se é um valor próprio (raiz de um polinômio ) os vetores próprios associados a são os vetores não nulos do núcleo de .
	Assim como definimos valores próprios e vetores próprios de um operador, podemos definir valores e vetores próprios de uma matriz. Se é uma matriz de ordem , real ou complexa, chama-se valor próprio de toda , tal que , onde é um escalar chamado valor próprio de . Para que seja um valor próprio de é necessário e suficiente, então, que exista uma matriz , do tipo , tal que . Ora, isso ocorre se, e somente se, não é inversível e portanto se, e somente se, . Levando em conta a primeira definição de polinômio característico, podemos concluir que é valor próprio de quando, e somente quando, é raiz do polinômio característico de . 
EXERCÍCIOS:Transformações lineares
1º) Diga quais das aplicações abaixo são lineares:
T: V V definido por T(v) = v, v V.
T: R² R definido por T(x, y) = y (x, y) R².
T: R² R² tal que T(x, y) = (x – y, x + 3y)
T: R R² tal que T(x) = (x, 2)
T: R² R tal que T(x, y) = 2xy
T: R³ R³ tal que T(x, y, z) = (x, 2y, 2z)
T: R³ R³ tal que T(x, y, z) = (3x, a, 5z), onde a R.
T: R4 R³ tal que T(x, y, z, w) = (x – w, y – w, x + z)
T: R³ R³ tal que T(x, y, z) = (x, x, x)
T: R³ R³ tal que T(x, y, z) = (2x³ + 3y, x, z)
2º) Qual é a transformação linear T: R² R³ tal que T(1, 0) = (2, -1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)
3º) Qual é a transformação linear T: R² R³ tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, -2) = (0, 1, 0)
4º) Existe um operador linear T: R³ R³ tal que T(1, 1, 1) = (1, 2, 3), T(1, 2, 3) = ( 1, 4, 9) e 
T(2, 3, 4) = ( 1, 8, 27)? Justifique sua resposta.
5º) Determinar um operador linear F: R3 R3 cuja a imagem é gerado por (2, 1, 1) e (1, -1, 2)
6º) Seja F: R3 R2 a transformação linear dada por F(x, y z) = (x + y, 2x – y + z)
Dar uma base e a dimensão de Ker(F)
Dar uma base e a dimensão de Im(F).
EXERCÍCIOS DE REVISÃO - III Unidade
Verifique se a aplicação é Transformação Linear:
T : R2 R2 , definida por T(x, y) = (x, y + 2)
 T: R³ R³ tal que T(x, y, z) = (2x + y, x, y)
Encontre um Transformador Linear T: R² R³ tal que T(2, 1) = (2, -1, 2) e T(0, -1) = (0, 1, 0). Em seguida calcule T(3, -1).
Seja T : R3 R2 , definida por T(x, y, z) = (x – y, x – 2y + z). 
Dar uma base e a dimensão do Núcleo de T 
Dar uma base e a dimensão de Im(F)
Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Sabendo que T : R2 R2 é um operador Linear e que T(1, 2) =(2, –1) e T(3,1) = (–1, 2)
 calcule T(0, 1) 
Mostre que T : R3 R3 , definida por T(x, y, z) = (x – 2y, z, x + y) é Injetora.
T : R3 R4 , definida por T(x, y, z) = (x, x – y, y – z, z) é bijetora? Justifique
Determine o Polinômio característico, os autovalores e os autovetores associados ao operador T : R3 R3 , definida por T(x, y, z) = (3x – y + z, –x + 5y – z, x – y + 3z).
	CURSO DE ENGENHARIA DA PRODUÇÃO
	Componente Curricular: ÁLGEBRA LINEAR 
	Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
	Aluno(a): 
EXERCÍCIOS AVALIATIVOS – III Unidade Valor: 3,0
Verifique se as aplicações são Transformações Lineares:
T : R3 R2 , definida por T(x, y, z) = (x + 1, y + z)
T : R R , definida por T(x) = β.x
Encontre a Transformação Linear T : R2 R3, tal que T(1, 2) = (3, –1, 5) e T(0, 1)= (2, 1, – 4).
Seja T : R3 R2 , definida por T(x, y, z) = (x + y, 2x – y + z). Determine:
Uma base e a dimensão do Núcleo de T;
Uma base e a dimensão da Imagem de T;
T é Sobrejetora? E Injetora? Justifique.
Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem
Determine o Polinômio característico, os autovalores e os autovetores associados ao operador T : R2 R2 , definida por T(x, y) = (– 3x + 4y, –x + 2y).